Extremen berekenen

1 Over probleemaanpak vind je meer bij de rubriek ‘Probleemaanpak’ op de math4allsite. Dit probleem wordt in een voorbeeld opgelost, probeer er eerst zelf uit te komen en vergelijk dan later jouw antwoord met het voorbeeld.

a

2 u�′ (u�) = 3u�²− 3 b u�′ (u�) = 0 als u� = ±1.

a

3 u�′ (u�) = 0,3u�²− 120

b u�′ (u�) = 0,3u�²− 120 = 0 als u�²= 400 en dus u� = ±20. c max.u� (−20) = 2320 en min.u� (20) = −2320.

a

4 u� = 0 b Nee.

c Alleen de functie heeft er de waarde 0 en u�′ (0) is onbekend. Er is een minimum van u� (0) = 0. a

5 100u�²= u�²(u� − 10)²geeft u� = 0 ∨ u� = 20, dus de snijpunten zijn (0, 0) en (20, 40000). b u�′ (u�) = 4u�³− 60u�²+ 200u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 5 ∨ u� = 10.

Tekenschema van u�′ of grafiek van u� bekijken geeft min.u� (0) = 0, max.u� (5) = 625 en min.u� (10) = 0. c u� ⋅ 5²= 5²(5 − 10)²geeft: u� = 25.

a

6 2 ⋅ 8²+ 4 ⋅ 8 ⋅ 21 = 800 cm². b 2u�²+ 4u�ℎ = 800 geeft ℎ =^800−2u�_4u� ². c 𝐼 = u�²ℎ = u�²⋅^800−2u�_4u� ²= 200u� −¹₂u�³

d 𝐼′ (u�) = 200 − 1¹₂u�²= 0 geeft u� = √133¹3 ≈ 11,547 cm. e De afmetingen zijn 11,5 bij 11,5 bij 11,5 cm.

a

7 u�′ (u�) = 3u�u�²− 1 = 0 als u� = ±√3u�¹ .

b max.u� (−√3u�¹ ) = ²_3√3u�¹ en min.u� (√3u�¹) = −²_3√3u�¹ . c ²_3√3u�¹ = 1 geeft u� =₂₇⁴.

8 u�′ (u�) = 4u�³− 16u� = 0 als u� = 0 ∨ u� = ±2.

Tekenschema u�′ of grafiek u�: min.u� (−2) = −16, max.u� (0) = 0 en min.u� (2) = −16. a

9 De nulpunten van u� zijn (±20, 0).

De nulpunten van u� zijn (±20, 0) en (10, 0).

b Voor u� is differentiëren niet nodig: de grafiek is een bergparabool met max.u� (0) = 4000. Voor u� geldt: u�′ (u�) = 3u�²− 20u� − 400 = 0 als u� = ^20±√5200₆ .

De extremen van u� zijn: max.u� (−8,69) ≈ 6064,60 en min.u� (15,35) ≈ −879,42. c u� ≤ −20 ∨ 0 ≤ u� ≤ 20

10 Sportveld: lengte u� m en breedte 2u� m waarin u� de straal van de twee halve cirkel is. Nu geldt: 2u� + 2𝜋u� = 400, dus u� = 200 − 𝜋u�.

De oppervlakte van het sportveld is: 𝐴 = u� ⋅ 2u� = (200 − 𝜋u�) ⋅ 2u� = 400u� − 2𝜋u�². Maximum berekenen: 𝐴′ (u�) = 400 − 4𝜋u� = 0 geeft u� =¹⁰⁰_𝜋 .

Het sportveld heeft een lengte van 100 m en een breedte van ²⁰⁰_𝜋 m. a

11 ^(400−200)_(500−400)= 2 euro per kg.

b Maak een tabel van 𝑇𝐾 (u�) met de grafische rekenmachine en vergelijk de waarden met de gegeven tabel.

c 𝑇𝑊 = 225u� − 𝑇𝐾 = 225u� − (10u�³− 60u�²+ 130u�) = −10u�³+ 60u�²+ 95u� d 𝑀𝑊 (u�) = 𝑇𝑊′ (u�) = −30u�²+ 120u� + 95

𝑀𝑊 is de veranderingssnelheid van de winst bij toename van u�. e Zie figuur.

b u� (0) = −16 ≠ −32

u� (4u�) = −32 geeft 64u�³− 96u�³− 16 = −32 en dus 32u�³= 16 en u� = _√³¹₂. Er is dan sprake van een minimum.

a

14 u�′ (u�) = −4u�³+ 6u�²= 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 1,5. Min.u� (0) = 0 en max.u� (1,5) = 1,6875. b ^du�_du� = 3u�²− 12u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 4.

Max.u� (0) = 0 en min.u� (4) = −32. a

15 Je moet hetzelfde vinden als bij b.

b u�′ (u�) = 20u�⁴− 160000u� = 0 als u� = 0 ∨ u� = 20. Max.u� (0) = 2557 en min.u� (20) = −19197443.

c Twee, zie grafiek (die je nu goed in beeld kunt brengen). a

16 𝐼 = u�(20 − 2u�)² b 0 < u� < 10

c 𝐼′ (u�) = 400 − 160u� + 12u�²= 0 geeft u� =¹⁰₃ ∨ u� = 10. Max.𝐼 (¹⁰₃) = ¹⁶⁰⁰⁰₂₇ .

a

17 Lineaire functies of (als ook u� = 0) constante functies. b u�′ (u�) = 2u�u� + u� = 0 geeft u� = −_(2u�)^u� .

c Extreme waarde is u� (−_2u�^u�) = −_4u�^u�2 + u�.

5.4 Buigpunten

a

1 De snelheid is de helling van de grafiek. De grafiek wordt eerst minder steil (snelheid neemt af) en dan weer steiler (snelheid neemt toe).

b u�(u�) = u�^′(u�) = 3u�²− 12u� + 36

c Door de functie die de snelheid aangeeft nog eens te differentiëren. d u�^′(u�) = 6u� − 12 = 0 geeft u� = 2.

a

2 Doen.

b u�′ (⁴⁰₆) = 16²₃ dus niet. a

3 Die is dan negatief.

b De afgeleide is minimaal, de afgeleide van de afgeleide 0. c u�′ (u�) = 3u�²− 6u� en u�″ (u�) = 6u� − 6 = 0 als u� = 1.

a

4 u�′ (u�) = 2u�³− 6u� en u�″ (u�) = 6u�²− 6 = 0 als u� = ±1.

Omdat u�" bij beide waarden van u� van teken wisselt zijn er twee buigpunten, zoals je in de grafieken in het voorbeeld ziet.

b Omdat u�″ bij beide waarden van u� van teken wisselt zijn er twee buigpunten, zie ?Voorbeeld?. Op 〈0, 1〉 is u�′ (u�) < 0 en u�″ (u�) < 0 dus de daling wordt steeds sterker.

a

5 u�′ (u�) = 5u�⁴− 300u�²= 0 geeft u� = 0 ∨ u� = ±√60.

Max.u� (−√60) = 2400√60 en min.u� (√60) = −2400√60. b u�″ (u�) = 20u�³− 600u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = ±√30.

De buigpunten zijn (−√30, 2100√30), (0, 0) en (√30, −2100√30). a

6 Eén, namelijk bij u� = 1. b Zie figuur.

a

7 Grafiek op GR laat zien dat ongeveer bij u� = 8 het buigpunt zit. b ^d𝑇𝑂_du� = −u�²+ 16u� en ^d_du�^2𝑇𝑂2 = −2u� + 16.

En 𝑇𝑂″ (u�) = −2u� + 16 = 0 als u� = 8.

c Tussen u� = 7 en u� = 8 zit de grootste omzetstijging. Die bedraagt 𝑇𝑂 (8) − 𝑇𝑂 (7) ≈ 341,33 − 277,67 = 63,66. a

8 u�″ (u�) = 6u� − 6 = 0 geeft u� = 1 (zie opgave 1); het buigpunt is (1, 4). b u�′ (1) = −3

c u� = −3u� + 7 a

9 u�″ (u�) = 3u� + 12 = 0 geeft u� = −4. Buigpunt (−4, −26).

b u�″ (u�) = 8 − 6u�²= 0 geeft u� = ±√⁴3. Buigpunten (−√⁴3,⁴⁰₉) en (√⁴3,⁴⁰₉ ). a

10 [−15, 15] × [−1500, 1500]

b u� (u�) = u� (u�) geeft u� = 0 ∨ u� = ±√(148). Oplossing: −√148 < u� < 0 ∨ 0 < u� < √148.

c u�″ (u�) = 3u�²− 72 = 0 geeft u� = ±√24, dus (±√24, −720). d u�′ (√24) = −48√24 en u�′ (−√24) = 48√24.

Het snijpunt van beide buigraaklijnen ligt op de u�-as en is daarom (0, 432). a

11 𝑇𝐾″ = 3u� − 8 = 0 geeft u� =⁸₃. Dat is ongeveer 167 kg.

a

15 u�″ (u�) = 4 − u� = 0 geeft u� = 4.

b Eigenlijk kun je deze grafiek nauwkeurig tekenen. Kun je bedenken dat het de grafiek moet zijn van u� (u�) = 2u�²−¹₆u�³− 11¹₃? (Een schets is voor dit moment genoeg. Je ziet de grafiek hiernaast, je schets moet er op lijken.)

c u�′ (5) = 7,5 en u� (5) = 10, dus de raaklijn is u� = 7,5u� − 27,5. a

16 ^{𝑇𝐾(3,001)−𝑇𝐾(3)}_0,001 ≈^{4,5015015−4,5}_0,001 ≈ 1,50 b 𝑀𝐾 = 𝑇𝐾′ = 1,5u�²− 6u� + 6 en 𝑀𝐾 (3) = 1,5

c 𝑀𝐾′ = 𝑇𝐾″ = 3u� − 6 = 0 geeft u� = 2. Dus 2000 L/dag.

5.5 Totaalbeeld

a

1 u�′ (u�) = 20u�⁴− 24u� + 60 b 𝐸′ (u�) = 1 + u� +¹₂u�²+¹₆u�³

c u� (u�) = u�²u�²+ 2u�u�u� + u�²geeft u�′ (u�) = 2u�²u� + 2u�u� d 𝐺𝑇𝐾 (u�) = 0, 5u�²− 20u� + 60 geeft ^{d𝐺𝑇𝐾}_du� = u� − 20

a

2 u�′ (u�) = 6u�²− 4u�³= 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 1,5.

Aan de grafiek zie je dat er in (0, 0) wel een horizontale raaklijn maar geen extreme waarde is. De enige extreme waarde is bij u� = 1,5.

b u�″ (u�) = 12u� − 12u�²= 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 1. Dus (1, 1). c u�′ (1) = 2 en dus is de buigraaklijn u� = 2u� − 1.

a

3 u�′ (u�) = 1,5u�²− 2 = 0 geeft u� = ±√⁴3. Max.u� (−√⁴3) = 1¹_3√⁴₃ en min.u� (√⁴3) = −1¹_3√⁴₃. b u�″ (u�) = 3u� = 0 geeft u� = 0. Buigpunt: (0, 0).

c u� (′0) = −2 dus raaklijn u� = −2u�. a

4 Gegeven vergelijking herschrijven. 0 ≤ u� ≤ 12

b 𝑇𝑂 = u�u� = 120u� − 10u�²

c 𝑇𝑊 = 𝑇𝑂 − 𝑇𝐾 = −1,5u�³+ 12,5u�²

d 𝑇𝑊′ (u�) = −4,5u�²+ 25u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� =⁵⁰₉. 𝑇𝑊 is maximaal bij u� = ⁵⁰₉ en dan is u� ≈ 64,44 euro.

e 𝐺𝑇𝐾 = 𝑇^𝐾_u� = 1,5u�²− 22,5u� + 120 en 𝐺𝑇𝐾′ (u�) = 3u� − 22,5 = 0 als u� = 7,5. Dus bij een afzet van 7500 stuks.

5 u�′ (u�) = 4u�³− 12u�²+ 2u�u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� =^{6±√36−8u�}₄ . Er is maar één nulwaarde als 36 − 8u� < 0, dus als u� > 4,5. a

6 Nulpunten: u� (u�) = 0 geeft u� = −¹₂∨ u� = ±2, dus (−¹₂, 0), (−2, 0) en (2, 0).

Extremen: u�′ (u�) = 6u�²+ 2u� − 8 = 0 geeft u� = −1¹₃∨ u� = 1; max.u� (−1¹₃) = 3¹⁹₂₇ en min.u� (1) = −9. b u� (u�) = u� (u�) geeft u� = 0 ∨ u� = ±2.

Oplossing: −2 < u� < 0 ∨ u� > 2. a

7 u� (u�) = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = −6 ∨ u� = 10 dus nulpunten (0, 0), (−6, 0) en (10, 0). u� (u�) = 60u� + 4u�²− u�³geeft u�′ (u�) = 60 + 8u� − 3u�²

u�′ (u�) = 0 als u� =^−8±√784₋₆ en dit geeft u� = 6 ∨ u� = −¹⁰₃ . Toppen: (6, 288) en (−¹⁰₃, −³²⁰⁰₃ ).

b −³²⁰⁰₃ < u� < 288

c u� (0) = 0 en u�′ (0) = 60, dus de raaklijn is u� = 60u�. u� (u�) = 60u� geeft 4u�²− u�³= 0 en dus u� = 0 ∨ u� = 4. Het gevraagde punt is (4, 240).

a

8 Lengte = u�, breedte = 2ℎ en hoogte = ℎ.

u� + 8ℎ = 120 en 𝐼 = u� ⋅ 2ℎ²geeft 𝐼 = 2ℎ²(120 − 8ℎ) = 240ℎ²− 16ℎ³.

𝐼′ (u�) = 480ℎ − 48ℎ²= 0 geeft ℎ = 0 ∨ ℎ = 10, alleen ℎ = 10 levert een maximum op. ℎ = 10 betekent u� = 20 en u� = 40, dus 𝐼 = 8000 cm³.

b Zelfde procedure als bij a, maar nu met u� + 8ℎ = u� geeft: ℎ =₁₂¹u�, u� = ¹₆u� en u� =¹₃u�. Inderdaad is dan u� = 2ℎ en u� = 4ℎ.

9 Neem voor het grondvlak van de rechthoekige ruimte een vierkant met zijde u�. Met behulp van gelijk-vormigheid kun je dan afleiden dat de hoogte ervan gelijk is aan ℎ = 6 −¹₂u�. De inhoud ervan is dan 𝐼 = u�²(6 − ¹₂u�) = 6u�²−¹₂u�³.

Daarbij hoort een maximale hoogte van ℎ ≈ 3,5 m. b 150 km/u komt overeen met 41,67 m/s.

Volgens de grafiek hoort daar een hoek bij van ongeveer −5°. c Bij de netsituatie: als u� = 12 dan ℎ = 1.

Dit geeft: −^5,16_u�2 ⋅ 12²+ 0,18 ⋅ 12 + 2,50 = 1 en dus ^743,04_u�2 = 3,66 en u� ≈ 14,25. Conclusie: u� ≤ 14,2 (m/s) of u� < 14,3 (m/s).

6

Differentieerregels

6.1 Differentieerregels

a

1 u�₁^′(u�) = 30u�⁴+ 6u�² b u�₂^′(u�) = 30u�⁴− 6u�² c u�3^′(u�) = 96u�⁷ d u�4^′(u�) = 6u�

d u�′ (u�) = 2u� − 20 e u�′ (u�) = 4u�³+ 6 f 𝐻′ (u�) = 25 − 10u� g 𝑇′ (u�) = 3u�²u�²− u� h u�′ (u�) = 3u�²+ 16u� + 16

a

4 Nulpunten zijn (0, 0) en (20, 0). Venster Xmin = -5, Xmax = 25, Ymin = -1500 en Ymax = 1000. b u� (u�) = 0,5u�³− 10u�²geeft u�′ (u�) = 1,5u�²− 20u�.

c u�′ (u�) = 0 levert op u� = 0∨u� =⁴⁰₃ ≈ 13,33, dus de extremen zijn (in gehelen nauwkeurig) max.u� (0) = 0 en min.u� (13) ≈ −593.

d u�′ (10) = −50. a

5 u� = 40 − 2ℎ of ℎ = 20 − 0,5u� met u� en ℎ in cm. b 𝐻 (u�) = 200 (20u� − 0,5u�²) = 4000u� − 100u�² c 𝐻′ (u�) = 4000 − 200u� = 0 geeft u� = 20. a

6 u�′ (u�) = 1,5u�²− 20u�.

u�′ (2) = −34 en u� (2) = −36, dus de gevraagde vergelijking is u� = −34u� + 32. b u�′ (u�) = 1,5u�²− 20u� = −34 geeft u� = ^40±√784₆ en dus u� = 2 ∨ u� = 11¹₃.

Het andere punt is (11¹₃, −556¹⁶₂₇). a

7 u�′ (u�) = 30u�⁵− 65u�⁴+ 10 b u�′ (u�) = 2u�u� + u�

c 𝑃′ (𝐼) = 2𝑅𝐼 d ^du�_du� = 4u�³− 20u�

e u�′ (u�) = −64u�⁷ f u�′ (u�) = 6u�u�²− 3u�² g ^d𝐴_du� = 2𝜋u� + 2u�

h ℎ′ (u�) = 600u� − 180u�²+ 12u�³ a

8 u�′ (u�) =¹²₅u�²− 6u� = 0 geeftu� = 0 ∨ u� = 2,5.

Uit de grafiek of een tekenschema van u�′ lees je af dat er twee extremen zijn, namelijk min.u� (2,5) = −6,25 en max.u� (0) = 0.

b u�^′(5) = 30

c u�″ (u�) =²⁴₅ u� − 6 = 0 geeft u� = 1,25.

Uit de grafiek of een tekenschema van u�″ lees je af dat er één buigpunt is, namelijk (1,25; −3,25). a

9 u�′ (u�) = 3u�²− 10u� + 7 geeft u�′ (2) = −1.

b u�′ (u�) = −1 geeft 3u�²− 10u� + 8 = 0. Deze vergelijking heeft twee oplossingen dus er is nog een punt op de grafiek waarin de hellingwaarde van de grafiek −1 is.

a

b 𝐼′ (u�) = 12u�²− 320u� + 1200 = 0 geeft u� =^80±√2800₆ .

Aan de grafiek van 𝐼 zie je dat de inhoud maximaal is als u� =^80−√2800₆ ≈ 4,5 cm. a

11 u� (u�) = u�⁵− 40u�⁴+ 400u�³geeft u�′ (u�) = 5u�⁴− 160u�³+ 1200u�². En u�′ (u�) = 0 levert op: u� = 0 ∨ u� = 12 ∨ u� = 20.

b Voor u� = 0 wisselt de afgeleide niet van teken, zowel links als rechts van u� = 0 is de grafiek van u� stijgend.

a

12 u�′ (u�) = −2u�³+ 3 b u�′ (u�) = −12u� − 4u�³ c u�′ (u�) = 3u�²− 2u� − 1 d u�′ (u�) = u� − 3u�u�²

e 𝐻′ (u�) = 12u�u�²

f ^du�_du� = 6000u� − 300u�²− 80u�³ a

13 u� (2) = 7

b u�′ (u�) =¹₆u�³+¹₂u�²+ u� + 1 geeft u�′ (2) = ¹⁹₃ . a

14 u�′ (u�) = −3u�²+ 12u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 4. M.b.v. de grafiek: min.u� (0) = −10 en max.u� (4) = 22 b u�″ (u�) = −6u� + 12 = 0 geeft u� = 2.

Het bedoelde punt is (2, 6).

6.2 De kettingregel

a

1 Je schakelt als het ware twee functies na elkaar: eerst ‘met 7 vermenigvuldigen’ en daarna ‘worteltrek-ken’.

b Je kunt dit vinden door de functie in de grafische rekenmachine in de voeren en de helling van de grafiek op te vragen.

c Wellicht kun je dat nu nog niet, hoewel je de functie kunt herleiden. In dit onderdeel leer je hoe je dergelijke samengestelde functies kunt differentiëren zonder ze eerst te herleiden.

a

2 Het functievoorschrift is op te delen in afzonderlijke schakels. Je ziet dat aan het feit dat er maar op één plek een u� in het voorschrift voor komt.

b u� → u� − 2 → (u� − 2)²→ 3(u� − 2)²→ 3(u� − 2)²− 2

c Terugrekenen vanuit 3(u� − 2)²− 2 = 16 geeft u� = −1 ∨ u� = 5. d u�′(u�) = 3 ⋅ 2(u� − 1)¹= 6u� − 6

a

3 u� → u�²→ u�²− 1 → √u�2− 1 b u� → u�³→ 3u�³→ 3u�³+ 1

c u� → u�²→ 3u�²→ 3u�²+ 2 → (3u�²+ 2)⁴ a

4 ℎ (u�) = √u�2+ 2 b Nee.

u�′ (u�) =¹₃u�⁻²3 = ¹

3³√u�2

d u� (u�) = 3u�⁽⁻

1 2)

u�′ (u�) = −³₂u�⁻¹¹2 = ⁻³

2u�√u�

a

8 D_u�= [−5, 5] en B_u�= [0, 5]

De grafiek komt niet tot op de u�-as en dat zou wel moeten. (Is een beperking van de grafische reken-machine.)

b u�′ (u�) =¹₂(25 − u�²)⁻

1 2

⋅ (−2u�) = ^−u�

√25−u�2

c u�′ (0) = 0 en de afgeleide gaat alleen voor u� = 0 over van positief naar negatief. d u�′ (3) = −³₄ en u� (3) = 4 geeft voor de raaklijn u� = −³₄u� + 6¹₄.

a

9 u�′ (u�) = 8u�(u�²− 100)³ b u�′ (u�) = −3(1 − u�)² c 𝐻′ (u�) = −300(2 − 4u�)² d 2u�²− 4u�(u�u� + 3)³

a

10 u�′ (u�) = −6(2u� − 6)²< 0 voor elke waarde van u� behalve u� = 2. b u�′ (2) = −24 en u� (2) = 12, dus 𝑃 = (0, 60).

a

11 ^du�_du� =⁷₃u�⁴3 =⁷₃u�3

√u� b u�′ (u�) =⁻³_u�4 −_u�⁸3+_u�³2

c 𝐻′ (u�) = − ³

2√u�⋅ (1 − √u�)² d u�′ (u�) = 2 −_(1−u�)⁵ 2

a

12 D_u�= [−√8, √8]

b Het minimum ligt op de rand van het domein: min.u� (−√8) = −√8. Het maximum bepaal je met behulp van differentiëren. u�′ (u�) = 1 − ^u�

√8−u�2 = 0 geeft √8 − u�2= u� en na kwadrateren u� = 2 (u� = −2 vervalt). Je vindt: max.u� (2) = 4. Het bereik wordt B_u�= [−√8, 4].

c 𝐴 = (−√8, −√8) en 𝐵 = (√8, √8). De helling van lijn 𝐴𝐵 is gelijk aan 1.

Je moet daarom oplossen u�′ (u�) = 1 en dat levert op u� = 0. a

13 600 ⋅ 30 + 500 ⋅ 70 = 53000 euro. b √6002+ 5002⋅ 70 ≈ 54671,75 euro. c 𝐾 (u�) = 30 (600 − u�) + 70√5002+ u�2

d De minimale kosten vind je met behulp van 𝐾′ (u�) = −30 + ^70u�

√5002+u�2 = 0.

Dit geeft √5002+ u�2= ⁷₃u� en na kwadrateren⁴⁰₉ u�²= 250000. Je vindt dan u� ≈ 237.

a

14 u�′ (u�) = 36u�(1 + u�²)² b u�′ (u�) = −16(1 − 4u�)³ c 𝑅′ (u�) = ^7,5

𝜋√¹⁵𝜋u�

d u�′ (u�) = ^4u�

√10+4u�2

e 𝐾′ (u�) =_u�⁻³2

√u�

f u�′ (u�) = 3u�²+ 2 + ³

2u�√u�−_u�²3

a

15 D_u�= [−2, → 〉 b u�′ (u�) = 2 − ¹

2√u�+2

c u�′ (u�) = 0 geeft √(u� + 2) = ¹₄ en dus u� = −1¹₂ (u� = −2¹₂ vervalt). Je vindt min.u� (−1¹₂) = −3 +¹₂√2. d B_u�= [−3 +¹₂√2, → 〉 e u�′ (0) = 2 − ¹ 2√2 ≈ 1,65.

6.3 De productregel

a 1 Antwoord b Antwoord c Antwoord a

2 Δ𝑃 = u� (u�) ⋅ Δu� (u�) + u� (u�) ⋅ Δu� (u�) + Δu� (u�) ⋅ Δu� (u�) b 𝑃′ (u�) = u� (u�) ⋅ u�′ (u�) + u�′ (u�) ⋅ u� (u�)

c u� (u�) = u�²geeft u�′ (u�) = 2u�. u� (u�) = u�⁴geeft u�′ (u�) = 4u�³.

𝑃′ (u�) = u�²⋅ 4u�³+ 2u� ⋅ u�⁴= 6u�⁵. Ga na, dat dit inderdaad de afgeleide is van 𝑃 (u�) = u�²⋅ u�⁴= u�⁶. a

3 u� (u�) = u�²en u� (u�) = u�³− 4u�

b u�′ (u�) = u�′ (u�) ⋅ u� (u�) + u� (u�) ⋅ u�′ (u�) = 2u� ⋅ (u�³− 4u�) + u�²⋅ (3u�²− 4) = 5u�⁴− 12u�² c u� (u�) = u�⁵− 4u�³ geeft ook u�′ (u�) = 5u�⁴− 4u�³.

a

4 u�′ (u�) = 2u� + 3

b u� (u�) = 3(u�²+ 10)²⋅ 2u� = 6u�(u�²+ 10)²

c u�′ (u�) = (2u� + 3) (u�²+ 10)³+ 6u� (u�²+ 3u�) (u�²+ 10)² a

5 u� (u�) = 2u� ⋅ √4 − u�2+ (u�²− 1) ⋅ ^−u�

√4−u�2 = 2u�√4 − u�2− ^u�3−u�

√4−u�2

b u�′ (u�) = 0 geeft 2u�√4 − u�2= ^u�3−u�

√4−u�2 en dus 2u� (4 − u�²) = u�³− u� ofwel 3u�³− 9u� = 3u� (u�²− 3) = 0. Je vindt daarom extremen bij u� = 0 ∨ u� = ±√3 (bekijk ook de grafiek).

De extremen zijn: max.u� (−√3) = u� (√3) = 2 en min.u� (0) = −2. c u�′ (1) = 2√3 = u�u�u� (𝛼) geeft 𝛼 ≈ 74^∘.

d Lees af uit (een schets van) de grafiek: 0 < u� < 1438₇₂₉. a

8 u�′ (u�) = 6√u� ⋅ (1 − u�³) + 4u�√u� ⋅ −3u�²= 6√(u�) (1 − 3u�³) = 0 als u� = 0 ∨ u�³=¹₃.

Er zijn twee waarden van u� waarin de raaklijn evenwijdig loopt met de u�-as, namelijk u� = 0 en u� = _√³¹₃. b Op de rand van het domein heeft deze functie een min.u� (0) = 0. En verder is er een max.u� (_√³¹₃) ≈ 0,23. a

9 (0, 0) en (±√8, 0). b u�′ (u�) = √8 − u�2− ^u�2

√8−u�2 = 0 geeft u� = ±2.

Je vindt min.u� (−2) = −4 en max.u� (2) = 4. Dus B_u�= [−4, 4]. c u�′ (0) = √8 ≈ 2,83. Dus: u� = 2,83u�.

a

10 u�′ (u�) = 0,5u� − 1,5√u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 9.

Er is een max.u� (0) = 0 en een min.u� (9) = −6,75 dus (bekijk de grafiek) B_u�= [−6,75; → 〉 . b u�″ (u�) = 0,5 −^0,75

√u� = 0 geeft u� = 2,25, dus het buigpunt is (2,25; 4,640625). c u�′ (u�) = 2 geeft 3√u� = u� − 4 en dus 9u� = u�²− 8u� + 16.

Dit levert op u� = 16 (want u� = 1 voldoet niet) en als raakpunt (16, 0). Dit punt moet op de raaklijn liggen en dat kan alleen als u� = −32. a

11 Eigen antwoord

b 𝐴′ (u�) = 6 + √9 − u�2− ^u�2

√9−u�2 = 0 geeft 6√9 − u�2= 2u�²− 9 en hieruit volgt u�⁴= ²⁴³₄ . De maximale vloeroppervlakte wordt bereikt als u� ≈ 2,79 m.

De maximale vloeroppervlakte is daarom ongeveer 19,8 m². a

12 u�′ (u�) = 6(1 + u�²)³+ 36u�²(1 + u�²)² b 𝐻′ (u�) = √1 − u�2− ^u�2

√1−u�2

c u�′ (u�) = 2u� (u�u� − 4) (6 − u�)³− 3(u�u� − 4)²(6 − u�)² d u�′ (u�) = ¹ (2√1+√u� ⋅ ¹ 2√u� = ¹ 4√u�+u�√u� a

13 u� (u�) = 0 geeft u� (u� − 4√u� + 4) = 0 en dus u� = 0 ∨ 4√u� = u� + 4. Dit levert twee nulwaarden op, namelijk u� = 0 en u� = 4.

b u�′ (u�) = 2u� − 6√u� + 4 = 0 geeft 6√u� = 2u� + 4 en dit levert op u� = 1 ∨ u� = 4. Je vindt een max.u� (1) = 1 en een min.u� (4) = 0.

6.4 De quotiëntregel

a

1 Eigen antwoord.

b Bijvoorbeeld door die functie te schrijven als u�(u�) = u�⁻¹. De afgeleide wordt dan: u�′(u�) = 1u�⁻²=_u�¹2. c Doen. Vergelijk jouw antwoord met dat in de ?Theorie?.

a

2 u� (u�) = u� en u� (u�) = u� − 2

b u� (u�) = u� ⋅ (u� − 2)⁻¹geeft u�′ (u�) = 1 ⋅ (u� − 2)⁻¹+ u� ⋅ −1(u� − 2)⁻²⋅ 1 =_u�−2¹ −_(u�−2)^u� 2. a

3 u�′ (u�) =^{1⋅(u�−2)−1⋅u�}_(u�−2)2 =_(u�−2)⁻² 2

b Maak bij de versie van vorige opgave de breuken gelijknamig en tel ze op. a

4 u�′ (u�) =^{1⋅u�−1⋅(u�+1)}_u�2 =⁻¹_u�2

b u� (u�) = 1 +¹_u� = 1 + u�⁻¹ geeft u�′ (u�) = −1u�⁻²=⁻¹_u�2.

Als je handig bent met machten gaat de tweede manier bijna uit het hoofd!

a

5 u�′ (u�) =^{(2u�+1)⋅6u�−(3u�}

2−4)⋅2

(2u�+1)2 =^{6u�2+6u�+8}

(2u�+1)2

b u�′(u�) =_(u�−2)⁻⁸ 3

c u�′ (u�) =^(4+u�

2) 1 2⋅3−(3u�−1)⋅¹₂(4+u�2)⁻ 1 2⋅2u� 4+u�2 =^3(4+u� 2)−u�(3u�−1) (4+u�2)¹¹2 = ^12+u� (4+u�2)√4+u�2

d Schrijf eerst u� (u�) = ^{(u�+1)(u�−1)}_u�+1 = u� − 1 (als u� ≠ −1). Dan is u�′ (u�) = 1 (als u� ≠ −1).

a

6 u�′ (u�) = ^{3u�2−u�6}

(1+u�4)2= 0 geeft u� = 0 ∨ u� = ±4

√3 ≈ ±1,32. Je vindt max.u� (1,32) ≈ 0,57 en min.u� (−1,32) ≈ −0,57. b u�′ (2) = −₂₈₉⁵² en de raaklijn wordt u� = −₂₈₉⁵²u� +²⁴⁰₂₈₉. a

7 u�′ (u�) =^{−u�2−2u�+16}

(u�2−16u�)2

b u�′ (u�) = ^−2u�+4

(u�2−4u�+5)2

c 𝐻′ (u�) = ^{−3u�−48}

3u�√2u�+6

d ^{d𝐺𝑇𝐾}_du� = 4u� − 10 −¹²⁰_u�2

e u�′ (u�) =^{−2u�2−20}

(u�2−10)2

f u�′ (u�) = ^−24u�

(1−3u�2)2

g 𝐴′ (u�) = ^4u�+16

(4u�+8)√4u�+8

h 𝐺𝑂′ (u�) = 200 −²⁰⁰⁰_u�2

a

8 u�^′(u�) =^{8u�2−−24u�+32}

(u�2+4)2 geeft u� = −4 ∨ u� = 1.

Met behulp van de grafiek vind je: min.u� (−4) = −1 en max.u� (1) = 4. b u� (u�) = ³₂ geeft u� = −²₃∨ u� = 6. Met de grafiek vind je: u� < −²₃∨ u� > 6.

c Lijn door 𝐴 (−1,5; 0) en 𝐵 (0, 3) is u� = 2u� + 3. Deze lijn kan de grafiek alleen raken in 𝐴 of 𝐵. Nu is u�′ (−1,5) ≠ 2 en u�′ (0) = 2. Dus raakt lijn 𝐴𝐵 de grafiek in 𝐵.

a

9 Stel de breedte is u� cm, dan is de lengte 4u� cm. En dan is 4u�²ℎ = 1000 dus ℎ =²⁵⁰_u�2 .

d u�′ (u�) =^{−4u�5+4u�3−8u�}

(1+u�2)5

a

13 u� (u�) = ^{−10u�2+80u�−100}

(u�2−10)2 = 0 geeft u� ≈ 1,55 ∨ u� ≈ 6,45.

Met behulp van de grafiek vind je: min.u� (1,55) ≈ 3,22 en max.u� (6,45) ≈ 0,78. b In 𝑃 is u�′ (0) = −1, de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in P is u� = −u� + 4. a

14 u� (u�) = ^10−5u�2

(0,5u�2+1)2= 0 geeft u� = ±√2.

Met behulp van de grafiek vind je: min.u� (−√2) = −5√2 en max.u� (√2) = 5√2. b Die raaklijn zit bij u� = 0 (zie grafiek) en u�′ (0) = 10.

In document Wiskunde B voor 4/5 havo (pagina 68-82)