1. (a) Bereken het gemiddelde salaris van de werknemers in de tabel hiernaast.
(b) Bereken ook het mediale salaris.
(c) Hoe groot is het modale salaris hier ?
salaris aantal in euro’s werknemers
15000 1
10000 2
8000 2
4000 3
3000 6
2000 11
1000 1
2. In de klassen 2A en 2B is een proefwerk ge- maakt. Je ziet de resultaten in de frequen- tietabel.
(a) Hoeveel leerlingen zitten er in 2A ? En in 2B ?
(b) Bereken de modus, de mediaan en het ge- middelde van de proefwerkresultaten van klas 2A.
(c) Doe hetzelfde voor klas 2B.
(d) Welke van de drie centrummaten geeft vol- gens jou de beste indruk van de verschillen tussen de klassen ?
Leg uit waarom je dat vindt.
(e) Twee leerlingen uit klas 2B zijn het niet eens met hun cijfer. De leraar geeft hen ge- lijk en verhoogt hun cijfer, een 6 wordt een 7 en een 7 wordt een 8.
Welke centrummaten veranderen daardoor niet ?
(f) Onderzoek welke wijzigingen in de data de mediaandoen verschuiven.
cijfer frequentie
2A 2B
1 0 0
2 0 3
3 1 4
4 3 4
5 8 0
6 3 10
7 3 2
8 3 1
9 2 0
10 1 0
3. (a) Hoeveel procent van de waarnemingen ligt links van de mediaan? En rechts ?
(b) Bedenk een verdeling waarbij 25 % van de data links van het gemiddelde ligt en 75 % rechts.
4. In de tabel hiernaast zie je welke bedragen bij een huis aan huis collecte zijn ontvangen en hoe vaak.
(a) Bereken voor beide straten het gemiddel- debedrag.
(b) De collectant beweert dat de bewoners van de Wilgenlaan gemiddeld guller hebben ge- geven dan die van de Lindenlaan. Kun je deze bewering controleren met de informa- tie in de tabel ?
(c) In de Lindenlaan zijn er tien adressen waar- van de bewoners niets hebben gegeven. In de Wilgenlaan zijn dat er zeventien. In wel- ke straat hebben de bewoners gemiddeld het meest gegeven ?
(d) De collectant heeft alle data in een spread- sheet gezet. Hij krijgt ook het gemiddelde van de huisnummers van de gevers in beide straten. Is deze informatie relevant ?
bedrag aantal adressen in euro’s Wilgenlaan Lindenlaan
25 4 3
15 0 5
10 8 7
5 14 12
2,5 0 6
1 28 17
5. Het staafdiagram hieronder toont de verdeling van de gewichten van 3581 Amerikaanse vrou- wen. De stippellijn geeft het gemiddelde gewicht aan. (1 lb = 0,454 kg).
(a) Lees uit het staafdiagram het gemiddel- degewicht af.
Hoeveel is dat in kg ?
(b) Leg uit hoe je kunt zien dat bijna 10 % van
deze vrouwen minder dan 110 lbs weegt.
(c) Schat het percentage vrouwen dat minder weegt dan het gemiddelde gewicht.
(d) Geef een schatting van het mediale ge- wicht. Geef je antwoord ook in kg.
(e) Leg uit waardoor het komt dat bij deze ver- deling de mediaan kleiner is dan het ge- middeldegewicht.
6. Een firma heeft vijftien werknemers in dienst.
(a) Bereken met de tabel hiernaast de drie cen- trummaten van de salarisverdeling.
(b) De eigenaar van de firma beweert dat hij zijn werknemers een uitstekend salaris be- taalt.
Welke centrummaat gebruikt hij om dit aan te tonen ?
(c) De eigenaar heeft zelf een salaris van 340000,- Voeg dit gegeven aan de tabel toe en ga na wat voor invloed dit heeft op de centrummaten.
jaarsalaris in euro’s frequentie
20000 6
40000 4
70000 3
150000 2
7. Twee derde klassen scoorden beiden gemiddeld 7,3 op een toets.
(a) Is dit gegeven voldoende om te concluderen dat de groepen vergelijkbaar zijn van niveau ? (b) In klas 3a waren geen onvoldoendes, maar het hoogst behaalde cijfer was een 8. In 3b
daarentegen waren 3 onvoldoendes en was het hoogste cijfer een 10, verder waren er 6 negens.
Geef commentaar op de verschillen tussen de groepen.
8. Dertig mensen nemen deel aan een sollicitatie- test.
Hun scores staan hiernaast.
(a) Maak een staafdiagram van deze verde- ling.
(b) Bereken de mediaan en zet die bij het staafdiagram
(c) Bereken ook de mediaan van elk van de deelgroepen links en rechts van de mediaan.
Zet die ook bij het staafdiagram.
(d) De 25 % hoogste scores mogen door naar de volgende ronde. Met welke scores mag je door ?
25 30 31 34 35 37 37 38 40 40
42 42 43 44 44 45 45 45 46 46
46 47 48 48 50 53 59 65 66 79
9. In de figuur hieronder zie je de boxplotten van de jaarsalarissen die de werknemers bij de fir- ma’s A en B ontvangen.
(a) Hoeveel procent van de salarissen ligt bij firma B tussen 90000,- en 130000,- ?
(b) Hoeveel procent van de salarissen bij firma A is lager dan 70000,- ?
(c) Iemand zegt dat je kunt zien dat firma A meer verschillende functies kent dan firma B. Waarop baseert hij dat ?
10. Bij een toets zijn de volgende cijfers gescoord:
cijfer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
frequentie 2 3 2 5 7 13 11 6 5 0
(a) Maak een boxplot bij deze frequentietabel. Ga na hoeveel procent van de data tussen het eerste kwartielen het derde kwartiel ligt.
(b) Maak een tweede tabel waarbij je de frequenties van 5 en 6 in respectievelijk 13 en 7 verandert.
Maak ook hier een boxplot bij en beschrijf de verschillen.
11. Hieronder zie je een relatief somfrequentiepolygoon van de levensduur in branduren van 500 lampen.
(b) Bij welk percentage moet je kijken om een schatting voor de mediaan te vinden ?
(c) Geef met de somfrequentiepolygoon ook schattingen voor het eerste en derde kwartiel van de verdeling.
(d) Teken een getallenlijn en zet je schattingen in een boxplot
12. De tijd die zesdeklassers hebben besteed aan het maken van een scriptie is ge¨ınventariseerd voor een aantal vakken. Hieronder zie je de boxplots. Geef commentaar op de verschillen in bestede tijd voor de verschillende vakken.
13. Bestudeer nog eens de somfrequentiepolygoon van opgave 11.
(a) Hoe kun je in de somfrequentiepolygoon de modus of de modale klasse aflezen ? (b) Kun je de modus of de modale klasse ook in een boxplot terugvinden ?
14. In een conservenfabriek worden blikken met au- gurken gevuld. Van 250 blikken heeft men de inhoud geteld. Het resultaat van deze telling zie je in de tabel.
(a) Bereken het verschil tussen de grootste en de kleinste waarneming.
(b) Bereken ook het verschil tussen het eerste kwartiel en het derde kwartiel van de verdeing.
(c) Maak een boxplot bij de verdeling.
aantal aantal augurken blikken
41 24
42 53
43 76
44 57
45 20
46 12
47 6
48 2
15. Om te onderzoeken of het gebruik van de pil invloed heeft op de bloeddruk werd in de Verenigde Staten een groep van 1747 pilgebruiksters tussen de 25 en 34 jaar vergeleken met een controlegroep niet-gebruiksters uit dezelfde leeftijdscategorie. Hieronder zie je de resultaten in een staafdiagram.
(a) Geef bij beide verdelingen schattingen voor de modus en voor de spreidingsbreedte.
(b) Lees de frequenties af en teken in ´e´en figuur van beide verdelingen een somfrequentiepoly- goon.
(c) Schat met behulp van van de somfrequentiepolygonen de mediaan en de kwartielen van de verdelingen.
(d) Bereken beide kwartielsafstanden .
16. Het lijkt er op dat de verdeelingen bij opgave 15 ongeveer dezelfde vorm hebben, maar dat de bloeddruk bij de verdeling van de controlegroep zo’n 5 mm lager ligt.
Welke conclusie zou je daaruit kunnen trekken ?
17. Van twee soorten aardappelen, Bintjes en Dor´es, worden zakken verkocht van ongeveer 2,5 kg.
Van elke soort worden 40 zakken gewogen. De gewichten zijn in klassen verdeeld.
(a) Maak voor beide soorten een tabel met cu- mulatieve percentages.
(b) Teken in ´e´en figuur de somfrequentiepo- lygonenin procenten van beide soorten.
(c) Geef met behulp van de figuur van beide verdelingen schattingen voor de modus en de spreidingsbreedte en voor de medi- aanen de kwartielafstand.
(d) Teken boven ´e´en getallenlijn de boxplots van beide soorten.
(e) Welke soort vertoont de grootste sprei- ding ?
(f) E´en van de soorten heeft grotere aardap- pelen dan de andere. Welke zal dat zijn ? Licht je antwoord toe.
gewicht in kg Bintjes Dor´es h2, 39; 2, 41] 0 1 h2, 41; 2, 43] 1 1 h2, 43; 2, 45] 0 2 h2, 45; 2, 47] 2 3 h2, 47; 2, 49] 3 4 h2, 49; 2, 51] 8 5 h2, 51; 2, 53] 10 6 h2, 53; 2, 55] 8 5 h2, 55; 2, 57] 4 5 h2, 57; 2, 59] 2 3 h2, 59; 2, 61] 1 3 h2, 61; 2, 63] 1 1 h2, 63; 2, 65] 0 0 h2, 65; 2, 67] 0 1
18. Door de klassenmiddens van de tabel bij opgave 17 te gebruiken kun je frequentiepolygonen tekenen van de verdelingen.
(a) Maak een tabel van de klassenmiddens met hun frequentie. Geef nu een schattng voor het gemiddeldegewicht van de zakken Bintjes. Doe hetzelfde voor de Dor´es.
(b) Vergelijk de schattingen voor de spreidingsbreedte en kwartielafstanden die je met de klassenmiddensvindt met die uit opgave 17.
(c) Maak voor de Bintjes een tabel met twee kolommen. In de linker kolom komt voor elke klasse de afstand van het midden tot het gemiddelde van 2,52 kg. dus bijvoorbeld voor de klasse h2, 49; 2, 51] staat er in deze kolom 0,02. In de rechter kolom zet je de frequentie.
(d) Gebruik de nieuwe tabel om het gemiddelde van de afwijkingen van het gemiddelde gewicht gewicht van de zakken te berekenen.
(e) Waarom is deze gemiddelde afwijking van het gemiddelde een goede maat voor de sprei- ding ?
(f) Maak op dezelfde manier een schatting voor de gemiddelde afwijking van het gemiddelde gewicht van de zakken Dor´es.
(g) Gebruik de gevonden gemiddelde afwijking van het gemiddelde als spreidingsmaat. Welke
19. Je hebt de volgende ccijfers voor een aantal wiskundetoetsen gescoord : 6,7; 6,8; 7,0; 7,2 en 7,9.
(a) Ga na dat de gemiddelde score 7,2 is.
Geef de cijfers aan met x en hun gemiddelde met x.
(b) Maak een tabel met drie kolommen. In de eerste kolom zet je de behaalde cijfers, in de tweede kolom het verschil van het cijfer met het gemiddelde: (x − x) en in de derde kolom het kwadraat van dit verschil: (x − x)2.
(c) Bereken het gemiddelde van de kwadraten in de derde kolom en trek de wortel uit dit gemid- delde :
s
(x − x)2
n .
(d) Waarom is het gevonden getal, standaardafwijking of standaarddeviatie geheten, een goede maat voor de spreiding in de cijfers ?
(e) Waarom maakt het voor de berekening niet uit of de verschillen in de tweede kolom positief of negatief zijn.
20. Gegeven zijn waarnemingen die gemeten worden in cm. Wat is de eenheid van het gemiddelde, wat is de eenheid van de kwadratische afwijking tot het gemiddelde en wat is de eenheid waarin de standaardafwijking wordt gemeten ?
21. In de frequentietabel staan jaarsalarissen.
(a) Bereken het gemiddelde jaarsalaris en de standaardafwijking
(b) Vermenigvuldig alle frequenties met 10.
Wat gebeurt er met het gemiddelde en de standaardafwijking?
(c) Vermenigvuldig de salarissen met 5. Wat gebeurt er met het gemiddelde en de standaardafwijking?
(d) Onderzoek of het verhogen van de frequen- ties met 10 het gemiddelde en de stan- daardafwijkingbe¨ınvloedt.
(e) Verhoog de salarissen met 10000 en ga de gevolgen voor gemiddelde en standaard- afwijkingna.
jaarsalaris in euro’s frequentie
20000 6
40000 4
70000 3
150000 2
22. Thee wordt onder andere verkocht in pakjes van 100 gram. De vulmachine doet echter niet in elk pakje precies 100 gram. Een controledinst let erop of het percentage pakjes me ondergewicht (minder dan 100 gram) niet te groot is. Van een doos van 30 pakjes staan hier de gewichten.
(a) Hoeveel procent van de pakjes heeft een ge- wicht van minder dan 100 gram ?
(b) De controledienst vindt het percentage theepakjes dat een ondergewicht heeft te groot. Daarom moet de fabrikant de vul- machine op een hoger vulgewicht instellen.
In de tabel zie je het resultaat van een steekproef van 60 pakjes. Maak een schat- ting van het nu ingestelde vulgewicht.
(c) Hoeveel procent van de pakjes thee in deze steekproef heeft een ondergewicht ? (d) Bereken het gemiddelde en de stan-
daardafwijking van de gewichten in de steekproef.
(e) Welke conclusie kan de controledienst trek- ken ?
95 96 97 98 98
99 99 99 100 100
101 101 101 102 102 102 102 102 103 103 104 105 106 107 107 gewicht freq. gewicht freq.
in gram in gram
97 1 106 8
98 1 107 5
99 2 108 4
100 2 109 3
101 2 110 3
102 4 111 2
103 6 112 1
104 7 113 1
105 8
23. Van twee kastanjebomen zijn elk 40 kastanjes verzameld. Hieronder zie je een dubbel steel- bladdiagram met de gewichten in grammen. E´en boom staat in en park, de andere op een parkeerplaats.
(a) Teken een frequentiepolygoon van de gewichten van de kastanjes van boom A.
(b) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van de kastanjegewichten van boom A.
(c) Geef in je tekening met stippellijnen he gebied tussen gemiddelde plus ´e´enmaal de stan- daardafwijkingen gemiddelde min ´e´enmaal de standaardafwijking aan.
(d) Hoeveel procent van de waarnemingen ligt in het gebied tussen de stippellijnen ? (e) Voer dezelfde oprachten ook uit voor boom B.
(f) Welke boom staat vermoedelijk in het park ? Waarom ?
