Tot nu toe hebben we te maken gehad met het nemen van ´e´en beslissing. Vaak moet er echter een rij van beslissingen worden genomen. Een dergelijk probleem kan handig gemodelleerd worden via een beslissingsboom. Hierin worden de beslissingen sequentieel aangegeven. De wortel van de boom correspondeert met de start van het beslissingsproces. We onderscheiden de volgende typen knooppunten:
a. Beslissingspunten (aangegeven met B):
Hierin wordt uit een aantal alternatieven er ´e´en gekozen, waarna we met een pijl aangeven in welk knooppunt we vervolgens terecht komen.
b. Toevalspunten (aangegeven met T):
Hierin wordt geen beslissing genomen, maar het volgend punt wordt via een kansmechanisme bepaald; vanuit dit punt loopt een aantal pijlen en bij iedere pijl staat de kans dat deze pijl gekozen wordt.
c. Eindpunten (aangegeven met E):
Hier stopt het proces en bij een eindpunt staat de uitbetaling die we ontvangen als we in een dergelijk punt terecht komen.
Door nu vanuit de eindpunten in de boom terug te lopen, en in ieder knooppunt dat we aldus bereiken de (maximale) verwachting te nemen over de daar aanwezige mogelijkheden (beslissings-of kansovergangen) is het beslissingsprobleem op te lossen.
Ook de Bayesiaanse analyse is in een beslissingsboom in te bouwen: voor iedere toestand nemen we een toevalspunt en de verschillende uitkomsten geven de kansovergangen (deze kansen moeten wel afzonderlijk eerst worden berekend).
We zullen voor Voorbeeld 8.2 de beslissingsboom opstellen. Bij de beslissingspunten is via een onderstreping van de beslissing aangegeven wat de optimale beslissing is.
Voorbeeld 8.2 (vervolg) B B T T T B B E E E E 2000 -200 660 60 0.3 0.7 0.3 0.7 460 240 optie B optie A 460 geen proefboring T T T T E E E E E E E E 30 630 -230 1970 30 630 -230 1970 0.46 0.54 0.46 0.54 0.13 0.87 0.13 0.87 108 56 optie A optie B optie A optie B 306 782 108 U1(0.48) 56 U2(0.52) 458.48 wel proefboring 460
De optimale beslissing is dus: geen proefboring en optie B (niet verkopen).
8.5 Opgaven
Opgave 1
Pas de vijf criteria uit paragraaf 8.2 toe op de volgende uitbetalingsmatrix:
15 10 0 −6 17 3 14 8 9 2 1 5 14 20 −3 7 19 10 2 0
Opgave 2
Uit 4 machines wordt er ´e´en gekozen. Als machine i wordt gekozen, dan is de opbrengst Ki+ ciQi met Ki, ci gegeven getallen en Qi een getal waarvan we alleen weten dat het tussen Ai en Bi ligt, waarbij Ai en Bi wel bekend zijn (1≤ i ≤ 4). De numerieke waarden zijn:
machine i Ki ci Ai Bi
1 100 5 10 20
2 40 12 0 20
3 150 3 10 30
4 90 8 0 20
Welke machine kan het best worden gekozen? Formuleer dit probleem als een beslissingsprobleem zonder kansen en pas de vijf criteria uit paragraaf 2 toe.
Opgave 3
Bepaal voor de uitbetalingsmatrix uit opgave 1 met p1 = 0.3, p2 = 0.1, p3 = 0.1, p4 = 0.2 en p5= 0.3 het volgende: de maximale verwachte uitbetaling, het minimale verwachte verlies en de verwachte uitbetaling bij volledige informatie.
Opgave 4
Een bedrijf produceert een product tegen kosten van 10 euro per kg. Het wordt verkocht voor 20 euro per kg. Op grond van technische overwegingen kan het bedrijf slechts 100, 200 of 300 kg produceren. Uit deze drie mogelijkheden moet een keuze worden gemaakt.
We nemen aan dat de vraag D naar het product eveneens 100, 200 of 300 is met P[D = 100] = 0.4, P[D = 200] = P[D = 300] = 0.3.
Als er meer geproduceerd wordt dan er vraag is, dan gaan de productiekosten verloren, is de vraag groter dan de productie, dan wordt nageleverd en een nalevering kost het bedrijf 45 euro per kg (de verkoopprijs blijft 20 euro).
a. Bepaal een optimale productiestrategie, gebaseerd op een maximale verwachte winst. b. Wat is voor dit probleem de waarde van volledige informatie?
Opgave 5
Veronderstel dat een beleggingsmaatschappij een keuze wil maken uit drie projecten (A, B en C) om in te investeren.
Het rendement van deze investering is afhankelijk van de toekomstige economische situatie: deze kan gunstig (situatie 1) of ongunstig (situatie 2) zijn. De uitbetalingsmatrix is (in miljoenen euro’s):
1 2
A 50 30
B 100 -40
De a-priori kans op een gunstige economische situatie is 60%. De maatschappij overweegt om een financieel adviesbureau in te schakelen om de toekomstige economische situatie te taxeren. De reputatie van dit bureau is dat 80% van de adviezen correct zijn. Hoeveel zal de maatschappij maximaal willen betalen voor een dergelijk advies?
Opgave 6
Een oliemaatschappij bezit een stuk land waarvan beweerd wordt dat er olie in de grond zit. De maatschappij klassificeert dergelijke stukken grond in vier categorie¨en: 500.000 vaten, 200.000 vaten, 50.000 vaten en 0 vaten.
De a-priori kansen op deze toestanden zijn: 0.1, 0.15, 0.25 en 0.5 resp. De maatschappij moet beslissen of het zelf wil gaan boren, de boring gaat uitbesteden of het land gaat verkopen. De verwachte opbrengst van deze mogelijkheden staat hieronder:
500.000 200.000 50.000 0
zelf boren 650.000 200.000 -25.000 -75.000
boren uitbesteden 250.000 100.000 0 0
verkoop 45.000 45.000 45.000 45.000
De maatschappij kan een bodemonderzoek laten verrichten. De kosten van een dergelijk onder-zoek bedragen 12.000 en de uitkomst van zo’n onderonder-zoek is dat het land wordt ingedeeld in een van de volgende vier klassen: klasse 1 (grote kans op olie), klasse 2 (redelijke kans op olie), klasse 3 (kleine kans op olie) en klasse 4 (nauwelijks kans op olie).
Op grond van bodemonderzoek in het verleden is het verband tussen deze vier klassen en de classificatie van de oliemaatschappij als volgt vastgesteld in een frequentietabel met 100 waarne-mingen: klasse 500.000 200.000 50.000 0 1 7 9 11 9 2 4 3 6 13 3 1 2 3 15 4 0 2 4 11
a. Welke beslissing zal de oliemaatschappij nemen zonder bodemonderzoek? b. Tot welke beslissing zal het bodemonderzoek leiden?
c. Is het bodemonderzoek 12.000 waard?
Opgave 7
Los opgave 5 op met een beslissingsboom.
Opgave 8
Hoofdstuk 9
Simulatie
9.1 Inleiding
In de vorige hoofdstukken werden voor bepaalde wiskundige modellen grootheden berekend via formules of met daartoe opgestelde algoritmen. Bij simulatie worden grootheden door experi-menten bepaald. Simulatie is dan ook een methode van experimenteren, d.w.z. een numerieke techniek voor het uitvoeren van experimenten aan een wiskundig model dat het gedrag van een (meestal complex) systeem beschrijft. Een dergelijk experiment wordt vele malen herhaald en op grond van de uitkomsten trachten we statistische uitspraken te doen over het algemene model. De simulatietechniek wordt gebruikt als het onmogelijk, te kostbaar of te tijdrovend is om met het echte systeem te experimenteren. Het gebruik van simulatie moet dan ook worden ontraden als er een wiskundig model bestaat dat de realiteit voldoende nauwkeurig beschrijft en dat zonder veel problemen op te lossen of te analyseren is. Helaas is de realiteit meestal veel complexer dan ieder eenvoudig wiskundig model. Gebruiken we dan toch zo’n model, dan wordt de werkelijkheid geweld aangedaan en is het niet na te gaan of de uitkomsten van het model ook gelden voor de feitelijke situatie. In zo’n geval kan simulatie uitkomst bieden. Bij simulatie moeten ook wel zekere spelregels worden opgesteld, maar deze kunnen veel verfijnder zijn zonder dat de hanteerbaarheid van de simulatietechniek in gevaar komt. De huidige stand van zaken, waarin snelle computers goedkoop heel veel berekeningen uitvoeren, maken dat de simulatietechniek steeds vaker en betrouwbaarder kunnen worden toegepast.
Bij het toepassen van simulatie kunnen de volgende stadia worden onderscheiden. a. Formulering van het probleem
In dit stadium wordt het probleem verbaal omschreven en zal men zich bezig houden met de vragen die beantwoord moeten worden. De doelstellingen van het experiment dienen expliciet vastgesteld te worden.
b. Constructie van het wiskundig model
Uitgaande van de in stap a geformuleerde doelstellingen zal men het probleem nu in een wiskundige vorm, d.w.z. met variabelen en relaties ertussen, gaan modelleren. Als het model een systeem op ´e´en vast tijdstip beschrijft, dan spreken we van een statisch simulatie model (ook wel Monte
Carlo simulatie genoemd). Beschrijft het model het systeem gedurende de tijd, dan hebben we te maken met een dynamisch model.
We kennen discrete en continue dynamische modellen. Bij een discreet model verandert de toe-stand van het systeem op discrete tijdstippen (bijv. in een voorraadmodel waarin aan het begin van iedere week een bestelling wordt geplaatst). Bij een continu model kunnen de variabelen continu veranderen (bijv. de positie van een vliegtuig in de lucht). In plaats van het totale systeem als ´e´en geheel te beschrijven, beschrijft het simulatie model meestal de werking van het systeem in termen van de afzonderlijke componenten. De wisselwerking tussen de componenten wordt eveneens in het model opgenomen.
Als het wiskundig model is opgesteld, dan moet worden nagegaan of het model geschikt is. Dit heet verificatie en validatie. Verificatie houdt in dat wordt nagegaan of het model doet wat de ontwerper wil dat het model doet; validatie betekent dat het model een goede voorstelling van de werkelijkheid is.
c. Ontwerp van het experiment
Nadat het model is geconstrueerd wordt een serie experimenten uitgevoerd om bepaalde gegevens te verkrijgen waaruit de conclusies zullen worden getrokken. Daarbij moet van tevoren over het volgende worden beslist:
- Wat moet worden berekend en hoe worden de berekeningen uitgevoerd? - Hoe groot is het aantal series experimenten?
- Wat is de lengte van iedere serie?
Deze grootheden moeten zo worden vastgesteld dat de gewenste statistische eigenschappen (bijv. een zekere betrouwbaarheid) worden bereikt.
d. Ontwikkelen van het computerprogramma
Voor het uitvoeren van de experimenten dient een computerprogramma geschreven te worden. Het administreren van de opeenvolgende gebeurtenissen en het opbouwen van het daarop betrekking hebbend statistische cijfermateriaal is vaak een gecompliceerde en tijdrovende zaak.
Wegens het vaak gebruiken van de simulatietechniek zijn er speciale talen ontwikkeld, waarin vaak voorkomende formuleringen door eenvoudige standaarduitdrukkingen kunnen worden voorgesteld. e. Controle op de validiteit van het model
In deze fase gaat men na of het model een goede afspiegeling van de werkelijkheid is, d.w.z. of de aspecten waaraan men wil gaan experimenteren goed zijn weergegeven. Hierbij kan de moeilijkheid optreden dat men de resultaten van het model niet goed kan vergelijken met de werkelijkheid, bijv. wanneer men een model heeft van een nog te ontwerpen systeem.
f. Uitvoeren van het experiment
Als de voorafgaande stadia zijn doorlopen, dan kunnen de experimenten worden uitgevoerd. Meestal levert dit een zeer groot aantal getallen (data) op. Het is gewenst deze op een overzichtelijke manier te presenteren en tussentijdse berekeningen uit te voeren.
g. Het analyseren van de gegevens
berekend. Bij de verwerking van de gegevens moet er naar worden gestreefd om de varianties zo klein mogelijk te krijgen. Ook is het gewenst om statistische uitspraken te doen over de betrouwbaarheid.