Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs:

stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1}

is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ

, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹

: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig

kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x

, zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1

en ~x = k~xk~z. Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z.

Dan |f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)|

=f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)|

≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α.

Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact. Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹ geldt |f (~x)| ≤ M. Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z
= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0 zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0. Dan is f (r~x) = r^αf (~x).

Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x). Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x).

Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x). Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0. Dan is f (r~x) = r^αf (~x).

Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y). Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0

gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y). Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x). Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0.

Dan geldt f (r~x) = f (~x). Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y). Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y). Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x)

= f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y). Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y). Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x)

en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y). Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y)

= f (~y). Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y). Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0

, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat

moet gelden lim r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0 f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0. Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞. Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt lim_{r ↓0}f (r~x) = f (~x) en lim_{r ↓0}f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden lim

r ↓0f (r~x) = lim ~x→~0

f (~x) = lim r ↓0f (r~y).

In document Analyse: van R naar R (pagina 122-155)