Elektromagnetische interactie van deeltjes

Quantumelektrodynamica

Elektromagnetische interactie van deeltjes

Structuur der materie – deeltjesfysica 2006 – Prof.dr Jo van den Brand

Inhoud

Spin-0 deeltjes

Klein-Gordon vergelijking

Oplossingen voor positieve en negatieve energie

Het fotonveld

Gauge invariance, minimale substitutie

Interactie van spin-0 deeltjes met het fotonveld

Spin-½ deeltjes

Dirac vergelijking

Quantumelektrodynamica

Elektron-muon verstrooiing

e⁺e^- Ø m⁺m^-, qq, …

Klein-Gordon vergelijking

Klein-Gordon vergelijking

`Vertaal’ p²=m² naar QM (p^µ↔ i∂^µ≡(i∂t,−i∇) dan E=p²/2m → Schrödinger vergelijking)

Problemen











≤

≤

≥

= ≥

+

±

= + ⇒

=

0 0

0 2 ² 0

2 2 2 2

2

E E E

N

p m m E

E p

ρ

r r

Historisch:

vergeet Klein-Gordon en gebruik Dirac vergelijking Beter: her-interpretatie van j^µ

D.w.z.

Deze interpretatie is van: Pauli & Weisskopf

Stückelberg & Feynman

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 * 2

2 * 2 *

*

* * * *

you find as follows:

: 0 0

: 0 0

0 j

KG m m

m m

KG

j

µ µ

µ µ

µ µ

µ µ

µ µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ

φ φ φ

φ

φ φ

φ φ φ φ

φ φ φ φ

= ∂ ∂ + ⇒ = ∂ ∂ +

= ∂ ∂ + ⇒ = ∂ ∂ +

= ∂ ∂ − ∂ ∂ =∂ ∂ − ∂ ≡∂

kun je als volgt vinden

Deeltje ↔ antideeltje

In termen van de geladen stroom (dichtheid):

Ofwel: de volgende scenario’s zijn identiek!





 +

−

−

=

∆

e E pr systeem)

(

time

+e

(−E,−p)

absorptie −e ^(+E,+p)

emissie

e⁺

e⁻ Voor een systeem is er geen verschil tussen:

Emissie: e⁻ met p^µ =(+E,+p) Absorptie: e⁺ met p^µ =(−E, −p)

Storingsrekening

e⁻

2

^e

orde:

e⁻

Intermediair e⁻

e⁻

e⁻ Intermediair e⁻e⁺e⁻

Paar annihilatie

Paar creatie

Vanwege de antideeltjes wordt het vacuum een complex systeem:

e⁺e⁻ paren kunnen ontstaan uit het vacuum of erin opgaan.

1

^e

orde:

tijd

e⁻

Energie en impulsbehoud ^e

⁺

tijd γ

( )

( )

^e

(

^{E e E dx}

) (

^{p k p}

)

M

f f i

i

x p x i

k p

i _{i f}

r r r + −

×

− +

=

∝∫ ^{−  + ⋅ − ⋅ ∗}

δ ω

π δ

2 ⁴

− p

_i

− p

_f

( )

^e

(

^E

( )

^{e E}

)

^dx

(

^{p k p}

)

M

f f i

i

x p x i

k p

i _{f i}

r r r + −

×

− +

=

∝∫ ^{− − + ⋅ + ⋅ ∗}

δ ω

π δ

2 ⁴

p

₋

p

₊

k

p

₋

p

₊

k p

_i

p

_f

k

p

_i

p

_f

k

− p

₊

( )

( )

( ) (

^{e Ee E dx}

) (

^{p p k}

)

M ^{ip x i k p x}

r r r + −

×

− +

=

∝∫

−

− + +

− ⋅

− ∗

⋅

− _{− +}

δ ω π δ

2 ⁴

− p

₊

( )

( ) (

^{e eE E dx}

) (

^{k p p}

)

M ^{i k p x ip x}

r r r

−

− + +

⋅

− ∗

⋅

−

−

−

−

×

−

−

=

∝∫ ^{ + −}

δ ω

π δ

2 ⁴

Ijkinvariantie

Maxwellvergelijkigen en Lorentz invariantie

Maxwell

Stel h/2π=c=1 en introduceer potentiaal A^µ=(V,A) en stroom j^µ=(ρ,j):

Er geldt

Compacter met F^µν≡∂^µA^ν−∂^νA^µ

Ijkinvariantie (gauge invariance)

Vrijheid in de keuze van ijkveld A

^µ

(gauge field)

Omdat

A

^µ

is nog steeds niet uniek; omdat

Gebruik vrijheid om A

^µ

te vereenvoudigen (covariant)

Lorentz conditie

We kunnen bijvoorbeeld de oplossing kiezen (niet covariant)

Coulomb conditie

Foton golffunctie

In vacuüm j

^µ

=0 en daarom

Met als oplossingen (vlakke golven)

In plaats van 4 vrijheidsgraden ( ε

^µ

) slechts 2

transversaal circulair

rotatie ϕ rond de z-axis:

( )

( ) ( )

( )















 −

=

















+

− +

−

=















−















 −

→

−

− +

0 2 /

2 / 1

0

2 / cos sin

2 / sin cos

0 2 /

2 / 1 1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

i i

i

i

e e i

i ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ε^r ϕ

Gauge keuze: Lorentz conditie Coulomb conditie

Interactie van spin-0 deeltjes

met het fotonveld

Dan

−

Interacties: Klein-Gordon veld en A

^µ

`minimale substitutie’

(of via lokale ijkinvariantie)

gebruik: φ =Ne

^−ip⋅x

Hogere orde (essentieel voor gauge-invariance!)

partiële integratie

π ⁻ K ⁻ → π ⁻ K ⁻ verstrooiing

e

^−iqx

= − q

²

e

^−iqx

Veronderstel: π⁻ verstrooit aan A^µ t.g.v. de K⁻. Hoe vind je A^µ? Ansatz: Vindt een oplossing van de Maxwell vgl. met als stroom term de `overgangsstroom’

die hoort bij K⁻!

De overgangsamplitude wordt dus:

K

⁻

π

⁻

K

⁻

π

⁻

γ

(A) (C)

π K → π K verstrooiing

Notatie: verwaarloos massa’s

( ) ( )

( ) ( )







+

= +

+ = + =

≡

≡

−

=

≡

−

=

E E E

p E p p

p s

p p p

p p p

D C B

D A C B

A

f D C

i B A

2 2 2

2

en r r r

r r r

K⁻

π

⁻

K⁻

π

⁻

γ

(A) (C)

q g i

2

− µν

(^{p p})

e

i + ′

− ⁴π _µ

Plug in standaard uitdrukking voor dσ_A+B→C+D/dΩ:

A B A B

De amplitude M wordt (q≡p_D-p_B=p_A-p_C):

n n

‘Feynman regels’

Vertexfactor: voor elke vertex introduceer een factor -ie√(4π)p ^µ. e : koppeling van deeltje aan het e.m. veld,

p^µ: som van 4-impulsen voor en na de vertex

Propagator: voor elke interne lijn introduceer een factor –ig^µν/q² q: de 4-impuls van het uitgewisselde quantum

B

A C

D

2

ig q

− µν

Houd rekening met impulsbehoud in elke vertex (uitdrukking voor q in termen van p_A, p_B, p_C, p_D)

Vervolgens berekening van de differentiële werkzame doorsnede

π^{( )}µ

4 pA pC

ie +

−

π^{( )}µ

4 p_B p_D

ie +

−

Elektrodynamika (S=0): Feynman regels

Externe lijnen

Vertices

Propagatoren

p 1

k in: ε

^µ

uit: ε

^µ∗

p p’

k ^{− i 4 π e} ( ^{p + p ′} )

_µ

p p’

k k’

e g

i ⁴ π

² _µν

2

q m i

2

−

2

q

q i g

2

−

µν

q

π ⁻ π ⁻ → π ⁻ π ⁻ verstrooiing

p_B

q=p_A-p_C

=p_D-p_B

(a)

_p

D

p_A p_C

p_B

(b)

p_A

q=p_A-p_D

=p_C-p_B

p_D

p_C

Gewoon regels volgen geeft

En daarmee de werkzame doorsnede

Let op: faktor ½ identieke deeltjes!

π π → π π verstrooiing

Gewoon regels volgen geeft

Etcetera!

(a)

p_B

q=p_A-p_C

=p_D-p_B

p_D

p_A p_C

π

⁻

π

⁺

(b)

p_B

q=p_A+p_B

=p_C+p_D

p_D

p_A p_C

π

⁻

π

⁺

π

⁻

π

⁺

−p_D

−p_B

−p_D

−p_B

π ⁺ π ⁻ → K ⁺ K ⁻ verstrooiing

Volg onderstaande regels −p_B −p_D

2. antideeltjes → tijdomkering van deeltjes

p_B

q=p_A+p_B

=p_C+p_D

p_D

p_A p_C

π

⁻

π

⁺

K

⁻

K

⁺

1. Feynman diagram(men)

3. amplitude

( ) ( )

(

^{p p}

)

p p p

p e i iM

B A

D C B

A

+

−

= −

− 4 ² ₂

µ µ

π

4. standaard dσ/dΩ uitdrukking M

p p s d

d

i

f 2

2

1 64

1 ×

Ω= r

r π

σ

6. relativistische limiet (verwaarloos massa’s)

s s

d d

tot 3

4 cos

2 2

2 θ σ πα

σ _→ α _{⇒ =}

Ω

5. kies frame & maak 4-vectoren expliciet ( )

( )

( )

(

^{E p p}

)

p

p p

E p

p p E p

p p E p

f D

D

f C

C i

B B

i A

A r r

r r

r r

r r

−

≡

−

→

≡+ +

→

−

≡

−

→

+

≡ +

→

' ,

' en ,

, ,

A B

C

D

θ

) , (E_A +pr

) , (E_B −pr )

, (E_D −pr′

) ,

(E_C +pr′

Dirac vergelijking

Golfvergelijkingen

Quantummechanica:

De golffunctie wordt verkregen m.b.v. de transcriptie

Schrödinger vergelijking

Klassiek, E=p²/2m

Klein Gordon vergelijking

Relativistisch, E²=p²c²+m²c⁴

Vergelijking met 2^e afgeleide naar de tijd ⇒ er bestaan oplossingen met negative energie

Dirac vergelijking

Relativistisch, lineair in ∂ψ/∂t

Om aan relativistische uitdrukking E²=p²c²+m²c⁴ te voldoen:

α en β matrices met:

0 1 0

Dirac algebra

Eigenwaarden α_i en β zijn ±1 en dimensie (d) is even

Voor d=2 zijn er maximaal 3 anti-commuterende matrices

Voor d=4 zijn er inderdaad 4 anti-commuterende matrices

(laagste dimensie waarin Dirac algebra in kan worden gerepresenteerd)

De matrices α_i en β moeten voldoen aan

Dirac algebra

Expliciet Lorentz-invariante notatie (x β):

met:

Dirac algebra:

Let op: γ

^µ

is geen 4-vector,

(zie later voor rechtvaardiging gebruik Lorentz index γ)

definitie:

Je kunt laten zien dat

Dirac vergelijking

Dus stroom j

^µ

:

Dirac vergelijkingen voor

ψ en ψ

Optellen na multiplicatie met

ψ

^en

ψ

γ ψ ≡ ψ ^{+ 0}

Vgl. Klein-Gordon:

Het stroombehoud wordt verkregen via geconjugeerde

Dirac vergelijking: ⁰

0

Oplossing deeltje in rust:

Splits ψ in twee componenten ^A , dan volgt (∂₀≡^(1/c)∂_t)

B

ψ ψ

ψ

 

=  

 

Oplossingen

0 r r = p

De 4 onafhankelijke oplossingen volledig uitgeschreven:

e

⁻

e

⁺

Dirac vgl. voor p=0 eenvoudig:

Oplossing bewegend deeltje:

probeer `Ansatz’

⇒ voor spinor u(p)

splits spinor u(p) in twee componenten

( ) ( )

( )

A B

u p u p u p

 

=  

 

Invullen

B.v. voor u_A(p)

r 0

≠ p

p

⇒

28

Wat levert p ^r ⋅ σ ^r ?

En hiermee kan expliciet

aangetoond worden dat aan de relativistische vergelijking voor de energie voldaan wordt

(niet erg verbazend: had Dirac er in gestopt!)

 

 





1 1

0 1 0

Volledige oplossingen Dirac vgl.

De 4 onafhankelijke

oplossingen worden m.b.v.

de Dirac spinoren

Oplossingen E<0 (3 en 4)

Oplossingen E>0 (1 en 2)

Normalisatie

Dirac stroom j ^µ

Waarom? Expliciet uitschrijven, b.v. voor de x-component

De waarschijnlijkheidsdichtheid j⁰ is altijd positief. Dit resulaat was uitgangspunt van Dirac’s werk!

De stroom j^µ voor p_i=0

(met standaard normalisatie) →2 E ≥0

De stroom j^µ voor p_i≠0

(met standaard normalisatie)

0 2 ≥

→ E

Instrinsieke spin

De E>0 en de E<0 oplossingen van de Dirac vergelijking zijn tweevoudig ontaard. Welke observabele kan deze toestanden onderscheiden?

Slim combineren:

, +

₂¹

Σ = 0

















r r

L

h

H behouden !

2

1

Σ

+

≡

⇒ r

r h r L J

0 2

0 2 2 0

0 ]

, [

] , [ ] 0

, [ ]

, [

] , [

r r r r r

r r

≠

×

≡

 =









= −









= −

= Σ Σ +

⋅

= Σ

p p i

i i p

p mc p

p H

m k klm

m m k klm

l k

l k l k

k k

α α σ ε

ε σ

σ σ

σ α σ

β α

behouden!

niet

0 ] , [

Σ

≠

r

Σ H r

Def. _^

⇒











≡



Σ σ

σ r r r

0

0

Gebruik de Hamiltoniaan voor de Dirac vgl.:

H = α r ⋅ p r + β mc

behouden!

niet

0 ] , [

L

L

r

H

r ≠

moment baanimpuls

p r L r r r

× ( ) ( ) ≡

0 : Gebruik ]

, [ ] ,

[ ] , [

r r h r r

r h

r r r

r r

r r

r r r

r

h h

h

≠

×

−

=

×

=

=

=

−

=

×

−

×

=

×

=

× +

⋅

=

+

=

p i

i p p p

p r r p p

p r p

r p

p p r p

p r p

p r p

r mc p

L H

ilk k l i ijk k

i lj l

i lj l j j l l

k j l ijk j k

ijk l l

l l

l l l

l

α ε α

α ε

δ α

δ ε

α ε

α

α α

β α α

Wat levert op ψ ?

[H, Σ

²

]=0 maar [H, Σ ] ≠ 0 en dus:

ψ i.h.a. geen eigenvector van Σ

₃

deeltjes met spin=1/2

z-component van de spin: ½ Σ

₃

+½: positieve heliciteit

−−−−½: negatieve heliciteit

Σ r

2 h

1

voor p≠0 deeltjes met spin=1/2

Spin component // p kan altijd gebruikt worden:

De operator heet heliciteit; eigenwaarden zijn ±1/2

pˆ

2 / 1 Σr⋅

Want:

pˆ

2 / 1 Σr⋅ voor p=0

( ) ₄³

4

1 1+1+1 =

Spinoren met heliciteit ± 1/2

Welke lineaire

combinatie zijn ook eigentoestanden van de heliciteit: 1/2Σr⋅ pˆ

( ) ( )





















+

−+

= −





















+ ++

=

m E

p m E

ip p p

u

m E

p i p

m E p p

u

z y x

y x

z

1 0 0

1

) 2 ( )

1

Deeltje (

spinoren





















±





















±

=





















−

− +



















 + +

⇒





















− +

− +

+ − + −

×

=

⋅ Σ

...

...

0

...

...

0

...

...

...

...

0 0

0 0

0 0

0 0

1 p

p p

p i p p

i p

p

p ip

p

ip p p

p p

i p

p i p p

p p ^z

y x y

x z

z y

x

y x z

z y

x

y x

z r

r

) r

r α β α β

( ) ( )

(

^{u p u p}

) (

^u

( )

^{p u}

( )

^p

)

p ^{(1) (2) (1) (2)} 2

1 2

1 Σr ⋅ ) × α +β = ± × α +β

Los op voor α en β

( )

( )





±

= +

⇒ =











±

=

− +

±

=

− +

p p

p i p p

p p

i p

p p

i p p

z y z x

y x

y x z

r r

r

α β β

β α

α β

α

...

Daarom ... ( ) ( )



















 +

−

∝



















 +

+

∝ ⁻

+

...

...

...

...

) ( )

( p ip

p p u p

ip p

p p

u p ^{x y}

z y

x z

r r

Lorentz transformaties

Waarnemer S en S’ (x’

^µ

=a

^µ_ν

x

^ν

) gebruiken dezelfde Dirac vgl.

Lineaire relatie tussen ψ en ψ’

⇒

Dus

S S

a

^λ_ν

γ

^ν

⁼

⁻L¹

γ

^λ L



 



=

= ∂

∂′

δ

κ^λ λµ

κ µ

ν ν µ µ

a a

: a gebruikt

S(a) hangt niet expliciet af van x: S(a) → S

_L

Uit volgt

x p x

p ⋅ = ′⋅ ′

Let op: dit geldt voor alle

Lorentz transformaties!

Infinitesimale transformaties: ∆

^µν

= −∆

^νµ

(gewoon verifiëren; sorry)

Expliciete uitdrukkingen

Specifiek geval: pariteit S

_P

=S

_P^†

=S

_P^{−1 }

 



=

−

−

− +

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

a^µ _ν

Bedenk:

Met volgt voor S

_L^{−1 γ}

5 is een handige definitie voor de zwakke wisselwerking

Spinoren: hoe transformeren ze?

Nu kun je volgende belangrijke relatie afleiden

4x4=16 mogelijkheden hiermee geordend!

king wisselwer zwakke

voor belangrijk

5

! wel

; vector 4

geen γ

γ µψ γ µ ψ

•

−

•

En daarmee

tensor

vector pseudo

5 5 1 5

5

vector 1

scalar pseudo

5 5 1 5

5

scalar 1

: : :

:

⋅⋅⋅

′ =

′



 



−

= +

′ =

′

=

=

′ =

′

 



−

= +

′ =

′

=

′ =

′

− −

−

− −

−

σ ψ ψ

γ ψ ψ γ

γ ψ ψ γ

γ ψ ψ γ

γ ψ ψ γ

γ ψ ψ γ ψ

ψ γ ψ

ψ γ ψ

ψ

γ ψ ψ

γ ψ ψ ψ

ψ γ γ ψ

ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ

µν

µ ν ν µ ν µ ν

µ

µ ν ν ν

µν µ

µ

P a L a S S

a S a

S

P S L

S

S

S

Rotatie van een spinor rond z-as

z-as rotaties via J

₃

operator

) 2 / sin(

) 2 /

cos(

₃

2 / ₃

3

σ ω ω

ω σ ω

i e

e

^{i J i}

+

→ =

⁻

−

Voor Dirac spinoren en 1

0

0

2

3 3

3 2

1 2 12

1 2

1

3 3

  Σ = +





 



=  Σ =

→

σ

σ σ J

⇒

Vgl. eerder gevonden S_L

niets :

0r r = p

) 0 , 0 , (

b.v.

:

0 p p

pr ≠r r =

Boost van een spinor langs z-as

1 0 en

0

2

03 3

3 03 2

2 1

3

  = −





 



= 

→

σ σ

σ

ⁱ

σ

Voor Dirac spinoren K

⇒

( )

⁻ _^⇒

=2cosh /2 1 cosh

: Gonio

2 x x

Dus

Met ook nog de e-macht zie je dus dat deze boost precies ψ geeft voor p≠0

Inversie van een spinor in oorsprong

⇒

Kijk wat dit doet op:

fermion toestanden (ψ⁽¹⁾ en ψ⁽²⁾) antifermion toestanden (ψ⁽³⁾ en ψ⁽⁴⁾)

En hiermee zie je dus:

intrinsieke pariteit fermion en anti-fermion toestanden tegengesteld

: aan voldaan met

Want SP ≡ γ ⁰







−

= +

=

→

= ^{− −}

γ γ γ

γ γ

γ

^{ν λ λ}_ν ^{ν λ}

λν S^L S^L a S^P S^P _k

a

0 1

1

Ladingsconjugatie

Dirac vgl. elektron (lading –|e|) in e.m. veld Dirac vgl. positron (lading +|e|) in e.m. veld

Er moet een relatie tussen ψ en ψ_C bestaan omdat we de “gewone” Dirac vgl.

zullen gebruiken voor zowel elektronen als positronen. Deze relatie vind je zo:

Vind C die voldoet aan

Dan vind je uit de elektron Dirac vgl.

de positron Dirac vgl.

Relatie tussen elektron en positron oplossingen

Elektron & positron oplossingen

Expliciete uitdrukking Cγ⁰

Dit voor mijn keuze van de γ^µ matrixes! Relaties elektron-positron oplossingen:

Gebruiken:

“u” spinoren

“v” spinoren:

v⁽¹⁾

Normalisatie, orthogonaliteit en compleetheid Normalisatie

Orthogonaliteit

Compleetheid

Spin ½ Elektrodynamica

Ijkinvariantie en Dirac vergelijking

minimale substitutie

(via lokale ijkinvariantie)

Massa + KE Interactie: potentiële energie Dirac vergelijking

Dirac vergelijking en A ^µ

Vrije Dirac-veld (elektronen)

Minimale substitutie (q_e=-e): p^µ→p^µ+eA^µ

S=0

( )

4 _{f i}

ie π p + p ^µ

1 1

S=1/2

4 ie πγ^µ

u_i u_f

vergelijk nu de vertex

factoren:

ψ_f

ψ_i

V

De overgangsamplitude wordt dus

e ⁻ µ ⁻ → e ⁻ µ ⁻ verstrooiing

B

A p_A

p_B µ

e _C

D

p_C p_D

En de overgangsamplitude wordt dus (q=p_A-p_C=p_D-p_B)

Relatie tussen stroom en vectorveld

4 ie πγ ^µ

− 4 ie πγ^ν

−

uB u^D

uA

uC

q g

2 µν

Feynman regels voor QED (S=1/2)

Externe lijnen

u u

v v

ε

µ

µ*

ε

Vertices

Propagatoren

( )

q m q m i

2− 2 µ+ γ µ

Relativistische spin

Voor |M|² volgt dus

lepton tensor

A C

D B

q p p p p

= −

= −

A C

Relativistische spin e⁻µ⁻ →e⁻µ⁻ (1 diagram) e⁻ µ⁻

De elektron lepton tensor

Hoewel je van deze uitdrukking op het eerste gezicht niet vrolijk wordt, geldt wel 1) Geen spinoren meer: via compleetheid relaties

2) De spoorberekening is rechtoe-rechtaan: m.b.v. enkele regels `Casimir’s trick’

k k’

µ

γ

µ

k k / ≡

(

^{4 24 4 3}

)

⁴

1

m

k / + αβ

¹

( ^k

^{4 2}

^′/

⁴

^{+ m}

^{4 3}

) _β

⁴

_{′ α ′}

Sporen met γ -matrices

Gebruik altijd:

sporen van producten van γ

matrices

Zwakke wisselwerking

producten van γ matrices

Voorbeeld e m Ø e m

Toepassen spoor identiteiten geeft

Voor de muon tensor geldt hetzelfde

Zodat

Merk op dat in de extreem relativistische limiet geldt

0 0 0

relativistische limiet: M²,m²→0

k e⁻ _k’

Hiermee wordt het matrix element uiteindelijk

En de werkzame doorsnede

→ cosθ

→dσ/dcosΩ

−1 +1

hoekverdeling

→ E_cm [GeV]

→σ totaal

0 1000

totale

werkzame doorsnede

100 10

∝ ^1/s

e ^- m ^- Ø e ^- m ^-

e^- e^-

µ^- µ^-

q=k-k’

=p-p’

k p

k’ p’

Voorbeeld (`crossing’) e e Ø m m

en daarmee de werkzame doorsnede

gebruik

e⁺e⁻→µ⁺µ⁻amplitude

µ⁺

q=k+p

=k’+p’

k’

e^-

e⁺ µ^-

k

p “s” p’ p↔-k’

s↔t

e e^{− +} → µ µ^{− +}

er is een relatie tussen

de amplituden voor ^{e- e-}

µ^- µ^-

q=k’-k

=p-p’

k k’

p p’

“t”

e⁻µ⁻ → e⁻µ⁻