Het Steiner1boom probleem is het probleem om in een metrische ruimte, waarin n punten gegeven zijn, een boom met minimale lengte te vinden die deze n punten opspant, waarbij gebruik gemaakt mag worden van extra zelf te kiezen punten, de zogenaamde Steiner punten. Dit probleem lijkt op het minimale opspannende boom probleem, waarvoor een O(n2) algoritme bestaat. Er kan worden aangetoond dat voor het Steiner boom probleem geen polynomiaal algoritme bestaat: het is NP-moeilijk2. Omdat we in een metrische ruimte werken, zal een Steiner punt altijd alleen met de oorspronkelijke punten verbonden worden (ga dit zelf na).
Het Steiner boom probleem kan worden beschouwd als een generalisatie van een in het begin van de 17-de eeuw door Fermat geformuleerd probleem, dat als volgt is: gegeven drie punten in het platte vlak, vind een vierde punt z´odat de som van de afstanden van dit punt tot de drie oorspronkelijke punten minimaal is. In feite is dit probleem het Steiner boom probleem in de Euclidische ruimte is met n = 3. Omstreeks 1640 werd Fermat’s probleem opgelost door Torricelli. De lengte LT van een minimale opspannende boom is een triviale bovengrens van de lengte LS van een optimale Steiner boom. Zij ρ = inf{alle instanties} Ls
LT, dan is ρLT de beste (algemene) ondergrens is voor LS.
Stelling 5.3 Voor algemene metrische ruimtes is de Steiner ratio ρ = 12. Bewijs
Neem een optimale Steiner boom met lengte LS. Door de takken van de boom te verdubbelen ontstaat een graaf met in ieder knooppunt een even graad, d.w.z. een Euler graaf. De verbindingen van deze Euler graaf vormen een ronde met lengte 2LS, waar alle oorsponkelijke punten en de
1genoemd naar de 19-de eeuwse wiskundige Jacob Steiner.
2M.R. Garey, R.L. Graham and D.S. Johnson: ”The complexity of computing Steiner minimal trees”, SIAM Journal of Applied Mathematics 32 (1977) 835-859.
Steiner punten opliggen. Door de Stiener punten over te slaan, d.w.z. [i, s, j] met Steiner punt s wordt vervangen door [i, j], wordt de lengte van de ronde niet groter (de driehoeksongelijkheid geldt in metrische ruimtes) en deze ronde C is weer niet kleiner dan de lengte van een minimale opspannende boom T (laat in de ronde een verbinding weg, dan wordt de lengte niet groter en ontstaat een boom): 2LS ≥ LC ≥ LT → LS
LT ≥ 1
2 → ρ ≥ 1 2. Beschouw een n-dimensionale ruimte met als metriek: d(x, y) = Pn
i=1|xi− yi| (ga zelf na dat dit een goede metriek is). Neem als oorspronkelijke punten de eenheidsvectoren ei, i = 1, 2, . . . , n. De afstand tussen ieder tweetal punten is 2, zodat een minimale opspannende boom T de lengte LT = 2n− 2 heeft. Voeg het Steiner punt s = (0, 0, . . . , 0) toe. De afstand tussen s en ei is gelijk aan 1, i = 1, 2, . . . , n. De verbindingen van s naar alle ei’s geven een Steiner boom met lengte n. Hieruit volgt dat ρ≤ 2n−2n voor alle n. Door n naar∞ te laten gaan zien we dat ρ ≤ 12. Hiermee is bewezen dat voor algemene metrische ruimtes ρ = 12.
Betere grenzen zijn mogelijk voor speciale metrische ruimtes, bijv. de n-dimensionale ruimte met de Euclidische afstand. Hiervoor werd in 1968 het vermoeden uitgesproken dat de Steiner ratio
1 2
√
3 is3. Het heeft 22 jaar geduurd voordat het bewijs hiervoor werd gevonden4. Dit resultaat betekent dat de lengte van een Steiner boom minstens 12√
3, d.w.z. 0.866, keer zo groot is als de lengte van de minimale opspannende boom.
Voorbeeld 5.2
Beschouw een gelijkzijdige driehoek met zijde 1 en hoekpunten A, B en C. De lengte van de minimale opspannende boom is 2. Nemen we het zwaartepunt Z als enig Steiner punt en als Steiner boom de verbinden ZA, ZB en ZC, die elk de lengte 13√
3 hebben. Deze Steiner boom heeft dus de lengte √
3, zodat de verhouding tussen de lengte van de Steiner boom en de lengte van de optimale opspannende boom 12√
3 is, wat impliceert dat deze Steiner boom optimaal is. Er kan worden bewezen dat voor Euclidische Steiner bomen het volgende geldt:
1. De hoek tussen twee aanliggende verbindingslijnen van een Steiner punt is gelijk aan 120 graden en precies drie verbindingslijnen komen samen in een Steiner punt.
2. Het aantal Steiner punten is hoogstens n− 2 als n het oorspronkelijke aantal knooppunten is. 3. Voor de lengte LS van een Steiner boom en de lengte LT van een minimale opspannende boom
geldt: LS ≥ 12√3· LT.
Een eenvoudiger probleem is het Steiner netwerk probleem. Hierbij hebben we een netwerk, waarbij de lengtes voldoen aan de driehoeksongelijkheid, met knooppuntenverz. V ∪ S, waarbij |V | = n en |S| = s. De knooppunten van V moeten met elkaar worden verbonden met minimale lengte: V zijn dus de oorsponkelijke punten en de Steiner punten S zijn gegeven.
3E.N. Gilbert and H.O. Pollak: ”Steiner minimal trees”, SIAM Journal of Applied Mathematics 16 (1968) 1-29.
4D.-Z. Du and F.K. Hwang: ”The Steiner ratio conjecture of Gilbert-Pollak is true”, Proceedings National Academy of Sciences USA 87 (1990) 9464-9466.
Stelling 5.4 De optimale Steiner boom in het Steiner netwerk probleem gebruikt hoogstens n− 2 Steiner punten.
Bewijs
Neem aan dat s ≥ n − 1 (anders valt er niets te bewijzen) en laat p het aantal Steiner punten zijn in een optimale Steiner boom. Zij x het gemiddelde van de graden van de Steiner punten en y het gemiddelde van de graden van de oorspronkelijke punten in de boom. Dan geldt: n + p− 1 = 12(px + ny). Vanwege de driehoeksongelijkheid is x≥ 3.
Hieruit volgt: n + p− 1 ≥ 1
2(3p + n) → p ≤ n − 2. Gevolg
We kunnen dus als volgt een optimale Steiner boom vinden:
Voor iedere deelverz. van n− 2 of minder Steiner punten: bepaal een minimale opspannende boom in het netwerk waar de overige Steiner punten zijn weggelaten. De kortste boom geeft de gevraagde oplossing.
Voor iedere deelverz. van Steiner punten is het werk voor de opspannende boom O((n + s)2). Het aantal van dergelijke deelverz. is echter exponentieel in s: de totale complexiteit is dus wat polynomiaal in n (voor vaste s), maar exponentieel in s.
5.5 Opgaven
Opgave 1
Beschouw een netwerk met 10 knooppunten, waarvan de lengtes in onderstaande tabel staan (een - betekent dat er geen verbinding is).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 18 - 4 11 - - - - -2 18 0 17 - 20 16 - - - -3 - 17 0 - - 15 12 - - -4 4 - - 0 19 - - 10 - -5 11 20 - 19 0 7 - 8 13 -6 - 16 15 - 7 0 14 - 5 2 7 - - 12 - - 14 0 - - 9 8 - - - 10 8 - - 0 3 -9 - - - - 13 5 - 3 0 6 10 - - - 2 9 - 6 0
a. Bepaal een minimale opspannende boom met de methode van Prim. b. Bepaal een minimale opspannende boom met de methode van Kruskal.
Opgave 2
Een bank heeft 5 bijkantoren die elk over een computer terminal beschikken, die verbonden moet worden met de centrale computer in het hoofdkantoor. Deze telecommunicatie geschiedt met speciale telefoonlijnen. Een bijkantoor hoeft niet rechtstreeks met het hoofdkantoor verbonden te zijn, de verbinding kan ook via andere bijkantoren lopen.
De kosten van de telefoonlijnen zijn recht evenredig met de lengte van de lijnen. De afstanden tussen de verschillende kantoren staan in onderstaande tabel.
hoofdkantoor bijkantoor 1 bijkantoor 2 bijkantoor 3 bijkantoor 4 bijkantoor 5
hoofdkantoor 0 160 270 115 70 190 bijkantoor 1 160 0 310 80 220 50 bijkantoor 2 270 310 0 175 120 215 bijkantoor 3 115 80 175 0 140 240 bijkantoor 4 70 220 120 140 0 100 bijkantoor 5 190 50 215 240 100 0
Het probleem is welke verbindingen er gemaakt moeten worden om de kosten te minimaliseren. Los dit probleem op.
Opgave 3
Neem een tweetal knooppunten, zeg s en t, van een graaf G = (V, E) met n knooppunten en een lengtefunctie op de takken. Voor een keten K van s naar t is de waarde van K het maximum van de lengtes op deze keten.
Het minmax-probleem is: bepaal een keten van s naar t met minimale waarde.
Stel een O(n2) algoritme op om dit probleem op te lossen en bewijs de correctheid van dit algoritme.
Opgave 4
Beschouw het Steiner netwerk probleem voor een netwerk met 3 oorspronkelijke knooppunten (1, 2 en 3) en 4 Steiner punten (de knooppunten 4, 5, 6 en 7). De lengtes tussen de punten staan in onderstaande tabel. 1 2 3 4 5 6 7 1 0 6 5 1 3 - -2 6 0 - - 4 3 -3 5 - 0 5 - 6 2 4 1 - 5 0 2 - 2 5 3 4 - 2 0 - 4 6 - 3 6 - - 0 4 7 - - 2 2 4 4 0