Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E

vormt een open overdekking van E .

Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k , dus d (s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k + δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E .

Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E

vormt een open overdekking van E .

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E

vormt een open overdekking van E .

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s.

De collectie B s,1

2δs : s ∈ E

vormt een open overdekking van E .

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E

vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k , dus d (s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k + δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E .

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n.

Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k , dus d (s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k + δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k , dus d (s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k + δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ.

Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k , dus d (s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k + δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k + δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k, dus d(s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k+ δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k, dus d(s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k+ δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k, dus d(s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k+ δ ≤ δ_s_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k, dus d(s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k+ δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k, dus d(s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k+ δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d^∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k, dus d(s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k+ δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (sk) + d∗ f (sk), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k, dus d(s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k+ δ ≤ δs_k.

Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t)

≤ d^∗ f (s), f (sk) + d∗

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k, dus d(s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k+ δ ≤ δs_k. Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗ f (s), f (s_k) + d∗ f (s_k), f (t) < 2.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗ heet uniform continuals voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δ_s zodat d^∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δ_s. De collectie B s,1

2δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s₁, . . . , s_n zodat E ⊆ B s₁,¹₂δ_s₁ ∪ · · · ∪ B s_n,¹₂δ_s_n. Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ. Er bestaat k zodat s ∈ B s_k,¹₂δ_s_k, dus d(s, s_k) < ¹₂δ_s_k. Dan is d (s_k, t) ≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δs_k+ δ ≤ δs_k.

Nu is d^∗ f (t), f (s_k) < en evenzo d∗ f (s), f (s_k) < , dus d^∗ f (s), f (t) ≤ d∗

f (s), f (s_k) + d∗

In document Analyse: van R naar R (pagina 81-101)