Overzicht van veel gemaakte fouten

Lijst van veelgemaakte fouten

=a2+b2 of nog erger (a−b)2=a2−b2 C: (a−b)2

=a2−2 ab+b2

F:

_√

√

Opmerking: de betrekking

_√

C: uit x2<16 volgt dat −4 <x<4

F: uit x2_{>16 volgt (door worteltrekking) dat x>4} C: uit x2_{>16 volgt dat x>4∨ x ← 4 .}

F: uit A2=B2 volgt dat A=B

C: uit A2=B2 volgt dat A=B ∨ A=−B

F: uit AB=AC volgt (door het schrappen van A ) dat B=C

C: uit AB=AC volgt dat A=0∨ B=C F: uit sin ( A )=sin ⁡(B) volgt dat A=B

C: uit sin ( A )=sin ⁡(B) volgt dat A=B+k⋅2 π ∨ A=π −B+k ∙2 π

F: uit cos( A)=cos ⁡(B) volgt dat A=B

C: uit cos ⁡( A)=cos ⁡(B) volgt dat A=B+k ⋅2 π ∨ A=−B+k∙ 2 π F: uit A +B=C volgt dat A2

+B2=C2 C: uit A +B=C volgt dat ( A+B)2

=C2 dus A2+2 AB+B2=C2 .

Opmerking

Men mag dus niet termsgewijs kwadrateren als er drie of meer termen zijn.

Deze fout komt vaak voor bij wortelvergelijkingen, bijvoorbeeld bij het oplossen van de vergelijking 1

x+

√2 x−1=8 ; dan is het fout om te laten volgen x

+2 x−1=64 .

De vergelijking x+

√

_√

2 x −1=64−16 x+ x2 , enz.

F:

_√

√

√

√

√

√

√

√

log ⁡(a)+glog ⁡(b)=glog ⁡(c) volgt dat a+b=c C: uit g_{log ⁡(a)+}g_{log ⁡(b)=}g_{log ⁡(c) volgt dat a ×b=c}

(vanwege de regel g_{log ⁡(a)+}g_{log ⁡(b)=}g_{log ⁡(ab) )}

F: uit g

log (a )−glog ⁡(b)=glog ⁡(c) volgt dat a−b=c

C: uit g_{log (a )−}g_{log ⁡(b)=}g_{log ⁡(c) volgt dat} a

b=c (vanwege de regel glog ⁡(a)−g_{log ⁡(b)=}g_log

(

)

b+c

is niet te splitsen in twee breuken. Wel correct is de regel

F: als voor een functie f geldt dat f'

(a)=0 , dan heeft f voor x=a een extreme waarde. Dit is fout, want f'_{(a)=0 betekent slechts dat de raaklijn in het punt (a , f (a )) aan de grafiek}

van f horizontaal loopt. Om te onderzoeken of er daadwerkelijk een extreme waarde optreedt voor x=a dient men tevens een duidelijke schets van de grafiek van f te maken. Men kan ook een tekenoverzicht van f' _{maken en onderzoeken of er bij x=a een tekenwisseling optreedt.}

F: als voor een functie f geldt dat f'_{' (a)=0 , dan heeft de grafiek van f voor x=a een}

buigpunt.

Dit is fout, want f'

' (a)=0 betekent dat de grafiek van f' een horizontale raaklijn heeft bij

x=a , maar niet noodzakelijk dat f' _{een extreme waarde heeft bij voor x=a ; dit laatste is}

nodig voor een buigpunt. Een goede methode is het maken van een tekenoverzicht van f'

' . Slechts indien er een tekenwisseling van f'

' optreedt bij x=a , is er sprake van een buigpunt. Men kan een ook schets van de grafiek van f' _{en kijken of er een top optreedt voor x=a .}

F:

[

_]

¿ex , dus

[

]

Dit is onjuist, want e3 _{is een constante, dus}

[

]

F:

[

_]

x

, dus

[

]

'

=¿ 1₅

.

Dit is onjuist, want ln(5) is een constante, dus

_[

_]

F: uit f ( x)= 1

3 x−2

volgt (voor de primitieve) dat F ( x)=

3ln(3 x−2)+C C: uit f ( x)=_{3 x−2}1

volgt dat F ( x)=

F: als F(x) een primitieve is van f (x) en G(x) een primitieve is van g(x) , dan is F(x )∙ G(x ) een primitieve van f (x)∙ g(x) .

Men kan door differentiëren direct zien dat dit niet klopt:

[

]

2 x 2

∙ sin ⁡(x ) geen primitieve van x ∙ cos ( x ) .

F: als F(x) een primitieve is van f (x) , dan is

(

)

(

)

Men kan door differentiëren direct zien dat dit niet klopt:

[

(

)

]

( x )=2∙ F ( x ) ∙ f ( x) en dit is niet gelijk aan

(

)

Deze fout komt voor bij opgaven met een vlakdeel V ingesloten door de grafiek van f , de x−¿ as en de lijnen x=a en x=b . Eerst moet men vaak met de primitieve F(x) van

f (x) de oppervlakte van V berekenen en daarna de inhoud I van het

omwentelingslichaam bij wenteling van V om de x−¿ as. Er wordt dan soms de volgende fout gemaakt: F: I=π ∙

_∫

(

)

_[

(

)

]

De correcte manier is het eerst herleiden van

(

)

_∫

Dit is incorrect, omdat men geen rekening houdt met de kettingregel:

[

]

( x ) ∙cos ( x)=sin2(x ) ∙ cos ( x )≠ sin2( x) .

C:

_∫

∫

{

}