n ≤ µ ≤ Xn+t 1 2α(n− 1)Sn √ n ], (9.3) waarbij t1
2α(n− 1) een waarde is die voor een aantal waarden voor α en n uit een tabel is af te lezen (Tabel III). Bijvoorbeeld als α = 0.05 en n = 15, dan is t1
2α(n− 1) = 2.145.
Voor uitspraken over de variantie, weer onder de aanname dat de trekkingen Xi normaal verdeeld zijn, gaan we als volgt te werk. Zij Tn−1= (n− 1)S2n
σ2, dan heeft deze stochast een Chi-kwadraat verdeling met (n− 1) vrijheidsgraden5, waarvoor geldt dat E[Tn−1] = n− 1 en VAR[Tn−1] = 2(n− 1).
M.b.v. Tabel IV kunnen bij gegeven n en α met waarschijnlijkheid 1− α grenzen voor σ2 worden bepaald, volgens: P[ (n−1)Sn2 χ2 1 2 α(n−1) ≤ σ2 ≤ (n−1)S2n χ2 1− 12 α(n−1)] = 1− α. Als α = 0.05 en n = 15, dan is χ2 1 2α(n− 1) = 26.119 en χ2
1−12α(n− 1) = 5.629 (zie Tabel IV).
9.3 Voorbeelden van simulaties
We zullen in deze paragraaf een drietal voorbeelden bespreken. In de eerste twee voorbeelden is simulatie niet echt nodig omdat analytische oplossingen bekend zijn, maar ze worden hier gepresenteerd om er de verschillende onderdelen van simulatie mee te illustreren. Het eerste voorbeeld betreft een statisch model, de andere twee zijn dynamisch.
Voorbeeld 9.1
Veronderstel dat je moet beslissen of je het volgende spel wel of niet speelt:
Gooi steeds een zuivere munt op totdat het verschil tussen het aantal keren kop en munt drie is. Iedere worp kost ´e´en euro en als het verschil tussen kop en munt drie geworden is, ontvang je 8 euro en wordt het spel gestopt.
Hoe kom je met computersimulatie tot een beslissing? Een computer kan geen munt opgooien, maar wel zogenaamde aselecte getallen (zie ook de volgende paragraaf) genereren. Veronderstel dat we aselecte getallen van ´e´en cijfer gaan genereren, en dat we{0, 1, 2, 3, 4} associ¨eren met ’kop’ en {5, 6, 7, 8, 9} met ’munt’. Veronderstel dat we afspreken dat we het spel 14 keer spelen. Laat de computer de volgende worpen genereren: 8, 1, 3, 7, 2, 7, 1, 6, 5, 5, 7, 9, 0, 0, 3, 4, 3, 5, 6, 8, 5, 8, 9, 4, 8, 0, 4, 8, 6, 5, 3, 5, 9, 2, 5, 7, 9 , 7, 2, 9, 3, 9, 8, 5, 8, 9, 2, 5, 7, 6, 0, 7, 3, 9, 8, 2, 7, 1, 0, 3, 2, 6, 2, 7, 1, 3, 7, 0, 4, 4, 1, 8, 3, 2, 1, 3, 9, 5, 9, 0, 5, 0, 3, 8, 7, 8, 5, 4, 0, 8, 3, 8, 0.
4L.J. Bain and M. Engelhardt, ”Introduction to Probability and Mathematical Statistics”, Duxbury (1987) p. 220.
5L.J. Bain and M. Engelhardt, ”Introduction to Probability and Mathematical Statistics”, Duxbury (1987) p. 217.
We hebben in feite 14 keer het spel gesimuleerd met de volgende resultaten (ga dit zelf na):
spel resultaat aantal worpen
1 M K K M K M K M M M M 11 2 M K K K K 5 3 K M M M M 5 4 M M K M K K M M M 9 5 K M M K M M M 7 6 M K M K M M M 7 7 M M K M M 5 8 M M M 3 9 M K M K M M K M K K K K M K M K K 17 10 M K K K K 5 11 M K K K K 5 12 M M M 3 13 K M K K M M M M M 9 14 K K M K M K K 7
Het gaat erom informatie te verkrijgen over het gemiddeld aantal worpen nodig om een spel te spelen en op grond daarvan te beslissen of je het spel wilt spelen: als het verwachte aantal worpen minder is dan is het (gemiddeld op de lange duur) gunstig om het spel te spelen en anders niet. We kunnen nu de volgende berekeningen uitvoeren met Xi = het aantal worpen in het i-de spel. Steekproefgemiddelde X14= (11 + 5 +· · · + 7)/14 = 7.00.
Steekproefvariantie S142 = [(11− 7.00)2+ (5− 7.00)2 +· · · (7 − 7.00)2]/13 = 13.54.
We veronderstellen dat het aantal worpen in een spel N (µ, σ2)-verdeeld is. Om kansuitspraken over µ en σ te doen met een betrouwbaarheid van 95%, nemen we α = 0.05.
Omdat t0.025(13) = 2.160 (zie Tabel III) en χ20.025(13) = 24.736 en χ20.975(13) = 5.009 (zie Tabel IV) gelden de volgende uitspraken met kans 0.95:
X14− t0.025(13)· √S14 14 ≤ µ ≤ X14+ t0.025(13)· √S14 14 d.w.z. 4.89≤ µ ≤ 9.11 13S2 14 χ2 0.025(13) ≤ σ2 ≤ 13S142 χ2 0.975(13) d.w.z. 7.11≤ σ2 ≤ 35.1
Hoewel het steekproefgemiddelde X14lager is dan 8 (d.w.z. dat het spel spelen gunstig is), is het niet evident welke beslissing genomen moet worden. Hiervoor zal het aantal gesimuleerde spelen veel groter moeten zijn.
Voorbeeld 9.2
Beschouw een voorraadmodel met een stochastische vraag. Uit het verleden zijn de volgende gegevens over de vraag per dag en over de levertijd (in dagen) bekend:
vraag 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
frequentie 0.26 0.14 0.12 0.10 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.01 0.01
levertijd 7 8 9 10 11 12 13 14
De verwachting en de variantie van de vraag kunnen geschat worden door: X = [26× 0 + 14 × 2 + · · · + 1 × 13]/100 = 3.21
S2= [26× (0 − 3.21)2+ 14× (1 − 3.21)2+· · · + 1 × (13 − 3.21)2]/99 = 10.29 Analoog kan L, de verwachting van de levertijd, geschat worden door:
L = [7× 7 + 13 × 8 + · · · + 3 × 14]/100 = 10.00
Verder hanteren we de volgende gegevens voor dit model, waarbij een jaar bestaat uit 250 (werk)dagen:
vaste bestelkosten : 4,50 euro
verwachte vraag per jaar : 800 stuks voorraadkosten per stuk per jaar : 2,00 euro
kosten per tekort : 1,50 euro
De theoretische optimale waarden voor dit model zijn (afgerond): bestelgrootte Q = 65 en bestelniveau r = 45. Hierbij is wel aangenomen dat de vraag tijdens de levertijd N (µ, σ2 )-verdeeld is met µ = 3.21×10.00 = 32.1 en σ2 = 10.29×10.00 = 102.9. Dit is een wat onrealistische aanname, want uit de frequentietabel blijkt dat de vraag nogal scheef verdeeld is.
Met simulatie zullen we nu deze theoretische (Q, r)-strategie volgen en het doel van de simulatie is om de bijbehorende kosten te schatten (de theoretische waarde van kosten is 155 euro). Het simulatiemodel gebruikt equidistante tijdstippen (per dag wordt het systeem bekeken) en het volgende wordt gesimuleerd:
de vraag: deze wordt door aselecte getallen van twee cijfers gegenereerd: 00− 25 (26%) voor een vraag 0, 26− 39 (14%) voor een vraag 1, enz. tot en met 99 (1%) voor vraag 13.
de levertijd: deze trekkingen kunnen op analoge wijze met aselecte getallen van twee cijfers gegenereerd worden: 00− 06 (7%) voor levertijd van 7 dagen, 07 − 19 (13%) voor levertijd van 8 dagen, . . . , 97− 99 (3%) voor een levertijd van 14 dagen.
Hiermee kunnen we de vraag, de voorraad, de tekorten en de bestellingen administreren, waaruit de jaarlijkse kosten eenvoudig kunnen worden berekend.
Veronderstel dat de simulatie gedurende 1000 dagen wordt uitgevoerd (dit komt overeen met 4 jaar) en dat dit de volgende jaargemiddelden oplevert:
vraag : 780
gemiddelde voorraad : 48 aantal bestellingen : 13
aantal tekorten : 9
Hiermee kunnen de totale kosten worden berekend: 48× 2 + 9 × 1, 50 + 13 × 4, 50 = 168 euro. Laten we op deze wijze een achttal runs uitvoeren met als jaarlijkse kosten:
run 1 2 3 4 5 6 7 8
Dit geeft als het steekproefgemiddelde voor de jaarlijkse kosten [168 + 143 + 152 + 171 + 159 + 162 + 171 + 154]/8 = 160 en voor de steekproefvariantie [(168− 160)2 + (143− 160)2+ (152− 160)2+ (171− 160)2+ (159− 160)2+ (162− 160)2+ (171− 160)2+ (154− 160)2]/7 = 100. Willen we met een betrouwbaarheid van 95% statistische uitspraken doen over de jaarlijkse kosten, dan moeten we kijken bij de Student-verdeling met 7 vrijheidsgraden en met t0.025(7) = 2.363. Dus met een kans van 95% liggen de jaarlijkse kosten tussen 160−2.363·√S
8 ≈ 151.6 en 160+2.363·
S √
8 ≈ 168.4 euro. Voor een 95% betrouwbare uitspraak over de variantie gebruiken we de Chi-kwadraatverdeling met 7 vrijheidsgraden: χ27S2
0.025(7) = 16.013700 ≈ 43.7 ≤ σ2 ≤ 7S2
χ2
0.975(7) = 1.690700 ≈ 414. Voorbeeld 9.3
Beschouw een wachtrijmodel met ´e´en bediende. Veronderstel dat zowel de tussentijden tussen de aankomsten als de bedieningsduren een uniforme verdeling hebben op resp. {6, 8, 10, . . . , 24} en {1, 3, 5, . . . , 19}. Voor dit model zijn geen analytische resultaten bekend.
Veronderstel dat de tussentijden en bedieningsduren met aselecte getallen van ´e´en cijfer worden gegenereerd: het aselecte getal i (0≤ i ≤ 9) correspondeert met een tussentijd 6 + 2i en met een bedieningsduur 1 + 2i (0≤ i ≤ 9); voor de tussentijden en bedieningsduren trekken we uiteraard aparte getallen.
Bij dit model houden we steeds het volgende bij: - de relevente tijdstippen: aankomsten en vertrekken; - het aantal klanten in het systeem
- het getrokken aselecte getal: als er een klant binnenkomt dan trekken we de volgende tussentijd, gaat er een klant weg dan trekken we de volgende bedieningsduur (als een klant binnenkomt op het moment dat het systeem leeg is dan trekken we zowel de tussentijd als de bedieningsduur); - het tijdstip waarop een volgende klant zal binnenkomen;
- het tijdstip waarop de volgende bediening klaar zal zijn.
De tabel op de volgende pagina toont een voorbeeld van mogelijke data.
We zijn ge¨ınteresseerd in de wachttijden van de klanten. Zij voor de i-de klant Xi en Yi de tijden die de i-de klant in het systeem resp. de wachtrij doorbrengt. De simulatie heeft het volgende opgeleverd:
X1 = 13, Y1 = 0; X2= 16, Y2 = 3; X3= 5, Y3 = 2; X4 = 3, Y4= 0; X5 = 19, Y5= 0; X6 = 16, Y6 = 7; X7= 19, Y7 = 8; X8= 16, Y8 = 11; X9= 11, Y9 = 8; X10= 13, Y10= 0; X11= 7, Y11= 0.
Voor het steekproefgemiddelde en de steekproefvariantie van deze data geldt:
Tijd in systeem: steekproefgemiddelde = 13811 = 12.55 en steekproefvariantie = 300.7310 = 30.07. Tijd in wachtrij: steekproefgemiddelde = 3911 = 3.55 en steekproefvariantie = 172.7310 = 17.27. Ook in dit geval is het in principe weer mogelijk om statistische uitspraken op te stellen met betrouwbaarheidsintervallen. Om tot zinvolle uitspraken te komen zijn echter veel meer data nodig.
tijdstip aantal aselect(e) volgende volgend klanten getal(len) aankomst vertrek
0 0 9 24 n.v.t. 24 1 2,6 34 37 34 2 4 48 37 37 1 6 48 50 48 2 4 62 50 50 1 1 62 53 53 0 n.v.t. 62 n.v.t. 62 1 1,1 70 65 65 0 n.v.t. 70 n.v.t. 70 1 3,9 82 89 82 2 1 90 89 89 1 4 90 98 90 2 1 98 98 98 2 1,5 106 109 106 3 6 124 109 109 2 2 124 114 114 1 1 124 117 117 0 n.v.t. 124 n.v.t. 124 1 5,6 140 137 137 0 n.v.t. 140 n.v.t. 140 1 9,3 164 147 147 0 n.v.t. 164 n.v.t. 164 1