We zullen eerst de formule van Little illustreren aan de hand van een voorbeeld. Beschouw een postkantoor waar gemiddeld λ = 2 klanten per minuut binnenkomen. Een klant verblijft gemiddeld W = 3 minuten in het postkantoor. Laat L het gemiddeld aantal klanten in het postkantoor zijn, dan is het duidelijk dat L = λW = 6. De formule
L = λW (7.1)
is de Formule van Little en is een soort natuurwet in de wachttijdtheorie. Deze formule geeft het verband aan tussen het gemiddeld aantal klanten in het systeem (L) en de gemiddelde verblijftijd (W ) in het systeem.
Definieer de volgende vijf stochastische variabelen:
N (t) = het aantal aankomsten in het interval [0, t]; L(t) = het aantal klanten in het systeem op tijdstip t;
Lq(t) = het aantal klanten dat op bediening wacht op tijdstip t; Vn = de verblijftijd van de n-de klant in het systeem;
Wn = de wachttijd (tijd voordat de bediening begint) van de n-de klant in het systeem. Vervolgens introduceren we de volgende vijf getallen:
λ = limt→∞E[N (t)]t : de gemiddelde aankomstsnelheid; L = limt→∞1t Rt
0 E[L(s)]ds : het gemiddeld aantal klanten in het systeem; Lq = limt→∞1t Rt
0 E[Lq(s)]ds : het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij; W = limn→∞n1Pn
m=1 E[Vm] : de gemiddelde verblijftijd van een klant in het systeem; Wq = limn→∞n1Pn
m=1 E[Wm] : de gemiddelde wachttijd van een klant in de wachtrij. Deze limieten bestaan onder algemene voorwaarden, die erop neerkomen dat het systeem van tijd tot tijd leegraakt, waarbij de verwachting van de tijdsduur voordat het systeem leeg is eindig is. In feite kan een sterker resultaat dan (7.1) worden bewezen, namelijk convergentie in waarschi-jnlijkheid. Beschouw de stochastische uitdrukking 1t Rt
0 L(s)ds, d.w.z. het aantal klanten dat het tijdsinterval [0, t] per tijdseenheid in het systeem aanwezig is. We zullen bewijzen dat deze stochast met kans 1 naar het getal L convergeert als t→ ∞. Dit is een sterkere uitspraak dan de convergentie van de verwachtingen, d.w.z. dat limt→∞1t Rt
0 E[L(s)]ds naar L convergeert. Analoge uitspraken gelden voor λ, Lq, W en Wq.
We zullen nu eerst een intu¨ıtieve verklaring geven voor de formule van Little. Veronderstel dat elke klant 1 euro betaalt voor iedere tijdseenheid die de klant in het systeem verblijft. De systeembeheerder ontvangt dan op de lange duur L euro per tijdseenheid. Anderzijds is het gemiddelde bedrag dat een klant betaalt op de lange duur W euro en per tijdseenheid komen gemiddeld λ klanten binnen. Als de klanten bij binnenkomst moeten betalen, dan ontvangt de systeembeheerder gemiddeld dus λW euro per tijdseenheid. Hieruit volgt dat L = λW . We zullen nu een formeel bewijs geven.
Stelling 7.1 Veronderstel dat λ en W goed gedefinieerd en eindig zijn. Dan geldt: L = λW . Bewijs
Laat Tnde aankomsttijd zijn van de n-de klant, X(t) de som van de verblijftijden van de klanten die in [0, t] arriveren en Y (t) de som van de verblijftijden van de klanten die v´o´or tijdstip t weer vertrokken zijn. We zullen de volgende drie beweringen bewijzen:
Bewering 1: Voor alle t≥ 0 geldt dat X(t)t ≥ 1tRt
0 L(s)ds≥ Y (t)t . Bewering 2: limt→∞ X(t)t = λW .
Bewering 3: limt→∞ X(t)t = limt→∞Y (t)t .
Veronderstel dat deze beweringen zijn bewezen. Dan is het bewijs als volgt te geven: λW = limt→∞1t Rt
0 L(s)ds = L. Bewijs Bewering 1:
Laat X(t) =P
{n|Tn≤t}Vn, d.w.z. X(t) is de som van de verblijftijden van de klanten die in [0, t] zijn binnengekomen en zij Y (t) = P
die in [0, t] zijn binnengekomen en weer vertrokken.
Veronderstel (net als in bovenstaande intu¨ıtieve verklaring voor de formule van Little) dat iedere klant weer 1 euro per tijdseenheid verschuldigd is. Als bij binnenkomst wordt betaald, dan ontvangt de systeembeheerder X(t) euro in het tijdsinterval [0, t]; als de klanten per tijdseenheid moeten afrekenen dan is de opbrengst in het interval [0, t] gelijk aan Rt
0 L(s)ds en als bij vertrek wordt betaald, dan heeft de beheerder gedurende de eerste t tijdseenheden het bedrag Y (t) ontvangen. Omdat in het eerste geval eerder wordt betaald dan in het tweede en het tweede geval weer eerder dan in het derde is het duidelijk dat X(t) ≥Rt
0 L(s)ds≥ Y (t) voor alle t ≥ 0, waaruit bewering 1 volgt.
Bewijs Bewering 2:
Merk op dat limn→∞n1Pn
m=1 Vm = limt→∞N (t)1 PN (t)
m=1 Vm, waaruit volgt dat λW =nlimt→∞ N (t)t olimn→∞ 1 n Pn m=1Vm = limt→∞1 t PN (t) m=1 Vm = limt→∞1t P {m|Tm≤t} Vm= limt→∞X(t)t . Hieruit volgt Bewering 2.
Bewijs Bewering 3: limn→∞ Vn
Tn = 0, omdat limn→∞ Tn=∞ en Vn met kans 1 begrensd is, aangezien de verwachte tijdsduur voordat het systeem weer leeg is eindig is. Uit limn→∞ Vn
Tn = 0 volgt dat er voor iedere ε > 0 een Nε is zodat Vn
Tn < ε voor alle n > Nε. Laat t voldoende groot zijn zodat N (t) > Nε. Zij S1(t) ={n ≤ Nε | Tn+ Vn≤ t} en S2(t) ={n > Nε | Tn+ Vn≤ t}. Dan geldt:
Y (t) = X n∈S1(t) Vn+ X n∈S2(t) Vn. (7.2) Definieer S3(t) en S4(t) door: S3(t) ={n > Nε| Tn+εTn≤ t} en S4(t) ={n ≤ Nε| Tn+εTn≤ t}. Omdat voor n > Nε geldt dat Tn+ Vn< Tn+ εTn, is S3(t)⊆ S2(t), zodat
X
n∈S3(t)
Vn≤ X
n∈S2(t)
Vn. (7.3)
Uit (7.2) en (7.3) volgt dat
Y (t)≥ X n∈S1(t) Vn+ X n∈S3(t) Vn= X n∈S1(t) Vn− X n∈S4(t) Vn+ X n∈S3(t) Vn+ X n∈S4(t) Vn. (7.4)
Laat vervolgens S5(t) ={n | Tn+ εTn≤ t} = {n | Tn≤ 1+εt }. Dan kunnen we schrijven
Y (t)≥ X n∈S1(t) Vn− X n∈S4(t) Vn+ X n∈S5(t) Vn= X n∈S1(t) Vn− X n∈S4(t) Vn+ X( t 1 + ε). (7.5) Nu geldt X(t) t ≥ Y (t)t ≥ 1t X n∈S1(t) Vn− X n∈S4(t) Vn +X( t 1+ε) t . (7.6) Omdat P n∈S1(t)Vn−P
n∈S4(t)Vn begrensd wordt doorP
n≤NεVn geldt: limt→∞ 1tnP
n∈S1(t)Vn−P
Verder geldt limt→∞X( t 1+ε)
t = lims→∞ (1+ε)sX(s) = 1+ε1 lims→∞ X(s)s . Hiermee volgt uit (7.6) dat lim t→∞ X(t) t ≥ lim t→∞ Y (t) t ≥ 1 + ε1 lim t→∞ X(t) t . (7.7)
Omdat (7.7) geldt voor alle ε > 0, geldt dat limt→∞X(t)t = limt→∞Y (t)t , waarmee Bewering 3 ook bewezen is.
Op analoge wijze kan ook de volgende stelling worden bewezen.
Stelling 7.2 Veronderstel dat λ en Wq goed gedefinieerd en eindig zijn. Dan geldt: Lq = λWq. Voor wachttijdsystemen met een Poisson aankomstproces geldt dat op de lange duur een bin-nenkomende klant het systeem in de gemiddelde situatie aantreft, onafhankelijk van hoe de verdeling van de bedieningsduur is. Deze eigenschap heet PASTA (= Poisson Arrivals See Time Averages).
Voor algemene aankomstprocessen geldt deze eigenschap niet. Beschouw namelijk een aankomst-proces waarin de klanten precies om de twee minuten arriveren en een bedieningsduur van precies ´e´en minuut krijgen. Iedere klant die binnenkomt treft het systeem leeg aan, terwijl het systeem gemiddeld 50% leeg is. We zullen nu deze PASTA-eigenschap plausibel maken.
Laat {N(t), t ≥ 0} het Poisson aankomstproces (met parameter λ) beschrijven en {X(t), t ≥ 0} de evolutie van de toestand van het systeem zijn (bijv. het aantal klanten in het systeem op tijdstip t). De PASTA-eigenschap houdt in dat op de lange termijn geldt:
De fractie van het aantal aankomende klanten dat het systeem in een bepaalde toestandsverz. aantreft = de fractie van de tijd dat het systeem in die bepaalde toestandsverz. verkeert. We veronderstellen dat het proces{X(t), t ≥ 0} een regeneratief proces is, d.w.z. dat er (stochastis-che) tijdstippen zijn (regeneratiepunten), waarop het systeem - kanstheoretisch - gezien opnieuw begint (bijv. de tijdstippen waarop het systeem leeg raakt). De perioden tussen de regener-atiepunten heten cykels.
Zij T de (stochastische) lengte van een cykel, met 0 < E(T ) <∞, N het (stochastische) aantal aankomsten gedurende een cykel en laat A een toestandsverz. zijn.
Definieeer verder:
TA= de tijdsduur dat het systeem gedurende een cykel in toestandsverz. A is;
NA= het aantal aankomsten tijdens een cykel dat het systeem in toestandsverz. A aantreft. Nu kan worden bewezen3 dat
E(NA) = λ E(TA). (7.8)
Passen we (7.8) toe met voor A de verz. van alle toestanden, dan krijgen we
E(N ) = λ E(T ), (7.9)
zodat
E(NA) E(N ) =
E(TA)
E(T ) . (7.10)
Op grond van de theorie van renewal processen4 geldt dat E(NA)
E(N ) op de lange duur de fractie van de aankomende klanten is die het systeem in de toestandsverz. A aantreffen en dat E(TA) E(T )
de fractie van de tijd is dat het systeem in toestand A is. Hiermee is de PASTA-eigenschap verklaard.