Ontwerpnotitie Educatief Ontwerpen
De effecten van het leren werken met een heuristiek bij het
leren oplossen van rekenkundige problemen over
markstructuren bij lessen Economie
Auteur: Jeroen Vis
Studentnummer: 9928804
Opleiding: Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam ILO Vakopleiding: Economie
ILO Vak: Educatief Ontwerpen
Vakcoördinator: Jannet van Drie Vakdidacticus: Wim van Kleef Stageschool: Veenlanden College Werkplekbegeleider: Lydia Mulder
Datum: 7 mei 2019
Bibliografische referentie: Vis, J. (2019). De effecten van het leren werken met een heuristiek bij het leren oplossen van rekenkundige problemen over
marktstructuren bij lessen Economie. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA.
Inhoudsopgave
Samenvatting ... 3 1. Inleiding ... 4 2. Probleembeschrijving en probleemanalyse ... 5 2.1 Probleemomschrijving... 5 2.2 Probleemanalyse... 82.2.1 Het probleem van ontastbare, abstracte begrippen ... 9
2.2.2 Het probleem bij het werken met grafieken ... 10
2.2.3 Het probleem van het toepassen van kennis bij rekenkundige opgaves ... 10
2.3 Keuze voor probleem ... 11
3. Theoretische en empirische verkenning ... 12
3.1 Theoretische verkenning ... 12
3.1.1 Wat betekent het systematisch oplossen van een rekenkundig probleem? ... 12
3.1.2 Welke kennis en vaardigheden hebben leerlingen nodig bij het oplossen van een economisch rekenkundig probleem? ... 13
3.1.3 Hoe leren leerlingen procesmatig problemen oplossen? ... 13
3.1.4 Wat is bekend over de moeilijkheid van het leren van een systematische probleemaanpak? ... 15
3.1.5 Hoe ziet een effectieve probleemaanpak bij economische rekenkundige problemen eruit? ... 17
3.1.6 Wat wordt bij het doceren van een effectieve probleemaanpak bij rekenkundige problemen van een docent verwacht? ... 19
3.1.6 Wat wordt bij het leren werken met een effectieve probleemaanpak bij rekenkundige problemen van leerlingen verwacht? ... 19
3.1.7 Conclusie Literatuurverkenning ... 19
3.2 Empirische verkenning ... 20
3.2.1 Doelstellingen empirische verkenning ... 20
3.2.2 Toelichting keuze inhoudsanalyse ... 20
3.2.3 Resultaten, conclusies empirische verkenning ... 20
4. Ontwerphypothese en Ontwerpregels ... 24
4.1 Ontwerphypothese ... 24
4.2 Ontwerpregels ... 24
5. Onderzoeksplan voor de twee effectmetingen... 26
5.1 Onderzoeksontwerp... 26
5.2 Onderzoeksinstrumenten ... 26
5.3 Onderzoeksgroep ... 28
5.4 Procedure ... 28
5.5 Validiteit en betrouwbaarheid van de ontworpen lessen ... 28
6. Beschrijving en onderbouwing van het ontwerp ... 30
6.1 Opzet lessenserie ... 30
6.2 Onderbouwing lessenserie ... 31
6.2.1 Aansluiting van lessen met Economie VWO Eindtermen ... 31
6.2.1 Aansluiting van lessen met ontwerpregels ... 31
Literatuur ... 34
Bijlage 1: Vragenlijst voor empirische verkenning van het probleem ... 36
Bijlage 2 Schoolexamen markstructuren schoolexamen klas 5-VWO (A5econ3) Veenlanden College 41 Bijlage 3 Antwoorden Schoolexamen markstructuren schoolexamen klas 5-VWO (A5econ3) Veenlanden College ... 51
Bijlage 4 Inhoudsanalyse Schoolexamen markstructuren schoolexamen klas 5-VWO (A5econ3) Veenlanden College ... 54
Bijlage 5 MDA (Model Didactische Analyse) lesplannen ... 55
Bijlage 6 Lesmateriaal ondersteunende Powerpoint sheets ... 62
Bijlage 7 Lesmateriaal opgave voor les 2 en 3 ... 63
Bijlage 8 Lesmateriaal uitgewerkte opgave voor les 2 en 3 ... 64
Bijlage 9 Lesmateriaal opgave voor les 4 ... 68
Bijlage 10 Lesmateriaal uitgewerkte opgave voor les 4 ... 69
Bijlage 11 Docentenhandleiding lessen ... 71
Samenvatting
Voor u ligt het verslag van mijn educatief ontwerp voor het vak Economie. Voor dit onderzoek heb ik gekozen voor de variant effectonderzoek. Mijn effectonderzoek is gebaseerd op de volgende
onderzoekshypothese:
Als ik het probleem van de gebrekkige wijze waarop leerlingen leren systematisch problemen op te lossen en de daarmee gepaard gaande lage scores op rekenkundige probleemvraagstukken over marktstructuren aanpak door een rekenkundig probleem over markstructuren aan de hand van een heuristiek hardop denkend voor de klas voor te doen, waarbij de klas de voorgedane heuristiek actief en met de juiste begeleiding van de docent verwerkt, evalueert en oefent, dan zal dit ertoe leiden dat leerlingen, in vergelijking met een parallelklas, beter scoren bij het oplossen van examenopgaves met rekenkundige probleemvraagstukken over markstructuren en hier ook een meer systematische wijze van werken bij gebruiken.
Om deze onderzoekshypothese te kunnen bevestigen heb ik voor een 5-VWO klas van het
Veenlanden College uit Mijdrecht een lessenserie van 4 lessen ontwikkeld over het leren werken met een heuristiek bij rekenkundige problemen over markstructuren. De ontworpen lessenserie bevat een aanpak gebaseerd op didactische en vakdidactische literatuur over hoe leerlingen de vaardigheid van het oplossen van rekenkundige economische problemen kunnen leren en voldoen aan de
volgende door mij opgestelde ontwerpregels:
1. Bij aanvang van de lessen zorgt de docent voor betekenis door in te gaan op het nut van een systematische probleemaanpak bij rekenkundige economische. Dit zorgt bij leerlingen voor de benodigde motivatie om actief leergedrag te vertonen.
2. In de lessen doet de docent de oplossing van een rekenkundig probleem systematisch en hardop denkend voor aan de hand van de heuristiek van Vernooij. Dit zorgt ervoor dat leerlingen zich een beeld kunnen vormen van hoe een probleem kan worden opgelost en welke stappen hierbij aan de orde komen.
3. De docent laat leerlingen actief het voordoen van de docent verwerken en evalueren door de leerlingen aantekeningen tijdens het voordoen te laten maken en de procesmatige aanpak daarna door de leerlingen te laten schematiseren. Dit zorgt ervoor dat leerlingen aandacht hebben voor het te leren proces en het te leren proces beter interpreteren, bewerken en opslaan in het geheugen door koppelingen te maken met aanwezige voorkennis.
4. De docent laat leerlingen nieuwe rekenkundige probleemsituaties oplossen en hun aanpak verfijnen en let bij het oefenen en verfijnen van de probleemoplossingsaanpak op het geven van de juiste ruimte en feedback. Het vele oefenen zorgt ervoor dat de aanpak eigen wordt gemaakt door het proces beter op te slaan in het geheugen en het dus makkelijker te reproduceren is. Het geven van de juiste ruimte en de juiste feedback zorgt ervoor dat de leerlingen enerzijds de vaardigheid van probleemoplossen naar eigen inzicht kunnen verfijnen en anderzijds wordt voorkomen dat fouten in het probleemoplossingsproces de kans krijgen om te worden ingeslepen.
In dit verslag is de opzet van mijn ontwerplessen beschreven als ook de opzet van de effectmetingen. De effectmetingen zullen bestaan uit twee metingen waarbij de eerste meting is gericht op
leerresultaat en de tweede meting is gericht op leergedrag. De effectmeting van leerresultaat dient uitgevoerd te worden aan de hand van het meetinstrument inhoudsanalyse en heeft een quasi-experimenteel design met een voor- en een nameting. De effectmeting van leergedrag dient uitgevoerd te worden aan de hand van een hardop denken analyse en heeft een pre-test post-test design met een voor- en nameting. Alle voor- en nameting zullen bestaan uit examenopgaves met rekenkundige economische probleemvraagstukken.
1. Inleiding
Deze ontwerpnotitie is opgesteld naar aanleiding van een deelopdracht voor het vak Educatief Ontwerpen van de interfacultaire lerarenopleiding aan de Universiteit van Amsterdam. Ik volg dit vak als onderdeel van mijn eerstegraads lerarenopleiding Economie. Dit verslag bestaat uit een
beschrijving en analyse van mijn educatief ontwerpvraagstuk, een onderzoeksplan en een uitwerking van het lesmateriaal.
Omdat ik al eerder voor mijn eerstegraads lerarenopleiding Bedrijfseconomie een ontwerponderzoek heb gedaan, zal ik de ontwerpen lessen niet hoeven uitvoeren en evalueren. Dit betekent dat deze ontwerpnotitie tevens de eindopdracht omvat voor het vak educatief ontwerpen.
De ontwerponderzoek variant waar ik voor gekozen heb, betreft effectonderzoek. Met mijn
ontwerponderzoek kan via twee verschillende metingen ingezoomd worden op de effecten van het leren werken met een heuristiek bij het oplossen van rekenkundige problemen. De verwachte effecten zijn betere resultaten van VWO-leerlingen op examenvragen over marktstructuren met rekenkundige probleemvraagstukken en een meer systematische aanpak van VWO-leerlingen bij het oplossen van deze examenvragen over markstructuren met rekenkundige probleemvraagstukken.
In hoofdstuk 2 van deze ontwerpnotitie beschrijf ik het probleem. Hoofdstuk 3 omvat de
theoretische en empirische verkenning van het probleem. Hoofdstuk 4 geeft een beschrijving van de onderzoekshypothese en de ontwerpregels. In hoofdstuk 5 ga ik in op mijn onderzoeksplan voor de twee effectmetingen. Hoofdstuk 6 geeft een overzicht van het lesmateriaal.
2. Probleembeschrijving en probleemanalyse
2.1 Probleemomschrijving
Na het halen van mijn eerstegraads bevoegdheid Bedrijfseconomie, ben ik per 1 februari jongstleden begonnen met mijn eerstegraads lerarenopleiding Economie. Omdat ik pas 1 maart kon starten op mijn praktijkschool het Veenlanden College in Mijdrecht, was er voor het vak Educatief Ontwerp enige haast om snel tot een bruikbaar didactisch probleem te komen voor dit ontwerponderzoek. Het onderwerp wat ik tijdens mijn eerste lessen bij 5-VWO moest gaan onderwijzen was
markstructuren, marktevenwicht en welvaart. Mijn voorganger op het Veenlanden College gaf in een overdrachtsgesprek aan dat de klas veel moeite met dit onderwerp had en dat hij als beginnend docent het ook moeilijk vond om de lesstof goed aan de leerlingen uit te leggen. Mijn
werkplekbegeleider en de enige overgebleven VWO-bovenbouw Economie docent op het
Veenlanden College gaf zelfs aan dat het onderwerp marktstructuren (deze term zal ik om praktische redenen in de rest van het verslag gebruiken als afkorting voor het onderwerp marktstructuren, prijsvorming en welvaart) één van de lastigste onderwerpen uit het VWO-examenprogramma is. In een verdiepend gesprek hierover noemde zij de volgende redenen waarom VWO-leerlingen het onderwerp marktstructuren als moeilijk ervaren:
• Het onderwerp is vrij abstract en staat verder weg van hun belevingswereld dan andere economische onderwerpen. Veel leerlingen hebben moeite met het kunnen koppelen van een bedrijf uit de praktijk aan de juiste marktvorm.
• Er komen tijdens het behandelen van het onderwerp veel afkortingen voor die staan voor ontastbare, abstracte begrippen.
• De koppeling van grafieken aan de juiste marktvorm vindt de gemiddelde leerling lastig. • Leerlingen krijgen bij opgaves te maken met grafische assenstelsels waarin diverse lijnen
lopen. De logica waarom bepaalde lijnen zo lopen ontbreekt echter bij veel leerlingen, waardoor het voor leerlingen lastig is hun kennis in nieuwe situaties toe te passen. • Er wordt bij dit onderwerp een beroep gedaan op een combinatie van kennis en
vaardigheden die via diverse stappen dienen te worden toegepast om tot het juiste
antwoord te komen. Deze combinatie maakt het voor leerlingen lastig om opgaves correct te beantwoorden.
Een kort onderzoek via cito.nl naar de beschikbare cito scores op het onderdeel marktstructuren over de Economie examenjaren in de periode 2016 – 2018 laat zien dat VWO-leerlingen op zeven van de negen opgaves die gaan over markstructuren lager scoren ten opzichte van de gemiddelde score op Economie examenvragen in een bepaald jaar. In het examen van 2018 (1e tijdvak) valt ook op dat
de opgave met de slechtste score een opgave was over marktstructuren (opgave 4). Voor deze vraag werd een beroep gedaan op begripskennis van variabele kosten, het kunnen gebruiken van
informatie uit grafieken en het kunnen toepassen van deze kennis en vaardigheden om een rekenkundig probleem op te lossen.
Dit kleine cijfermatige onderzoek (scores van opgaves over marktvormen van andere examens uit de periode van 2016-2018 waren helaas niet beschikbaar via Cito.nl) lijkt de hypothese te bevestigen dat het onderwerp marktstructuren één van de moeilijkere Economie examenonderdelen vormt. Ook lijkt de landelijke score van opgave 4 van het Examen 2018 1e tijdvak de opvatting van mijn
werkplekbegeleider te ondersteunen dat leerlingen relatief veel moeite hebben met opgaves over markstructuren waarin een combinatie van kennis en vaardigheden in een nieuwe situatie moet worden toegepast.
Opgave
nummer Bevraagde Examen 2018 (1
e
tijdvak) P-waarde opgave (gemiddelde score/ max. score per opgave *100)
Verschil t.o.v. gemiddelde P-waarde (61,01) van alle examenvragen 2018
Opgave 1 Bepalen totaal surplus 44 -17,01
Opgave 2 Bepalen welvaartsverlies 50 -11,01
Opgave 3 Berekenen prijs en hoeveelheid
bij importverbod 64 3,01
Opgave 4 Berekenen variabele kosten 12 -49,01
Opgave 5 Verklaren daling GTK 63 2,01
Opgave 6 Verklaren relatie
protectionisme en productie efficiënte
50 -11,01
Tabel 1: P-waarde opgaves marktstructuren versus gemiddelde p-waarde opgaves Economie VWO examen 2018
Opgave
nummer Bevraagde Examen 2016 (1
e
tijdvak) P-waarde opgave (gemiddelde score/ max. score per opgave *100)
Verschil t.o.v. gemiddelde P-waarde (64,56) van alle examenvragen 2018 Opgave 7 Berekenen consumentensurplus
bij maximumprijs
59 -6,56
Opgave 8 Berekenen winstdaling 64 -0,56
Opgave 22 Bereken winstmaximalisatie bij
prijsdiscriminatie 60 -4,56
Tabel 2: P-waarde opgaves marktstructuren versus gemiddelde p-waarde opgaves Economie VWO examen 2016
Om bij de twee 5-VWO klassen van het Veenlanden College te achterhalen met welke specifieke elementen van het onderwerp markstructuren leerlingen de meeste moeite hebben heb ik een vragenlijst gemaakt over het onderwerp markstructuren en deze aan vier 5-VWO leerlingen
voorgelegd. Van deze vier leerlingen komen twee leerlingen uit mijn eigen klas en twee leerlingen uit de klas van mijn werkplekbegeleider. Het doel van de vragenlijst is bij de twee 5-VWO klassen via een objectieve en gekwantificeerde manier te achterhalen wat na behandeling van de lesstof nog steeds als moeilijk wordt ervaren. De vragen zijn bijgevoegd in bijlage 1. Bij het opstellen van de vragen heb ik getracht een representatieve lijst van vragen over het onderwerp markstructuren op te stellen waarin de door mijn werkplekbegeleider genoemde moeilijkheden in ieder geval terugkomen. Daarnaast heb ik getracht in de vragenlijst een mix van begripsvragen, verklaringsvragen,
inzichtvragen, rekenkundige en toepassingsvragen terug te laten komen. Om de vragenlijst niet te lang te maken, heb ik vragen met relatief veel informatiebronnen vermeden. De resultaten staan weergegeven in tabel 3.
Tabel 3: Fout score per vraag en kennisniveau van vier 5 VWO-leerlingen over onderwerp markstructuren.
Het bevragen van 4 leerlingen geeft mij twee inzichten. Allereerst komt ik te weten of het onderwerp markstructuren ook door de 5-VWO leerlingen op het Veenlanden college als moeilijk wordt ervaren. En daarnaast vertellen de antwoorden op de vragen mij met welke elementen van het onderwerp markstructuren leerlingen de meeste moeite hebben.
Uit de antwoorden van de vragenlijst blijkt dat drie van de vier leerlingen het onderdeel
markstructuren inderdaad als iets moelijker hebben ervaren in vergelijking met andere Economie examenonderdelen. Eén leerling heeft hierin een neutrale mening. Daarnaast blijkt uit de
antwoorden dat vier vragen door alle vier leerlingen en één vraag door drie van de vier leerlingen fout beantwoord zijn. Dit betreft de volgende onderdelen:
Vraag Leerdoel Vereiste kennis Leerling 1 (eigen klas) Leerling 2 (eigen klas) Leerling 3 (klas collega) Leerling 4 (klas collga) Fout %
1 Perceptie moeijlijkheidgraag i.v.m. andere economische examenonderwerpen N.v.t. Iets moelijker Iets moelijker Iets moeilijker Neutraal N.v.t. 2 Kunnen benoemen van kenmerkende verschillen en overeenkomsten van verschillende marktvormen Begrip van concepten Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 100% 3 Kunnen benoemen van voorbeelden van markstructuren Begrip van concepten Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 100% 4 Kunnen beschrijven van begrip MK Begrip van concepten Geen Beheersing Beheersing Beheersing Beheersing 25% 5 Kunnen uitleggen van vergelijking MK=MO bij maximale winst Begrip van concepten Beheersing Beheersing Beheersing Geen Beheersing 25% 6 Kunnen uitleggen van vergelijking winst=TO-TK Begrip van concepten Beheersing Beheersing Beheersing Beheersing 0% 7 Kunnen uitleggen waarom de MO-lijn bij volkomen concurrentie horizontaal loopt Begrip van concepten Beheersing Beheersing Beheersing Geen Beheersing 25% Begrip van concepten Geen Beheersing Beheersing Beheersing Geen Beheersing 50% Grafiek vaardigheden Geen Beheersing Beheersing Beheersing Geen Beheersing 50% Begrip van concepten Beheersing Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 50% Grafiek vaardigheden Beheersing Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 50% Begrip van concepten Beheersing Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 50% Grafiek vaardigheden Beheersing Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 50% 11 Kunnen uitleggen waarom bij maximale omzet geldt MO=0 Begrip van concepten Beheersing Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 50% Grafiek vaardigheden Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 100% Begrip van concepten Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 100% 13 Het verband kunnen aangeven tussen surplus en welvaart Begrip van concepten Beheersing Beheersing Beheersing Beheersing 0%
Begrip van concepten Beheersing Geen Beheersing Beheersing Geen Beheersing 50% Begrip van concepten Beheersing Geen Beheersing Beheersing Geen Beheersing 50% Begrip van concepten Geen Beheersing Geen Beheersing Beheersing Geen Beheersing 75% Grafiek vaardigheden Geen Beheersing Geen Beheersing Beheersing Geen Beheersing 75% Begrip van concepten Beheersing Beheersing Beheersing Beheersing 0% Grafiek vaardigheden Beheersing Beheersing Beheersing Beheersing 0% 17 Kunnen differentiëren van een 2e graads kosten functie Wiskundige vaardigheden Beheersing Beheersing Beheersing Beheersing 0% 18 Uit een kostenfunctie de constante kosten kunnen afleiden. Begrip van concepten Beheersing Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 50%
Kennis van
probleemoplossings-strategieën Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 100% Begrip van concepten Beheersing Beheersing Beheersing Geen Beheersing 25% Weten wanneer welke kennis toe
te passen Beheersing Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 25% Planning van het oplosproces Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing Geen Beheersing 100% Wiskundige vaardigheden Beheersing Beheersing Beheersing Beheersing 0% 12 In een grafiek met vraag-, MO-, MK- en GTK-lijnen het consumenten en producentensurplus kunnen aangeven van
een monopolist bij maximale winst.
19 Vanuit een gegeven kostenfunctie en prijsafzetfunctie de winst kunnen berekenen aan de hand van een stappenplan 15
Aan de hand van een grafiek met een GTK- en een GO-lijn kunnen uitleggen dat bij een prijs die ligt op het snijpunt van deze 2 lijnen geen winst kan worden gemaakt.
14 Aan de hand van een grafiek met een constante MK-lijn, de variabele kosten kunnen lezen
16
Aan de hand van een grafiek met een evenwichtspijs op het snijpunt van GTK lijn en de GO -ijn kunnen toelichten welke markvorm aannemelijk is.
9
Aan de hand van een oppervlakte in een grafiek met GO-, MK-, MO- en GTK-lijnen kunnen uitleggen waarom een bepaalde oppervlakte staat voor de winst
8
Aan de hand van een grafiek met vraag-, ML-, MO- en GTK-lijnen kunnen uitleggen waarom een monopolist een bepaalde prijs en hoeveelheid kiest
• Foutloos kunnen benoemen van kenmerkende verschillen en overeenkomsten van markvormen.
• Foutloos kunnen benoemen van voorbeelden van markstructuren.
• Het kunnen arceren van een consumenten- en producentensurplus in een grafiek met vraag-, MO-, MK- en GTK-lijnen
• Het kunnen verklaren waarom bij een gegeven grafiek met een GTK- en een GO-lijn en een evenwichtsprijs die ligt op het snijpunt van deze 2 lijnen er geen winst kan worden gemaakt. • Het kunnen berekenen van de winst van een monopolist vanuit een gegeven kostenfunctie
en prijsafzetfunctie.
Wat bij het nakijken en bespreken van de antwoorden met de leerlingen opviel was dat een aantal vragen die gingen over kennis van bepaalde begrippen of waar grafiekvaardigheden voor nodig waren goed (alle vier leerlingen deden dit goed) tot vrij goed (drie van de vier leerlingen deden dit goed) gemaakt zijn, maar tegelijkertijd behoorden een aantal begripsvragen en vragen waarin grafiekvaardigheden centraal stonden ook tot de meest slecht gemaakte vragen. Daarnaast viel op dat bij het kunnen berekenen van de winst van een monopolist vanuit een gegeven kostenfunctie en prijsafzetfunctie er bij drie van de vier leerlingen voldoende kennis aanwezig was van de begrippen monopolist, maximale winst, prijsafzetfunctie en kostenfunctie om de opgave op te lossen. Dit vormde dus voor hen niet de moeilijkheid in deze opgave. Net zomin was de kennis over wanneer welke kennis toe te passen een probleem. Drie van de vier leerlingen konden maximale winst namelijk aan de vergelijking MK=MO koppelen. De wiskundige vaardigheid van het differentiëren was zelfs voor alle vier leerlingen geen probleem. Waar het bij alle vier leerlingen wel fout ging was hun kennis over welke stappen ondernomen moesten worden om dit probleem op te lossen en in welke volgorde de stappen ondernomen moesten worden.
In de probleemanalyse zal ik me verder concentreren op de problematiek die speelt rond de kernelementen van de in deze vragenlijst slecht gemaakte vragen en de slecht gemaakte opgave 4 van het centraal examen 2018.
2.2 Probleemanalyse
In mijn probleembeschrijving komen diverse problemen rondom het leren van marktstructuren aan de orde. De meeste zichtbare problemen uit de probleembeschrijving zijn:
1. Het onderwerp markstructuren bevat veel ontastbare, abstracte begrippen, die ver weg staan van de belevingswereld van leerlingen. Leerlingen hebben bijvoorbeeld moeite om van elke markvorm een concreet praktijkvoorbeeld te noemen.
2. Leerlingen hebben moeite om de theorie te koppelen aan de grafieken of de grafieken te koppelen aan de theorie. Dit probleem kwam tot uiting bij het grafisch bepalen van het consumenten- en producenten surplus en het duiden waarom in een bepaald punt geen winst wordt gemaakt.
3. Leerlingen hebben moeite om kennis in situaties toe te passen om rekenkundige
probleemvraagstukken op de juiste manier op te lossen. Bijvoorbeeld bij het berekenen van de winst van een monopolist bij een gegeven kosten- en vraagfunctie dienen een aantal stappen doorlopen te worden, maar leerlingen lopen hierbij vast. Ook geldt dat bij de rekenkundige examenopgave (2018 1e tijdvak) over variabele kosten naast begripskennis, wiskundige vaardigheden en het kunnen lezen van een grafiek bepaalde stappen in een bepaalde volgorde doorlopen dienen te worden om een probleemvraagstuk op te lossen. Vanwege de lage landelijke score op deze vraag is het aannemelijk dat veel leerlingen bij het bepalen en plannen van deze stappen zijn vastgelopen.
Maar wat zijn nu echt de onderliggende oorzaken van deze 3 beschreven problemen. In de volgende 3 paragrafen zal ik vanuit de literatuur per probleem de oorzaak van het probleem proberen te duiden.
2.2.1 Het probleem van ontastbare, abstracte begrippen
Leerlingen worden op school geconfronteerd met verschillende soorten taal. Als gekeken wordt naar de woorden, formuleringen en begrippen die in lessen worden gebruikt onderscheiden Kneppers en Van Laarhoven (2010) drie soorten taal:
1. Dagelijkse taal. Dagelijkse taal wordt gebruikt in dagelijkse situaties zoals gebeurtenissen op school, op het werk, in de buurt of op straat. Het zijn zaken waarbij een concrete situatie, voorstelbaar of ervaarbaar, aan de orde komt. Er is veel contextuele steun.
2. Schooltaal. Dit zijn woorden die specifiek zijn voor schoolmethodes en bij klasseninteractie veel gebruikt worden, zoals abstracte begrippen, instructiewoorden, woorden die een relatie uitdrukken en figuurlijk taalgebruik.
3. Vaktaal. Dit omvat vakjargon, dus vakspecifieke begrippen en formuleringen. Hier gaat het om begrippen die vaak los staan van de context. Er is sprake van gedecontextualiseerd taalgebruik (Hajer & Meestringa, 2009). Het is helemaal lastig voor leerlingen als een vakbegrip ook in de thuistaal wordt gebruikt maar daar een andere of uitgebreidere, of juist een beperktere betekenis heeft.
Volgens Kneppers en Van Laarhoven liggen de problemen van leerlingen zowel op het gebied van de schoolse taal als van de vaktaal. Kneppers (2007) geeft in haar proefschrift over concept en
contextbenadering in het Economieonderwijs aan dat de teksten in de Economie lesmethoden van de bovenbouw worden gekenmerkt door een grote begrippendichtheid. Van de begrippen wordt meestal een definitie gegeven en als er een berekening van toepassing is wordt een voorbeeld gegeven. Soms zijn deze begrippen eenvoudig uit te leggen en eenduidig, maar de meeste
vakbegrippen uit de Economie zijn complex. Dat wil zeggen dat het begrip niet te bevatten is zonder het te relateren aan een veelvoud andere begrippen. Kneppers spreekt dan van een concept. Concepten zijn een deel van de kennis die leerlingen dienen te beheersen om in staat te zijn in situaties kennis te gebruiken (Kneppers, 2015). De veelvoud aan begrippen en het gebrek aan context in lesmethodes maakt het voor leerlingen echter lastig deze concepten te begrijpen. Kijkend naar alleen de vaktaal rondom het Economieonderwerp markstructuren in de lesbrief Markt en Overheid van uitgeverij Malmberg dan tel ik in de begrippenlijst in totaal 57 samenhangende begrippen, waarvan ik inschat dat gemiddeld z’n 5-10 begrippen al bekend zijn doordat deze ook buiten de lessen Economie gebruikt worden. Dan blijven er z’n 47-52 nieuwe begrippen over. Dit lijkt inderdaad op een hoog aantal. In de lesmethode worden wel regelmatig context stukken geplaatst die een koppeling maken tussen de theorie en praktijk. De vraag is echter of dit voldoende is. Naast de veelvoud aan vaktechnische abstracte begrippen speelt er nog een oorzaak waardoor de begrippen rondom marktstructuren ver weg staan van de belevingswereld van de leerlingen. Vernooij schreef in 1980 al dat veel leerlingen bij het vak Economie worstelen met opgaves waarin wiskundige vereenvoudigingen dienen te worden toegepast die niets te maken hebben met inzicht in de economische werkelijkheid. De wiskunde zou de econoom ten dienste moeten staan, maar volgens Vernooij is het omgekeerde het geval. De wiskundige vereenvoudigingen staan te ver weg van de praktijk en maken de lesstof juist gecompliceerder. Marasova, Vallusova en Duracka (2014) gaan ook in op de abstractie van het vak Economie en dan het in het bijzonder van de micro-economische onderdelen waartoe het onderdeel markstructuren ook toebehoort. Zij geven aan dat veel studenten op universiteiten ontevreden zijn over het vak Economie omdat het onder andere te abstract is en te ver weg staat van de praktijk. Volgens Marasova et al. komt dat doordat docenten te weinig ingaan op de praktische relevantie van micro-economie voor studenten. In lijn met Vernooij
geven Marasova et al. aan dat Economie te complex is om te worden samengevat in abstracte, wiskundige modellen. Naast de abstracte wiskundige kant van Economie heeft het vak Economie ook een sterke sociale dimensie. Deze sociale dimensie staat voor studenten veel dichter bij alledaagse gebeurtenissen van studenten. Docenten Economie zouden volgens Marasova et al. meer moeten doen om het vak Economie te koppelen aan de praktijk door alternatieve niet-wiskundige
theoretische aanpakken te integreren in het vak en zodoende het abstractieniveau van het vak terug te brengen.
2.2.2 Het probleem bij het werken met grafieken
Cohn en Cohn (1994) heeft naar aanleiding van een experiment aangetoond dat Economie studenten bij opgaves weinig accuraat met grafieken werken en bij het tekenen van grafieken onnauwkeurige grafieken maken. Daarnaast ondervonden Cohn en Cohn dat studenten die wel nauwkeurig werken ook betere leerresultaten halen en dat leerlingen die onnauwkeurige grafieken maken baat hebben bij door docenten aangeleverde grafieken. Bij het analyseren waarom studenten zo slecht presteren bij opgaves met grafieken ondervond Cohn (1995) dat bij het behandelen van grafieken leerlingen weinig actief leergedrag vertonen en zich beperken tot het kopiëren van de door de docent
gemaakte grafiek. Het probleem wat Cohn daarmee constateerde als belangrijkste oorzaak van lage resultaten op grafiekvragen was een gebrek aan actief leergedrag tijdens het behandelen van grafieken. Als ik in retroperspectief kijk naar de behandeling van de leerstof in mijn eigen lessen, dan heb ik er ook niet voor gezorgd dat leerlingen actief aan de slag moesten met het maken en
bediscussiëren van grafieken. De ervaring die mijn leerlingen opdeden in het maken van grafieken was naar aanleiding van opgaves uit het boek die ik voordeed of dat ik als huiswerk opgaf. Leerlingen die dit huiswerk niet maakten, hebben zelfs geen enkele ervaring opgedaan met het maken van grafieken. Een mogelijke oorzaak bij de slechte resultaten op grafiekvragen bij het onderwerp markstructuren is dus dat ik als docenten niet gezorgd heb voor voldoende actief leergedrag bij het maken van grafieken.
2.2.3 Het probleem van het toepassen van kennis bij rekenkundige opgaves
Bij rekenkundige Economie opgaves waar geen vaststaande manier van oplossen gebruikt kan worden, hebben leerlingen een uitgebreidere aanpak nodig om in een gegeven situatie tot een verklaring van een situatie of tot een oplossing van een probleem te komen. Het is de taak van de docent om z’n aanpak aan te reiken en voor te doen. In de lespraktijk blijkt echter dat leerlingen bij het voordoen door de docent geen kans wordt gegeven het stappenplan dat voorgedaan wordt expliciet te benoemen (Kneppers, Amagir en Westernberg, 2014).
Vernooij (2003) stelt dat bij rekenkundige opgaves altijd wel een samenhangend geheel te vinden is maar het voorschrift hoe het rekenkundige probleem op te lossen vaak ergens in de opgave verstopt zit. Van leerlingen wordt verwacht dat zij de vaardigheid ontwikkelen om zelf oplossingen te zoeken voor problemen waar zij tegen aan lopen. Om deze vaardigheid van het kunnen oplossen van
problemen te ontwikkelen zullen leerlingen moeten leren problemen systematisch aan te pakken. De systematiek geeft aan welke stappen op één of andere manier doorlopen moeten worden om tot een succesvol resultaat te komen. Het probleem wat Vernooij hierbij constateert is dat leerlingen in de les de stappen van een docent wel kunnen volgen, maar dat wanneer zij zelf een som moeten maken, zij niet weten waar ze moeten beginnen en dus vastlopen. Volgens Vernooij wordt dit
probleem versterkt wanneer docenten rekenkundige opgaves in hun lessen alleen voordoen in plaats van leerlingen te helpen in het duidelijk maken van de aan de berekening voorafgaande stappen, zodat leerlingen zelf kunnen bedenken hoe de berekening moet plaatsvinden. Deze bevinding van Vernooij komt overeen met de constatering van Kneppers et al. (2014) dat docenten te weinig
aandacht hebben voor de aanpak van een bepaald probleem en de procesgerichtheid om een probleem om te lossen.
2.3 Keuze voor probleem
Op basis van mijn probleemomschrijving en probleemanalyse lijken de volgende leerproblemen rondom markstructuren de grootse struikelblokken voor VWO-leerlingen:
• De veelvoud van abstracte concepten, de abstracte wiskundige vereenvoudigingen en het gebrek aan herkenbare contexten voor leerlingen.
• Het gebrek aan actief leergedrag tijdens lessen over het gebruik van grafieken. • De gebrekkige wijze waarop leerlingen leren op systematische wijze rekenkundige
problemen op te lossen.
Omdat de te ontwerpen lessen voor dit onderzoek maar drie tot vier lessen dienen te beslaan wil ik in dit ontwerponderzoek focus aanbrengen door me alleen te richten op één van de drie
leerproblemen. Als ik nog eens kijk naar de antwoorden uit de vragenlijst dan zie ik naast het feit dat kennis van begrippen en grafiekvaardigheden bij een aantal vragen voor de vier leerlingen een probleem vormden ook dat bij een aantal vragen waar kennis van begrippen of grafiekvaardigheden voor nodig was wel goede antwoorden werden gegeven. Dit geeft mij het idee dat de veelvoud van abstracte begrippen en wiskundige vereenvoudigingen en het gebrek aan actief leergedrag tijdens lessen over het gebruik van grafieken voor de 5-VWO leerlingen van het Veenlanden college een relatief minder groot probleem vormen dan de gebrekkige wijze waarop leerlingen leren op systematische wijze rekenkundige problemen op te lossen. Daarnaast ben ik van mening dat het aanleren van een systematische aanpak bij het oplossen van problemen leerlingen het meeste zullen baten en dus de meeste impact zullen hebben bij het wegnemen van leerprobleem. Ongetwijfeld zullen contextrijke lessen leerlingen helpen bij het beter begrijpen van de abstracte, economische begrippen rondom markstructuren en zal het stimuleren van actief leergedrag van leerlingen door docenten bij het verwerken van informatie uit en in grafieken bijdragen aan hogere scores van leerlingen bij grafische opgaves over markstructuren. Maar het aanleren van het systematisch kunnen oplossen van problemen zal leerlingen niet alleen baten bij het onderwerp markstructuren, maar ook bij andere economische onderwerpen, andere vakken en nog belangrijker bij levensechte problemen buiten school in een professionele of non-professionele omgeving. Het SLO onderschrijft dit ook in haar Curriculum van de toekomst (2019). In deze publicatie geeft het SLO aan dat in een steeds complexer wordende maatschappij het belangrijk is dat leerlingen in het onderwijs leren zelf problemen te (h)erkennen en in staat zijn oplossingen te bedenken en te realiseren.
Tegelijkertijd besef ik me dat drie tot vier lessen onvoldoende zijn om leerlingen systematisch
problemen te leren oplossen. Daarvoor zullen leerlingen na de lessen nog veel meer moeten oefenen om een probleemoplossingsaanpak als vaardigheid aan te leren. Echter het feit dat een
systematische oplossingsaanpak bij rekenkundige problemen één van de drie voornaamste
struikelblokken voor de 5-VWO leerlingen bij het onderwerp markstructuren vormt, vormt voor mij een goede motivatie om mijn educatief ontwerp te richten op het aanleren van de denkvaardigheid van het systematisch oplossen van rekenkundige problemen bij het onderwerp markstructuren. Mijn probleembeschrijving is dan als volgt:
• De gebrekkige wijze waarop leerlingen leren op systematische wijze rekenkundige problemen op te lossen leidt tot een suboptimale aanpak en suboptimale prestatie bij rekenkundige probleemoplossingsvraagstukken over markstructuren.
3. Theoretische en empirische verkenning
3.1 Theoretische verkenning
In dit hoofdstuk ga ik aan de hand van algemene en vakdidactische literatuur op zoek naar inzichten en aanbevelingen met betrekking tot oplossingen voor het didactische probleem van de gebrekkige wijze waarop leerlingen leren op systematische wijze rekenkundige problemen op te lossen en de daarmee gepaard gaande suboptimale aanpak en suboptimale prestaties bij economische
probleemoplossingsvraagstukken. Vragen die ik in dit hoofdstuk wil beantwoorden zijn: • Wat betekent het systematisch oplossen van een rekenkundig probleem?
• Welke kennis en vaardigheden hebben leerlingen nodig bij het systematisch oplossen van een economisch rekenkundig probleem?
• Hoe leren leerlingen procesmatig problemen oplossen?
• Wat is bekend over de moeilijkheid van het leren van een systematische probleemaanpak? • Hoe ziet een effectieve probleemaanpak bij economische rekenkundige problemen eruit? • Wat wordt bij het doceren van een effectieve probleemaanpak bij rekenkundige problemen
van een docent verwacht?
• Wat wordt bij het leren werken met een effectieve probleemaanpak bij rekenkundige problemen van leerlingen verwacht?
3.1.1 Wat betekent het systematisch oplossen van een rekenkundig probleem?
Probleemoplossingsvaardigheden is een denkvaardigheid die docenten gebruiken om leerlingen te leren hoe te denken. Het hoort thuis in een categorie van denkvaardigheden als probleem gestuurd leren, kritisch denken, creatief denken, besluitvorming, conceptueel denken en informatieverwerking (Ellis, 2015).
Het kunnen oplossen van problemen hangt nauw samen met het begrip probleem. Een probleem is een situatie waarin iemand een doel heeft, maar dit niet direct kan bereiken (Mettes en Pilot, 1980). Het oplossen van een probleem kan omschreven worden als een middel waarin een individu eerder verworven kennis en vaardigheden gebruikt om te voldoen aan de gewenste situatie. Deze
omschrijving is gebaseerd op de definities die Krulik en Rudnick (1987) en Mettes en Pilot (1980) geven voor het begrip oplossen van problemen.
Vernooij (2003) stelt dat een systematiek aangeeft welke stappen op één of andere manier doorlopen moeten worden om tot een succesvol resultaat te komen. Van belang is bij het systematisch oplossen van een probleem onderscheid te maken tussen algoritmes en
probleemoplossingsheuristieken. Algoritmen zijn vaste paden die je kunt volgen om een probleem op te lossen. Bij heuristieken is het pad niet voorspelbaar. Het gaat meer om vuistregels of bepaalde processen die een individu in verschillende situaties kan toepassen, waarmee de kans op succes bij het oplossen van een probleem wordt vergroot, maar nog geen garantie op succes vormt (Vernooij 1993, 2003; Krulik en Rudnick, 1987). Krulik en Rudnick (1987) geven zelfs aan dat er pas van een probleem sprake kan zijn als de oplosser geconfronteerd wordt met iets dat hij of zijn niet herkent en waarvoor ze niet zomaar een model kan toepassen om tot de oplossing te komen. In dit
ontwerponderzoek ga ik uit van rekenkundige economische problemen waar geen voorspelbaar oplospad of algoritme voorhanden is en dus een heuristiek nodig is voor een systematische aanpak van het probleem.
3.1.2 Welke kennis en vaardigheden hebben leerlingen nodig bij het oplossen van een
economisch rekenkundig probleem?
Voor het oplossen van problemen is zoals in de bovengenoemde definitie kennis en vaardigheden nodig. Vernooij (1993) omschrijft in zijn proefschrift 3 kenniselementen die nodig zijn bij het oplossen van bedrijfseconomische vraagstukken. Dit zijn:
1. Declaratieve kennis, opgebouwd uit kennis die nodig is om tot begrip van het probleem te komen.
2. Procedurele kennis, opgebouwd uit kennis die leidt tot een effectieve uitwerking van problemen. Vernooij maakt daarbij onderscheid tussen:
a. vakgebonden procedurele kennis: kennis van transformatieregels, specifieke heuristieken, algoritmen en vakgebonden rekentechnieken die nodig zijn om stapsgewijs te komen tot een oplossing.
b. niet-vakgebonden procedurele kennis: kennis gericht op het analyseren van de probleemsituatie met behulp van algemene interpretatieprocedures, heuristisch denken en algemene heuristieken, alsmede vaardigheden gericht op het trekken van conclusies, het uitvoeren van controleberekeningen en het beschikken over
hulpkennis zoals algemene reken- en leesvaardigheden.
3. Strategische kennis: metacognitieve kennis gericht op de planning en monitoring van het oplosproces waarbij diverse stadia van transformatie doorlopen dienen te worden tot een uitkomst is bereikt.
3.1.3 Hoe leren leerlingen procesmatig problemen oplossen?
Hierboven is beschreven dat bij het oplossen van economische problemen naast declaratieve kennis ook kennis nodig is van niet-vakgebonden procedurele kennis, van vakgebonden procedurele kennis en van strategische kennis gericht op de planning en monitoring van het oplosproces. Het verschil tussen kennis en vaardigheden is de mate waarin kennis bewust of juist onbewust gebruikt wordt. Wanneer kennis van processen en strategie niet meer bewust en doelgericht wordt gekozen en ingezet, maar door veel te doen routinematig zijn geworden, spreekt men niet meer van kennis, maar van een vaardigheid (Ebbens en Ettekoven, 2015).
Marzano (1992) onderscheidt bij het aanleren van vaardigheden drie fasen.
Het aanleren van vaardigheden
1. Voordoen: aanpakken voor een stappenplan achterhalen 2. Eigen maken: Bijstellen en verfijnen
3. Automatiseren: Verinnerlijken door oefening
Ad 1 Voordoen: aanpakken voor een stappenplan achterhalen
In de fase van voordoen moeten leerlingen zich een beeld kunnen vormen van wat er aan stappen van hen gevraagd wordt. Dat kan op verschillende wijze, expliciet en impliciet (Marzano en
Miedema, 2014). Op de expliciete wijze doet de leerkracht elke stap van de te leren vaardigheid voor en laat de stappen van het proces zien op een scherm of white board. Bij de impliciete wijze doet de leerkracht de te leren vaardigheid hardop denkend voor, zonder daarbij expliciet de stappen te
noemen. De leerlingen maken aantekeningen bij de demonstratie. Naderhand construeren zij de stappen die de leerkracht heeft gezet in een schema en in een nabespreking worden alle
geconstrueerde stappenplannen besproken en vergeleken. Deze vorm van voordoen wordt ook wel modelling genoemd. Bij modeling staat de leraar model voor het uitvoeren van metacognitieve- en cognitieve strategieën door hardop te denken (Kneppers et al., 2014).
Ad 2 Eigen maken: het bijstellen en verfijnen van procedurele kennis
In de fase van eigen maken leren leerlingen het proces aan te passen aan de eigen situatie. Daarbij wordt zichtbaar wat leerlingen van het voordoen meegekregen hebben. Leerlingen ervaren waarom het model, de stappen, in deze volgorde belangrijk zijn. Gaandeweg ontdekken leerlingen kleine variaties en gaan ze de vaardigheid op hun manier doen. Volgens Alexander (2006) dien je leerlingen deze marge, binnen redelijk grenzen, te gunnen. Leerlingen shapen dan de vaardigheid naar eigen inzicht.
Ad 3 Automatiseren: het verinnerlijken van procedurele kennis
In de fase van automatiseren gaat het erom dat leerlingen zich de kennis zo eigen maken dat ze deze met relatief gemak kunnen uitvoeren. De manier daartoe is herhaalde, uitgebreide oefening in wisselende omstandigheden.
Marzano en Miedema (2014) geven aan dat er voorafgaand aan de drie stappen eigenlijk eerst nog een nul-fase zou moeten zijn, waarin leerlingen bewust worden gemaakt van het nut en het effect van de procedurele kennis. Door bij het nut van de kennis stil te staan, zullen leerlingen
gemotiveerder en actiever leergedrag vertonen. Dit komt overeen met Bandura’s social learning theorie dat effectieve vormen van modelling leerlingen ook moeten motiveren om te leren. Bandura noemt naast (1) motivatie om te leren ook (2) aandacht voor het te leren proces, (3) het kunnen opslaan van het proces in het geheugen (4) en ruimte hebben om de kennis te produceren. Op basis van Bandura’s theorieën over social learning en cognitive load stellen Frerejean, Van Strien,
Kirschner, Brad-Gruwel (2018) dat de docent bij modelling ervoor dient te zorgen dat leerlingen op actieve wijze het door de docent uitgewerkte voorbeeld verwerken en evalueren. Bij actief leren interpreteert, bewerkt en slaat de leerling informatie beter op en bouwt hij daarbij voort op de aanwezige voorkennis (Teurlings, Van Wolput en Vermeulen, 2006). Daarnaast dient de docent ervoor te zorgen dat leerlingen aandacht hebben voor de belangrijkste elementen van de aanpak door na modelling leerlingen vragen te stellen en het actief te blijven betrekken bij de te leren aanpak. Voor het opslaan en later kunnen reproduceren van de kennis over de aanpak is het volgens Frerejean et al. noodzakelijk dat leerlingen veel gaan oefenen met de aanpak.
Op basis van de hierboven beschreven theorieën wil ik het driefasenmodel van het aanleren van procedurele kennis of vaardigheden van Marzano aanpassen tot een nieuw model voor het procesmatig leren oplossen van problemen. Het nieuwe model wordt dan:
Het aanleren van de vaardigheid oplossen van problemen
1. Betekenis geven: Ingaan op het nut van probleemoplossingsvaardigheden en leerlingen laten vertellen wat ze al weten.
2. Modelling: Hardop denkend voordoen van het oplossen van een probleem en leerlingen actief aantekeningen laten maken van de aanpak.
3. Schematiseren: Leerlingen construeren de stappen die de leerkracht heeft gezet in een schema en in een nabespreking worden de geconstrueerde stappenplannen besproken, vergeleken en geëvalueerd.
4. Eigen maken: Leerlingen gaan aan de hand van de geschematiseerde aanpak nieuwe probleemsituaties oplossen en verfijnen hun aanpak.
5. Automatiseren: Herhaalde, uitgebreide oefening in wisselende omstandigheden met wisselende probleemsituaties
In dit nieuwe model zijn twee fasen aan het driefasenmodel van Marzano toegevoegd, te weten: betekenis geven en schematiseren. In Marzano’s driefasenmodel voor het verkrijgen van
declaratieve kennis vormen betekenis geven en schematiseren respectievelijk fase één en fase twee. Marzano en Miedema (2014) verwijzen bij het driefasenmodel van declaratieve kennis naar het werkwoord denken en bij het driefasenmodel van procedurele kennis of vaardigheden naar het werkwoord doen. Dat ik deze twee modellen meer heb verweven is in lijn met hun conclusie dat denken en doen altijd samengaan. Om iets te doen moet je vaak denken en denken zonder doen leidt tot betekenisloze kennis. De derde fase van Marzano’s driefasenmodel bij declaratieve kennis heb ik niet in bovenstaand schema opgenomen. Het betreft de fase van onthouden en is naar mijn mening een resultaat van het model en niet een fase van het model.
3.1.4 Wat is bekend over de moeilijkheid van het leren van een systematische
probleemaanpak?
3.1.4.1 Aanwezigheid van noodzakelijke kennis en vaardigheden
Voor het oplossen van een probleem dient eerder verworven kennis en vaardigheden gebruikt te worden. Kennis en het toepassen van kennis zijn naast de vaardigheid van het systematisch kunnen aanpakken van een probleem essentiële elementen voor het oplossen van problemen. Kennis van een aanpak of proces is alleen niet voldoende voor het oplossen van problemen (Carson, 2007). In hoofdstuk 2 is al aangegeven dat de Economie lesmethoden van de bovenbouw worden gekenmerkt door een grote begrippendichtheid. Een randvoorwaarde voor leerlingen om te kunnen beginnen met probleemoplossing is dat de leerlingen al kennis hebben vergaard van de kernbegrippen die met het probleem samenhangen. En dit geldt niet alleen voor declaratieve kennis, maar ook voor
specifieke procedurele kennis of vaardigheden zoals bijvoorbeeld bij het onderdeel markstructuren vanuit een gegeven prijs en hoeveelheid via differentiatievaardigheden tot een functie van de marginale opbrengst te komen.
3.1.4.2 Modelling vraagt moed
Bij modelling staat de leraar model voor het voordoen en etaleren van declaratieve, procedurele en strategische kennis door hardop te denken. Leerlingen en docenten zullen hieraan moeten wennen, want docenten laten in de regel weinig zoekgedrag zien in de klas. Het geeft een mate van
onzekerheid over dat de oplossing mogelijk niet zo eenvoudig gevonden zal worden. Juist dat is voor leerlingen nuttig om te zien. Welke wegen bewandelt de leraar dan en wat kan de leerling hiervan leren (Kneppers et al., 2014). Het gevaar is dat docenten bewust of onbewust wel opgaves voordoen, maar daarbij alleen de oplossing van hun denken laten zien en niet hun wijze van denken. Het is dus belangrijk dat docenten uit de eigen comfortzone durven stappen.
3.1.4.3 Het geven van de juiste ruimte en feedback
Een andere moeilijkheid is dat bij het eigen maken en het proberen te automatiseren van het stappenplan de docent goed zicht dient te houden op de vordering. Fouten kunnen inslijpen en ingeslepen denk- en handelingspatronenlaten laten zich niet gemakkelijk veranderen, ook fouten slijpen in. Tegelijkertijd moeten leerlingen ook ruimte gegeven worden om de stappenplannen zich eigen te maken en te verfijnen. Docenten dienen daarom aan te sturen op het bespreken van hun ervaringen en resultaten. Dat betekent dat er ruimte moet zijn voor dialoog tussen leerlingen, docent en medeleerlingen. Een belangrijke manier om leerlingen te helpen deze fase goed door te komen is het geven van aanwijzingen en feedback en dan langzamerhand een stap achteruit doen en zo al doende de leerlingen steeds meer eigen verantwoordelijkheid geven (Ebbens en Ettekoven, 2015). Goede feedback, oftewel effectieve terugkoppeling, bestaat volgens Hattie en Timperley (2007) uit:
• Terugkoppeling over de doelen van de taak waar leerlingen aan werken. De leerdoelen, kwaliteitscriteria en het verwachtingsniveau van zowel leraar als leerlingen worden verhelderd.
• Terugkoppeling over waar de leerlingen staan in hun leerproces. Dit betekent dat bewijzen voor het begrijpen van de instructie worden verzameld en in dialoog met de lerenden worden geïnterpreteerd
• Terugkoppeling over hoe de kloof tussen waar de leerlingen nu staan en het doel kan worden overbrugd.
Hattie en Timperley (2007) onderscheiden verder vier niveaus waarop de terugkoppeling is gericht. Dit zijn:
• Op taakniveau • Op procesniveau
• Op het niveau van de zelfsturing. • Op het persoonlijk niveau
De feedback die bij het inslijpen van belang is, zal zich vooral richten op het niveau van het proces. Wel is begrip van de taak en voldoende aandacht en focus randvoorwaardelijk, dus bij een gebrek hieraan, kan de feedback zich ook richten op de taak en zelfsturing.
3.1.4.4 Het systematisch kunnen oplossen van problemen vraagt veel tijd en oefening
Een vierde moeilijkheid is dat het eigen maken en automatiseren van een procesmatigeprobleemoplossingsaanpak, uitgebreide oefening in wisselende omstandigheden vergt. Hiervoor dient de docent goed na te denken over oefenschema’s en wanneer er in lessen tijd wordt vrijgemaakt voor oefening. Veelvuldig oefenen kost tijd en dient uitgespreid te worden over een langere periode.
3.1.5 Hoe ziet een effectieve probleemaanpak bij economische rekenkundige problemen
eruit?
Volgens Lorenzo (2005) zijn veel probleemoplossingsaanpakken gebaseerd op het framework van Polya (1975) dat vier fases omvat: begrip, planning, uitwerking en terugkijken. Vele van deze modellen zijn ontwikkeld vanuit bètavakken zoals wiskunde, scheikunde en natuurkunde. Vernooij (1993) heeft in zijn proefschrift over het oplossen van problemen op basis van een literatuurstudie een schema ontwikkeld met een functionele beschrijving van het oplosproces voor
bedrijfseconomische problemen. Zie figuur 1.
Figuur 1: een schema voor het oplossen van bedrijfseconomische problemen.
De fase van verifiëren of evalueren blijft in het bovengenoemde schema van Vernooij buiten
beschouwing. Tien jaar na zijn proefschrift introduceert Vernooij in een artikel in het Tijdschrift voor Economisch Onderwijs over probleemoplossen als vaardigheid een aangepaste heuristiek. Deze heuristiek bevat zes logische stappen die ook ingaan op het verifiëren van het antwoord en het evalueren van de aanpak. Volgens Vernooij (2003) zijn er voor de vaardigheid van het oplossen van rekenkundige economische problemen zes logische stappen die leerlingen moeten uitvoeren. Dit zijn:
1. Oriëntatie op het probleem: wat wordt er eigenlijk gevraagd?
2. Analyse van het probleem: hoe ligt het verband tussen de onbekende en de beschikbare gegevens?
3. Planning van de uitwerking: welke rekenstappen moet ik in welke volgorde zetten? 4. Berekening van de uitkomst: welke getallen vul ik in de diverse rekenstappen in? 5. Controle van het proces: heb ik niks vergeten of verkeerd gedaan?
6. Evaluatie van het resultaat: wat heb ik geleerd en hoe past dit in kennis die ik eerder heb verworven?
Stap 1: Oriëntatie
De eerste stap is de oriëntatie op het probleem. Leerlingen moeten zich afvragen wat er precies staat en wat er precies van hen verwacht wordt. Enerzijds gaat het om de economische begrippen die er staan en die in de voorafgaande tekst behandeld moeten zijn. Deze begrippen moeten bekend zijn om het vraagstuk aan te kunnen pakken. Anderzijds gaat het om de structuur van het vraagstuk en het samenspel tussen helpstrategieën en anti-helpstrategieën. Het vragen naar een tussenstap in een berekening kan een helpstrategie zijn om de opgave te vereenvoudigen, maar anderzijds kunnen er ook anti-helpstrategieën zijn zoals het toevoegen van niet-relevante informatie in de opgave.
Stap 2: Analyse
De tweede stap in het oplossingsproces is het vinden van een pad dat leidt van de beschikbare gegevens naar de onbekende grootheid of van de onbekende grootheid naar de beschikbare gegevens. Het eerste wordt het oplossingspad genoemd en het laatste wordt het analyse pad
genoemd. Leerlingen moeten het pad herleiden vanuit één of ander conceptueel model dat ze eerder verworven hebben. Zij moeten aan de hand van termen die in gebruik zijn, onderkennen om welk model het gaat. Zij moeten dus een model kiezen waarin de in de vraag genoemde begrippen voorkomen.
Stap 3: Planning
Een leerling kan de uitkomst van een berekening alleen correct hebben, als op een of andere manier de juiste stappen in de juiste volgorde zijn komen te staan. Bij stap drie gaat het erom dat de
leerlingen in gedachten het oplossingspad traceren dat nodig is om vanuit de brij aan data de juiste uitkomst te vinden. Leerlingen kunnen dit niet vanzelf. Chronologisch zullen zij proberen fragmentjes te identificeren en die alvast uit te rekenen om zo bij brokjes en beetjes de uitkomst te vinden. Maar voor het vaardig maken van leerlingen in het oplossen van problemen, ontkomt een coach er niet aan om aanwijzingen te geven hoe het oplossingspad stap voor stap is te beredeneren. Hoe het oplossingspad ontstaat als omkering van het analysepad. De essentie van didactiek bij rekenkundige vragen is om een reeks stappen op te splitsen in deeltjes die overzichtelijk zijn.
Stap 4: Berekening
Het is begrijpelijk dat leerlingen bij het lezen van een opgave beginnen met het op goed geluk uitvoeren van rekenstappen. Het gebruik van getallen bij de vaststelling van de uitkomst, begint logisch gezien pas in stap 4 van het oplossingsproces. Het is echter de taak van de coach om duidelijk te maken dat het goed is om op papier of in het hoofd eerst eens de stappen op een rij te zetten. Docenten die het oplossingspad al in hun hoofd hebben zitten, hebben sterk de neiging om de uitleg van een vraagstuk te beginnen met de eerste regel van het oplossingspad en daar de grootheden van de bijbehorende waarden te voorzien. Dat lijkt heel simpel en eenvoudig, maar dat is precies de reden waarom leerlingen niet weten waar zij moeten beginnen als ze zelf zo’n vraagstuk moeten maken. Helpstrategieën die erop gericht zijn om veel deelstappen te vragen kunnen beter vervangen worden door grotere stappen met hints. Leerlingen kunnen dan eerst zelf proberen een vraagstuk op te lossen en als zij er niet uit komen, de hints raadplegen. In feite ondersteunen de hints de analyse en de planning.
Stap 5: Controle
Zodra de uitkomst van een vraagstuk berekend is, volgt de controle stap. Deze controle vindt chronologisch gezien al tijdens de uitvoering van het stappenplan plaats vindt. De controle is in feite een breder proces van monitoring, dat wil zeggen van sturen en bijsturen tijdens het proces van probleemoplossen. Deze monitoring loopt door totdat met een grote mate van zekerheid
aangenomen mag worden dat het vereiste resultaat bereikt is. Daarnaast is de controle ook gericht op de volgorde van de stappen en de vraag of de laatste stap inderdaad het antwoord geeft op de gestelde vraag.
Stap S: evaluatie
De belangrijkste stap van het probleem oplossen blijft meestal achterwege. Dat is de evaluatie, ofwel de vraag ‘Wat heb ik geleerd van dit vraagstuk?’ Het is de taak van de coach om te helpen bij het evalueren van nieuwe kennis.
3.1.6 Wat wordt bij het doceren van een effectieve probleemaanpak bij rekenkundige
problemen van een docent verwacht?
Op basis van de hiervoor behandelde literatuur kunnen we het volgende stellen wat van docenten verwacht wordt bij het doceren van stappenplannen bij rekenkundige toepassingsvragen.
• Voordat begonnen kan worden met het procesmatig oplossen van problemen, dient de docent ervoor te zorgen dat de leerlingen al kennis hebben vergaard van de kernbegrippen die met het probleem samenhangen en specifieke procedurele kennis of vaardigden.
• De docent zorgt ervoor dat leerlingen aan de hand van een heuristiek een systematische aanpak leren voor het oplossen van problemen.
• De docent zorgt bij aanvang van de lessen over een systematisch aanpak van problemen voor betekenis door in te gaan op het nut van een systematische probleemaanpak.
• De docent dient de oplossing van een probleem hardop denkend voor te doen en dient ervoor te zorgen dat leerlingen actief aantekeningen maken van de procesmatige aanpak. • De docent dient leerlingen de genoteerde processen te laten schematiseren in een
stappenplan om deze vervolgens te bespreken en te evalueren.
• De docent laat leerlingen aan de hand van de geschematiseerde aanpak nieuwe probleemsituaties oplossen en hun aanpak verfijnen.
• De docent laat leerlingen uitgebreid oefenen in wisselende omstandigheden met het procesmatig oplossen van problemen.
• De docent let bij het oefenen en verfijnen van de probleemoplossingsaanpak op het geven van de juiste ruimte en feedback.
3.1.6 Wat wordt bij het leren werken met een effectieve probleemaanpak bij rekenkundige
problemen van leerlingen verwacht?
Vanuit de in dit hoofdstuk genoemde literatuur zijn we al ingegaan op wat we van leerlingen verwachten. Dit zijn:
• Motivatie om procesmatig oplossen van problemen te leren. • Aandacht voor het procesmatig oplossen van problemen.
• Op actieve wijze het door de docent uitgewerkte voorbeeld verwerken en evalueren. • Investering van tijd om veel te oefenen met een procesmatige aanpak van problemen.
3.1.7 Conclusie Literatuurverkenning
Uit de literatuurverkenning blijkt dat voor het probleem van de gebrekkige wijze waarop leerlingen leren systematisch problemen op te lossen oplossingen voorhanden zijn. De oplossing lijkt het door de docent hardop denkend voordoen en veelvuldig laten oefenen van het oplossen van een
3.2 Empirische verkenning
3.2.1 Doelstellingen empirische verkenning
Voor de empirische verkenning van het probleem, heb ik een inhoudsanalyse gemaakt van de resultaten van het schoolexamen van mijn 5-VWO klas na de behandeling van de lesbrieven over marktstructuren. De inhoudsanalyse had twee doelstellingen. Allereerst wil ik onderzoeken of in het schoolexamen ook is gebleken of het oplossen van rekenkundige probleemvraagstukken binnen het onderwerp markstructuren ook gepaard gaat met relatief slechte scores. En ten tweede wilde ik aan de hand van een inhoudsanalyse meer inzicht krijgen in de aard van de fouten bij rekenkundige probleemvraagstukken en of er een bepaalde systematische aanpak terug te zien was.
3.2.2 Toelichting keuze inhoudsanalyse
Voor de empirische verkenning heb ik gekozen voor een inhoudsanalyse. De reden hiervoor is dat de inhoudsanalyse, naast de vragenlijsten die ik bij vier leerlingen heb afgenomen, nieuwe extra
inzichten geeft in wat relatief de meeste complexiteit geeft rondom het onderwerp marktstructuren. Krijg ik aan de hand van de resultaten van het schoolexamen een bevestiging dat het door mij
gekozen probleem van een gebrekkige systematische aanpak bij rekenkundige probleem. vraagstukken ook voor mijn 5-VWO klas een probleem is? Daarnaast geeft de inhoudsanalyse een
dieper inzicht in de problematiek bij rekenkundige probleemoplossingsvragen. Wat zijn de gemaakte fouten en kan ik in de antwoorden een bepaalde systematische aanpak terugzien en dan in het bijzonder de verschillende stappen volgens het stappenplan van Vernooij? Een laatste reden om voor de inhoudsanalsye te kiezen is vanuit praktisch oogpunt. Dit schoolexamen was al ingepland en het was daarom praktisch om middels een inhoudsanalyse hier zoveel mogelijk inzichten uit te halen.
3.2.3 Resultaten, conclusies empirische verkenning
Dit schoolexamen bestond uit 23 opgaves, waarvan 2 opgaves een probleemsituatie omvatten waar meer dan een algoritme voor nodig was om het probleem op te lossen. Dit zijn opgaves 4 en 12. Deze 2 opgaves heb ik geel gearceerd.
Reproductievragen Productievragen Onthouden
/ Begrijpen Toepassen Analyseren Evalueren Creeren
1 Berekenen of afkezen van MK X 2,00 1,09 55% 2 Berekenen van GTK X 2,00 0,91 46% 3 Arceren winst X 1,00 0,17 17% 4 Bereken max winst X 4,00 1,22 31% 5 Relatie productfifferentiatie concurentievoordeel X 2,00 1,17 59% 6 Maximale winst X 1,00 0,65 65% 7 Maximumprijzen X 1,00 0,87 87% 8 Arceren welvaartverlies X 2,00 0,26 13% 9 Bepalen prijs bij Patero efficiency X 2,00 0,43 22% 10 Vergelijking marktvormen X 2,00 1,48 74% 11 Citeren van kenmerken van heterogeen oligopolie X 2,00 1,91 96% 12 Berekenen van marktaandeel en winst X 5,00 1,3 26% 13 Marktwerking X 2,00 1,65 83% 14 Marktwerking X 2,00 1,43 72% 15 Lezen van Accijnsverhoging X 1,00 0,52 52% 16 Marktwerking X 2,00 1,83 92% 17 Berekenen belastingopbrengst X 2,00 0,39 20% 18 Lezen economische tekst X 2,00 1,13 57% 19 Berekenen omzet X 2,00 0,96 48% 20 Bepalen van break-even point in grafiek X 1,00 0,65 65% 21 Consumentensurplus X X 1,00 0,65 65% 22 Consumentensurplus C 2,00 1,04 52% 23 Collectef Goed X 2,00 1,39 70% Totaal 0% 0% 0% 0% 0% 45,00 22,61 50% Opgave Inhoudelijk onderwerp
Type vragen Te verdienen punten Gemiddeld behaalde punten Gemiddelde Score
Tabel 4: Gemiddelde Score Schoolexamen Markstructuren klas 5-VWO (A5econ3) Veenlanden College
In tabel 4 is op te merken dat zes opgaves ruim onder de 40% score zijn gebleven. Zie de rood gearceerde percentages. Bij deze zes slechtst gemaakte opgaves horen ook de twee rekenkundige opgaves waarin een probleem opgelost moest worden. Dit lijkt een bevestiging te zijn dat de leerlingen van mijn 5-VWO klas ook in het schoolexamen laten zien dat ze moeite hebben met het oplossen van een rekenkundig problemen.
Door een inhoudsanalyse uit te voeren van opgave 4 en 12 heb ik getracht meer inzicht te verkrijgen, welke fouten mijn leerlingen maken en wat hun aanpak is geweest bij deze twee opgaven. Deze resultaten van deze inhoudsanalyse staan afgebeeld in tabel 5. De inhoudsanalyse zelf is te vinden in bijlage 4.
Wat opvalt bij deze inhoudsanalyse van opgaves 4 en 5 is dat gemiddeld 26% van de leerlingen niets heeft ingevuld en gemiddeld 28% niets heeft berekend. Daarnaast maken gemiddeld 24% van de leerlingen fouten door begripsverwarring. De grootste verwarringen ontstonden bij het gebruiken van de formule P=MO bij monopolie (dit hoort bij volkomen concurrentie) en MK=MO bij maximale omzet (dit hoort bij maximale winst). Ook vergeten gemiddeld 24% van de leerlingen een deel van de opgave te berekenen. Kijkend naar de mate waarin vormen van een systematische aanpak
terugkomen bij de opgaves 4 en 5, dan constateer ik dat gemiddeld 28% van de leerlingen geen enkele aanpak heeft gebruikt, gemiddeld 72% geen of een gebrekkige analyse doet van wat wordt gevraagd in de opgave en gemiddeld 33% geen of een gebrekkige controle van het antwoord op de opgave uitvoert. Daartegenover staat dat gemiddeld 27% van de leerlingen wel een oriëntatie laat zien op wat er gevraagd wordt, gemiddeld 35% wel een analyse laat zien van het verband tussen het gevraagde en de bekende informatie, gemiddeld 48% een bepaalde planning van rekenstappen laat zien en deze ook uitvoert en gemiddeld 41% een bepaalde mate van controle van de opgave laat zien. Van de verschillende methodes die leerlingen kunnen uitvoeren om tot een antwoord te komen probeert gemiddeld 65% vanuit de gegeven informatie naar het eindantwoord te komen, 22% voert een trial-and-error aanpak uit en geen enkele leerling laat expliciet een methode zien waarvan uit het gevraagde terug wordt geredeneerd naar het bekende.
Iets/niets ingevuld
Opgave 4 Opgave 5 Gemiddelden
Opgave 4 en 5
Iets ingevuld 74% 74% 74%
niets ingevuld 26% 26% 26%
Aard fout
Opgave 4 Opgave 5 Gemiddelden
Opgave 4 en 5 Geen fout 13% 4% 9% Niets berekend 26% 30% 28% Verwart begrippen 22% 26% 24% Vergeet stuk 35% 13% 24% Werkt slordig 4% 0% 2% Maakt rekenfouten 4% 4% 4%
Aanpak
Opgave 4 Opgave 5 Gemiddelden
Opgave 4 en 5
Geen Aanpak 26% 30% 28%
Oriëntatie op gevraagde 30% 43% 37% Analyse verband gevraagde en bekende 26% 43% 35% Planning van rekenstappen 48% 48% 48%
Berekeningsfase 48% 48% 48%
Vorm van controle 39% 43% 41% Onvolledige controle 30% 35% 33% Gebrekkige oriëntatiefase 70% 74% 72% Aanpak van bekende naar antwoord 65% 65% 65% Aanpak van antwoord naar bekende 0% 0% 0% Trial-and-error aanpak 17% 26% 22%
Tabel 5: Aard van fouten en aanpak bij probleemoplossingsopgaven over markstructuren bij schoolexamen klas 5-VWO (A5econ3) Veenlanden College
De uitvoering van de empirische verkenning aan de hand van de inhoudsanalyse van het schoolexamen over markstructuren leidt tot de volgende conclusies:
• Leerlingen van mijn 5-VWO klas hebben gemiddeld genomen relatief veel moeite met het oplossen van rekenkundig probleemvraagstukken uit het schoolexamen over
marktstructuren wanneer men dit vergelijkt met andere opgaves uit het schoolexamen over marktstructuren.
• Gemiddeld komen de eerste vijf stappen van het stappenplan van Vernooij (oriëntatie op het probleem, analyse van het probleem, planning van de uitwerking, berekening van de
uitkomst, controle van het proces) bij ruim een derde tot bijna de helft van de leerlingen bij het oplossen van rekenkundig probleemvraagstukken uit het schoolexamen over
marktstructuren terug.
• Gemiddeld heeft 72% van de leerlingen van mijn 5-VWO klas mogelijk baat bij een meer systematische aanpak bij rekenkundige probleemvraagstukken om een beter begin met de oriëntatie op een rekenkundig probleem te kunnen maken.
• Gemiddeld heeft 33% van de leerlingen van mijn 5-VWO klas mogelijk baat bij een meer systematische aanpak bij rekenkundige probleemvraagstukken om een betere controle van het antwoord uit te voeren en zo fouten te voorkomen.
Het ontwerpen en geven van een lessenserie over het leren gebruiken van een heuristiek voor het oplossen van rekenkundige problemen lijkt op basis van de uitgevoerde inhoudsanalyse van schoolexamenvragen dus relevant en zinvol te zijn voor mijn 5-VWO klas.
4. Ontwerphypothese en Ontwerpregels
4.1 Ontwerphypothese
Na de analyse van het probleem, het verkennen van een mogelijke oplossing en de keuze voor een oplossing in kaart is gebracht, kom ik tot de volgende ontwerphypothese:
Als ik het probleem van de gebrekkige wijze waarop leerlingen leren systematisch problemen op te lossen en de daarmee gepaard gaande lage scores op rekenkundige probleemvraagstukken over marktstructuren aanpak door een rekenkundig probleem over markstructuren aan de hand van een heuristiek hardop denkend voor de klas voor te doen, waarbij de klas de voorgedane heuristiek actief en met de juiste begeleiding van de docent verwerkt, evalueert en oefent, dan zal dit ertoe leiden dat leerlingen, in vergelijking met een parallelklas, beter scoren bij het oplossen van examenopgaves met rekenkundige probleemvraagstukken over markstructuren en hier ook een meer systematische wijze van werken bij gebruiken.
4.2 Ontwerpregels
Ontwerpregels grijpen terug op de probleemanalyse, passen naadloos in de ontwerphypothese en geven richting aan de vorm en inhoud van de te ontwerpen lessen door middel van kenmerken waaraan de interventie moet voldoen. Als ik wil dat mijn leerlingen aan de hand van een heuristiek op een meer systematische en effectievere wijze rekenkundige probleemvraagstukken over
markstructuren gaan oplossen, dan dienen op basis van de in de probleemanalyse behandelde fases die leerlingen doorlopen bij het aanleren van vaardigheden (Marzano, 1992) en het procesmatig oplossen van rekenkundige economische problemen (Vernooij, 2003) mijn lessen daarom te voldoen aan de volgende ontwerpregels:
5. Bij aanvang van de lessen zorgt de docent voor betekenis door in te gaan op het nut van een systematische probleemaanpak bij rekenkundige economische. Dit zorgt bij leerlingen voor de benodigde motivatie om actief leergedrag te vertonen.
6. In de lessen doet de docent de oplossing van een rekenkundig probleem systematisch en hardop denkend voor aan de hand van de heuristiek van Vernooij. Dit zorgt ervoor dat leerlingen zich een beeld kunnen vormen van hoe een probleem kan worden opgelost en welke stappen hierbij aan de orde komen.
7. De docent laat leerlingen actief het voordoen van de docent verwerken en evalueren door de leerlingen aantekeningen tijdens het voordoen te laten maken en de procesmatige aanpak daarna door de leerlingen te laten schematiseren. Dit zorgt ervoor dat leerlingen aandacht hebben voor het te leren proces en het te leren proces beter interpreteren, bewerken en opslaan in het geheugen door koppelingen te maken met aanwezige voorkennis.
8. De docent laat leerlingen nieuwe rekenkundige probleemsituaties oplossen en hun aanpak verfijnen en let bij het oefenen en verfijnen van de probleemoplossingsaanpak op het geven van de juiste ruimte en feedback. Het vele oefenen zorgt ervoor dat de aanpak eigen wordt gemaakt door het proces beter op te slaan in het geheugen en het dus makkelijker te reproduceren is. Het geven van de juiste ruimte en de juiste feedback zorgt ervoor dat de leerlingen enerzijds de vaardigheid van probleemoplossen naar eigen inzicht kunnen verfijnen en anderzijds wordt voorkomen dat fouten in het probleemoplossingsproces de kans krijgen om te worden ingeslepen.
In bovenstaande ontwerpregels is om redenen van praktische uitvoerbaarheid een keuze gemaakt uit de in de literatuur naar mijn mening belangrijkste beschreven kenmerken van het aanleren van vaardigheden en het procesmatig oplossen van rekenkundige problemen.
Naast deze didactische ontwerpregels zijn er ook de onderstaande praktische richtlijnen. 1. De interventie wordt afgenomen bij een 5-VWO klas.
2. De interventie zal plaats vinden na de behandeling van alle kernbegrippen rondom markstructuren. Een randvoorwaarde voor leerlingen om te kunnen beginnen met probleemoplossing is namelijk dat leerlingen al kennis dienen te hebben vergaard van de kernbegrippen die met het probleem samenhangen.
