Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
.

Dan is U open en s0∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f⁻¹(U).

Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”:

stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
.

Dan is U open en s0∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f⁻¹(U).

Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U.

Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
.

Dan is U open en s0∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f⁻¹(U).

Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), 
.

Dan is U open en s0∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f⁻¹(U).

Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
.

Dan is U open en s0∈ f⁻¹(U). f⁻¹(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f⁻¹(U).

Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open

en s0∈ f⁻¹(U). f⁻¹(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f⁻¹(U).

Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f⁻¹(U).

Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open

, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U).

Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ

⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ)

⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”:

stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is.

Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open

en neem s0 ∈ f⁻¹(U). Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U

, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ. Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ)

⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< 

⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 

⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U,

Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U)

voor elke s ∈ B(s₀, δ). We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U) voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U) voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U)

, dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U) voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U), dus s₀ is inwendig.

Dit geldt voor elke s₀∈ f−1(U), dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U) voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U), dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f⁻¹(U)

, dus deze verzameling is open.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗ is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0. Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s₀∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U). Nu:

d (s, s₀) < δ ⇒ s ∈ B(s₀, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
< . “⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗ open en neem s0 ∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U. Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s₀)
<  als d(s, s₀) < δ.

Nu: s ∈ B(s₀, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s₀)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s₀), 
⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U) voor elke s ∈ B(s₀, δ).

We zien B(s₀, δ) ⊆ f⁻¹(U), dus s₀ is inwendig. Dit geldt voor elke s₀∈ f⁻¹(U), dus deze verzameling is open.

In document Analyse: van R naar R (pagina 32-62)