Antwoorden opgaven syllabus wiskunde B vwo domein D

Antwoorden opgaven syllabus wiskunde B vwo domein D

1 Er geldt: x4 cos( )at en y4sin( )at .

4 cos(2 ) 2 3a  ^en 4sin(2 ) 2a  dus cos(2 )a ₂¹ 3 en sin(2 )a  ¹₂.

De kleinste positieve waarde van 2a waarvoor dit geldt is ¹₆π dus a₁₂¹ π. P is voor de tweede keer in ( 2 2, 2 2)  als ₁₂¹ πt3 π₄¹ , dus t 39 seconden.

2 De amplitude is 2 5 10  , de hoekfrequentie 3π¹₆ π¹₂ en bij t0 is de uitwijking maximaal.

Een vergelijking is bijvoorbeeld u_Q 10sin(π₂¹ tπ)¹_{2 of} u_Q 10 cos(π )¹₂ t _.

3 a. (2cosx1)(cosx 1) 0, dus cos x ¹₂ of cosx 1

Dit geeft x ₃²π k 2π of x ²₃π k 2π of x  π k 2π (k geheel).

Andere manier: noem cos x p_{, dan} 2p²3p 1 0.

Met de abc-formule oplossen: D3²   4 2 1 1^{, dus} 3 1 2 2 1 p   

 ^of

12

3 1 p 2 2  

 ^{, dus cosx 1 of cos x 12} (en dan verder als boven).

b. sin(2π)x¹₃ sin( π (  ¹₂  π))x ³₄ geeft sin(2π) sin(x¹₃  π+(¹₂ π))x³₄ dus 2πx¹₃  1 πx ¹₄ 2π k of 2π π (x¹₃   1 π)x ₄¹ 2π k (k geheel)

7

1π12 2π

x   k of 3x1π₁₂¹¹  k2π (k geheel) Dus x 1π₁₂⁷  k2π of x²³₃₆π k ²₃π (k geheel).

c. tan(2 )x  3 ^geeft 2πx¹₃ π k (k geheel), dus x¹₆π k ¹₂π(k geheel).

4 6 22

2 8 d  

  . a14 of a 14.

De grafiek bereikt de evenwichtsstand bij x0 en voor de zesde keer bij x40 , dus op het interval [0, 40] passen 2¹₂ periode. De periode is 16.

18

2π π

b16  of b ¹₈π

5 1 2sin(2 ) 0 x  als sin(2 )x ¹₂, dus 2πx¹₆ 2π k of 2πx ₆⁵ 2π k (k geheel)

1

12π π

x  k of x₁₂⁵ π k π (k geheel).

Op [0, 2π]: x₁₂¹ π of x₁₂⁵ π of x1π₁₂¹ of x1π₁₂⁵ Met de grafiek van f op de GR:

1 2sin(2 ) 0 x  als 0π x ₁₂¹ of ₁₂⁵ π x 1 π₁₂¹ of 1π₁₂⁵  x2π .

6 a. Aangetoond moet worden dat f a( ) f(a) voor elke waarde van a. ( ) sin2

f a  a en f( a) sin (²  a) (sin(a))²  ( sin )a ² (sin )a ² sin²a, dus ( ) ( )

f a  f a voor elke waarde van a.

b. Aangetoond moet worden dat f(π¹₂ )a  ( πf ¹₂ )a voor elke waarde van a.

1

2 2 2

1 1

2 2

(π ) (sin( π )) (cos ) cos

f a  a  a  a en

2 2 2 2

1 1

2 2

(π ) (sin( π )) (cos( )) (cos ) cos

f a  a  a  a  a, dus

1 1

2 2

(π ) ( π )

f a  f a voor elke waarde van a.

7 a. Gebruik de formule cos(2 ) 2 cosx  ²x1, dus cos²x ¹₂cos(2 )x ¹₂.

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) cos(2 ) cos(2 ) 1 cos(2 )

f x  x  x    x , dus a1₂¹, b2 en d ¹₂. b. f x( ) 2 cos ²x 1 cos²x3cos² x1, dus p3, q0 en r 1.

8 a. ( ) cos(3 ) cos(2f t  t  t t ) cos(2 ) cost  tsin(2 ) sint  t

2 3 2

(2cos t 1) cost 2sin cos sint t t 2cos t cost 2 cos sint t

         

3 2 3 3

2cos t cost 2cos (1 cos ) 2cost t t cost 2cost 2 cos t

         

4cos3t 3cost

 

3 2 3 2

( ) cos(6 ) cos(3 2 ) 4cos (2 ) 3cos(2 ) 4 (2cos 1) 3 (2 cos 1)

g t  t   t  t  t   t   t 

6 4 2

... 32cos t 48cos t 18cos t 1

    

9 ycos cosπ sin sin π cos cos π sin sin π 2 cos cos πt ¹₃  t ₃¹  t ¹₃  t ¹₃   t ¹₃ 

1 1

2 2

2 cost cost sin(π)t

      , dus a b 1, c ¹₂π en d0.

10 (sinφ ³₅ en cosφ ⁴₅) of (sinφ  ₅³ en cosφ  ⁴₅ )

3 4 24

5 5 25

sin(2φ) 2    en cos(2φ) cos φ sin φ ²  ² 

   

11 a.



 



 

2 2 2 2 2 2

4sin x 4sin cosx x cos x sin x 4sin cosx x 4cos x 5 sin x cos x 5 1 5

          

b. ^{22 2 2 2 2 2}





2 4 4 4

sin sin sin sin cos sin 1 cos sin sin sin

cos

cos cos cos cos cos

xx x x x x x x x x x

x x x x x

           

tan x4



c. 2 2 2 ¹2

2 cossin 2sin cos 2sin cos 2sin sin(π ) cos sin

1 sin cos

x

x x

x x x x x

x x

x x

     

  

  

 

2