Topologie, voorjaar 2016
Opgavenblad 3
16 februari
1. Zij (X, d) een metrische ruimte. We zeggen dat (X, d) discreet is als er voor elke x ∈ X een ǫ > 0 bestaat zodanig dat geldt B
ǫ(x) = {x}. Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:
(1) X is discreet;
(2) voor elke x ∈ X is de deelverzameling {x} van X open;
(3) elke deelverzameling van X is open;
(4) elke deelverzameling van X is gesloten.
2. Zijn (X, d
X) en (Y, d
Y) metrische ruimten, en zij f : X → Y een afbeelding. We zeggen dat f lokaal constant is als er voor elke x ∈ X een ǫ > 0 bestaat zodanig dat f constant is op B
ǫ(x). Stel dat (Y, d
Y) discreet is. Laat zien dat f continu is dan en slechts als f lokaal constant is.
3. Zijn (X, d
X) en (Y, d
Y) metrische ruimten, en zijn f, g: X → Y continue afbeeldingen.
(a) Laat zien dat de verzameling {x ∈ X | f (x) = g(x)} gesloten is in X.
(b) Zij S een dichte deelverzameling van X, en neem aan dat f (x) = g(x) voor alle x ∈ S. Laat zien dat f = g.
4. Zij (X, d) een metrische ruimte. Laat zien dat (X, d) volledig is in elk van de volgende gevallen:
(a) De verzameling X is eindig.
(b) De metriek d is een Franse-spoorwegmetriek.
(c) X = R en d(x, y) =
1+|x−y||x−y|.
5. (Runde, 2.4.2 en 2.4.3.) Zij (X, d) een metrische ruimte. Een afbeelding f : X → X heet een contractie als er een re¨eel getal θ < 1 bestaat zodanig dat voor alle x, y ∈ X geldt
d(f (x), f (y)) ≤ θd(x, y).
(a) Bewijs dat elke contractie continu is.
(b) Zij (x
n)
n≥0een rij in X. Stel dat er een re¨eel getal θ < 1 bestaat zodanig dat voor alle n ≥ 1 geldt d(x
n+1, x
n) ≤ θd(x
n, x
n−1). Bewijs dat (x
n)
n≥0een Cauchyrij is.
(c) Bewijs de vastepuntenstelling van Banach: elke contractie op een volledige, niet- lege metrische ruimte heeft precies ´e´en vast punt.
(d) Onderbouw de volgende uitspraak: als je een kaart van Nederland ergens in Nederland neerlegt, ligt er precies ´e´en punt van de kaart op de goede plek.
6. Zijn (X, d
X) en (Y, d
Y) twee volledige metrische ruimten. We voorzien het product X × Y van de metriek
D((x, y), (x
′, y
′)) = d
X(x, x
′) + d
Y(y, y
′) (zie opgave 11 van blad 2.) Laat zien dat (X × Y, D) volledig is.
1
7. Een Banachruimte is een genormeerde R-vectorruimte (V, k k) die volledig is met betrekking tot de metriek d gedefinieerd door d(x, y) = kx − yk.
(a) Zij V de ruimte van continue functies f : [0, 1] → R voorzien van de norm kf k = sup
x∈[0,1]|f (x)|. Laat zien dat (V, k k) een Banachruimte is. (Aanwijzing: elke continue functie [0, 1] → R is begrensd.)
(b) Laat zien dat elke eindigdimensionale genormeerde R-vectorruimte (V, k k) een Banachruimte is.
(c) Zij V = L
n≥0
R de vectorruimte van alle rijtjes (x
n)
n≥0met x
n∈ R zodanig dat er een N ≥ 0 bestaat met x
n= 0 voor alle n ≥ N , voorzien van de norm
k(x
n)
n≥0k = X
n≥0
x
2n!
1/2.
Laat zien dat V geen Banachruimte is.
8. Zij I het eenheidsinterval [0, 1] en V het eenheidsvierkant [0, 1] × [0, 1], beide met de euclidische metriek, en zij C(I, V ) de verzameling van continue afbeeldingen I → V . Aangezien V begrensd is, is C(I, V ) gelijk aan de verzameling BC(I, V ) van begrensde continue afbeeldingen I → V . In deze opgave gebruiken we de volledigheid van C(I, V ) met betrekking tot de uniforme metriek D op C(I, V ) = BC(I, V ) om een vlakvullende kromme te construeren, d.w.z. een surjectieve continue afbeelding I → V . (a) Laat zien dat het mogelijk is om V voor elke n ≥ 0 op een zodanige manier op te delen in 2
n× 2
nvierkanten V
n,kmet zijden van lengte 2
−n, voor 0 ≤ k ≤ 4
n− 1 (dus V
n,k= [a
n,k, b
n,k] × [c
n,k, d
n,k] met a
n,k, b
n,k, c
n,k, d
n,k∈ [0, 1] ∩ 2
−nZ ) dat het volgende geldt: voor n ≥ 0 en 0 ≤ k < 4
n− 1 hebben V
n,ken V
n,k+1een zijde gemeen, en voor n ≥ 0 en 0 ≤ k ≤ 4
n− 1 geldt
V
n,k= V
n+1,4k∪ V
n+1,4k+1∪ V
n+1,4k+2∪ V
n+1,4k+3. (b) Zij P
n,khet middelpunt van V
n,k. Construeer continue afbeeldingen
f
n: I → V (n ≥ 0)
zodanig dat het beeld van f
nalle punten P
n,kbevat en zodanig dat (f
n)
n≥0een Cauchyrij in C(I, V ) is.
(c) Laat zien dat als f de limiet van een rij als in (b) is, het beeld van f dicht ligt in V .
(d) Zij f : I → V een continue afbeelding. Laat zien dat het beeld van f gesloten is in V . (Aanwijzing: gebruik de stelling van Bolzano–Weierstraß.)
(e) Concludeer dat er een surjectieve continue afbeelding I → V bestaat.
[Het eerste voorbeeld van zo’n afbeelding werd gegeven door Peano in 1890. De constructie uit deze opgave is gebaseerd op een voorbeeld van Hilbert uit 1891.]
2
