We beschouwen in deze paragraaf een voorraadmodel waarin de vraag per tijdseenheid stochastisch is met verwachting D. In dit model willen we de verwachte kosten minimaliseren. Aan de vraag wordt voldaan door levering na bestelling, en niet door productie. Als de levertijd L = 0, dan is het stochastisch karakter van de vraag in feite niet van belang, en kunnen we de formules uit de vorige paragraaf gebruiken met voor D de verwachting van de vraag.
Bij een positieve levertijd L wordt het model wezenlijk anders; het is dan ook niet mogelijk om te garanderen dat er geen tekorten ontstaan. Tekorten die ontstaan zullen worden nageleverd. Doorgaans zal de bestelgrootte groter zijn dan de verwachte vraag om een goede service te bieden aan de klanten. Deze extra hoeveelheid wordt de veiligheidsvoorraad genoemd; dit is een buffer tegen stochastische fluctuaties.
Indien de voorraad gedaald is tot niveau r (bestelpunt), wordt een hoeveelheid Q (bestelgrootte) besteld.
Zij xL de stochastische vraag gedurende de levertijd L met een gegeven dichtheid fL(x) met verwachting µL en standaardafwijking σL. Dus r− xL= de voorraad vlak voor er een bestelling binnenkomt en r− xL+ Q = de voorraad vlak nadat er een bestelling is binnengekomen. Zij I1 en I2 de verwachte voorraad aan het begin (direct na aanvulling) resp. aan het einde van een cykel. Dan geldt: I1= r− µL+ Q en I2 = r− µL.
Voor de gemiddelde voorraad Igem nemen we: Igem= 12(I1+ I2) = r− µL+12Q.
De gemiddelde bestelkosten zijn, analoog aan het vorige model: DC + ADQ . De variabele kosten DC zijn onafhankelijk van de strategie en worden weer weggelaten, zodat de kostenfunctie is:
K(Q, r) = ADQ + h· (r − µL+12Q).
We willen de kosten minimaliseren onder de voorwaarde dat de klanten een gegarandeerd service-niveau hebben. Voor dit service-service-niveau zullen we twee verschillende modellen bespreken:
Model 1: De kans dat er in een cykel een tekort ontstaat is hoogstens α; Model 2: De kans dat een willekeurige klant een tekort aantreft is hoogstens β. Het volgende voorbeeld laat zien dat dit zeer verschillende criteria zijn.
Voorbeeld 6.4
Veronderstel dat we een stochastische vraag hebben met een verwachting van 1000 eenheden per jaar, en dat de vraag tijdens de levertijd 20, 30, 40, 50 of 60 is, elk met een kans 0.2. De verwachte vraag gedurende de levertijd is 40. Beschouw de strategie die 100 eenheden bestelt zodra het voorraadniveau 30 is. Er treedt in een cykel een tekort op als de vraag meer dan 30 is en de kans hierop is 0.6.
Het verwachte tekort in een cykel is dus : 0.2(40-30) + 0.2(50-30) + 0.2(60-30) = 12. Het verwachte aantal klanten per cykel is 100. De kans dat een willekeurige klant een tekort aantreft is dus 12/100 = 0.12.
Daarnaast zullen we ook het volgende model beschouwen: Model 3: Tekorten zijn toegestaan tegen boetekosten. Aanname:
We veronderstellen in deze paragraaf dat xL, de vraag gedurende de levertijd, N (µL, σ2
L)-verdeeld is.
Model 1: De kans dat er in een cykel een tekort ontstaat is hoogstens α. Voor dit model moet dus gelden dat Q en r de oplossing zijn van:
min{AD
Q + h· [1
Omdat r lineair met een positieve co¨effici¨ent voorkomt in de doelfunctie en de beperking niet van Q afhangt, moet r de kleinste waarde zijn die aan de beperking voldoet. Laat yL= xL−µL
σL , dan is yLN (0, 1)-verdeeld. De beperking van (6.3) is equivalent met P(yL> r−µL
σL )≤ α, en uit Tabel I volgt de waarde, zeg zα, voor r−µL
σL , zodat r = µL+ σL· zα.
Omdat r niet afhangt van Q, heeft de optimale Q dezelfde waarde als in model I van de continue deterministische modellen: Q =
q
2AD h . Voorbeeld 6.2 (vervolg)
Veronderstel dat voor de levertijd L geldt dat µL= 800 en σL= 200, en laat α = 0.1.
We hebben gezien dat Q = 2000. Uit Tabel I volgt dat zα = 1.29, dus r = 800 + 200· 1.29 = 1058. De veiligheidsvoorraad is dus 258.
Model 2: De kans dat een willekeurige klant een tekort aantreft is hoogstens β. Laat B de stochastische variabele zijn die het aantal tekorten in een cykel aangeeft. Dan geldt voor de verwachting: E B = R∞
r (x− r)fL(x)dx. De kans dat een willekeurige klant een tekort aantreft is EB
Q . We moeten dus oplossen het probleem: min AD Q + h· [12Q + r− µL] 1 Q Z ∞ r (x− r)fL(x)dx≤ β (6.4) Voor β niet te groot is het aannemelijk (zie de eerdere discussie over de gevoeligheidsanalyse) dat Q, berekend met de wortelformule, d.w.z. Q =
q
2AD
h , een goede benadering is voor de optimale bestelgrootte.
We moeten r bepalen z´odat R∞
r (x− r)fL(x)dx≤ β · Q. Door te substitueren y = x−µL σL kunnen we schrijven: R∞ r (x− r)fL(x)dx =R∞ r (x− r)σ 1 L√ 2πe−12(x−µLσL )2 dx = σL R∞ r−µL σL (y−r−µL σL )√1 2πe−12y2 dy = σL· N(r−µL σL ), waarbij N (z) =R∞ z (y− z)√1 2πe−12y2
dy. De waarden van N (z) zijn getabelleerd (zie Tabel II). We moeten r dus zo bepalen dat N (r−µL
σL ) ≤ βQσL en r zo klein mogelijk. Zij z(β) de grootste waarde uit Tabel II kleiner dan of gelijk aan βQσ
L, dan is r = µL+ σL· z(β). Voorbeeld 6.2 (vervolg)
Laat β = 0.01. Uit Tabel II volgt z(β) = 0.91, zodat r = 800 + 200· 0.91 = 982; de veiligheidsvoorraad is 182.
Opmerking: Indien βQσ
L > 0.3989, dan kan de waarde van z(β) niet direct uit Tabel II worden afgelezen. In dat geval is z(β) negatief en kan worden gevonden door gebruik te maken van de formule: N (z) = N (−z)−z voor z < 0. De correctheid van deze formule kan als volgt worden aangetoond: Laat Φ(y) = √1 2πe−12y2 . Voor z < 0 geldt: N (z) =R∞ z (y− z)Φ(y)dy =R−z z (y− z)Φ(y)dy +R∞ −z[(y + z)− 2z]Φ(y)dy =R−z z yΦ(y)dy− zR−z z Φ(y)dy + N (−z) − 2zR∞ −zΦ(y)dy.
Omdat Φ(y) symmetrisch is om 0, geldt: R−z z yΦ(y)dy = 0 enR∞ −zΦ(y)dy =Rz −∞Φ(y)dy. Hieruit volgt: N (z) =−zR−z z Φ(y)dy + N (−z) − zR∞ −zΦ(y)dy− zRz −∞Φ(y)dy = N (−z) − z[Rz −∞Φ(y)dy +R−z z Φ(y)dy +R∞ −zΦ(y)dy] = N (−z) − z. Model 3: Tekorten zijn toegestaan tegen boetekosten.
In dit model zijn tekorten toegestaan, maar geeft ieder tekort boetekosten q. Ook in dit model beperken we ons tot (Q, r)-strategie¨en, waarbij Q en r zo bepaald worden dat de bijbehorende verwachte kosten minimaal zijn.
Omdat het verwachte aantal tekorten per cykel E B is en er DQ cykels per tijdseenheid zijn, hebben we in dit model te maken met de volgende verwachte kosten:
K(Q, r) = ADQ + h· Igem+qDQ EB = ADQ + h· [12Q + r− µL] +qDQ R∞
r (x− r)fL(x)dx.
De optimale waarden van de beslissingsvariabelen worden gevonden door parti¨eel te differenti¨eren:
∂K ∂Q =−ADQ−2+12h−qDQ−2R∞ r (x−r)fL(x)dx = 0 → Q =q2D h {A + q ·R∞ r (x− r)fL(x)dx}. ∂K ∂r = h + qDQ−1· ∂ ∂r R∞ r (x− r)fL(x)dx = 0 1 → R∞ r fL(x)dx = hQqD.
Merk op dat de formule voor Q lijkt op de EOQ-formule. Alleen is A vervangen door A + q· R∞
r (x−r)fL(x)dx. Dit is ook in te zien door op te merken dat er per cykel naast vaste bestelkosten A ook ”vaste boetekosten” q· E B = q ·R∞
r (x− r)fL(x)dx optreden.
Ofschoon we uitdrukkingen hebben voor Q en r, is het probleem hiermee nog niet opgelost: bij het uitrekenen van Q hebben we de waarde van r nodig en omgekeerd:
Q(r) = q
2D
h {A + q ·R∞
r (x− r)fL(x)dx} en r(Q) wotdt bepaald doorR∞
r fL(x)dx = hQqD. De optimale waarden van Q en r kunnen door successieve approximatie worden benaderd: Stap 1: Kies een willekeurige ε > 0, laat k = 0 en Q0=
q
2AD h . Stap 2: Bepaal rk z´odatR∞
rk fL(x)dx = hQk
qD.
Stap 3: Als k ≥ 1 `en |Qk− Qk−1| ≤ ε `en |rk− rk−1| ≤ ε: stop. Stap 4: k := k + 1; Qk:= Q(rk−1) en ga naar stap 2.
We zullen nu aangeven hoe de berekeningen van rk en Qk precies geschieden. Bepaling rk
Er moet gelden: R∞
rk fL(x)dx = hQk
qD , d.w.z. P[xL ≥ rk] = hQk
qD. Zoek in Tabel I zk z´odanig dat voor een N (0, 1)-verdeelde z geldt dat P[z ≤ zk] = hQk
qD . Omdat xL−µL
σL ook N (0, 1)-verdeeld is, volgt hieruit dat rk = µL+ σL· zk.
1Volgens de regel van Leibnitz geldt als g(y) =Rb(y)
a(y)h(y, x)dx, dan is ∂g ∂y =Rb(y)
a(y) ∂
∂yh(y, x)dx+h(y, b(y))∂ ∂yb(y)− h(y, a(y))∂
Bepaling Qk+1
Voor de bepaling van Qk+1 moet R∞
rk(x− rk)fL(x)dx worden berekend. Dit kan met Tabel II na transformatie tot de standaard normale verdeling. We hebben bij Model 2 gezien dat R∞
rk(x− rk)fL(x)dx = σL· N(rk−µL
σL ). Er geldt dus: Qk+1 = q2Dh {A + q · σL· N(rk−µL
σL )}, waarbij de waarde van N(rk−µL
σL ) uit Tabel II wordt gehaald.
Voorbeeld 6.2 (vervolg)
Neem q = 2 en ε = 1. Voor de functies Q(r) en r(Q) geldt: Q(r) =q2Dh {A + q · σL· N(rk−µL
σL )} = 2000q1 + 83N (rk−800
200 ) en r(Q) = hQqD = 80.0003Q . De berekeningen van de successieve approximatie staan in onderstaand tabel.
k Qk hQk qD zk rk N (zk) 0 2000 0.075 1.44 1088 0.03356 1 2088 0.078 1.42 1084 0.03508 2 2091 0.078 1.42 1084 0.03508 3 2091 0.078 1.42 1084 0.03508
Hieruit volgt als benadering voor de oplossing: Q = 2091 en r = 1084. Voor de kosten geldt: vaste bestelkosten = 717, voorraadkosten = 997 en boetekosten 67; de totale kosten zijn dus 1781.