Eindexamen vwo wiskunde B 2012 - II

Eindexamen vwo wiskunde B 2012 - II

© havovwo.nl

- www.havovwo.nl - www.examen-cd.nl

2 Een ellipsvormige baan

3. De afstand van het punt P tot de oorsprong reken je uit met de stelling van Pythagoras. Dit geeft dat de afstand d gelijk is aan

d =p

(x(t))²+ (y(t))²= q

1 2sin t
2

+ sin(t +¹₃π)
2

.

Het maximum van deze functie reken je uit met de GR. Je voert de volgende formule in in de Ti-84 plus:

y1= q

1

2sin x
2

+ sin(x + ¹₃π)
2

. Nu vind je met calc maximum dat t = x ≈ 1, 04.

4. Eerst reken je de afgeleides van x(t) en y(t) uit. Hier moet je voor y de kettingregel toepassen, maar de afgeleide van het argument van de sinus is gelijk aan 1, dus als je het vergeet maakt het hier niets uit.

dx

dt = ¹₂cos t, dy

dt = cos(t + ¹₃π).

Nu reken je deze afgeleides uit bij t = 0. Dan vind je dx

dt    t=0

= ¹₂cos 0 = ¹₂, dy

dt    t=0

= cos(¹₃π) = ¹₂. De snelheid van P bij t = 0 is dus gelijk aan

s

 dx dt    t=0

2

+ dy dt    t=0

2

= s

 1 2

2

+ 1 2

2

= r1

2 = 1 2

√2.

5. Je rekent eerst uit voor welke t geldt dat y = 2x. Je moet dus de volgende vergelijking oplossen:

2 ·1

2sin t = sin(t + ¹₃π), sin t = sin(t + ¹₃π), t = t + ¹₃π + 2πk_

t = π − (t +¹₃π) + 2πk, 0 = ¹₃π + 2πk_

2t = ²₃π + 2πk, geen oplossingen_

t = ¹₃π + πk.

Hier is k een geheel getal. De linker mogelijkheid bleek geen oplossingen te geven aangezien deze oplossing leidt tot k = −¹₆, wat niet kan. De rechter

- 1 -

Eindexamen vwo wiskunde B 2012 - II

© havovwo.nl

- www.havovwo.nl - www.examen-cd.nl

mogelijkheid geeft voor 0 ≤ t ≤ 2π de oplossingen t = ¹₃π en t = ⁴₃π. Het punt t = ¹₃π geeft de co¨ordinaten

(x(¹₃π), y(¹₃π)) = 1

2sin(¹₃π), sin(²₃π)



=

√3 4 ,

√3 2

! .

Dit is het punt A. Het punt B komt overeen met t = ⁴₃π:

(x(⁴₃π), y(⁴₃π)) = 1

2sin(⁴₃π), sin(⁵₃π)



= −

√3 4 , −

√3 2

! .

- 2 -