) een topologische ruimte, en zij S een deelverzameling van X. Bewijs dat X \ S

Topologie, voorjaar 2016

Opgavenblad 5

1 maart

1. (Runde, 3.1.7.) Zij (X, T

) een topologische ruimte, en zij S een deelverzameling van X. Bewijs dat X \ S

= X \ S en X \ ¯ S = (X \ S)

.

2. Laat zien dat er voor de euclidische topologie op R

een aftelbare basis bestaat.

3. Zij (X, T ) een topologische ruimte, en zij B een basis voor T . Zij Y een deelruimte van X. Laat zien dat {U ∩ Y | U ∈ B} een basis voor de deelruimtetopologie op Y is.

4. Zijn (X, T

) en (Y, T

) topologische ruimten, en zij B een basis voor T

. Zij f : X → Y een afbeelding. Laat zien dat f continu is dan en slechts dan als voor elke U ∈ B de verzameling f

U open is in X.

5. Zijn (X, T

) en (Y, T

) topologische ruimten zodanig dat T

de triviale (= chaoti- sche) topologie op X is en (Y, T

) een Hausdorffruimte is. Bewijs dat elke continue afbeelding f : X → Y constant is.

6. (Runde, 3.2.10.) Zijn (X, T

) en (Y, T

) topologische ruimten, en zij D ⊆ X een dichte deelverzameling. Zijn f, g: X → Y twee afbeeldingen waarvoor geldt f |

= g|

. (a) Neem aan dat (Y, T

) een Hausdorffruimte is. Bewijs dat f en g gelijk zijn.

(b) Geef een voorbeeld van een situatie als boven (met Y geen Hausdorffruimte) waarbij f en g ongelijk zijn.

7. Zij (X, T

) een topologische ruimte. Zij ∼ een equivalentierelatie op de verzame- ling X, zij Q = X/∼ de quoti¨entverzameling, en zij q: X → Q de quoti¨entafbeelding.

(a) Zij T

de collectie van deelverzamelingen van Q gedefinieerd door T

= {U ⊆ Q | q

U is open in X}.

Bewijs dat T

een topologie op Q is, en dat q een continue afbeelding (X, T

) → (Q, T

) definieert.

(b) We voorzien Q van de topologie T

uit (a). Zij Z een topologische ruimte, en zij f : X → Z een continue afbeelding zodanig dat voor alle x, x

∈ X geldt x ∼ x

⇒ f (x) = f (x

). Bewijs dat er een unieke continue afbeelding g: Q → Z bestaat zodanig dat f = g ◦ q.

De topologie T

uit de bovenstaande opgave heet de quoti¨enttopologie op Q. De boven- staande opgave laat zien dat wanneer we Q = X/∼ voorzien van de quoti¨enttopologie, de universele eigenschap van quoti¨entverzamelingen betekenis blijft houden in de context van continue afbeeldingen.

In de onderstaande opgaven is een product X ×Y van topologische ruimten steeds voorzien van de producttopologie T

.

8. Zijn X en Y discrete topologische ruimten. Laat zien dat X × Y discreet is.

9. Zijn (X, T

) en (Y, T

) topologische ruimten, zij B

een basis voor T

, en zij B

een basis voor T

. Laat zien dat {U × V | U ∈ B

, V ∈ B

} een basis voor de producttopologie T

is.

1

10. Zij X een verzameling, zijn T

en T

topologie¨en op X, zij B

een basis voor T

, en zij B

een basis voor T

.

(a) Stel dat er voor alle x ∈ X en alle U

∈ B

met x ∈ U

een U

∈ B

bestaat met x ∈ U

en U

⊆ U

. Bewijs dat T

fijner is dan (of gelijk is aan) T

, d.w.z.

T

⊆ T

.

(b) Bewijs dat de producttopologie op R × R gelijk is aan de euclidische topologie op R

.

11. Zij X een topologische ruimte. Laat zien dat X een Hausdorffruimte is dan en slechts dan als de diagonaal

∆

= {(x, x) | x ∈ X}

een gesloten deelverzameling van X × X is.

12. Zij X een topologische ruimte. Laat zien dat X een Hausdorffruimte is dan en slechts dan als X × X een Hausdorffruimte is.

2