Hoe berekenbaar en betrouwbaar is de coefficient k in x-ksigma en x-ks?

ksigma en x-ks?

Citation for published version (APA):

Bosch, A. J., & Lub, K. B. (1982). Hoe berekenbaar en betrouwbaar is de coefficient k in x-ksigma en x-ks? (Memorandum COSOR; Vol. 8222). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1982

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

COSOR-Memorandum 82-22

Hoe berekenbaar en betrouwbaar is de coeff cient k in x - kG en x - ks ?

by

drs. A.J. Bosch- Ir. K.B. Lub

Eindhoven University of Technology Department of Mathematics

and Computing Science

P.O. Box 513, 5600 MB Eindhoven the Netherlands

drs. A.J. Bosch, ir. K.B. Lub

T.R.E. Eindhoven

october 1982

O. Inleiding

In verschillende artikelen en voorschriften duiken de vormen x - kO' en x - ks op, veelal met verschillende k-waarden. Roe men aan deze k-waarden komt wordt

meestal niet uitgelegd. Kreijger [2J gebruikt een dubbel waarschijnlijkheidsnet,

ontwikkeld door Stange [5J. Maar zorn net is veel ondoorzichtiger en ook on-nauwkeuriger dan een eenvoudige formule.

Stange [5J leidt ook formules af voor n en k, maar geeft voor het geval dat

0' onbekend is slechts benaderingen. Met een simpele basiskennis van de

sta-tistiek is aIle geheimzinnigheid rond deze coefficient k eenvoudig weg te nemen.

In dit artikel wordt verder het verband aangegeven tussen een tolerant ie-interval en een keuringsvoorschrift. Tevens wordt nader ingegaan op de begrip-pen konsumenten- en producentenrisiko.

De iodeling is als volgt:

1. Statistische basiskennis.

2. Probleemstelling. A keuringsvoorschrift, B tolerantie-interval, rechts-eenzijdig.

3. Oplossing van beide problemen ala a bekend is. 4. Oplossing van beide problemen bij onbekende a. S. Benaderingen in het geval dat a onbekend is. 6. Uitgewerkt praktijkvoorbeeld.

1. Statistische basiskennis

Notaties:

1.1. Het symbool :- betekent "wordt gedefinieerd door".

2

1.2. Toevalsvariabelen worden onderstreept zoals x, ~, ~, ~,~ e.d.

1.3. ~x

=

Ex

=

(populatie)gemiddelde van x. Ook als ~ genoteerd.

1.4. 02

=

var x

=

(populatie)variantie van x. Ook als

x -

-2

a genoteerd. a

=

;d2

=

(populatie)spreiding, standaardafwijking.

Ex wordt de verwachting van ~ genoemd. n 1. S. x :=

I

x./n

is het steekproef~emiddelde. i=1 l. 2 n - 2 s :=

L

(x.-x)

I

(n-l) 1.S de steekproefvariantie. i=I J. s

=

~

is de steekproefspreiding.

-x en s zijn schatters voor resp. ~ en a.

In de literatuur worden vaak steekproef- en populatie-grootheden wat betreft notatie en naamgeving door elkaar gehaald, hetgeen zeer verwarrend is.

1.6. ~ ~

1

betekent: ~ en

1

hebben dezelfde frekwentieverdeling. 2

1.7.

~

-

N(~,a

)

d.w.z. ~ heeft een normale verdeling, ook Gauss-verdeling ge-noemd, met gemiddelde

~

en variantie 02•

De grafiek van deze verdeling is in figuur 1 weergegeven.

Merk op dat de grafiek symmetrisch is t.o.v. de lijn x

=

~.

cr

=

afstand buigpunt tot deze as van ~---~~---x _symmetrie.

figuur 1. Grafiek van de normale verdeling

~ - N(O,!) d.w.z. u is standaard-normaal verdeeld, dat is normaal met ~

=

a

en 02

=

1.

1.8.

P(~ < x_p) d.w.z. de kans dat x een waarde < xp aanneemt.

1.9. P(~! < ~.OS I _{P=P 1)} d.w.z. de kans dat~! < ~.05 onder de voorwaarde P

=

PI'

1.10. x is als volgt gedefinieerd: P(~ < x )

=

p.

P P

x heet het IOOp-percentielpunt van de verdeling van~, d.w.z. een fraktie

p

p(=100p%) van de verdeling ligt onder x .

p

x._OS' dat is dus het S-percentielpunt, wordt de karakteristieke waarde van de verdeling (populatie) genoemd.

20 is P(~ < U )

= a

en

a

~~---~ ______ ~WW~L-___ u u

Vanwege de symmetrie van de standaardnormale verdeling geldt: u

a = -u1-a •

Analoog zijn gedefinieerd t t

x

2

v,l-a' v,S' v,l-a'

Pas op: vergeleken met ISO [IJ zijn p en I-p verwisseld, zo ook up en u 1_p'

!wee verkorte notaties: U

_o

:=

u en u

l :=

I-p

_o

Definities:

1.11. De centrale cbi-kwadraatverdeling met v vrijbeidsgraden:

2

:Xv

v 2 Co!

I

u.

I -~ waarbij de u. aIle onderling onafhankelijk zijn -~ en u.

-~ N(O,I) •

1.12. De niet-centrale Studentverdeling met v vrijbeidsgraden en niet-centraliteits-parameter 0: t (0) Co! -v Stellingen: U+o ~ waarbij

/x2/

v -v

teller en noemer onafbankelijk zijn.

1.13. E(a~ + bZ + c) = aE~ + bEZ + c. Hierin is c een konstante.

Zo is Ex = E(x

I + ••• + x )

In

= (ll + ••• + \.I)

In

=

]..l •

- - - i l

In woorden: de verwacbting van bet steekproefgemiddelde ~ is gelijk aan bet

populatiegemiddelde ]..l.

Eveneens is E(~ - kcr) = II - kcr nl. kcr is konstant.

1.14. Zijn ~ en Z onderling onafhankelijk, dan geldt:

Zo is

2 2 2 2 2

cr /n + ••• + cr /n

=

cr /n met cr 2

=

var x . •

-1.

2

1. 15. Is z '" N(1l ,cr ) dan is (_z - j.J ) / cr 0.1 U ' " N(O, 1). We hebben

.!

gestandaardi-- z z z z

-seerd.

2 - 2

1.16. Is ~ ~ N(\l,cr ) dan is ~ '" N(\l,cr In) en dus met 1.15

x - II - - - 0.1 U ' " N(O, 1) • cr /

In

-Tevens geld t : vs2

I

cr 2 0.1 y2 met v

=

n - 1 • - ~v

doch Es <: cr • Bij benadering is var s 1'1::1 cr2 / 2n. 2

Eveneens geldt dat x en s onderling onafhankelijk zijn. Hieruit voIgt met 1.14:

- 2 2 2

var(~ - k~)

=

var x + k var ~I'I::I (l+k 12)cr

In

1.17. Voor n + 00 nadert X2 tot v en dus s2 tot cr2 en wordt 1.12

-v t (0) 0.1 U + 0 • ·-co 1.18. Uit 1.16 voIgt: 2 2 2 P(v~ / cr > XV,I-o.)

=

0. , ofwe1

P(~Gl

<: cr)

=

1 - 0. waarbij G] := / v

I

x~,

]-0. •

1. I9.

In Vis [6J pag. 817 is G₁ getabelleerd voor a

=

0,05. Deze tabel van G]-waarden kan men dUB eenvoudig zelf makenvoor elke a en n met behulp van een chi-kwadraattabel, in elk statistiekboek aanwezig, zie o.a. Owen [4J.

Zij !..., N(ll,O' ). 2 Nu is volgens l. lOP (!. < x )

=

P en met 1.15

p (!. - ].l x _{- ].l\} p(u < x

: U)

p\ 0 < p

)

=

p oftewel p = _P 0'

\-dus (x -].l)

/0

= u = -u] en x ;: l.l - u 1 o.

P

P

-p

P

-p

Deze u-waarden zijn in elk statistiekboek te vinden, in een tabel van de standaardnormale verdeling. Zo is in het bijzonder:

x.

_OI

=

].l - 2,3260

x.os ;:

II - 1,6450' •

2. Probleemstelling

We beschouwen twee problemen die nauw met elkaar samenhangen.

2A. Een konsument wil van een producent een partij goederen kopen. Er zijn twee (tegenstrijdige) belangen in het spel. De konsument wil slechts goede partijen aanvaarden en slechte afkeuren. Maar de producent wil natuurlijk niet dat een goede partij wordt afgekeurd. Eerst zal dus gedefinieerd moeten worden wat een goede en wat een slechte partij is:

Een partij heet 50ed (aanvaardbaar) als p ~ Po < 0,05. Een partij heet slecht (onaanvaardbaar) als p ~ PI > PO'

Hierin is p de fraktiefouten in de partij (lOOp;: ondeugdelijkheidspercen-tage). De grenzen

Po

en PI worden dus in overleg vastgesteld.

Nu is het mogelijk dat ten onrechte een goede partij wordt a£gekeurd (een risiko voor de producent) of een slechte wordt goedgekeurd (eenrisiko voor de konsument). Het is uiteraard logisch dat men beide risiko's zo klein

moge-lijk wil houden.

Daarom komt men overeen:

a. _{de kans om een partij met foutenfraktie PI goed te keuren} = ( l .

b. _{de kans om een partij met foutenfraktie Po af te keurzen}

_B.

(l heet het konsumentrisiko (bij p :1

PI)

B

heet het eroducentenrisiko (bij p = PO)'

Deze '" en (} z;J'n dus "gekoppeldll _{aan de grenzen Po en P en moeten}

even-"" i J . . . 1

eens in overleg worden vastgesteld!

Bedenk echter dat de werkelijke risiko's van de producent en konsument

funkties zijn van de ~ fraktiefouten p in de partij. Hierop komen we

nog terug.

In Kreijger [2J en Vis [6] wordt nogal "ruw" omgesprongen met de begrippen producenten- en konsumentenrisiko!

Het probleem is dus een keurinasvoorschrift te maken, bij gegeven o.,Pl

en

B,PO

dat aan beide eisen a en b voldoet.

2B. Een producent wil kontrole op zijn produktieproces en het foutenpercentage

"beheersen". Stel dat een produkt goed is als de daaraan te meten variabele x boven een zekere grens ligt. Hij wil dan een uitspraak bijvoorbeeld van de vorm:

met een betrouwbaarheid P

=

1 - (l kan ik zeggen dat minstens een fraktie

1 - p boven x_pt ligt. Dit geeft een zogenaamd rechtseenzijdig

tolerantie-interval.

Xpt heet de linkertolerantiegrens. Dit tolerantie-interval is dus een betrouwbaarheidsinterval voor het IOOp-percentielpunt xp van x.

Het probleem is dus, bij gegeven onbetrouwbaarheidsdrempel a, geseven

steekproefgrootte n en foutenfraktie p, een linkertolerantiegrens xp~

voor x aan te geven.

p

Beide problemen lossen we op, eerst onder de aanname dat cr bekend is (§3), daarna indien cr onbekend is (§4).

3. Oplossing, cr bekend ondersteld

3A. Oplossing keuringsvoorschrift, cr bekend ondersteld

x

=

te bestuderen grootheid bijv. druksterkte van betonnen kubussen.

2

Aangenomen wordt dat ~ - N(~,cr ), een aanname die uiteraard eerst

ge-toetst moet worden, d.w.z. de normaliteit.

~.05

=

voorgeschreven karakteristieke waarde, d.w.z. hoogstens 5% van de partij mag onder deze grens liggen.

In Kreijger [2J is ~.05 = cr'bk ' in Vis [6J ~.05 = f~k •

p

=

fraktiefouten in de partij. Het ondeugdelijkheidspercentage is dus

lOOp. Een kubus is "slechtll _{(fout) als zijn druksterkte kleiner is}

dan de voorgeschreven karakteristieke druksterkte ~.05' Er geldt dus

p (~ < j.l. 05) = p. In figuur gebracht:

~~---~---~

figuur 2. goede partij p s; Po < 0,05

2 ~ '" N(llO'O" ) Volgens 1. 19 is (3. I) _)1.05

₌

_x

₌

_{II -} U 0" Po 0 0 en ~~wu~ ______ ~______________ xl u._{05 Ul} slechte partij p ~ PI > 0,05 2 ~l '" N(llI'O" )

Om te beslissen of een partij goed- of afgekeurd moet worden, nemen we een

aselekte steekproef ter grootte n : x1"",x

n' De steekproefgrootte n is voora1snog onbepaald!

Het ligt nu voor de hand om als beslissingsgrootheid te nemen

(3.2) := x - ko •

We aanvaarden de partij als xpR, > )1.05 en keuren deze af als XpR, < )1.05'

Ook de coefficient k is nog onbepaald. Zonder te weten wat k precies is. den we dat een kleine k gunstig is voor de producent (er wordt eerder go edge-keurd dan bij grotere k), een grote k gunstig voor de konsument Cer wordt ee~der afgekeurd). Hier1lit blijken duideliJ~ de eerder genoemde

Voor de goedkeurkans als funktie van de fraktiefouten p in de partij krijgen we de vo1gende keuringskarakteristiek:

goedkeurkans

,

• Q a · .. · ... · ... . " ...

,

~ .... - .. ~~ ... _

.

• a.; ,

.

o goed Po indifferent. p] slecht.

fraktiefouten p in de partij

figuur 3. Grafiek van de goedkeurkans als funktie van p.

De grafiek gaat door de samen overeengekomen punten

en

Zoals we later zullen zien is de grafiek een monotoon dalende lijn en vol-ledig bepaald door de punten P en

Q.

Nu blijken ook n en k vast te liggen. Ook lezen we uit de grafiek af dat de goedkeurkans afneemt als het fouten-percentage toeneemt. M.a.w. de konsument loopt in het algemeen een kleiner

risiko dan het gestelde konsumentenrisiko ~ bij p

=

Pl'

Hoe vinden we n en k?

We moeten voldoen aan de eisen a en b van §2. Deze worden in formule:

a kans goedkeuren .j..

+

P (!.p£ > 11.05 slechte partij

+

p

=

p ) 1

=

~ b kans afkeuren goede partij

=

S

+

+

+

P (x Q, <: 11

I

p

=

PO) S

l ' .05

(3.3)

nit in figuur gebracht:

figuur 4

- - -_ _ _ _ .:... _ _ _ -WJJJ.lWiI lt

p1i

".05

Hierin is Xo het steekproefgemiddelde van een steekproef uit een partij met foutenfraktie PO" Analoog

it"

Het probleem nog eens kort geformuleerd:

Hoe groot moeten, bij gegeven a,Pl en S,PO' de steekproefgrootte n en de coefficient k zijn opdat aan de eisen a en b is voldaan?

Er moet dus gelden:

.?!.l -

~1 > (k - u 1)

In)

P( o/m P(.!;:. > (k - u₁ )itl) (k - u 1 )

m

= u 1 -a

=

a en P(x ~ < ~"05)

-Po

met (3.1) en (3.3)

=

a P(~ - ko < ~o - uoo)

.?!.o -

~o < (k - u O) itl) = a P( o/m met 1. 16 == a P(.!;:. < (k - uO)m) met 1.10

=

B

==

B

=

a

== S kitl == _{u I- a} + u1itl (k - uO)itl

=

Us

=

_{-u 1- B} kitl

=

-u_{1- S} + uOitl •

Dus (3.4)

Hiertuit zijn n en k op te lassen. Dit geeft:

(3.5) (3.6) k

=

u + U U

'0 I-a I-PI 1-13

Enkele opmerkingen:

I. Inderdaad zien we uit de formules (3.5) en (3.6) dat n en k vastliggen

2. Is a

=

a (dus producentenrisiko

=

konsumentenrisiko), dan wordt (3.6)

juist: k

=

(u_l + u

l ) / 2, het gemiddelde van U

o

en ul'

-PO -PI

In het algemeen is keen "gewogen gemiddelde" van U

_o

en ul'

3. Hoe kleiner a.

a,

des te grater u

l-a' ul-a (zie 1.10) en des te grater n.

4.

Dus: wil men kleinere risiko's, dan zal men een grotere steekproef moeten nemen. Bij vaste n, PO' PI geldt: hoe grater a, des te kleiner a en omgekeerd.

De vorm in (3.5) i.h.a. geen natuurlijk getal. Men zal dus afronden.

5.

We zagen dat de goedkeurkans bij een foutenfraktie

P

~s:

p (u >' (k-u I )

Iti) .

- -P

~.rordt nu P groter, dus u

l -P kleiner, dan wordt (k-ul -P )

rn

groter en dus neemt de goedkeurkans af. Deze is dus een monotoon dalende funktie van p.

Enke1e voorbee1den:

1. Zie Vis [6J pag. 819. Daar is cr bekend onderste1d en

a.

=

0,01 _PI 0,08 f3

=

0,05 _Po

=

0,01

Dit geeft:

u_l

=

2,326 u_l 1,405 _{ul_a.}

=

1,645 u

=

2,326

.

-a.

°

Met de formu1es 0.5) en (3.6) vinden we n

=

18 en k

=

1.94 (niet 1.95). De u-waarden zijn te vinden in een tabe1 van de standaardnorma1e ver-de1ing, zie o.a. Owen [4J.

2. Zie Kreijger [2J pag. 108. 1veer ~s cr bekend onderste1d.

Hier is a.

=

f3

=

0,05 Dit geeft: u _I-a.

= u

_1-f3 P

=

0,014

°

PI

=

0,20 . 1,645 U

o

=

2,20 u1

=

0,842 . (3.5) geeft n

3B. Op1ossing to1erantie-interval, cr bekend ondersteld

6 .

We gaan weer uit van

~ ~ N(~,cr2)

met

~

onbekend, cr bekend. De vraag is: geef een (rechtseenzijdig) to1erantie-interval, met betrouwbaarheid P = I - a., voor het 100p-percentielpunt x van de verde1ing van!., oftewe1

p

geef een 1inkerondergrens xp~ voor xp'

De onbetrouwbaarheidsdrempe1 a. a1smede p z~Jn dus gegeven. Ook de

We gebruiken weer de variabele x n

=

X - ko uit (3.2) en zoeken de k

-PH

zodat geldt:

P(x > x )

=

1 - Ci.

P -p~ oftewel

Dit is hetzelfde probleem als "linkerkolom" in 3A. Met 1.19 is dit:

p(_i -

ko > ~ - u _I-p 0)

=

Ci.

p(_i -

~ > (k - u _I-p )0)

=

Ci.

(k - u )

In

= u I-p I-a oftewel (3.7) Dus de ondergrens is (3.8) x

=

x - (u 1 + u1

I

In)a . p~ -P-Ci.

De formule (3.7) is hetzelfde als (3.4), aIleen u

1

=

ul_p 1 1S hier u1 -p Deze k-waarden zijn. als k}, getabelleerd o. a. in ISO [} ] tabel 5. Daar is p onze I - p. Slechts getabelleerd voor Ci.

=

0,05 en 0,01 en p

=

0,10;

0,05 en 0,01.

Met formule (3.7) kan men dus zelf eenvoudig voor elke a,p en n deze k₁

-waarden berekenen. De coefficient u , u vindt men weer in een tabel

I-a I-p

van de normale verdeling.

Is in het bijzonder a

=

p

=

0,05 dan wordt k

=

k}

=

1,645 (1+1

I

In).

Opmerking:

Tot nu toe is er hier geen sprake geweest van producenten- of konsumenten-risiko. Hier is aIleen een tolerantie-interval gegeven en er wordt niets

II gekeurd It • Vis [6J gebruikt dit interval win als keuringscriteriu.TIl en wel

als volgt: keur de partij goed als Xpt > ~.05 (= voorgeschreven ondergrens

bij p = 0,05). Dit betekent, zie figuur 3, dat punt

Q

(O,OS;a) gegeven is.

Het konsumentenrisiko bij PI == 0,05 is a. Het producentenrisiko is nog

niet vastgelegd, daar PO nog te kiezen is. Is Po gekozen dan ligt

a

vast zoals direkt voigt uit (3.4). In § 6 zullen we zien dat bij een dergelijke

keuring de producent er wel eens slecht vanaf kan komen.

4. Oplossing, cr onbekend ondersteld

4A. Oplossing keuringsvoorschrift, cr onbekend ondersteld

De afleiding is volkomen analoog aan die in 3A. Daar cr onbekend is, gebruiken we echter nu x n := x - k~; ~ is een schatter voor de onbekende a, zie (1.5).

-pJV -..

Er moet weer gelden:

P(X t > J..l.OS)

=

a en P(x R, < _{J..l. OS )} -'PI -Po == i3 met (3. I) en (3.3)

P(~I

- ks > _{J..l 1 - u} a) == a; p(x - ks < J..l O - u a) 1 ..:.:.0 0 == i3

P(~I - J..l 1 + ula > k~)

=

a

P(~

- J..l O + uOa < k~) = S

~1 _{- J..l l} + u/n > ksm/a)

.?!o -

~O + uOm < ksm/cr) = i3 P( = a P( o/m

a/m

P(~ +

_a

i > ks .rr;jo) = a P(~ +

°0

< k~m/cr) = i3 waarbij 0 1 := u1

in

en

°0

:= U

o

in

u + 0\ P(- > kin)

s/a

= a

=

s

met 1.12 en 1.16 = a

=

s

Dus

Oftewe1 n en k te vinden uit de relatie

(4. I)

Enkele opmerkingen:

1. Voor n ~ 00, dat wi1 juist zeggen cr bekend, wordt (4.1) met (1.17):

u 1- a + ulln =

Us

+ uoIU oftewel

juist formule (3.4).

2. Daar n een natuurlijk getal is, is (4.1) i.h.a. niet exakt op te lossen

bij gegeven a, PI'S, PO' Op1ossen betekent hier dus: minimaliseren naar n van

I

tn_1 l-a(ol) - t_n_₁ 0(00)1. Reeft men de optimalengevonden

, , f.J

dan kan men bij vaste a,

e,

Po en deze n, (4.1) oplossen voor PJ en zo deze PI nader aanpassen. Dit is uiteraard alleen goed mogelijk via een

4B. Oplossing tolerantie-interval, cr onbekend ondersteld

Het geheel is weer volkomen analoog aan 3B, aIleen nu met ~p!:= x - ks.

. P (x > x n) = I - a

p -p", oftewel p(x -p9- > x ) P = a •

Dit is hetzelfde probleem als de linkerkolom in

4A,

aIleen niet voor

PI'

maar voor willekeurige p.

Analoog krijgen we:

met

o

:= u

l

_-P

vIi.

Dus

(4.2)

De linkerondergrens van het tolerant ie-interval voor x met betrouwbaarheid

P

I - a wordt dus xp9- = x - ks met de k uit (4.2).

Deze k-waarden zijn (als k

2) o.a. getabelleerd in ISO [IJ tabel 7 en Owen [4J pag. 126.

Tabellen van de niet-centrale student-verdeling zijn, vanwege de 3 parameters, in de meeste statistiekboeken niet opgenomen.

V~~r n + 00, dus cr bekend, ontstaat met (1.17):

ul_a + _{u l}

vIi

k

=

-p = U + U /

vIi

In

I-p I-a juist (3.7) •

5. Benadering voor het geva1 dat cr onbekend is

SA. Benaderingen voor n en k in een keuringsvoorschrift, cr onbekend

Daar de verge1ijking (4.1) moei1ijk zonder computer op te lossen ~s,

maakt men vaak gebruik van de vo1gende benadering: (zie Stange [5J pag. 9):

(5. 1 )

Voor de variantie zie (1.16).

Hier zijn ~n feite echter 3 benaderingen toegepast:

1e s is normaa1 verdee1d onderste1d. Doch s

~ cr/!~/v

2e Es = a. Echter Es < cr

3e var s

=

cr2/2n. Ook dit is slechts een benadering.

Onder de aanname dat (5.1) ge1dt, worden de eisen a en b nu:

Dus (5.2) (k - u 1)1n p (~ > ----;=====::J) ;, +k2/2 (k - u

)ru

1

-::==;:::::

= u I-a

II

+ k2/2

P(!o

(k - u

)rn

p (u < _-;::::=O===-)

It

+k2/2 (k - u

)ru

°

zie (1.16) zie (1.16) zie (1.16)

=

s

s

Oftewel

Dit geeft de benaderingen:

k ::

u u + U u

I-PO I-a. I-p I 1-13 u1-a. + u_{l - 13}

(S.3) (S.4) n =

Formule (5.3) is hetzelfde als (3.6).

Noteren we de steekproefgrootte als 0 bekend is met n , als 0 onbekend

o is met ns' dan wordt (5.4) DS :: n o(1+k2/2).

Is bijv. n :: S en k =

12 dan wordt n

=

10.

o s

Een grotere steekproef is de prijs die we moeten betalen voor een onbekende 0.

Voorbeeld:Zie Kreijger [2J pag. 106, 107:

Daar is a. =

e

_{0,05 ;}

_Po

0,01 en PI = 0,20.

(2,326+0,842)/2 = 1,58 (niet 1.59)

(5.4) geeft n = 11

s (en niet 12).

De verschil1en ontstaan door het feit dat nomogrammen minder nauwkeurig werken dan formules. Overigens geeft de exakte formule (4.1) de waarden n = 12 en k = 1,61 maar dan bij een iets gewijzigde PI = 0,196.

SB. Benadering voor k bij een tolerantie-interval, 0 onbekend.

De k uit (4.2) is niet eenvoudig zelf te bepalen zonder tabel als in IS0[IJ. Hoe kunnen we deze echterbenaderen?Evenals 3B en 4B volgt dit uit de

"linkerkolom" van SA, zie (S.2)

Dit geeft de volgende vierkantsvergelijking:

waaruit u 1 + u1

iu

2 1_ / 2n + lin - u 2 1_N

I

2n2 -p -a. -p "" k a ~~---~----~--~---~~---1 - u2 1 -a.

I

2n Noteren we e; := u 1 -a.

I

rzn

dan ontstaat: , 2 2 U +e;/u 1 +2(1-e;) k = __ l-_p~ _______ -~p~ ________ __ 1 - e;2

Voor grote n, is e; klein en kunnen we benaderen:

2

2

(I-e:)

I

u 1_p R$ u1_p 1 + 2 • u I-p Dan wordt (5.5)

Hoe goed zijn echter de benaderingen uit (5.3), (5.4) en (5.5)? Laten we eerst (5.5) bekijken, de benaderde k voor een tolerantie-interval

n k (4.2) of tabe1 7 uit

[lJ

k benaderd met (5.5)

5 4,21 3,74 10 2,91 2,82 15 2,57 2,53 20 2,40 2,38 26 2,27 2,27 40 2, J 3 2,13 • Hier is a

=

P

=

0,05 dus u 1 -a = uJ -p

=

1,645.

We zien dat we voor grote n de benadering goed is, voor kleine n minder.

De benaderingen (5.3) en (5.4) moeten we vergelijken met de exacte op1ossing uit (4.1). Nu is (4.1) aileen goed op te lossen via een computer. Er be-staan thans computerprogramma's van de niet-centra1e Studentverdeling. Het volgende staatje geeft enig inzicht in de nauwkeurigheid van de benaderingen. CI. B

_Po

PI n (4.1) n (5.4) k (4.1) k (5.3) 0,10 0,10 0,01 0,21 7 7 1,62 1,57 0,05 0,05 0,01 0,196 12 11 1,61 1,59 0,05 0,05 0,014 0,203 13 12 1,54 1,52 0,07 0,10 0,01 0,08 25 24 1,85 1,83 0,01 0,01 0,014 0,20 26 25 1,53 1,52 0,05 0,01 0,01 0,08 55 54 1,95 1,94 .

De benadering is rede1ijk goed. Verge1ijken we de rege1s 2 en 3 met e1kaar dan zien we dat een kleine verandering in Po en/of PI een

be-hoor1ijke verandering

in

k tot gevo1g heeft.

6. Uitgewerkt praktijkvoorbeeld

a) To1erantie-interval (rechtseenzijdig)

Vijftien aselekt gekozen voorgespannen beton1iggers zijn volgens een vierpuntsbuigproef tot bezwijken be1ast. De liggers zijn be-zweken tijdens het ge1ijkmatig opvoeren van de be1asting.

De hoogste be1asting die hierbij optrad aangemerkt a1s de

bezwijkbelasting P [KNJ. De steekproef gat de vo1gende resu1taten:

u

90, 77, 82, 85, 82, 96, 76, 71, 83, 80, 72, 71, 72, 64, 73. 2

In het vervolg noteren we P

=

x en stellen dat x ~ N(~,cr ) d.w.z.

u -

-we nemen aan dat de bezwijkbelasting ~ normaal verdeeld met

on-bekend gemiddelde

~

en variantie 02 (eventueel ook onbekend). Er

bestaan toetsen om te kijken of een steekproef uit een norma1e

ver-deling komt. Depraktijkheeft uitgewezen dat inderdaad P rede1ijk

u

normaa1 verdeeld is. Hier gaan we verder op in.

Daar ~ onbekend is, is uiteraard de karakteristieke bezwijkbelasting

(dat is het 5-percentielpunt) van ~ n1. x.OS

=

~

-

],6450 ook

onbe-kend. We willen nu een 99% rechtseenzijdig tolerantie-interva1 voor

x.os m.a.w. we zoeken een ondergrens x.05~ zodat we kunnen zeggen: x.OS > x.OS~ met een betrouwbaarheid van P

=

I - ~

=

0,99.

Uit de steekproef berekenen we x "" Ex. / 15

=

~

s = /

I

(x. -

x)

2 / 14 = 8,3 •

~

78,3 en

De k vinden we uit (4.2) met n

=

15; P

=

0,05; u

1_p

=

1,645; a

=

0,01. Deze is getabelleerd in ISO [IJ tabel 7.

Ook kunnen we k benaderen met (5.5). Zo vinden we :

x.05~

=

78,3 - 3,10

*

8,3

=

52,6 met ISO [IJ

en

x.05t

=

78,3 - 3,12

*

8,3

=

52,4 met(5.5).

Dus

x.05 > 52,6 met

P

=

0,99

of in woorden: met een betrouwbaarheid van 99% kan ik zeggen dat het 5

percentielpunt van ~ boven 52,6 ligt, oftewe1 hoogstens 5% van de partij

heeft een bezwijkbelasting lager dan 52,6.

Hadden we een kleinere betrouwbaarheid van P

=

0,95

=

1 - a, dUB a "" 0,05 dan vinden we

x.05~

=

78,3 - 2,57

*

8,3

=

57,0 oftewel

X.05 > 57,0 met P

=

0,95 •

Was cr bekend ondersteld (bijv. ook cr = 8,3) dan volgt k snel uit (3.7).

Stel weer a

=

0,05 dus u

1 -a

=

1,645 geeft k

=

1,645 (1+1/115)

=

2,07 en dUB

X.05t

=

78,3 - 2,07

*

8,3

=

61,1 oftewel

b) Tolerantie-interval a1s keuringsvoorschrift

Kan men het to1erantie-interva1 gevonden onder a ook gebruiken als

keuringsvoorschrift: keur de partij goed als x._OSt > 1l.05' keur anders af?

Hierin is 1l.05 de voorgeschreven karakteristieke bezwijkbelasting. Ook al is het niet gebruikelijk, man kan het zo doen zoals o.a. gebeurt in Vis [6J •

Maar hoe zit het dan met het konsumenten- en producentenrisiko?

Door a en PI

=

0,05 is het punt Q(PI,a) van de keuringskarakteristiek

vastge1egd met PI

=

0,05 en a

=

0,01. Het konsumentenrisiko is dus a

=

0,01 bij PI

=

0,05.

Uit (4.1) volgt dat Po en S nog vrij te kiezen zijn, maar dat S vast-ligt zodra Po gekozen is. Beschouwen we weer het geval (J bekend (=8,3)

en P

=

0,99. Dus a

=

0,01; u

1 ~

=

2,326; PI

=

0,05; u1 ~1

=

1,645; n= 15. Uit (3.4) vinden we k

=

1,645 + 2,326/115

=

2,25 (zie ook ISO tabel 5) en x.05t -78,3 - 2,25

*

8,3

=

59,6. Dus we keuren af als 59,6 < 1l.05' Stel1en we nu Po

=

0,01, hoe groot is dan het producentenrisiko S ? Dit vinden we direkt uit (3.4) nl. k = 2,25

=

2,326 - u1-SI

11.5.

Dus u 1- S

=

0,29 en

e

=

39%.

Dit betekent dat een partij met slechts 1% fouten, een afkeurkans heeft

van 39%, hetgeen onaanvaardbaar is.

Hieruit blijkt duidelijk dat bij dit keuringsvoorschrift geen rekening is gehouden met de producent, aIleen met de konsument!

De opmerking m Vis [6J page 819 onderaan: "de hier geschetste proce-dure voor de keuring van een partij betonstaal zal over het algemeen

in de praktijk weinig moeilijkheden opleveren, ondanks het feit dat

het producentenrisiko niet expliciet is vastgelegdlt

De daar gehanteerde k

=

2,57 is te hoog (ongunstig voor de producent

zie § 2). Bij een linkseenzijdig interval is de producent bevoordee1d!

c) Keuringsvoorschrift

Hoe had de keuring dan weI moeten geschieden?

A1vorens de steekproef te kunnen nemen, moet men de steekproefgrootte n weten. En deze voIgt juist uit de samen overeengekomen a,

e, Po

en

Pl'

Stelweer bv. cr bekend (=8,3) en a =

e =

0,01; Po

=

0,01 en PI

=

0,05. Dan vinden we met (3.5) en (3.6) n = 47 en k = 2,25 (uiteraard). Dus een veel grotere steekproef! Houden we vast aan n

=

15, a ,. (3

=

0,01

en

Po

= 0,014 dangeeft (3.4) k=2,2-2,326/ils = 1,60" u

l + 2,326/1fS

dus u_l ,. 1; PI = 16%. En x

pi ,. 78,3 - 1,6 x 8,3 ,. 65,0.

Uiteraard kunnen we nu ook een to1erantie-interval geven voor PI nl. x.₁₆ > 65,0 met P = 0,99.

Tot slot een overzicht:

..

_---_

..

-grootheid bekend zelf vast ,te gezocht formule

leggen XpQ,

_a

Po

n k n k cr _n (l PI

-tolerantie- x - kcr x x x x

.

.

.

x

.

(3.7) of I80[IJ

-interval x - ks

.

x x x

. .

.

x

.

(5.5) of 180[IJ

-keurings- x - kcr x

.

x x x x x x (3.5) (3.4)

-voorschrift x - ks

.

.

x x x x x x

(5.4)

(5.3 )

rechtseenzijdig tol. interval: xp >.x met P = 1 - (l of in woorden:

Pi

hoogstens 100p% ligt onder de grens x

pi met een betrouwbaarheid van 1 - (l.

keuringsvoorschrift: goedkeuren als x_pt > ~.05 (= voorgeschreven karakt.

Literatuur:

[IJ ISO 3207. International Standard 1975.

[2J Kreijger, P.C., Controle druksterkte van beton volgens ontwerp VB 1972, Cement XXIII, 1971, nr. 3.

[3J NEN 3861. Voorschriften beton VB 1974.

[4J Owen, P.B., Handbook of Statistical tables, Addison Wesley.

[5J Stange, K. Universiteit van Ber1ijn. Stichproben-p1ane fur messende Prufung. Aufste11ung und Handhabung mit Hilfe des doppelten Wahrschein1ichkeitsnetzes.