Elementaire Deeltjesfysica

(1)

Jo van den Brand 8 December, 2009 Structuur der Materie

Elementaire Deeltjesfysica

FEW Cursus

(2)

• Inleiding

• Deeltjes

• Interacties

• Relativistische kinematica

• Lorentz transformaties

• Viervectoren

• Energie en impuls

• Symmetrieën

• Behoudwetten

• Discrete symmetrieën

• Feynman berekeningen

• Gouden regel

• Feynman regels

• Diagrammen

• Elektrodynamica

• Dirac vergelijking

• Werkzame doorsneden

• Quarks en hadronen

• Elektron-quark interacties

• Hadron productie in e

⁺

e

^-

• Zwakke wisselwerking

• Muon verval

• Unificatie

Inhoud

(3)

Najaar 2009 Jo van den Brand 3

Diracvergelijking in impulsruimte

Vlakke-golf oplossingen van de vorm

Normering  a

Identificeer met energie en impuls Diracvergelijking

Diracvergelijking in impulsruimte

Als u hieraan voldoet, dan voldoet  aan de Diracvergelijking

(4)

Vlakke-golf oplossingen Diracvergelijking

We vinden

Normering

(5)

Deeltje  antideeltje

In termen van de geladen stroom (dichtheid):

Ofwel: de volgende scenario’s zijn identiek!















e E p systeem)

(

time +e

(E,p)

absorptie 

e

^(+E,+p)

emissie

e

⁺

e

^

Voor een systeem is er geen verschil tussen:

Emissie: e

^

met p

^

=(+E,+p) Absorptie: e

⁺

met p

^

=(E, p)

Er geldt

e

^^iEt

 e

^ⁱ⁽^^E⁾⁽^^t⁾

(6)

Vlakke-golf oplossingen Diracvergelijking

Interpretatie: ook antideeltjes hebben positieve energie

met positieve energie

u’s voldoen aan v’s aan

(7)

Lorentztransformaties van spinoren

Boost het systeem in de x-richting

Golffunctie transformeert niet met een

Lorentztransformatie, dus niet als een vector Transformatie S is de 4  4 matrix

Met en

We zoeken een scalaire grootheid (bij viervectoren bedachten we covariantie) Definieer adjoint spinor

Relativistisch invariant!

(8)

Pariteit

Pariteit is gedefinieerd als ruimtelijke spiegeling door de oorsprong

; '

;

' x y y z z t t

x       

Beschouw Dirac spinor (x, y,z,t)

Deze spinor is oplossing van de Diracvergelijking

t c

mc i i z

i y i x



 

 

 



 



       

¹  ²  ³ ^ ⁰



Onder pariteit transformatie



'(x', y',z',t')  Pˆ



(x, y,z,t) Probeer en dusP^ˆ  ⁰



'(x', y',z',t') 



⁰



(x, y,z,t)

 

^ ⁰ ² ^¹^^⁽^x^, ^y^,^z^,^t⁾ ^^ ⁰^^'⁽^x^'^, ^y^'^,^z^'^,^t^'⁾

t c

mc i i z

i y i x



 



 

 



 



 '

' ' '

' ₂ ₀ ₃ ₀ ₀ ₀ ₀

0

1            

   ^



In termen van het primed systeem

' ' '

' '

' ₂ ₀ ₃ ₀ ₀ ₀ ₀

0 1

t c

mc i i z

i y i x



 



 

 



 



            ^   

(9)

Intrinsieke pariteit

Dit is de Diracvergelijking in de nieuwe coordinaten

' ' '

' '

' ₀ ₂ ₀ ₃ ₀

1 0

t c mc i

i z i y

i x



 



 

 



 



            ^  Omdat anticommuteert met



⁰



¹,



²,



³

Onder een pariteit transformatie verandert de

Diracvergelijking niet als de spinoren transformeren als



 P^ˆ



 



⁰



Deeltje in rust

Deeltje en antideeltje in rust hebben tegengestelde intrinsieke pariteit

Vermenigvuldigen met

' ' '

' '

' ₂ ₃ ₀

1

t c

mc i i z

i y i x



 



 

 



 



        ^  



0

' ' '

' '

' ₂ ₀ ₃ ₀ ₀ ₀ ₀

0 1

t c

mc i i z

i y i x



 



 

 



 



            ^  

(10)

Spinoren: hoe transformeren ze?

Definieer

Gedrag onder pariteit

Transformatiegedrag van lineaire combinaties

Basis van alle 4  4 matrices en Ergeldt

Invariant onder pariteit transformatie: een echte scalar

pseudoscalar

(11)

Ladingsconjugatie

Ladingsconjugatie operator C voert spinor  over in de ladingsgeconjugeerde spinor _C

Als we deze operator laten werken op

vinden we de geconjugeerde toestanden Er geldt

(12)

Spinoren: normalisatie, orthogonaliteit en compleetheid

Normalisatie

Orthogonaliteit

Compleetheid

(13)

Ijkinvariantie

(14)

Maxwellvergelijkigen en Lorentzinvariantie

Maxwell

Stel h/2=c=1 en introduceer potentiaal A

^

=(V,A) en stroom j

^

=(,j):

Er geldt

Compacter met F

^



^

A

^



^

A

^

(15)

Ijkinvariantie (gauge invariance)

Vrijheid in de keuze van ijkveld A

^

(gauge field)

Omdat

A

^

is nog steeds niet uniek; omdat

Gebruik vrijheid om A

^

te vereenvoudigen (covariant)

Lorentz conditie

We kunnen bijvoorbeeld de oplossing kiezen (niet covariant)

Coulomb conditie

(16)

Foton golffunctie

In vacuüm j

^

=0 en daarom

Met als oplossingen (vlakke golven)

In plaats van 4 vrijheidsgraden (

^

) slechts 2

transversaal circulair

rotatie  rond de z-axis:

 

   

 











 



















































 







0 2 /

2 / 1

0

2 / cos sin

2 / sin cos

0 2 /

2 / 1 1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

i i

i

e e i

i



^ 

Gauge keuze: Lorentz conditie

Coulomb conditie

(17)

Interactie van spin-½ deeltjes met het fotonveld

Quantumelektrodynamica

(18)



_f



_i

V

Relatie tussen stroom en vectorveld

B

A p_A

p_B



e

_C

D

p_C p_D

En de overgangsamplitude wordt dus (q=p_A-p_C=p_D-p_B)

Beschouw elektron-muon verstrooiing

4 ie  ^

 4 ie  ^



u

B

u

^D

u

A

u

C

q g

2



(19)

Feynman regels voor QED (S=1/2)

Externe lijnen

u u

v ^v





*



Vertices

Propagatoren  

q m q m i

2 2







(20)

QED

Fundamentele interacties:

e

⁺

e

^-



t

e e^{ }  e e^{ }

Bhabha verstrooiing paar annihilatie/creatie

e e

^{ }

 

Möller verstrooiing e e^{ }  e e^{ } Compton verstrooiing

e

^

  e

^



(21)

Relativistische spin

Voor |M|² volgt dus

lepton tensor

A C

D B

q p p

p p

 

A B

C D

Relativistische spin e^



^ e^



^ (1 diagram) _e^

^

(22)

De elektron lepton tensor

Hoewel je van deze uitdrukking op het eerste gezicht niet vrolijk wordt, geldt wel 1) Geen spinoren meer: via compleetheid relaties

2) De spoorberekening is rechtoe-rechtaan: m.b.v. enkele regels

`Casimir’s trick’

k k’

A C 2

  

k k  



^{ }^ ^{ }



^



m

k   

^

 ^k

^{ }

^ ^ ^

^

^m

^{ }

 _

^

_ _ _

(23)

Sporen met -matrices

Gebruik altijd:

sporen van producten van 

matrices

Zwakke wisselwerking

producten van  matrices

(24)

4

ie  ^ ie 4^

2

ig q

 

v

B

v

_D

u

A

u

_C

Berekening e ^– e ⁺   ^–  ⁺

De spin algebra geeft een spoor Feynman regels geven











 



P p P k P p P k

D C B A

En dit wordt in de extreem relativistische limiet











4

2

/ t











4

2

/

u

(25)

Werkzame doorsnede e ^– e ⁺   ^–  ⁺

(26)

Hoekverdelingen: e ^– e ⁺   ^–  ⁺ en  ^–  ⁺

(27)

En nu heb je ook e ^– e ⁺  qq gedaan!



 



 ^ ^ ^ ^

  





 e e

q e q

e

R

^qq ^quarks

udsc

uds

udsc no color

 

s s

d

q d tot

27 cos 4

4 1 9 : 1

3

1 ² ₂ ²

 

 









  d, s, b 

 

s s

d

q d tot

27 cos 16

4 1 9 : 4

3

2 ² ₂ ²

 

 









  u, c, t 

Met drie kleuren

colour s 9s

16 27

16² ²





colour s 9s

4 27

4² ²





s 3 4²

 _ 

s

(28)

Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden

Elektronen aan lood:

- 502 MeV

-

²⁰⁸

Pb spinloos - 12 decaden

Model-onafhankelijke informatie over

ladingsverdeling van nucleon en kernen

(29)

Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden

ladingsverdeling:

Elektron-goud verstrooiing

- energie: 153 MeV

Ladingsdichtheid is constant!

(30)

Proton structuur - niet puntvormig

- geen Dirac deeltje (g=2) - straal is 0.8 fm

- exponentiele vormfactor

Elastische elektron-proton verstrooiïng

(31)