Zij (S, d) een metrische ruimte en (sn) een rij in S

OPGAVEN BIJ ANALYSE 2016, METRISCHE RUIMTEN (10)

Limieten van rijen

Definitie (Convergentie). Zij (S, d) een metrische ruimte en (s_n) een rij in S. We zeggen dat s_n convergeert naar s ∈ S (notatie: s_n → s) als limn→∞d(s_n, s) = 0, oftewel

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat d(sn, s) <  als n > N.

Merk op: voor S = R en d(x, y) := |x − y| is dit de gebruikelijke definitie van convergentie.

Opgave 1. We bekijken R^kmet de Euclidische metriek d(~x, ~y) =q Pk

j=1(x_j− yj)². (a) Bewijs dat voor alle j ∈ {1, . . . , k} geldt |xj− yj| ≤ d(~x, ~y).

(b) Bewijs dat als een rij ~x⁽ⁿ⁾
∞

n=1= ~x⁽¹⁾, ~x⁽²⁾, . . .
van vectoren in R^k conver- geert, dan dat ook voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x⁽ⁿ⁾_j
∞

n=1= x⁽¹⁾_j , x⁽²⁾_j , . . .
van j-de entries convergeert.

(c) Toon aan dat geldt d(~x, ~y) ≤√

k maxj|xj− yj|.

(d) Bewijs dat als voor elke j ∈ {1, . . . , k} de rij x⁽ⁿ⁾_j
convergeert, dat dan ook de rij x⁽ⁿ⁾
convergeert.

Opgave 2. Zij ~x⁽ⁿ⁾
en ~y⁽ⁿ⁾
rijen in R^k. Stel dat ~x⁽ⁿ⁾ → ~x en ~y⁽ⁿ⁾ → ~y voor zekere ~x, ~y ∈ R^k. Bewijs dat ~x⁽ⁿ⁾+ ~y⁽ⁿ⁾→ ~x + ~y.

Open en gesloten

Herinner: we noemen F ⊆ R gesloten als F alle limieten van rijen in F bevat: voor elke rij (x_n) die geheel in F ligt en convergeert (in R), geldt dat de limiet in F ligt.

Opgave 3.

(a) Bewijs dat een “gesloten” interval [a, b] ⊆ R gesloten is volgens deze definitie.

(b) Laat zien dat een open interval (a, b) ⊆ R niet gesloten is.

(c) Is R gesloten? En ∅?

Definitie (Open). We noemen een verzameling E ⊆ R open als voor elke x ∈ E er een δ > 0 is zodat (x − δ, x + δ) ⊂ E.

Opgave 4.

(a) Bewijs dat een “open” interval (a, b) ⊆ R open is volgens deze definitie.

(b) Laat zien dat een gesloten interval [a, b] niet open is.

(c) Is R open? En ∅?

Opgave 5. Is een “halfopen” interval [a, b) open? Gesloten?

Opgave 6. Bewijs dat als E ⊆ R open is, dat dan het complement F := R \ E gesloten is. Hint : neem een rij (xn) in F en stel xn → x voor zekere x 6∈ F . Opgave 7. Bewijs dat als F gesloten is, dat dan het complement E := R \ F open is.