Antwoorden opgaven syllabus wiskunde B vwo domein C

Antwoorden opgaven syllabus wiskunde B vwo domein C

1

3 1

¹

( ) 3 1 3 1 3 3 1 3( 2)

2 2

f x x x x x

x x

          



 

2

2 2

1 3

( ) 3 3( 2) 3 3 3

( 2) ( 2)

f x x

x x

   



    

 

( ) 0

f x  als (x2)² 1 dus x1 of x3. (1) 1

f  is een maximum, f(3) 13 is een minimum.

2 a. De oppervlakte

xy

is

72

, dus

72 y  x

b.

1

¹

72 72

y x

x

  

 dus ²

1

₂

72

₂

72 72

y x

x x

  



    

Noem de

x

-coördinaat van

B b

, dan is de

y

-coördinaat

72

b

^{en de} richtingscoëfficiënt van de raaklijn

72

₂

 b

, dus een vergelijking is

2

72 72

( )

y x b

b b

    

ofwel

72

₂

144

y x

b b

  

0

x invullen geeft

144

y  b

, y0 invullen geeft x2b De oppervlakte van driehoek

ODE

is ¹₂ ¹₂

144

2 144

OD OE b

     b 

, dus

onafhankelijk van

b

.

3 a. P(1, 4) dus OP 1²4²  17

b. P p( ,5p²), dus OP p² (5 p^{2 2})  p²25 10 p²p⁴  p⁴9p²25 c. Als

OP

minimaal is dan is p⁴9p²25 minimaal, dus 4p³18p0

2 1

4 (p p 4 ) 02  geeft p0 of p 4¹₂ of p  4¹₂ .

Tekenen van de grafiek van p⁴9p²25 laat zien dat

OP

voor p0 maximaal is en voor p 4¹₂ of p  4₂¹ minimaal. Het minimum is 4¹₂( )¹₂ ²  4₄^{3 .}

4 y 2x dus de raaklijn in ( ,p p²) heeft richtingscoëfficiënt 2 p

Vergelijking: y p ² 2 (p x p ). x0 invullen geeft y p ² 2p², dus y p².

5 v x( )g x_a( ) f x( )x^a lnx. ¹

1

( )

^a

v x a x x

  





.

Als v x( ) minimaal is, dan v x( ) 0 , dus _a ¹

1

a x x







, dus _a

1

x  a

, dus

1 x

a

 a

De minimale verticale afstand is

1

1 1 1 1

1

1 ln

ln

^a

ln a

a a a a a a





       

 

^.

6 y   2 ex ^{x2 .} y   2 e^x2 2x  2 ex ^x2   ( 2 4 ) ex²  ^x2 In de buigpunten geldt: y0, dus  2 4x² 0^{, dus} x²  ¹2

1

x  2 of x ¹₂ . De buigpunten zijn ( ₂¹,e )^21 en ( ¹₂,e )^12

7 a.

1 1

2

e e

( ) e e

a x a x a a

a x x

ax x ax x

f x  

^

   

^



2 3

3

( ) 3 0

e

^x

x x

f x    

^geeft x²(3x) 0 dus x0 of x3

In x0 wisselt f x₃( ) niet van teken, in x3 wel, dus f x₃( ) heeft alleen een extreme waarde (een maximum) voor x3.

b.

1

( ) 0

e

a a

a x

ax x f x





  

geeft x^a1(a x ) 0 , dus x0 of x a _.

Er zijn twee extremen (in x0 en in x a _{) als}

a

een even positief getal is; er is één extreem als

a

een oneven positief getal is.

8 f x( ) e^xsin(π ) ex  ^xπ cos(π )x en g x( )π cos(π )  x . ( ) 0

g x  als cos(π ) 0x  . Dan is sin(π ) 1x  of sin(π )x  1, dus f x( ) 0 . Dus

f

en

g

hebben niet bij dezelfde waarden van

x

extremen.

9 a. f x( ) 0 geeft ln( ) (ln( ) 2) 0x  x   , dus ln( ) 0x  of ln( ) 2x  . De snijpunten zijn (1,0) en (e ,0)² .

b.

1 1 2ln( ) 2

( ) 2ln( ) 2 x

f x x

x x x

      

; f x( ) 0 als ln( ) 1x  , dus xe.

Het minimum is f(e) 1 2   1.

c.

 

2 2

2 1 2ln( ) 2 1 4 2ln( ) ( )

x x x

f x x

x x

     

  

( ) 0

f x  als ln( ) 2x  , dus xe². Het buigpunt is (e ,0)² .

10 a.

20000 1  q 10000



^{geeft q10000.} R   p q 1 10000 10000 . 0,75(50 ) 0, 75(50 10000) 7537,5

K  q    .

10000 7537,5 2462,5

W   R K   .

b.

20000

10000

q   p

, dus

20000

10000

q  p 

.

20000

10000 20000 10000

R p q p p

p

 

        

 

^.

20000 15000

0,75(50 ) 0,75 50 10000 7462,5

K q

p p

 

         

 

^.

 20000 10000  ¹⁵⁰⁰⁰ 7462,5 27462,5 10000 ¹⁵⁰⁰⁰

W R K p p

p p

 

          

 

^.

c.

15000

₂

10000

W     p

_{. W 0 als}

15000

₂

10000

p 

_{, dus p}² _{1,5, dus} 1,5 1,22

p  euro.

11 a.

e (e 4) (e

₂

4)e 8e

₂

( ) (e 4) (e 4)

x x x x x

x x

f x      

 

^.

Teller en noemer van deze breuk zijn beide positief voor elke

x

, dus f x( ) _is positief voor elke

x

, dus

f

is een stijgende functie.

b.

2

4 3 3

8e (e 4) 8e 2(e 4) e 8e (e 4) 8e 2e 8e (4 e )

( ) (e 4) (e 4) (e 4)

x x x x x x x x x x x

x x x

f x             

  

( ) 0

f x  als e^x 4^{, dus} xln 4.

8 4

₂ ¹₂

(ln 4)

(4 4)

f    



^.

12

0 (2 sin ) 3

₂

cos 3 cos

₂

( ) (2 sin ) (2 sin )

p

p x p x p x

f x

p x p x

    

  

  f

_p

 ( ) 0 x 

als cosx0, dus

1

2π π

x  k (

k

geheel); deze waarden zijn onafhankelijk van

p

.

13 a.

2

10 2

2 3

( ) 10

x x

f x



x

 

 

2 2 3 2 3 2

10 2 2 2 2

2

2 2

(2 2)( 10) ( 2 3) 2 2 20 2 20 2 4 6

( ) ( 10) ( 10)

2 14 20

( 10)

x x x x x x x x x x x

f x

x x

x x

x



           

   

 

 

 

10 ( ) 0

f_  x  ^als 2x²14x20 0 ^{, dus} x²7x10 0 ^{, dus} (x2)(x 5) 0, dus 2

x of x5. b.

2 2

2 2

(2 2)( ) ( 2 3) 2

( ) ( )

p

x x p x x x

f x

x p

     

 



^{, dus 2}

2 2

p

(0) f p

p p

 

  

. Dit is voor geen enkele waarde van

p

gelijk aan

0

.

14

ln 1

( ) ln

ln ln

k

f x x x

k k

  

, dus

1 1

( ) ln f x

k

  k x 

en

1 1 (e) ln e f

k

  k 

.

ln e 1

(e) ln ln f

k

k k

 

, dus P(e,_ln¹_k)

De richtingscoëfficiënt van

OP

is

ln1 0 1

e 0 e ln

k

k

 

 

Dit is hetzelfde als f _k (e), dus de raaklijn gaat door

(0,0)

voor elke k0^.

15 a. P( , 2p p), V (0, 2 p), Q(0, p).

1

1 2

2

( ) 2 1

f x x

x

   





dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is

1 p

^.

PQ p 1

 P Q

b. De oppervlakte van

W

is

 

^{43 112} ₀ ^{43 23}

0

2 2 d 2 2

p p

p  p   x x  p p  x  p p  p p  p p

De oppervlakte van driehoek

QPV

is ¹₂ p p. De verhouding is

16 12

1 3 p p

p p 

(of

3

), dus onafhankelijk van

p

. c. y2 x^{, dus} x ¹₄ y².

De totale inhoud is

2 2

2 1 4 1 52 1 2 2 2

16 80 0 80 5

0 0

π d π d π π 32 π

p p

x y  y y   y

p

   p p  p p

 

Het bovenste deel is een kegel met inhoud ¹₃πp² p .

De inhoud van het onderste deel is ²₅πp² p¹₃πp² p ₁₅¹ πp² p. De verhouding is

1 2 3 1 2 15

π 5

π p p

p p 

(of ¹₅).

16 a. P( , log(3 ))p ² p , Q(0, log(3 ))² p

ln(3 ) 1

( ) ln(3 )

ln 2 ln 2

f x  x   x

, dus

1 1 1 1

( ) 3

ln 2 3 ln 2

f x    x    x

.

1 1 ( ) ln 2 f p    p

Een vergelijking van

PQ

is ²

1 1

log(3 ) ( )

y p ln 2 x p

     p

0

x invullen geeft ²

1

log(3 )

y  p  ln 2

, dus ²

1

0, log(3 )

R     p  ln 2   

^.

1

QR  ln 2

is onafhankelijk van

p

.

b. y ²log(3 )x geeft 2^y 3x^{, dus} x ¹₃ 2^y. De oppervlakte van

V

is

4 4

8 16 8

1 1 1 1 1

3 2 3 3 3 3 3 3

0 0

1 1 1 1 1 1 7

2 d 5 2

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 3ln 2

y

y

y

               



c. ^{4 2} 3¹

 

3^{1 2 4}



3¹



^{2 256}27 ⁴¹9 ²⁵⁶27

0 0 0

1 1 1

π d π 5 π 2 d π π 4 d π

ln 2 ln 2 ln 2

y y

x y y y

                 

 

4

256 256 256

1 1

9 27 9 9 27

0

255 256 255 256

9 27 18 27

1 1 1 1 1

π 4 π π π π

ln 4 ln 2 ln 4 ln 4 ln 2

1 1 1 253π

π π π

2ln 2 ln 2 ln 2 54ln 2

   

y

        

       

17 a.

3 1

( ) 3 1 3 1 3

2 2

f x x x

x x

      

 

^dus

1 2

( ) 12 3 ln 2 F x  x   x x b. g x( )¹₃x³ 1 ²₃x^3 dus G x( )₁₂¹ x⁴ x ¹₃x^2

c. h x( )x¹²¹  3 2^{x dus 2}5 ^{212 2}5 ²

1 3

( ) 3 2 2

ln 2 ln 2

x x

H x  x     x x  

18 b.

1 1

d d

m b

a m

x x

x  x

 

^{geeft ln}x^ma ^lnx^bm dus lnmlnalnblnm 2 lnmlnalnb dus ^ln

 

^{m2 ln}

^{ }

^{ab , dus m2 ab, dus m ab}

19 De oppervlakte onder de lijn

BA

op het interval [

b

,

a

] is

2 1 2 2 2 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3

2 2 2 2 2 2

(a b b     ) (a b) (a b )ab  b (a ab a b b ) a  a b ab  b De oppervlakte onder de parabool op het interval [

b

,

a

] is

2 1 3 1 3 1 3

3 3 3

d

a a

b b

x x  x  a  b



^.

De gevraagde oppervlakte is

3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2a 2a b 2ab 2b (3a 3b ) 6a 2a b 2ab 6b  6(a 3a b3ab b ) Dit is gelijk aan ¹₆(a b )³.

20 a.

3 3 4 4

1 1 3

4 2

1 1 4 1

( ) d 1

3 3

W x

x x

       

b. ₂

1 1

1 1 1

( ) d 1

a a

V a x

x x a

      

1 99

1 100

   a

geeft

1 1 100

a 

dus a100 c. W b( )V a( ) als

1

1

1 1

^a

x

b

x

  

dus

1 1

1 1

b a

    

dus

1 1 a b   2

d. J b( )I a( ) als

1

4 4

1

1 1

π d π d

a

b

x x

x  x

 

^dus

π

^{13 31}

π

^{13 3}1^a

x

^ b

x

^

  

31 3

1 a

x

^ b

 x

^ geeft

1

₃

1

₃

1 1

b a

  

dus

1

₃

1

₃

a  b  2

21 De oppervlakte van

W

is ¹₂(e^ae^{ a 1}). De oppervlakte van

V

is

1

e d e

1

e

1

e

a x xa a a

a a

x

 

 

 

 

 







^.

1 1 2

1

e (1 e )

oppervlakte van e 1

oppervlakte van e ( e 1) 2e 2

a a

W V

 

 

 

 

  

en dus onafhankelijk van

a

.

22 a. 2

 

2



²



e e

( ) sin(π ) π cos(π ) π cos(π ) π sin(π )

1π 1 π

x x

F x x x x x

 

          

 



²



2

2 2

e sin(π ) π cos(π ) π cos(π ) π sin(π ) 1π

e (1π ) sin(π ) e sin(π ) ( ) 1π

x

x

x

x x x x

x x f x



 

        



      



b. ₂

 

¹

0

e sin(π ) π cos(π ) 1π

x

x x





   



   

1 0

2 2

e e

sin(π) π cos(π) sin(0) π cos(0)

1π 1 π



        

 

1 2

π (1 e ) 1π

  



23 ^{0,2 0,2 0,2 0,2 0,2}

0 0

0,12 e d 0,6 e 3 e 0,6 e 3 e 3

x

t 

^ t

t   t 

^ t

 

^ t x

  x 

^ x

 

^ x





24 ^{F x( )}



^{2ax b }



^e2x



^{ax2bx c  }



^{2e2x  }



^{2ax2(2a2 )b x (b 2 ) ec}



^{ 2x}

2a 3

   , 2a2b4 en b2c0 geeft a1¹₂ , b ¹₂ en c ¹₄.