Knudsen gas

Knudsen gas

Een gas bij een zo lage dichtheid dat

intermolekulaire botsingen kunnen worden

verwaarloosd.

Effusie 1

• Alle molekulen vliegen rechtstreeks van wand tot wand.

• Deeltjes ontsnappen uit vat als ze precies naar de uitgang vliegen: Effusie

Effusiestroom 1

A

θ vΔt

• Stappen bij berekening effusiestroom:

– Hoeveel molekulen treffen de opening onder een hoek θ met de normaal, met snelheid v, in

tijdsinterval Δt?

• Bekijk gebiedje met oppervlak A met daarop scheve cylinder.

– Aantal is:

Volume cylinder ×

dichtheid van deeltjes in goede richting.

v d v nf A

t v

v

dN( ) = ⋅Δ cosθ ⋅ ( )

Effusiestroom 2

• Scheiding van variabelen:

• Alle molekulen meenemen:

• Bepalen hoekverdelingsfunctie:

θ θ d f

dv v

f v

d v

f ( ) = ( ) ⋅ ( )

θ θ

θ

θ v t A nf d

dN( ) = ⋅Δ cos ⋅ ( )

θ θ

θ

θ d d

f ( ) sin

2

= 1

θ θ

θ

θ v t A nf d

dN( ) = ⋅Δ cos ⋅ ( )

Effusiestroom 3

θ θ

θ

θ nv t A d

dN( ) = ₂¹ ⋅ Δ cos sin

• Aantal molekulen dat onder hoek θ op oppervlak A in tijd Δt afstevent:

• Partiële stroomdichtheid:

• Integreren over hoek

θ θ

θ

θ nv d

dj( ) = ¹₂ cos sin

v n j = ¹₄

Impulsstroom 1

A

θ vΔt

• Stappen bij berekening impulssstroom:

– Hoeveel molekulen treffen de opening onder een hoek θ met de normaal, met impuls mv, in

tijdsinterval Δt?

• Bekijk gebiedje met oppervlak A met daarop scheve cylinder.

– Aantal is:

Volume cylinder ×

dichtheid van deeltjes in goede richting.

v d v nf A

t v

v

dN( ) = ⋅Δ cosθ ⋅ ( )

Impulsstroom 2

• Hun impuls is:

• De impuls van de deeltjes die in de goede richting bewegen is gelijk aan:

• De partiële impulsstroomdichtheid is dan

v d v nf A

t mv

v

dp( ) = ² ⋅Δ cos²θ ⋅ ( )

θ θ

θ

θ mv t A nf d

dp( ) = ² ⋅Δ cos² ⋅ ( )

θ θ

θ

θ n mv d

dj_p( ) ² cos² sin

2

= 1

Impulsstroom 3

• Totale impulsstroomdichtheid:

2 6

1 nmv j_p =

2 2

1 x

p nmv

j =

Gemiddelde vrije weglengte in Knudsen gas

• Vat met volume V , oppervlak A, met N deeltjes, bewegend met gemiddelde snelheid:

• Lengte spoor in tijd Δt :

• Aantal wandbotsingen:

• Gemiddelde afstand per botsing:

t v

N

L = ⋅ Δ

t v

A

Y

N

⋅ Δ

=

A V Y

L = 4

l =

Leegstromen van een vat

A

dt V dn dt

I dN

A v n I

−

=

−

=

=

v A

V

t n

t n

4

) / exp(

)

(

=

−

=

τ

τ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 1 2 3

t/τ

n/n 0

• Twee reservoirs, gevuld met hetzelfde gas, bij temperaturen T₁ en T₂.

• Verbonden door opening met oppervlak A.

• De netto deeltjesstroom is nul, dientengevolge ontstaat er een drukverschil!

T₁ T₂

R L R

L

T T pp =

Thermo-molekulair drukverschil