3 Oppervlakte en inhoud 3.1 Oppervlakte van vlakke figuren
3.3 Inhoud van ruimtelijke figuren
a
1 Je vermenigvuldigt de oppervlakte van het grondvlak met de hoogte. De formule wordt dus 𝜋u�2⋅ ℎ. b De kegel heeft een inhoud die13 deel is van die van de cilinder, dus de inhoud van de kegel is 13𝜋u�2ℎ. c Voor de halve bol is ℎ = u� en de inhoud is 2 keer die van de kegel.
De inhoud van de halve bol is 23𝜋u�2⋅ u� =23𝜋u�3. De inhoud van een bol is43𝜋u�3.
a
2 inh(cilinder) = 𝜋 ⋅ 102⋅ 20 = 200𝜋 b opp(bol) =43𝜋 ⋅ 103=4000𝜋3
3 De straal van de Aarde is 400002𝜋 ≈ 6366 km.
De inhoud is daarom ongeveer 6366,...3⋅43𝜋 ≈ 1,081 ⋅ 1012km2.
4 Je dompelt het onder in een rechthoekige (balkvormige) bak water en meet dat de vorm (dus lengte, breedte en hoogte) van de extra hoeveelheid water.
Zo maak je van een willekeurige vorm een balkvorm met dezelfde inhoud. a
5 inhoud = 4 ⋅ 4 ⋅ 10 = 160 cm3.
b inhoud =12 ⋅ 6 ⋅ √62− 32⋅ 6 = 18√27 cm3.
c inhoud = 𝜋 ⋅ 0,92⋅ 150 − 𝜋 ⋅ 0,72⋅ 150 = 48𝜋 cm3. d inhoud = 55 ⋅ 100 = 5500 cm3.
9 inhoud(halve kegel) = 13⋅12𝜋 ⋅ 1,52⋅ 3 = 1,125𝜋. inhoud(kwart bol) =14⋅43𝜋 ⋅ 1,53= 1,125𝜋.
inhoud(diabolo) = 2 ⋅ (13𝜋 ⋅ 1,52⋅ 2,25 −13𝜋 ⋅ 0,52⋅ 0,75) = 3,25𝜋.
10 Het volume onder dit schilddak hoort bij een lichaam dat bestaat uit een driehoekig prisma (op z’n kant) met aan weerszijden twee gelijke halve piramides (die je kunt samenvoegen tot één piramide). De inhoud wordt daarom: 12⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ 6 +13⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 5 = 160 m3.
11 Het grondvlak bestaat uit vijf gelijkbenige driehoeken met een tophoek van 72∘, een basis van 4 cm, twee benen van u�u�u�(362 ∘) en een hoogte vanu�u�u�(362 ∘).
De oppervlakte van die vijfhoek is daarom 5 ⋅12⋅ 4 ⋅u�u�u�(362 ∘)≈ 27,53 cm2. De hoogte van deze regelmatige vijfzijdige piramide is
√42− (
2
u�u�u�(36∘))2) ≈ 2,10 cm. De inhoud is daarom ongeveer 13⋅ 27,53 ⋅ 2,10 ≈ 19,3 cm3.
12 13𝜋 ⋅ 22⋅ 12 −13𝜋 ⋅ 1,52⋅ 9 +13𝜋 ⋅ 1,52⋅ 1 = 10𝜋
13 Zaag de buis (in gedachten) in de haakse bocht over de lasnaad door en maak hem recht, zie zijaanzicht hiernaast. De hoeveelheid staal wordt (aangenomen dat er in de grondplaat geen gat zit): 150 ⋅ 150 ⋅ 1 + 𝜋 ⋅ 252⋅ 650 − 𝜋 ⋅ 242⋅ 650 ≈ 122560 mm3.
Dat is 122,56 cm3. Dus het geheel weegt 956 gram.
14 De inhoud is =43𝜋 ⋅ 43−13𝜋(4 − √42− 32)2⋅ (3 ⋅ 4 − (4 − √42− 32)) + 𝜋 ⋅ 32⋅ 3 ≈ 337,8 m3. 15 inhoud(linker figuur) = 2 ⋅13⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 3 = 72 cm3.
inhoud(middelste figuur) = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 − 4 ⋅13⋅12 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 72 cm3. inhoud(rechter figuur) = 2 ⋅ (13 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 4,5 −13⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1, 5) = 104 cm3.
17 12⋅43𝜋 ⋅ 63+12𝜋 ⋅ 62⋅ 8 = 288𝜋 ≈ 905 m3.
3.4 Schaalvergroting
a
1 En?
b Dat zie je verder in de ?Uitleg?. a 2 22= 4 keer b 23= 8 keer a 3 3 √2 keer. b (3 √2)2= 3 √4 keer. a 4 √2 keer. b (√2)3= √8 keer. a 5 6,522 ≈ 3,38 b 3,382≈ 11,46 c 3,382≈ 38,77 a 6 181 b 181 ⋅ 40 ≈ 2,2 cm. c 182= 324 keer zo groot. d 183⋅ 0,35 = 2041,2 liter. a
7 De inhoudsvergrotingsfactor is 0,3751,5 = 4, dus de lengtevergrotingsfactor is 3
√4 = 1,587.... De Magnum is ongeveer 1,6 keer zo hoog.
b De inhoudsvergrotingsfactor is 0,751,5 = 2, dus de lengtevergrotingsfactor is 3
√2 = 1,259....
De oppervlaktevergrotingsfactor is 1,587.... De oppervlakte is daarom ongeveer 1,6 keer zo groot. c De inhoudsvergrotingsfactor is 0,7518 = 24, dus de lengtevergrotingsfactor is 3
√24 = 2,884.... De hoogte van een Melchior champagne is ongeveer 103,8 cm.
8 Als het glas half vol is, is het volume van de kegel die de vloeistof voorstelt half zo groot als het volume van de kegel die de binnenkant van het glas voorstelt. Bij een inhoudsvergrotingsfactor van 0,5 past een lengtevergrotingsfactor van 3
√0,5 ≈ 0,79.
De hoogte van de vloeistofspiegel is daarom ongeveer 0,79 ⋅ 10 = 7,9 cm en de vloeistofspiegel staat 2,1 cm onder de bovenrand.
9 De lengtevergrotingsfactor is 20, de oppervlaktevergrotingsfactor dus 202= 400 en de inhoudsvergro-tingsfactor 203= 8000.
De oppervlakte van het beeld wordt 1400 ⋅ 400 = 560000 cm2en dat is 56 m3. De inhoud van het beeld wordt 3000 ⋅ 8000 = 24000000 cm3en dat is 24 m3. a
10 3
√5 ≈ 1,71 keer.
b Als het metaal even dik blijft gaat het om de oppervlaktevergroting en die is (√5)3 2≈ 2,92. Als het metaal in dezelfde verhouding dikker wordt gaat het om de inhoudsvergroting en die is 5.
De lengtevergrotingsfactor van de hoogte van de kegel die boven de kubus uitsteekt t.o.v. de de hoogte ℎ van hele kegel is dus 3
√0,25 ≈ 0,63.
Omdat de kubus ribben van 6 cm heeft is 0,37ℎ = 6 en dus ℎ ≈ 16,2 cm. a
13 Hij is ongeveer 2 keer zo breed, maar wel 4 keer zo hoog. b 8 keer zo groot dan dan van nummer I.
c Inhoudsvergrotingsfactor 2 geeft lengtevergrotingsfactor 3
√2 ≈ 1,26, dus hij is ongeveer 1,26 keer zo hoog.
14 1:2.000.000
15 Inhoudsvergrotingsfactor51,840,24 = 216 geeft lengtevergrotingsfactor 3
√216 = 6 en dus oppervlaktever-grotingsfactor 62= 36. De huidoppervlakte van de Boa is 483 ⋅ 36 = 17388 cm2.
16 3
√0,5 ⋅ 8 ≈ 6,35 cm.
3.5 Totaalbeeld
a
1 De kap bestaat uit een balk van 10 bij 8 bij 1, een balk van 6 + 3 bij 6 bij 4 en vier kwartpiramides die je kunt samenvoegen tot een piramide met grondvlak 4 bij 4 en hoogte 3. (Het middenstuk is geen afgeknotte piramide!)
Inhoud = 10 ⋅ 8 ⋅ 1 + (6 + 3) ⋅ 6 ⋅ 4 +13⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 = 312 dm3.
b Opp = 2 ⋅ 10 ⋅ 1 + 2 ⋅ 8 ⋅ 1 + 2 ⋅12⋅ (10 + 6) ⋅ √13 + 2 ⋅12⋅ (8 + 4) ⋅ √13 + 2 ⋅ 6 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6 ⋅ 4 = 156 + 28√13 dm2.
2 Het bekertje is een afgeknotte kegel, waarvan het weggehaalde deel een kegel is met een hoogte ℎ waarvoorℎ+90ℎ = 4664. Daaruit volgt: ℎ = 230 mm.
De inhoud van het bekertje is13⋅ 𝜋 ⋅ 322⋅ 310 −13⋅ 𝜋 ⋅ 232⋅ 230 ≈ 205010 mm3en dat is ongeveer 205 cm3, dus 0,205 liter.
De oppervlakte aan plastic is 𝜋 ⋅ 32 ⋅ √322+ 3102− 𝜋 ⋅ 23 ⋅ √232+ 2102+ 𝜋 ⋅ 232≈ 16290 mm2. 3 𝐼 (kogeltje) =43𝜋 ⋅ 23=323 𝜋
𝐼 (ring) = 𝜋 ⋅ 102⋅ 4 − 𝜋 ⋅ 62⋅ 4 = 256𝜋 𝐼 (vet) = 256𝜋 − 8 ⋅323𝜋 = 17023𝜋 Het percentage aan vet is 6623.
4 De straal van een tennisbal is u�. De drie ballen hebben dan samen een volume van 3 ⋅43𝜋u�3= 4𝜋u�3. De koker heeft een volume van 𝜋u�2⋅ 6u� = 6𝜋u�3.
a
5 De binnenkant van de fruitbak is een afgeknotte kegel met een hoogte van 160 cm. De hoeveelheid plastic is 𝜋 ⋅ 202⋅ 41 − (13⋅ 𝜋 ⋅ 202⋅ 160 −31⋅ 𝜋 ⋅ 152⋅ 120) = 406623𝜋 ≈ 12776 cm3.
b Het gewicht is ongeveer 6388 gram.
6 De hoogte van het bovenste deel van de piramide is 128 = 23 deel van de hele piramide. De inhoud van het bovenste deel is daarom (23)3 = 278 deel van de hele piramide. De gewichten van beide delen verhouden zich als 8: 27.
a
7 12⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 2 +13⋅ 10 ⋅ 4 = 2913 b Zie figuur hieronder.
c Zie figuur bij c.
d Zie punt 𝑃 in de uitslag. 𝐶𝑆 = 8, 𝐶𝑇 = 6, 𝑆𝑇 = √82+ 62= 10, 𝐶𝑃 = 106 ⋅ 8 = 4,8. 𝑃𝐹 = √4,82+ 62≈ 7,68. Dus 𝑃𝐹 ≈ 76,8 cm en een stang van 75 cm is te kort. a
8 𝐺 = 1,5u�3en 𝐻 = 6u�2dus 𝐻 = 6 ⋅ ((1,5𝐺 )
1 3
)
2
≈ 4,58𝐺23. b 𝐺 = 1,5 ⋅43𝜋u�3en 𝐻 = 4𝜋u�2dus 𝐻 = 4𝜋 ⋅ ((2𝜋𝐺 )
1 3
)
2
≈ 3,69𝐺23. c 𝐺 = 1,5 ⋅ 𝜋u�3en 𝐻 = 4𝜋u�2dus 𝐻 = 4𝜋 ⋅ ((1,5𝜋𝐺 )
1 3)
2
≈ 4,47𝐺23.
d Zie de voorgaande antwoorden. De Meeh-coëfficiënten van deze voorwerpen zijn laag, want ze hebben een vrijwel ideale vorm.
a
9 De gevraagde hoek is gelijk aan ∠𝐴𝐵𝐻 in de rechter figuur in de opgave. u�u�u� (∠𝐴𝐵𝐻) = 4020 = 2 dus gevraagde hoek is ongeveer 63∘.
a
11 De oppervlakte van de rechthoek is 30 ⋅ 10 = 300 cm . De oppervlakte van de twee halve cirkels is samen 𝜋 ⋅ 52≈ 79 cm2. De oppervlakte van de vlakke zijkant is 379 cm2.
b De hoogte van een rechthoekige driehoek met schuine zijde 20 en basishoek 40° moet worden berekend. De hoogte is 20 ⋅ u�u�u� (40∘) ≈ 12,9. De binnenkant van het doosje moet minimaal 13 cm hoog zijn. c 16𝜋 ⋅ 82+16𝜋2⋅ u� ⋅ 82+14𝜋 ⋅ u�2⋅ 8 = 5000 geeft 2𝜋u�2+ 1023𝜋u� + 1023𝜋 − 5000 = 0.
Deze vergelijking kun je oplossen met de u�u�u�-formule. Dit geeft u� ≈ −34,4 ∨ u� ≈ 21,9.
De totale diameter van een kaas is (ongeveer) 21,9 + 2 ⋅ 4 = 29,9 cm en 29,9350 ≈ 11,7 dus er passen maximaal 11 kazen naast elkaar.