Antwoorden opgaven syllabus wiskunde B vwo domein B

Antwoorden opgaven syllabus wiskunde B vwo domein B

1 a. ab4a b 20, dus a b( 4) b 20, dus

20 4 a b

b

 



De grafiek is een hyperbool met verticale asymptoot b4 en horizontale asymptoot a1. Controleer je tekening m.b.v. je GR.

b. Schrijf eerst

b

als functie van

a

: 4 20

ab b  a , dus b a(  1) 4a20, dus

4 20 1 b a

a

 



1 1

2 2

8 8 8( 1) 8 8

4 20

4 4 4 20 4( 1) 16

1

a a

T a

b a a a

a

 

      

      



, dus

T

is een eerstegraadsfunctie van

a

.

2

2 e 1 2 e 1 2 e 1

1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1

x x x

x x x x x

   

    

    

^dus

( ) 1 2

e

^x

1 f x  



3 a. De grafiek is een vierkant met hoekpunten

(4,0)

,

(0,4)

,

(-4,0)

en

(0,-4).

b. Nee, want er bij

x

-coördinaten tussen

-4

en

4

horen twee

y

-coördinaten.

c. x  y 4 is te schrijven als y  x 4 dus als een functievoorschrift; de grafiek bestaat uit twee halve lijnen met eindpunt

(0,4)

die achtereenvolgens door

(-4,0)

en

(4,0)

gaan.

De grafiek van x y 4 is het spiegelbeeld van de grafiek van x  y 4 bij spiegelen in de lijn met vergelijking y x ; dit verband kan niet herschreven worden als een functievoorschrift want bij

x

-coördinaten kleiner dan

4

horen twee

y

-coördinaten.

4 a. De rechte lijn door (

3

,

0

) en (

0,

¹¹₂

)

. Controleer met je GR: vul y ¹₂x1¹₂ in.

b. De grafiek van y ¹₄x²1¹₂ is de parabool met top (

0,

¹¹₂

)

die de

x

-as snijdt in ( 6^,

0

) en ( 6 ^,

0

).

c. De grafiek van x² y² 4 is de cirkel met middelpunt (

0

,

0

) en straal

2

.

5 a. Domein: alle getallen; bereik: y0; snijpunt

y

-as

(0,1)

; horizontale asymptoot 0

y .

b. Domein: alle getallen; bereik: alle getallen; snijdt

x

-as en

y

-as in het symmetriepunt

(0,0)

.

c. Domein: x0; bereik: alle getallen; snijpunt

x

-as

(1,0)

; verticale asymptoot 0

x .

d. Domein: x¹₂π k π met

k

geheel; bereik: alle getallen; snijdt de

y

-as in

(0,0)

en de

x

-as in de symmetriepunten (kπ,

0)

met

k

geheel; verticale asymptoten x ¹₂π k π met

k

geheel.

e. Domein: alle getallen; bereik: y0; minimum

0

; snijdt de

x

-as en de

y

-as in

(0,0)

; symmetrie-as x0.

6 f x( ) 3 ^x, g x( )x^112, h x( ) x en k x( ) ²log( )x .

7 Als

x

toeneemt, neemt e^{x toe, dus} e^x1 ^{ook, dus}

2

e

^x

 1

neemt af, dus

2 1  e

^x

1



neemt toe. Dus

f

is een stijgende functie.

Andere manier:

 ^2e 

²

( ) e 1

x

f x  

x



. De teller en de noemer zijn voor elke

x

positief, dus de afgeleide van

f

is voor elke

x

positief, dus

f

is een stijgende functie.

8  1 sinx1, dus  2 2sinx2, dus 4 6 2sin  x8, dus

10 10 10 4  6 2sin x  8



, dus het bereik van

f

is



1 , 2¹4 ¹2



.

9 a. 0,9907³⁶⁵ 0, 033, dus er is ongeveer

3,3%

over.

b. 0,9907^t 0,80, dus ^0,9907

log 0,80

log 0,80 23,88

log 0,9907

t   

, dus na ongeveer 24

dagen.

Andere manier: voer op de GR in: Y1=0.9907^X en Y2=0.80 en vind met Intersect dat de twee grafieken elkaar snijden bij X  24 (of maak een tabel van beide functies).

c. Voor de groeifactor

g

geldt: g^5,27  ¹₂, dus g

 

¹2 ^5,271 0,877. R100 0,877 ^t. 10 a. Controleer met je GR.

b. ^{f x( )}



^x5



^24



^{x 5}



^{2, ofwel f x( )x26x7.}

c. f x( )

 

¹2x ² 4 2¹x, dus f x( )¹₄x²2x. d. ^{f x( ) }

 

^{x 2  4 x, dus f x( )x24x.}

11 Aangetoond moet worden dat f( x) f x( ) voor elke

x

.

 

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 e e e

e e

( ) e 1 1 e 1 e 1 e 1 e

e e

1 e e 1

x x x

x x

x x x x x

x x

x x

x x x x

x x x

f x x x

x x x x



    

  

           

    

  

 

 

 

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2

e 1 e e

( ) e 1 e 1 e 1 e 1 e 1

x x x

x x x x x

x x x x x x

x x

f x x    

     

    

( ) ( )

f  x f x voor elke

x

, dus de

y

-as is symmetrie-as.

12 In de grafiek is te zien dat het symmetriepunt

(0,0)

moet zijn.

Aangetoond moet worden dat f(  x) f x( ) voor elke

x

.

2 2e 1 e 2e 1 e

( ) 1 1

e 1 1 e 1 e 1 e 1 e

x x x x

x x x x x

f x

_

 

       

    

( ) ( )

f   x f x voor elke

x

, dus

(0,0)

is symmetriepunt.

13 a. f x( )  x 2 3 b. g x( ) x 2 3

14 a. De grafiek van

g

heeft een verticale asymptoot als f x( ) 0 , dus de verticale asymptoten zijn x 2 en x1. Omdat lim ( )

x f x

   , heeft de grafiek ook een horizontale asymptoot y0.

b. f x( )  (x 2)(x 1) ¹₂(x2)²   ( x 1 ¹₂x1)(x2) 1₂¹x x( 2), dus ( ) 0

f x  als x0 of x 2. De toppen van de grafiek van

f

zijn ( 2,0) en (0, 2). De top van de grafiek van

g

is dus (0, )¹₂ ; g(0) is een minimum.

c.

1

( ) ( )

f x  f x

als



^{f x( )}



^{2 1, dus f x( ) 1 of f x( ) 1}. Het zijn dus de snijpunten van de grafiek met de lijn y1 en met de lijn y 1. Dit zijn de punten met x 2,7, x 1, x0,7 en x1, 2.

d. Controleer met je GR.

15 b. De oppervlakte: xy1000, dus

1000 y  x

.

1000 200000

3000 ( 6) 150 ( 2 ) 100 1000 80 82100 250

K x x x

x x

            

, dus

82100

a , b250 en c200000.

a. x25 invullen geeft K 82100 6250 8000 96350   .

16 b. Het brandstofverbruik per km is ¹ 10⁶⁰ 2

1,10

v



^.

Dus

60 60

1 10 10

2

100 4500

45 1,10 100 1,50 75 1,10

v v

T v v

 

        

.

a. T(80) 147

17 a. ⁵

10

4 3 y  x  

b. ^0,95

log 100 y    x  

 

c.

40

20 y  x 

d.

3

5

1 2

x

y







18 a.

f

is stijgend (zie vraag 2 en 7), dus

f

heeft een inverse functie.

b.

e 1 e 1

y

x 

y





^{, dus xey x ey1, dus xeyey   1 x, dus}

e 1

1

y

x

x

  



^{, dus}

ln 1

1 y x

x

  

     

19 a. x³6x²  x 6 x²5x6^{, dus} x³5x²4x0^{, dus} x x( ²5x4) 0 , dus 0

x of

5 41

x    2

^of

5 41 x    2

b. vermenigvuldigen met x^{3 geeft} x² x 42 0 ^{, dus} (x7)(x 6) 0, dus 7

x  of x6.

c.

^{3 e}  

^{x 2}

^{    2 e}

^x

^{1 0}

^{, dus}

^e

^x

^{   2} ₆ ^{16   1}

(wat geen oplossing heeft) of

1 3

2 16

e 6

x

 

 

^{. Dus} xln¹3.

d. ²log 8²logx ²log(7 )² , dus 8x49, dus x6¹₈.

20

 

^{53 a56 51}

 

^{52 a geeft 53a 56 5152a, dus 53a6 5 1 2a, dus 3a   6 1 2a,}

dus a 7.

21 Domein van

f

: 4x12 0 als x 3.

12

4x12  x geeft ¹₄x² 4x12, dus x²16x48 0 ^{, dus} (x8)² 112, dus 8 112

x  ^of x  8 112^{, dus} x 8 112 ^of x 8 112^. 8 112

x  voldoet niet (ingevoerd met kwadrateren).

( ) ( )

f x g x als    3 x 8 112^.

22 Domein van

f

: x0; domein van

g

: 6 x 0, dus x6.

ln e ln xln(6x), dus ln(e ) ln(6x  x), dus ex 6 x, dus ex x 6, dus (e 1) x6, dus

6

x  e 1



^. ( ) ( )

f x g x als

6

e 1   x 6



^.

23 a. 2 8 3  y10 geeft 3y6, dus y2. Het snijpunt is (8, 2). 3 8   p 2 7 geeft 2p 17, dus p 8¹₂.

b.

2 3 3  p



^{geeft 2p9, dus p 412.}

24 a. x²

 

³4x ² 100 geeft ₁₆²⁵x² 100, dus x²  ¹⁶₂₅ 100 64 , dus x 8 of x8. De oplossingen zijn ( 8, 6)  en (8,6).

b. x²



³4x p



² 100 moet dan één oplossing hebben.

 

³2 ² 4 ²⁵16



² 100



0

D p    p   geeft ⁹₄ p²²⁵₄ p²625 0 , dus 4p² 625, dus

25 1

2 122

p  of p 12¹₂.

Andere manier: De afstand van het middelpunt (0,0) van de cirkel tot de lijn 0,75x y p 0

    moet gelijk zijn aan de straal, dus aan 10.

2 2

0,75 0 0 0,75 1 10

    p

 

^geeft

5 1

4 2

10 12

p    , dus p12¹₂ of p 12¹₂. Nog een andere manier:

De loodlijn op y0,75x p door (0,0) heeft vergelijking y ⁴₃x.

Deze loodlijn snijden met de cirkel geeft x² 



⁴3x



² 100, dus ²⁵₉ x² 100, dus

2 36

x  ^{, dus} x 6 of x6. De snijpunten zijn ( 6,8) en (6, 8) . 8 0,75 6 p   geeft p12¹₂ ;  8 0,75 6 p  geeft p 12¹₂.

25 De grafiek is een scheve hyperbool met verticale asymptoot x2 en horizontale asymptoot y3x1.

26

2 2

2 2

2

2 3

2 3 1 1 0 0

lim lim 1

1 1 0

x x

x x x x

x p p

x

 

     

  

  

dus voor elke

p

heeft de grafiek een

horizontale asymptoot y1.

2

( 3)( 1)

p

( )

x x

f x x p

 

 

Voor p0 heeft de grafiek geen verticale asymptoot.

Voor p0 heeft de grafiek één verticale asymptoot: x0.

Voor p 1 heeft de grafiek één verticale asymptoot, x1, en een perforatie ( 1, 2) .

Voor p 9 heeft de grafiek één verticale asymptoot, x 3, en een perforatie

2

(3, )3 .

Voor p 9 of    9 p 1 of   1 p 0 heeft de grafiek twee verticale asymptoten.

27

(

₂

2)( 3)

a

( )

x x

f x x x a

 

  

. De teller is 0 voor x2 of x3. De grafiek heeft een perforatie als voor x2 of x3 de noemer ook 0 is.

22  2 a 0 ^geeft a 6. De grafiek van ₆

( 2)( 3) 3 ( ) ( 3)( 2) 3

x x x

f x

x x x



  

 

  

^(voor

2

x ) heeft perforatie (2,¹₅).

32   3 a 0 ^geeft a 12. De grafiek van ₁₂

( 2)( 3) 2 ( ) ( 3)( 4) 4

x x x

f x

x x x



  

 

  

^(voor

3

x ) heeft perforatie (3, )¹₇ .

28 a.

0

lim 1

x^

x

    

 

 

^{en lim e 0}

u

u  _dus ¹

lim e

0 ^x

0

x







(‘gaatje’ (0,0))

0

lim 1

x^

x

    

 

 

^{en lim e}

u

u   _dus ¹

lim e

0 ^x

x





 

(asymptoot x0) b.

lim e

^1x

e

⁰

1

x





 

^{dus y1} is de horizontale asymptoot c. Controleer met je GR.

d.

x  e

^{1y geeft}

1 ln x

  y

_dus

1

y ln x

 

29 a.

2

4 4

lim 2

7 5 2 0 0

x

2

x x



 

   

dus horizontale asymptoot y2

2x27x 5 0 ^geeft

7 49 40 7 3

4 4

x       

; verticale asymptoten x 2¹₂ en x 1

b.

2 2

2

1 1

lim lim 1

1 1 1 1 0

x x

x x

x







 

  

^dus

2

lim log

2

log1 0 1

x

x x



 

 

  

 

^{, dus}

horizontale asymptoot y0

2 2

2 2

1 1

lim lim

1 1

x x

x x

x x







 

 

^{en lim logu u  dus}

2 2

2 2

1 1

lim log lim log

1 1

x x

x x

x x

 

   

  

     

   

, dus verticale asymptoten x 1 en x1

c. 2

2 8 0 8

lim 4

2 2 0 2

x x x



 

    

 

^en

2 2

2 8 2 0 0

lim 0

1 2 2 1 0

x x

x x

    

  

dus horizontale

asymptoten y 4 en y0.

2^2^x 2 0 ^geeft 2x1 dus x ¹₂ , dus verticale asymptoot x ¹₂.

d.

80

lim ( ) 40

2 5 0

x

f x



 

 

^en

80 0,9 0

lim 0

2 5 0 5 0,9

x

x

x



 

 

dus horizontale asymptoten 0

y en y40.