1 uitwerkingen goniometrische functies 2013©Vervoort Boeken 56
, 1 ) 1 tan(
540 , 0 ) 1 cos(
841 , 0 ) 1 sin(
=
=
=
19 , 2 ) 2 tan(
416 , 0 ) 2 cos(
909 , 0 ) 2 sin(
−
=
−
=
=
16 , 1 ) 4 tan(
654 , 0 ) 4 cos(
757 , 0 ) 4 sin(
=
−
=
−
=
38 , 3 ) 5 tan(
284 , 0 ) 5 cos(
959 , 0 ) 5 sin(
−
=
=
−
=
rad 618 , 2 524 , 0
rad 524 , 0 ) 5 , 0 arcsin(
5 , 0 ) sin(
2
1
=
−
=
=
=
→
= π α
α α
Uitwerkingen hoofdstuk 6
6. Goniometrische functies.
Opgave 6.1 Rekenen met de goniometrische verhoudingsgetallen.
a 0
0
0 57,3
2π rad 360 1 360
rad π
2 = →α = = =
b
Stel de juiste eenheid in op je ZRM
c
d
e
Opgave 6.2 Bereken de hoek α in radialen.
Maak altijd een schetsje met de eenheidscirkel!
Geef alle mogelijke waardes van α tussen 0 en 2π als:
a
rad 99 , 2 151 , 0
rad 151 , 0 ) 15 , 0 arcsin(
15 , 0 ) sin(
3 , 0 ) sin(
2
2 1
=
−
=
=
=
→
=
→
=
π α
α
α α
rad 40 , 5 8
, 10 2 51 , 4 2
rad 03 , 4 rad
05 , 8 2 77 , 1 2
rad 26 , 2 rad
51 , 4 77 , 1 2 2
rad 886 , 0 rad
77 , 1 2
) 2 , 0 arccos(
2 2 , 0 ) 2 cos(
4 4
3 3
2 2
1 1
=
→
= +
=
→
=
→
= +
=
→
=
→
=
−
=
→
=
→
=
→
−
=
→
−
=
α π
α
α π
α
α π
α
α α
α α
06 , 6 1 055 , 7 2
775 , 0 ) 1 (
rad 37 , 1 1 37 , 2 37
, 2 775 , 0 )
1 (
rad 225 , 0 1 775 , 0
775 , 0 ) 7 , 0 arcsin(
) 1 ( 7 , 0 ) 1 sin(
3 3
2 2
1
1
=
−
=
→ +
= +
→
=
−
=
→
=
−
= +
→
−
=
−
=
→
=
= +
→
= +
α π α
α π
α α
α α
rad 71 , 2 4 ) 3
1 arcsin(
1 ) sin(
4 ) sin(
4
=
=
→
−
=
→
−
=
→
−
=
π α
α
α α
rad 45 , 3 rad 305 , 0
rad 98 , 5 rad 305 , 0 2 rad
305 , 0 )
3 , 0 arcsin(
3 , 0 ) sin(
6 , 0 ) sin(
2
2
1
= +
=
→
=
−
=
→
−
=
→
−
=
→
−
=
→
=
−
π α
π α α
α
α α
rad 39 , 4 25 , 1
rad 25 , 1 ) 3 arctan(
3 ) tan(
2
1
= +
=
→
=
=
→
= π α
α a
b
c
d
e
f
g
3 uitwerkingen goniometrische functies 2013©Vervoort Boeken 86
, 7 ) 32 , 0 sin(
25 )
sin(
7 , 23 ) 32 , 0 cos(
25 )
cos(
rad 32 , 0 25
=
⋅
=
→
⋅
=
=
⋅
=
→
⋅
=
=
=
y y
x x
R R
R
R R
R
en R
θ θ θ
rad 643 , 0 ) 75 , 0 arctan(
75 , 16 0 ) 12 tan(
) tan(
16 256
144
2 400
2 2 2 2 2 2
=
=
→
=
=
→
=
=
→
=
−
=
→
−
=
→ +
=
θ θ
θ
x y
x x
y x
y x
R R
R R
R R R R R R
rad 01 , 1 ) 6 , 1 arctan(
6 , 10 1 ) 16 tan(
) tan(
9 , 18 16 102 2
2 2
=
=
→
=
=
→
=
= +
=
→ +
=
θ θ
θ
x y
y x
R R
R R R R
2 , ) 10 2 , 0 cos(
10 )
) cos(
cos( → = → = =
⋅
= R R
R R
Rx x
θ θ
89 , 3 1
, 15 100 7 , 10
7 , ) 10 2 , 1 sin(
10 )
) sin(
sin(
2 2
2 2
2 = − → = − = → =
=
=
→
=
→
⋅
=
x x
y x
y y
R R
R R R
R R R R
R θ θ
rad rad
rad k k
rad rad k
a
32 , 4 64
, 8 2 36 , 2 2
18 , 1 36
, 2 2
2 36 , 2 2 784 , 0 2
89 , 5 rad
78 , 11 4 784 , 0 2
25 , 2 rad
50 , 5 2 784 , 0 2
2 784 , 0 2
rad 784 , 0 ) 1 arctan(
2 1 ) 2 tan(
4 4
3 3
3
1 1
1 1
1
1
=
→
= +
=
→
=
→
=
→
⋅ +
=
⋅ +
−
=
→
=
→
= +
−
=
→
=
→
= +
−
=
→
⋅ +
−
=
→
−
=
−
=
→
−
=
α π
α
α α
π π
π α
α π
α
α π
α
π α
α
50 , 3 496
, 2 644 , 0 )
1 (
64 , 1 644
, 0 ) 1 (
644 , 0 ) 6 , 0 arcsin(
) 1 ( 6 , 0 ) 1 sin(
2 2
1 1
=
→
=
−
=
−
→
=
→
=
−
→
=
=
−
→
=
−
α π
α
α α
α α
rad h
i
Opgave 6.3 Ontbinden van een vector.
a
b
c
d
e
Opgave 6.4 Hellend vlak
a = → = =0,52→ =arcsin(0,52)=31,3° 10
2 , ) 5 sin(
)
sin(α α α
l h
b sin(α)= →h=l⋅sin(α)=10×sin(35°)=5,7m l
h .
verschoven boven
naar 2 is grafiek ]
2 , 0 [ op periode 1
1 amplitude
2 ) sin(
) (
π
= +
= x
x k
] 2 , 0 [ op periodes 2
1 amplitude
) 2 sin(
) (
π
=
= x
x h
] 2 , 0 [ op periode 1
1 amplitude
) 2 sin(
) (
π
=
= x
x f
] 2 , 0 [ op periode 1
2 amplitude
) 2 sin(
2 ) (
π
=
⋅
= x
x f
N 3 , 21 ) 2 , 25 sin(
50 ) (
) sin(
) (
N 2 , 45 ) 2 , 25 cos(
50 ) (
) cos(
) (
2 2
1 1
=
°
×
=
→
⋅
=
=
°
×
=
→
⋅
=
evenwijdig F
F evenwijdig F
loodrecht F
F loodrecht F
g g
α α
N 3 , 21 ) sin(
N 2 , 45 ) cos(
=
⋅
=
=
⋅
=
α α
g f
g N
F F
F F c
Fg =50,0 N
d
Opgave 6.5 Onderzoek goniometrische functies.
A:
Als x verandert van 0 tot 2π verandert de hoek α van 0 tot 2π rad.
B:
Als x verandert van 0 tot 2π verandert de hoek α van 0 tot 4π rad (2× rond).
C:
D:
α
5 uitwerkingen goniometrische functies 2013©Vervoort Boeken ]
2 , 0 [ op periodes 2
2 amplitude
) 2 sin(
2 ) (
π
=
= x
x k
verschoven rechts
2naar ]
2 , 0 [ op periode 1
1 amplitude
2) sin(
) (
π π π
=
−
= x
x h
verschoven links
2 naar ]
2 , 0 [ op periode 1
1 amplitude
2) sin(
) (
π π π
= +
= x
x g
] 2 , 0 [ op periode 1
1 amplitude
) sin(
) (
π
=
= x
x f
Opgave 6.6 De functie y = Acos(px) + b
Hieronder zijn de afgebeeld:
f(x) = cos(x) hoort bij B, omdat amplitude = 1 en T = 2π g(x) = 2cos(x) hoort bij A, omdat amplitude = 2
h(x) = cos(2x) hoort bij D, omdat T = π
k(x) = cos(x) + 2 hoort bij C omdat de grafiek 2 naar boven verschoven is.
Opgave 6.7 Verschuiven, versterken en kortere periode.
A:
B:
De beginhoek α0 = -π/2 of 3π/2 C:
De beginhoek α0 = π/2 D:
Opgave 6.8 De functie
y is de hoogte van het draaiend punt en x bepaald de hoek.
Hieronder zijn de afgebeeld:
f(x) = sin(x) hoort bij B, omdat de amplitude = 1 en T = 2π
g(x) = sin(x+1) hoort bij C, omdat de grafiek 1 naar links verschoven is. (x + 1) = 0 als x = -1
h(x) = sin(2x + 4) hoort bij A, omdat T = π en de grafiek 4 naar links verschoven is
k(x) = sin(x + 1) - 2 hoort bij D, omdat de grafiek 2 naar beneden verschoven is.
) (x ) f
(x g
) (x k
) (x l
) (x m )
(x n
b c) (kx A
y= sin + +
Opgave 6.9 Schetsen van de grafiek
Opgave 6.10 De functie
Hierna zijn de grafieken afgebeeld van:
U(t) = 2sin(2t + 2) en I(t) = 1,5sin(2t + 1)
a De amplitude van U(t) = 2 De amplude van I(t) = 1,5
b T s
T 2 3,14
2π = → =
7 uitwerkingen goniometrische functies 2013©Vervoort Boeken Nm
87 , 1 9
25 , 0 4
4 4 2
2 2
2 2 2
2
× =
=
→
=
→
⋅
=
→
= π
π π π
C
T C m C T m
C T m
) 2 sin(
2 , 0
) 1 0
sin(2 2 , 0 )
( sin ) (
t u(t)
t u(t)
T t A 2π t u
⋅
=
→
+
⋅
=
→ +
=
π α π
0
) 94 , 9 sin(
2 , 0 ) ( 632 )
, 0 sin( 2 2 , 0 ) (
s 632 , 87 0 , 9
1 , 2 0 2
t t
u t t
u
C T T m
⋅
=
→
⋅
=
=
=
→
=
π π π
) (
sin )
( = t+α0
T A 2π t u
) 14 , 3 94 , 9 sin(
2 , 0 )
(t = ⋅t+
u
c verschuiving van U(t) is -1s of T 0,32T 14
, 3
1 =−
− dus 0,32T naar
links
als t = -1 dan (2t + 2) = 0
verschuiving van I(t) is -0,5s of T 0,16T 14
, 3
5 ,
0 =
− naar links
als t = -0,5 dan (2t + 1) = 0
d voor U(t) : α0 = 2 rad
Opgave 6.11 De functie bij een veer-massa systeem.
Simulatie van PhET (University of Colorado)
a
b
c
d
rad
T kg m C
C T m
T T
t t
u
2
75 , 4 4
36 , 4 87 , 9 4 4
s 36 , 44 4 , 1 44 2
, 2 1
) 2 / 44 , 1 sin(
30 ) (
0
2 2 2
2 2
2
α π
π π
π
π π
π
=
=
×
= ×
= ⋅
→
⋅
=
=
=
→
=
+
=
s 84 , 81 2 , 9 2 2
2 ⋅ → = ⋅ =
= π T π
g T l
) (
sin )
( = t+α0
T A 2π t u
) 21 , 2 sin(
1 , 0 ) ( ) 84 0 , 2 sin( 2 1 , 0 )
(t t u t t
u = π ⋅ + → = ⋅
2) 2
sin(
2 , 0 3 , 0 ( 8 , 9 25 , 0 )
(
2) 2
sin(
2 , 0 3 , 0 ) ( )
(
π π π π
+
⋅ +
×
×
=
=
+
⋅ +
= +
=
t mgh
t E
t t
u A t h
p
2 rad
0
α =π
2) 2
sin(
2 , 0 2 , 0 ) ( 2) sin(2
)
( π
π π
π + → = − ⋅ +
−
= t s t t
A T A t s
J 78 , 1 6 , 0 87 , 2 9 (max) 1 12
(max)= 2 → = × × 2 =
v
v Cs E
E
2 rad 0
0 π
α =
→
=
= alss Ev
e Voor de beweging van een massa aan een veer geldt:
Opgave 6.12 De energieomzetting bij een veer-massa systeem.
a massa begint in bovenste punt
b c
rode grafiek: u(t) blauwe grafiek: s(t) d
e f
Opgave 6.13 De functie bij een slinger.
a b
9 uitwerkingen goniometrische functies 2013©Vervoort Boeken )
14 , 3 sin(
1 , 0 ) ( ) 2,01 0 0,1sin( 2 u(t)
s 01 , 81 2 , 9 2 1 2
t t
u t
g T T l
⋅
=
→ +
⋅
=
=
⋅
=
→
⋅
=
π π π
) 21 , 2 sin(
1 ,
0 t
) 14 , 3 sin(
1 ,
0 t
) 14 , 3 14 , 3 sin(
1 , 0
u(t)= ⋅t+
2
m 45 , 4 2
81 , 9 14 , 3
4 4 2
s 14 , 2 3 2 2
2
0
2 2
2 2 2
2
α π
π
π π
π
π π
=
× =
=
→
= ⋅
→
⋅
=
→
⋅
=
=
=
→
=
l
g l T
g T l
g T l
T T c
d e
f
cm in ) 2 / 14 , 3 sin(
3 )
(t t u
u = +π
J 097 , 0 44 , 0 2 1 2 1
1
ms 44 , 85 0 , 2
2 , 0 2
12
2 2
max max , max
2 max max
,
=
×
×
=
=
× =
=
=
mv E
v
mv E
k k
π
mm 9,9 m 0099 , 097 0 , 097 0
,
max 0
, = → = ∆ →∆ = = =
h mg h
mg E
Ek p
) 2 , 2 ( cos 097 , 0 85 ))
, 2 cos( 2 44 , 0 ( 5 , 2 0
) 1
(t mv2 t 2 2 t
Ek = = π =
rad 030 , 0 hoek max 030
, 4 0 , 99 slinger) 3 hoek
sin(max.
2rad
m 994 , 4 0
4 2
s 00 , 2 14
, 2 3
0
2 2 2
2
=
⋅
→
=
=
=
⋅ =
=
→
=
→
=
=
→
=
α π
π π
π π
g l T
g T l
g T l
T T
Opgave 6.14 De energieomzetting bij een slinger.
a
b
c
d Voor de beweging van een massa aan een slinger geldt:
11 uitwerkingen goniometrische functies 2013©Vervoort Boeken ms
s 16 0,02
m 0,32
s 02 , 100 0 100 2
2
=
=
=
=
→
=
=
→
⋅
=
v T T
v T T v
π π π
π λ λ
) 2 100 sin(
4 ) (
) 100 sin(
4 ) (
π π π
−
⋅
=
⋅
=
t t
u
t t
u
E A
) 100
sin(
4 ) (
) 100 sin(
4 ) (
π π π
−
⋅
=
⋅
=
t t
u
t t
u
C A
) 936 , 0 100 sin(
4 ) 47 2 100 7
sin(
4 ) (
) 100 sin(
4 ) (
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
⋅
=
t t
t u
t t
u
B A
π π
π π
) 100 sin(
4 )
(t t
u = π⋅
m 0,32 cm 32 cm 15 - cm 47
AE= = =
= λ
Opgave 6.15 Lopende golf Voor punt A geldt :
a b
c
d
e
) 100 sin(
325 ) ( 02 )
, 0 sin( 2 325 )
(t t U t t
U = π ⋅ → = π⋅
) 100 sin(
325 )
(t t
U = ⋅ π
Hz 637 , 1 0 s
57 , 1 2 4
=
=
→
=
→
=
f T T T
π
m 61 , 4 0
2 4 2
2 2
2 ⋅ =
=
⋅ →
=
→
=
π
π π l T g
g T l
g T l
f
Opgave 6.16 Experiment om de viscositeit van een vloeistof te bepalen.
a b
c U1 hoort bij de grafiek ,waarvan de amplitude het sterkst afneemt omdat de e−0,5tsterker afneemt dan e−0,2t
Opgave 6.17 Spanning van de wandcontactdoos.
a
b
Opgave 6.18 Faseverschil tussen spanning over weerstand en spoel wisselstroom.
a Stel het functievoorschrift op voor UR en UL op.
Kies t = 0 bij 338 s.
) cos(
10
) sin(
5 2 ) sin(2 5
t U
t t
U
L R
π π π
=
=
=
E B
A
C
13 uitwerkingen goniometrische functies 2013©Vervoort Boeken 2 )
mod(1 27 , 2
; 70 , 0
12 70 , 0 80
, 2 4 ) 34 , 0 sin(
) 4 sin(
2 ) mod(1 65 , 1
; 0834 , 0
12 0834 , 0 2
34 , 0 4 ) 340 , 0 sin(
) 4 sin(
rad 340 , 0 3) arcsin(1 3
) 1 4 sin(
1 ) 4 sin(
3
1 ) 4 sin(
3
2
2 2
2 1
1 1
1
π
π π
π
π π
=
⋅ +
=
→
=
→
−
=
=
⋅ +
=
→
⋅ +
=
→
=
=
=
→
=
≥
x
k x
x x
en x
k x
k x
x
x x
x
2 ) mod( 1 70 , 0 0834
, 0
: 1 3sin(4x) oplossing
π
≤
≤
≥ x
b Schets in één cirkel het verloop van UR en UL op.
Opgave 6.19 Enkele goniometrische vergelijkingen.
a
x1 = 0,083 x2 = 0,70 x1 = 1,65 x2 = 2,27
π
π π
π π
π
2 68 , 0
2 32 , 1 2 2 )
32 , 1 2 cos(
) 2 cos(
2 32 , 3
2 32 , 1 2 )
32 , 1 cos(
) 2 cos(
32 , 1 ) 25 , 0 arccos(
25 , 0 ) 2 cos(
1 ) 2 cos(
4
2
2 2
1
1 1
⋅ +
=
→
⋅ +
−
=
−
→
−
=
−
⋅ +
=
→
⋅ +
=
−
→
=
−
=
=
−
=
−
k x
k x
x en
k x
k x
x x x
π π
π π π π
π π
π π π
π π
π
⋅ +
=
→
⋅ +
=
→
⋅ +
=
−
→
−
=
−
⋅ +
=
→
⋅ +
=
→
⋅ +
=
−
→
=
−
=
=
−
→
=
−
≥
−
k x
k x
k x
x en
k x
k x
k x
x
x x
x
77 , 1 2
54 , 3 2
2 76 , 4 2 2 ) 384 , 0 sin(
4) 2 sin(
585 , 0 2
17 , 1 2
2 384 , 4 0 2 ) 384 , 0 sin(
4) 2 sin(
384 , 0 ) 375 , 0 arcsin(
375 , 0 4) 2 sin(
75 , 0 4) 2 sin(
2
75 , 0 4) 2 sin(
2
2 2
2 2
1 1
1 1
) 2 mod(
68 , 0 96
, 2
: 1 2) - 4cos(
oplossing
π
≤
≤
−
<
x x b
c
x2 = 0,68 x1 = 3,32
15 uitwerkingen goniometrische functies 2013©Vervoort Boeken
π π
π π π π
π π
π π π
π π
π
4 0 , 11 2
52 , 5 5 , 0
2 47 , 3 4 5 , 0 ) 33 , 1 tan(
3) 5 , 0 tan(
4 76 , 4 2
38 , 2 5 , 0
2 33 , 3 1 5 , 0 ) 33 , 1 tan(
3) 5 , 0 tan(
33 , 1 ) 4 arctan(
4 3) 5 , 0 tan(
2 3) 5 , 0 tan(
5 , 0
2 3) 5 , 0 tan(
5 , 0
2 2
2 2
1 1
1 1
⋅ +
=
→
⋅ +
=
→
⋅ +
=
−
→ +
=
−
⋅ +
=
→
⋅ +
=
→
⋅ +
=
−
→
=
−
=
=
−
→
=
−
>
−
k x
k x
k x
x en
k x
k x
k x
x
x x
x
) mod(
77 , 1 585
, 0
: 75 , 0 4) - 2sin(2 oplossing
π π
≤
≤
≥ x
x
d
x1 = 0,585 x2 = 1,77
) 4 mod(
11 76
, 4
: 2 3) - 0,5tan(0,5 oplossing
π π
≤
≤
>
x
x
x1 = 4,76 x2 = 11,0
