4 Veranderingen 4.1 Veranderingen in grafieken
4.2 Veranderingen per stap
a
1 Doen.
b Staaf in positieve richting: stijging. Staaf in negatieve richting: daling. c Langere staaf betekent grotere snelheid.
d Je weet dan wanneer bepaalde gedeelten ondiep worden en hoeveel tijd je nog hebt om er overheen te varen. a 2 Zie tabel: u� 0 3 6 9 12 15 18 21 24 𝑇 10 7,5 8 12 17 21 18 13 8 Δ𝑇 – –2,5 0,5 4 5 4 –3 –5 –5 b Doen. a 3 Zie tabel: u� –2 –1 0 1 2
b Tussen u� = 1 en u� = 2 want bij die waarden gaan de toenamen over van positief in negatief. c Doen. 5 Zie figuur a 6 Zie tabel. u� 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 u� 4 5 7 10 7 5 4 3 2 1 0 –1 –2
b Omdat een toenamediagram een vaste stapgrootte heeft kun je geen tussenliggende functiewaarden bepalen.
7 Zie tabel voor verschillen per toenamestap.
u� -2 -1 0 1 2 3
u� -4 1 4 5 4 1
Δu� – 5 3 1 -1 -3
a
8 GR: Y1=0.5X^4−4X^2+8 en Y2=Y1(X)−Y1(X−1); tabel met stapgrootte 0,5 vanaf u� = −3. b 〈0, 1〉
c Drie keer tekenwisseling bij de toenames. a
b Rond 15:00 uur.
c Nee, niet precies, er is maar om het uur gemeten. a
10 Tabel maken van 𝑉 b Zie tabel.
c Zie grafiek.
d Afnemende daling, de afnames worden kleiner.
lengte voor iemand’s 25e wel wat vreemd zou zijn...
d Ongeveer vanaf zijn 20e verjaardag. De toenames zijn dan vrijwel 0. e Vanaf zijn 12e tot zijn 15e verjaardag. De toenames zijn dan constant. a
12 GR: Y1=-0.5X^4+4X^2 en Y2=Y1(X)−Y1(X−1); tabel met stapgrootte 0,5 vanaf u� = −4 b 〈 − 1, 0〉, de afnames worden dan kleiner.
c Waar tekenwisseling plaats vindt. 13 Zie figuur.
4.3 Differentiequotiënt
a
1 Sneller. Hij legt de eerste 8 km in 10 minuten af, dat is 0,8 km/min. De volgende 4 km doet hij in 8 minuten, dat is maar 0,5 km/min.
b Omdat de tijden niet steeds na dezelfde vaste afstanden zijn gemeten. c Je neemt daarvoor de richtingscoëfficiënt van dat lijnstuk.
d 6 km in 16 minuten is 0,375 km/min. e Zijn/haar gemiddelde snelheid. a 2 Δu� = 6 − 0 = 6 b Δu� = 1,2 ⋅ 62− 1,2 ⋅ 02= 43,2 c 3,2 /6 = 7,2 m/s d Δu�Δu� =1,2⋅1010−62−1,2⋅62 = 19,2 m/s. e [6, 10] a 3 Δu� = 5 − 1 = 4
b Δu� = u� (5) − u� (1) = 12 − 4 = 8 c Δu�Δu� = 84= 2
a
4 0,15 m.
b 150 m per 1000 m.
c Nee, eigenlijk verwacht je dat de steilste helling wordt aangegeven. d Ongeveer 220−210500−400 = 0,1.
e De laatste 100 m is de gemiddelde helling ongeveer 10065. Aan het eind is de helling dus nog meer dat 65%.
a
5 De gemiddelde helling op [u�, u�] bedraagt Δu�Δu� =u�−u�u�−u� = 0.
b De gemiddelde helling op [u�, u�] bedraagt Δu�Δu� =u�u�−u�2−u�2=(u�+u�)(u�−u�)u�−u� = u� + u� mits u� ≠ u�. a 6 Δu�Δu� = 21= 2 b −23 c 𝐷 en 𝐹 en 𝐴 en 𝐸. d Dat is negatief. 7 42= 2 a 8 2−62−0= −2 b 0
c Punten liggen even hoog, zelfde u�-waarde. d B.v. op [−1, 0] met Δu�Δu� =6−21 = 4
a
9 u� = 0 geeft 𝑇 = 90°C.
b Δ𝑇Δu� =𝑇(5)−𝑇(0)5−0 ≈45,95−905 ≈ −8,8°C/min. c Ongeveer 3,3°C/min.
d De differentiequotiënten worden kleiner, de koffie koelt langzamer af omdat het temperatuursverschil met de omgeving kleiner wordt.
10 Δu�Δu� = 3(u�+1)12−3u�2 = 6u� + 3 a
11 0,8
b Het is de gemiddelde snelheid gedurende die periode. c 29−2360−44=38
d 23−1244−18=1126
e Ze geven de helling weer van het lijnstuk door de punten op de grafiek bij het begin en het eind van het tijdsinterval.
Ze geven de gemiddelde toename van de afstand per minuut weer op het tijdsinterval. 12 Δu�Δu� = 0,5⋅22−04−0,5⋅04 = 4
13 Δu�Δu� = 0,5⋅(2u�)2u�−u�2−0,5⋅u�2= 1,5u� als u� ≠ 0
4.4 Differentiaalquotiënt
a
1 De grafiek gaat steeds steiler lopen, er is sprake van toenemende stijging. b Met differentiequotiënten op die intervallen.
d als hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek in het punt met u� = 3; a
3 het hellingsgetal van de grafiek voor die u�-waarde;
de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek voor die u�-waarde; b de snelheid waarmee de functiewaarden veranderen voor die waarde van u�; c Zie tabel. interval differentiequotiënt [1; 1,1] 1,625 [1; 1,01] 1,515... [1; 1,001] 1,501... [1; 1,0001] 1,500... d 1,5 a 4 −12 b u� = −12u� + 4
c GR: Y1=5−√(2X) en dan dy/dx uitrekenen met X=2. a
5 2 invullen in u� (u�). b u�′ (2) = 2,4
c Je vindt: u� = 2,4u� − 1,4. d (−2; 3,4)
e (0, 1) a
6 Δu�Δu� = 4,9⋅55−02−4,9⋅02 = 24,5 m/s. b 49 m/s.
c Na ongeveer 10,1 s is de steen op de grond. De snelheid is dan ongeveer 99,0 m/s. Dat is ongeveer 356 km/h!
a
7 u�′ (2) = 8
b De grafiek is stijgend voor u� = 2. c u� = 8u� − 4
a
8 u�′ (1) = −4
b In (−1, 4). De grafiek is puntsymmetrisch t.o.v. (0, 0).
c Geen hellingsgetal. De grafiek heeft voor u� = 0 een verticale asymptoot. a
9 De grafiek is afnemend dalend. b Ongeveer 1,18 g/uur
a
10 Ongeveer 5,65 = 1,12 m/jaar b Ongeveer 0,4 m/jaar
c Als tijd = 2 jaar, dan is de helling het steilst. d 0 m/jaar a 11 10 m/s. b u�u�u� (𝛼) = 10 geeft 𝛼 ≈ 84°C. c (5, 25) d Punt (8, 16) en helling −6. a 12 2500⋅1,24−04−2500⋅1,20≈ 671 kg/dag. b Ongeveer 945 kg/dag.
c Eerst een raaklijn tekenen aan de grafiek in het punt met u� = 4. Vervolgens de richtingscoëfficiënt van die raaklijn aangeven in de figuur.
a
13 negatief; b u�′ (4) = −0,25
c De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek voor u� = 4 te schatten door twee punten op die raaklijn af te lezen.
De grafische rekenmachine het hellingsgetal du�du� laten berekenen voor u� = 4.
4.5 Hellingsgrafiek
a
1 u� = 4u�
b Wordt een parabool.
c u� = 2u�2geeft u�(20) = 800 m. a 2 Zie tabel. u� -3 -2 -1 0 1 2 3 u�′(u�) –6 –4 –2 0 2 4 6 b Doen. a 3 Zie tabel. u� -3 -2 -1 0 1 2 3 u�′(u�) 7,5 0 –4,5 –6 –4,5 0 7,5 b Doen. c 0
d u�′ heeft een minimum van −6 voor u� = 0.
De grafiek van u� gaat daar van toenemend dalend over naar afnemend dalend. a
4 De grafiek is dan dalend.
a
8 Schema C
b De grafiek is altijd stijgend, behalve bij u� = 0.
Het tekenschema van de afgeleide wisselt bij u� = 0 niet van teken.
De functie heeft wel een horizontale raaklijn voor u� = 0 maar gaat daar niet over van stijgend in dalend.
9 Grafiek B
10 u�′ (u�) = 2u�
11 De blauwe (lang gestippelde) grafiek. a
12 u�′ (1) = −2; u�′ (1) = 0,5; ℎ′ (1) = −4; u�′ (1) = 0 b Gebruik je GR.
c Nulpunten van de hellingsgrafieken opzoeken. u�: max.u� (0) = 4 u�: min.u� (0) = √3 ℎ: geen extremen u�: max.u� (1) = 3 a 13 〈 − 1, 1〉 b u� = 1
c Nee, daarvoor moet je het functievoorschrift van u� weten.
d De juiste grafiek is die van u� (u�) = −23u�3+ 2u� + 2, maar dat kun je zelf (waarschijnlijk) niet afleiden. Het is goed genoeg als je grafiek door (0, 2) gaat en een maximum heeft voor u� = 1 en een minimum voor u� = −1.
14 Zie figuur.
a
15 Gebruik je GR. b u� (u�) = 3,2u�
c 3,2u� ≈ 22,22 oplossen geeft u� ≈ 6,9 s. a
b 40
c u� = 40u� − 1600 d Gebruik je GR.
e Nulpunten van de hellingsgrafiek bepalen en de gevonden u�-waarden invullen in u�. Je vindt: min.u� (2,53) ≈ −26,26 en max.u� (−0,52) ≈ 2,26.
17 u�′ (u�) = u� + 3
18 Gebruik je GR. Je vindt: u�′ (u�) = 2u� − 4.
19 De grafiek van u� moet in ieder geval door (2, 4) gaan en drie extremen hebben: maxima voor u� ≈ −2,4 en u� ≈ 2,4 en een minimum voor u� = 0.
a
20 u� = 0
b 〈0, 3〉
c De grafiek van u� moet in ieder geval door (0, 1) gaan en twee extremen hebben: een maximum voor u� = 0 en een minimum voor u� = 3.
4.6 Totaalbeeld
a
1 toenemende daling b Δu�Δu� = u�(1)−u�(0)1−0 = −11. c Dalend.
d u�′ (1) = −12 en u� (1) = −11, dus de raaklijn heeft vergelijking u� = −12u� + 1 e GR: Y1=X^3–3X^2–9X en Y2=(Y1(X+0.0001)–Y1(X))/0.0001
f Zoek de nulpunten van de hellingsfunctie. Je vindt: min.u� (3) = −27 en max.u� (−1) = 5. a
2 100 m hoogte
b GR: Y1=60X−5X^2 en Y2=Y1(X)−Y1(X−1) geeft de toenametabel.
c Hoogste punt bij u� = 6. Bij u� = 6 is nog sprake van toename t.o.v. de hoogte bij u� = 5, bij u� = 7 is sprake van een afname t.o.v. de hoogte bij u� = 6. De maximale hoogte van de vuurpijl is 180 m.
d 180 /6 = 30 m/s e ℎ′ (10) = −40 m/s
f GR: Y1=60X−5X^2 en Y2=(Y1(X+0.0001)−Y1(X))/0.0001 g u� (u�) = 60 − 10u�
h ℎ′(u�) = 60 − 10u� a
3 5600 mensen
b In 2004.
c De toenames zijn achtereenvolgens: 5600, 6500, 4100, 1200, −1600.
De aantallen inwoners zijn daarom: 72600 (begin 2000), 78200 (begin 2001), 84700 (begin 2002), 88800 (begin 2003), 90000 (begin 2004) en 88400 (begin 2005).
d 88400 inwoners. a
7 Δu�Δu� = 0,25(2+ℎ)
2+2+ℎ−(0,25⋅22+2)
2+ℎ−2 = 0,25⋅(4+4ℎ+ℎ
2)+2+ℎ−3)
ℎ = 2 + 0,25ℎ en met ℎ → 0 vind je een diffe-rentiaalquotiënt van 2.
a
8 Zie figuur.
b In het vijfde jaar is de toename van het aantal kg vis het grootst (20.000 kg).
Als de viskweker 5 jaar wacht is er 60000 kg vis en hij kan dan jaarlijks 20.000 kg vis vangen, precies de toename in dat vijfde jaar. Zo houdt hij steeds tussen de 40.000 en de 60.000 kg vis.