a 1 Bekijk de ?Uitleg?. b Bekijk de ?Uitleg?. a 2 Het bovenaanzicht.
b Werk in symmetrisch trapezium π΄πΆπΊπΈ. De hoogte isβ62β (1,5β2)2= β31,5. c Voor- en zijaanzicht krijgen nu een hoogte van ongeveer 5,6.
a
b Die hoogte wordt nu β(62β 1, 52) = β(33, 75).
c Alleen de hoogtes van de vier opstaande zijvlakken worden nu anders, namelijk ongeveer 5,8. a
4 Bij twijfel laten controleren. b Bij twijfel laten controleren. a
5 Doen, eventueel laten controleren.
b Eerst de hoogte berekenen in een diagonaalvlak: β = β18 β 4,2.
6 Eerst de hoogte van een zijvlak berekenen: βzijvlak= β62β 32= β27 β 5,2.
7 Voor de uitslag van de linker ο¬guur bereken je eerst de hoogte van een opstaand zijvlak: β62β 1,52= β33,75. Voor de aanzichten bereken je de hoogte van de afgeknotte piramide zelf: β62β (1,5β2)2= β31,5. De uitslag wordt:
Voor de uitslag van de rechterο¬guur bereken je de zijden van Ξπππ . Deze zijn allemaal β(8). Hier zie je de uitslag en de drie aanzichten:
8 Het wordt een piramide π.π΄π΅πΆπ· met grondvlak π΄π΅πΆπ· een rechthoek van 4 bij 3. De top π zit recht boven punt πΆ met πΆπ = 3.
a
9 Je berekent de omtrek van de grondcirkel van de kegel en de omtrek van de cirkel waar de kegelmantel een deel van is. De grootte van dat deel wordt bepaald door de sectorhoek. Deel je de omtrek van de grondcirkel door de omtrek van de cirkel waar de kegelmantel een deel van is, dan weet je welk deel van de 360βde sectorhoek is. Je vindt ongeveer 113β.
Voor de uitslag teken je nu de cirkel met straal π΄π = β40.
Daarbinnen meet je een sector met (met het middelpunt als hoekpunt) een hoek van 113βaf. De grondcirkel van de kegel voeg je nog toe.
b Zie ο¬guur.
a
10 Uit 6 gelijkbenige driehoeken met hoeken van (3606 )β= 60β.
Deze zeshoek bestaat daarom uit 6 gelijkzijdige driehoeken met zijden van 4 cm.
b Maak een cirkel met straal 4 cm. Zet in het middelpunt naast elkaar 6 hoeken van 60βuit. De benen van die hoeken snijden de cirkel in 6 punten. Als je steeds twee opvolgende punten met elkaar verbindt, krijg je de regelmatige zeshoek.
c Zie ο¬guur.
d Van het grondvlak zijn alle ribben 4 eenheden, het gaat dus om de opstaande ribben. Ribbe π·π = 6 en ribben πΆπ = πΈπ = β42+ 62= β52.
Ribben π΅π = πΉπ =β(4β3)2+ 62= β84. Ribbe π΄π = β82+ 62= 10.
a
11 Bij twijfel laten controleren. b Zie ο¬guur.
c Vlak ππ΅ππ» is een ruit met zijden van β62+ 32= β45 cm. Diagonaal ππ = β(72) cm.
Met behulp van goniometrie bereken je β ππ»π = β ππ΅π β 78β. De andere twee hoeken zijn 102β. a
12 Zie ο¬guur.
b Zie ο¬guur
a
13 Het grondvlak van de piramide bestaat uit vijf gelijkbenige driehoeken met een tophoek van 72β en een basis van 4 cm.
15 De (stijve) kegelrok heeft de vorm van een afgeknotte kegel.
De grondcirkel heeft een omtrek van 34β 2π β 119 = 178,5π. De straal van de grondcirkel is dus 89,25 cm.
De bovencirkel heeft een omtrek van34β 2π β 19 = 28,5π. De straal van de bovencirkel is dus 14,25 cm. Hiermee kun je de aanzichten tekenen. Eventueel kun je ook nog de hoogte van de afgeknotte kegel berekenen (β 66,1 cm), maar nodig is dat niet. Het zijaanzicht zie je hiernaast.
16 Het bovenvlak en het ondervlak zijn regelmatige achthoeken. Die bestaan uit acht gelijkbenige driehoe-ken met een tophoek van 45βen een basis van 5 cm. De twee benen van deze driehoeken hebben een lengte van(uοΏ½uοΏ½uοΏ½(22,52,5 β))β 6,5 cm. Dat is de straal van de cirkel waar de hoekpunten van deze achthoeken op liggen.
a
17 Het is alleen nodig om de hoogte van π.π΄π΅πΆπ· te berekenen, die is β(18) cm. De rest kun je construeren met passer en liniaal.
18 Je moet alleen de sectorhoek berekenen met behulp van de omtrek van de grondcirkel van de afgeknotte kegel en de omtrek van de cirkel met straal 6 waar hij deel van is.
2.4 Doorsneden
a
1 Bekijk de ?Uitleg?.
b In de richting ππ of in de richting π΄πΊ. c Een ruit.
d Bekijk de ?Uitleg?. De hoeken bereken je door goniometrie te gebruiken in één van de vier rechthoekige driehoeken die ontstaan als je beide diagonalen tekent. Ga na, dat je twee hoeken van 78β en twee hoeken van 102βvindt.
a
2 Ze liggen in één vlak en kunnen elkaar alleen nog snijden of ze zijn evenwijdig. Ze liggen ook in twee vlakken die evenwijdig zijn. En dus kunnen ze elkaar niet snijden; ze moeten wel evenwijdig zijn. b π΄πΆπΊπΈ is een rechthoek van π΄πΆ = πΈπΊ = β(50) bij πΆπΊ = π΄πΈ = 5.
Dat π΄πΊ en πΈπ loodrecht op elkaar staan kun je aantonen door de zijden van ΞπΈππΊ te berekenen, waarin π het snijpunt van πΈπ en π΄πΊ is. Met verhoudingen kun je laten zien dat ππΊ =23π΄πΊ =23β75 en πΈπ =23β37,5. In ΞπΈππΊ klopt nu de stelling van Pythagoras, dus deze driehoek heeft een rechte hoek bij punt π.
c Omdat je er dan loodrecht op kijkt. d π΄πΊ = β(75) en ππ = β(50).
e Er zijn twee hoeken van ongeveer 78, 5uοΏ½en twee hoeken van ongeveer 101, 5uοΏ½. a
3 De snijlijn door π met vlak π΅πΆπΊπΉ moet evenwijdig zijn met die met vlak π΄π·π»πΈ. Dat is het geval als de driehoeken π΄π»πΈ en ππ πΉ gelijkvormig zijn. Daarom moet πΉπ = 2,5 cm en dus het midden van πΉπΊ zijn.
b Doen.
c Vierhoek π΄ππ π» bevat alle snijlijnen van het valk door π΄, π en π» met de kubus. Alle punten erbinnen horen daarom bij de doorsnede, alle punten erbuiten niet want die liggen buiten de kubus.
a
4 π΄πΉ = β62+ 32= β45, πΉπ = β32+ 22= β13, ππ = β42+ 22= β20 en π΄π = β32+ 12= β10.
b π΄π =
β(β18)2+ 42= β34 en πΉπ =β(β45)2+ 12= β46.
c Omdat voorvlak en achtervlak van de balk evenwijdige vlakken zijn, zijn ook de snijlijnen met vlak π΄πΉππ evenwijdig: π΄πΉ//ππ.
d Begin zoals in voorbeeld 1 is te zien en teken dan ππ evenwijdig aan π΄πΉ om punt π te vinden. a
5 Doen.
b uοΏ½uοΏ½uοΏ½ (β πππ) = β81,5geeft β πππ β 62βen dan is β π ππ = 180ββ β πππ β 118β. De oppervlakte van het trapezium is β8 β 1,5 + 0,5 β β8 β 1,5 = 4,5β2.
a
6 Eerst worden de lijnstukken ππ en ππ getekend.
Omdat ππ in vlak π΅πΆπΊπΉ ligt kan die lijn in dat vlak worden verlengd. In het grondvlak snijdt ππ het verlengde van πΆπ΅ in πΎ. In het achtervlak snijdt ππ het verlengde van πΆπΊ in πΏ. De lijn door πΎ en π is de snijlijn van vlak πππ met het grondvlak. De lijn door πΏ en evenwijdig aan ππ is de snijlijn van vlak πππ met het achtervlak. Dit levert de punten π, π en π op de ribben op die ook in vlak πππ liggen. De gevraagde doorsnede is πππ πππ.
b Elke gelijkzijdige driehoek in πππ πππ heeft zijden van 4β2 cm.
De hoogte ervan is daarom (goniometrie of de stelling van Pythagoras) 2β6 cm. De oppervlakte van πππ πππ is dus 6 β 0, 5 β 4β2 β 2β6 = 24β12 = 48β3 cm2. c Verleng πΈπ tot hij het verlengde van πΉπΊ snijdt in π.
Trek snijlijn ππ. Deze lijn snijdt πΆπΊ in π. De gevraagde doorsnede is vierhoek πΈπππ. a
7 Ze liggen beide in vlak ππ΄πΆ. πΎ ligt op π΄πΆ en π΄πΆ ligt in zijn geheel in het grondvlak π΄π΅πΆπ·.
b Teken de lijn πΎπ. Die lijn ligt in het grondvlak en in vlak πππ en snijdt π΅πΆ in π en π·πΆ in πΏ. Trek vervolgens de lijn door πΏ en π. Die lijn ligt in het achtervlak en snijdt daarom π·π in π. πππππ is de gevraagde doorsnede.
a
8 Zie ο¬guur.
b Wil je dit echt goed doen, dan is het nog behoorlijk lastig!
Bekijk de ο¬guur. Begin met het paarse diagonaalvlak op ware grootte te tekenen. EΓ©n van de diagonalen van dit vlak (rode streepjeslijn) wordt de verticale as van de kubus. Maak de kubus af.
Nu verdeel je voor de vloeren de verticale diagonaal in vier gelijke delen. Er komen dan drie punten op te liggen die op de juiste vloerhoogte liggen. Trek door die punten lijnen loodrecht op de verticale diagonaal en bepaal hun snijpunten met de zijvlakken of hoekpunten van de kubus. Maak met behulp van evenwijdigheid (o.a. aan de gestippelde zijvlaksdiagonalen) de vloeren af.
a
b uοΏ½uοΏ½uοΏ½ (β π»πΊπ·) = 2β25 , dus β π»πΊπ· β 56β. Daarom is β πΊπ»π· β 56βen β π»π·πΊ β 68β. c π·π» en π΄πΆ verlengen geeft snijpunt πΎ.
π΄π΅ en π·πΊ verlengen geeft snijpunt πΏ. De lijn door πΎ en πΏ is de gevraagde lijn. a
10 Het makkelijkst gaat dit door een bovenaanzicht te tekenen en daarin de opstaande ribben te halveren.
b De omtrek is 4 β 2 + 4 β 12β2 = 8 + 2β2. 11 Verleng π΄π΅ en ππ tot ze elkaar snijden in πΎ.
πΎπΆ is een lijn in vlak πππΆ en snijdt ribbe π΄π· in πΏ. De gevraagde doorsnede is vierhoek πππΆπΏ.
12 Er zijn zeker twee geschikte manieren om dit te doen:
> Trek een lijn door π en evenwijdig met ππ. Deze lijn snijdt π·πΉ in π. πππ π is de gevraagde door-snede.
> Verleng ππ en πΆπΉ tot ze elkaar snijden in πΎ. Trek lijn πΎπ. Deze lijn snijdt π·πΉ in π. πππ π is de grvraagde doorsnede.
13 Teken lijnstuk π΄π en een lijn door π en evenwijdig π΄π. Deze lijn snijdt π·πΆ in π .
Teken π΄π en een lijn door π en evenwijdig met π΄π . Deze lijn snijdt πΉπΊ in π. π΄ππππ is de gevraagde doorsnede.
a
14 π΄πΈ = π΄πΊ en dus staat π΄π (π is het snijpunt van πΊπΈ en π΄πΉ) loodrecht op πΊπΈ en dus staat ook π΄πΉ loodrecht op πΊπΈ. Een vierhoek waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan is een vlieger. b Hier wordt πΊπΈ =12π΅π· = 2β2 door π΄πΉ loodrecht middendoor gedeeld.
π΄π =β(12π΄πΆ)2+ (12ππ)2= β1414β 3,8.
a
2 Zie ο¬guur.
b De doorsneden evenwijdig aan π΄π΅πΆπ· zijn allemaal precies dezelfde vierkanten van 4 cm bij 4 cm. c Zie verder de ο¬guur.
a
3 Zie de ο¬guur. b Zie de ο¬guur.
a
4 Laat bij twijfel je antwoord controleren. b Doen.
c Doen. a
5 Trek een lijn door π΅ en evenwijdig met ππ. Die lijn gaat ook door π· en dus is ππ΅π·π de gevraagde doorsnede.
b Gebruik de evenwijdigheid van de snijlijnen. c Gebruik ook nu de evenwijdigheid van de snijlijnen. a
b Zie ο¬guur.
a
7 Zie ο¬guur.
b Zie ο¬guur bij a. c Dat is alleen punt πΈ.
9 Dit gaat het gemakkelijkst in een bovenaanzicht van de achtkanter. Zie hieronder.
10 Het zijn doorsneden van een kegel met een straal van 3 cm en een hoogte van 3 cm. 11 In een bovenaanzicht kun je de breedte van elke doorsnede opmeten of berekenen.
De eerste doorsnede is een punt.
De tweede doorsnede heeft een breedte van β32β 22 = β5 cm en een hoogte van 13 β 5 = 123 cm en heeft een paraboolvorm.
De derde doorsnede heeft een breedte van β32β 12 = β8 cm en een hoogte van 23 β 5 = 313 cm en heeft ook een paraboolvorm.
De vierde doorsnede is een gelijkbenige driehoek met een basis van 6 cm en een hoogte van 5 cm. De vijfde doorsnede is gelijk aan de derde, de zesde doorsnede is gelijk aan de tweede en de zevende doorsnede is weer een punt.
12 In een aanzicht kun je de breedte van elke doorsnede opmeten of berekenen. De eerste doorsnede is een punt.
De tweede doorsnede is een cirkel met een straal van β32β 22= β5 cm. De tweede doorsnede is een cirkel met een straal van β32β 12= β8 cm. De vierde doorsnede is een cirkel met een straal van 3 cm.
De vijfde doorsnede is gelijk aan de derde, de zesde doorsnede is gelijk aan de tweede en de zevende doorsnede is weer een punt.
13 Zie ο¬guur.
14 Zie ο¬guur.
2.6 Totaalbeeld
a
1 Hier zie je vooraanzicht en zijaanzicht. Het bovenaanzicht staat bij c.
b De hoogte van zoβn trapezium is β32+ 22= β13. De zijden zijn 10, 6 en β17 dm.
De hoeken zijn 61βen 119β.
c In het bovenaanzicht zie je meteen dat de vier schuine opstaande ribben van het middelste deel niet in één punt samenkomen.
d Er zijn veel goede uitslagen mogelijk. Let vooral op de correcte afmetingen van de trapezia. Bij twijfel laten controleren!
2 De afgesneden kegel heeft een hoogte β waarvoor geldt: 6446β = β + 90, zodat β = 230 mm.
De uitslag van dit koο¬ebekertje is daarom een sector uit een cirkel met een straal van β3102+ 322
is 32
β3102+322β 360ββ 37β. En natuurlijk moet je de bodem (een cirkel met een straal van 23 mm) niet vergeten.
a
3 Zie ο¬guur.
b De zijden hebben een lengte van β32+ 32= β18, net als de kortste diagonaal. Elke ruit bestaat dus uit twee gelijkzijdige driehoeken.
De hoeken zijn daarom 60βen 120β. c Zie de ο¬guur hiernaast.
a
4 Zie ο¬guur.
b πΉπΊππΎ is een vierhoek met β πΊπΉπΎ = 90β, πΉπΊ = 6, πΉπΎ = β8, πΉπΎ = β12 en πΊπ = β48 m. β πΉπΊπ β 55β, β πΉπΎπ β 145βen β πΎππΊ β 70β.
c Omdat voorvlak en achtervlak van de schuur evenwijdig zijn, ligt ook πΆπ· in vlak πΆπΏπΎ. Teken het snijpunt π van πΏπΎ en π΅πΉ en trek ππΆ. Deze lijn snijdt πΉπΊ in π.
b TetraΓ«der: β =13uοΏ½β6. Kubus: β = uοΏ½.
OctaΓ«der: β = uοΏ½β2.
c Alle grensvlakken zijn regelmatige veelhoeken. De hoeken daarvan zijn 60β (bij driehoeken), 90β (bij vierhoeken), 108β(bij vijhoeken), 120β(bij zeshoeken), etc. De hoeken om elk hoekpunt van de ο¬guur moeten samen kleiner zijn dan 360β, anders krijg je geen ruimtelijke ο¬guur. Verder komen er in zoβn hoekpunt altijd 3 of meer vlakken bij elkaar. Het aantal mogelijkheden is dus beperkt:
> Komen er drie (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een tetraΓ«der (regelmatig viervlak).
> Komen er vier (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een octaΓ«der (regelmatig achtvlak).
> Komen er vijf (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een icosaΓ«der (regelmatig twintigvlak).
> Komen er drie vierkanten in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een kubus.
> Komen er drie regelmatige vijfhoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een dodecaΓ«der (regelmatig twaalfvlak).
Alle andere mogelijkheden leveren 360βof meer op voor de hoeken rond elk hoekpunt...
d Ziewww.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/voor 19 bewijzen van de formule van Euler
(Engels-talig). a
7 Het bovenaanzicht wordt een vierkant met zijden van 40 mm en de twee diagonalen er in.
Bij elk hoekpunt en het snijpunt van de diagonalen komen twee letters: π en π bij het snijpunt van de diagonalen en verder bij elk hoekpunt de letters van de punten die recht boven elkaar liggen.
b π ligt 46β13 = 33 cm boven het midden van het grondvlak. De lengte van π΄π is β202+ 202+ 332. De lengte van π΄πΉ is β402+ 462. De gevraagde lengte is 8 β β1889 + 8 β β3716 β 835 cm.
c De lengte van ππ is 46β2 β 13 = 20.
ππ : ππΊ = ππ : πΆπΊ = 20 : 46 (of ππ : ππΊ = ππ : ππ = 10 : 23, waarbij π en π de middens zijn van respectievelijk ππ en πΈπΊ). ππ =2066β β1889 geeft 132 mm (of 13,2 cm).
a
8 De oppervlakte van de hele kubus is 6 β 1002= 60000 cm2. De oppervlakte van (bijvoorbeeld) Ξπ»ππ is 12β 202= 200 cm2. De gevraagde oppervlakte is 60000β3 β 200 = 59400 cm2.
hoogte van π΅ boven de sokkel is 100β3β203β3 β 161,66. 161,66 + 20 is minder dan 185 (cm).
a
9 Je krijgt drie gelijkbenige rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van 5 cm.
b De afstand van πΎ tot de muur is gelijk aan 3 β π΄πΏ. π΄πΏ = 12,5β2 β 17,68. De gevraagde afstand is 53 cm.
c De grijze (rechthoekige) driehoeken hebben een hoek van 60βbij de hoekpunten π, π en π. De recht-hoekszijde van een gearceerde driehoek die bij een hoekpunt ligt, isuοΏ½uοΏ½uοΏ½(6025 β). De schuine zijde van een gearceerde driehoek isuοΏ½uοΏ½uοΏ½(6025β).