Hoek onder de top
1 maximumscore 4 • ( ) 3 1 2 f ' x x = − 1 • 3 1 0 2 x − = geeft 3 2 x = 1 • Dit geeft 1 4 2 x= 1 • 1 1 1 1 4 4 4 4 (2 ) ( 3 2 2 ) 2f = − = (dus de coördinaten van T zijn
(
1 1)
4 4 2 , 2 ) 1 2 maximumscore 4 • 14 1 4 2 2 TO= − − en 3 4 1 4 6 2 TA= − 1 • 3 1 4 4 1 1 4 4 3 1 4 4 1 1 4 4 2 6 2 2 cos 2 6 2 2 OTA − ⋅ − − ∠ = − ⋅ − − (of cos 1 1 1 3 1 1 OTA − 1 3 − ⋅− ∠ = − ⋅ − − ) 1 • cos (= 2 )≈ −0, 45 20 OTA − ∠ 1 • Het antwoord: 117° 1 of • OA= 9, 1 4 OT = 2 2 en AT = 214 10 1
• De cosinusregel toepassen in driehoek OAT geeft
(
) (
2)
22 1 1 1 1
4 4 4 4
9 = 2 2 + 2 10 − ⋅ 22 2⋅ 2 10⋅cos ∠OTA 1
• Hieruit volgt cos (= −2 )≈ −0, 45
20 OTA ∠ 1 • Het antwoord: 117° 1 of • 14 1 4 2 tan 1 2 TOT '
∠ = = , waarbij T ' de loodrechte projectie van T op de
x-as is 1 • 14 1 3 3 4 2 tan 6 TAT ' = ∠ = 1
• Hieruit volgt ∠TOT'=45° en ∠TAT ' ≈ °18 1
Het uiteinde van een wip
3 maximumscore 3 • 5 2 3 π 5 π 2π ( ) 1 2 sin 1 2 sin 5 3 5 15 h = + ⋅ − = + 1 • 2 5 3 3 3π 5 6π 5 31π ( ) 1 2 sin 10 3 5 3 30 h = + − ⋅ + ⋅ − 1 • Dit geeft 5 3 3 2π ( ) 1 2 sin 15 h = + (dus de hoogtes zijn gelijk) 1
4 maximumscore 4 • 2 1 3π π 3π ( ) 2 cos 2 10 6 10 h ' t = t − ⋅ ⋅ t 2 • 1 1 3 3π π 3π 2 π π 2π ( ) 2 cos 2 cos 90 6 10 3 30 6 10 h ' = − ⋅ ⋅ = − ⋅ 1 • Dus 1 1 3 2π 2π 2π 2π ( )= cos cos 5 15 5 15 h ' − =
(dus de hellingen zijn gelijk) 1
5 maximumscore 4 • 2 π π π (1 ) 1 2 sin (1 ) 1 2 sin 5 5 5 h −a = + − −a = + − a (voor 2 3 0< < ) a 1 • 2 π π (1 ) 1 2 sin 1 2 sin 5 5 h −a = + − a= − a 1 • 2 π π π (1 ) 1 2 sin (1 ) 1 2 sin 5 5 5 h +a = + + −a = + a 1 • 2 2 π π (1 ) (1 ) 1 2 sin 1 2 sin 2 5 5 h − +a h +a = − a+ + a= (, dus 2(1 ) 2(1 ) 1 2 h − +a h +a = ) 1 of
• De gelijkheid geldt als de grafiek van h puntsymmetrisch is ten2
opzichte van (1, 1) 1
Laagste punt
6 maximumscore 5• Een vectorvoorstelling van de middelloodlijn is
1 2 2 2 1 2 p x p t y p p = + − 2 • xS = geeft 0 1 2 t p = 1 • 1 2 1 2 2 S y = p + 1
• Als p tot 0 nadert, nadert y tot S 12 1
of
• Het midden van OP is 1 1 2
2 2
( p, p ) 1
• De helling van de middelloodlijn is 1
p
− 1
• Een vergelijking van de middelloodlijn is y 1 x yS p = − + 1 • Invullen van 1 1 2 2 2 ( p, p ) geeft 1 2 1 2 2 S y = p + 1
• Als p tot 0 nadert, nadert y tot S 12 1
of
• Het midden van OP is 1 1 2 2 2 ( p, p ) 1 • OP p2 p =
is normaalvector van de middelloodlijn, dus px+ p y2 =c is een vergelijking van de middelloodlijn (voor zekere waarde van c) 1
• Punt 1 1 2 2 2 ( p, p ) invullen geeft c=12 p2+12 p4 1 • 2 4 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 S p p y p p + = = + 1
Gespiegelde punten
7 maximumscore 8• Er geldt yQ = −xP 1
• De x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de x-as is 1 1
• xP = −1 a 1
• De y-coördinaat van het punt op de grafiek van f met x-coördinaat a
is 2 ln a⋅ 1
• yQ = ⋅2 lna 1
• 2 ln⋅ a= − −(1 a) (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1
• Beschrijven hoe deze vergelijking met de GR kan worden opgelost 1
• (a=1 voldoet niet, dus) het antwoord is 3,51 1
of • Er geldt yQ = −xP 1 • g x( )= ⋅2 ln(x+a) 1 • x is de oplossing van P 2 ln(⋅ x+a)=0 1 • xP = −1 a 1 • yQ = ⋅2 lna 1
• 2 ln⋅ a= − −(1 a) (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1
• Beschrijven hoe deze vergelijking met de GR kan worden opgelost 1
Ankerketting
8 maximumscore 6 •(
)
1 1 2 2 1 ( ) e e e e 2 ax ax ax ax f ' x a a a − − = ⋅ ⋅ − ⋅ = − 2 •(
1 1)
2 1 2 1 1 1 2 2e 2e 4e 2 2e 2e 4e ax− −ax = ax− ⋅ ax⋅ −ax + − ax 1 •(
1 1)
2 1 2 1 1 1 2 2e 2e 4e 2 2e 2e 4e ax+ −ax = ax+ ⋅ ax⋅ −ax + − ax 1 •(
1 1)
2 1 2 1 1 2 2e 2e 4e 2 4e ax− −ax = ax− + − ax en(
)
2 2 2 1 1 1 1 1 2e 2e 4e 2 4e ax+ −ax = ax+ + − ax 1 •(
)
2 1 2 1 1 2 4 2 4 1+ f ' x( ) = +1 e ax− + e− ax =(
)
2 2 2 1 1 1 1 1 4e 2 4e 2e 2e ax+ + − ax = ax + −ax(dus geldt de gelijkheid) 1
9 maximumscore 5
• De waterdiepte is f(96)≈34 (meter) (of nauwkeuriger) 1
• De lengte van de ankerketting is 96 2
0
1 (+ f ' x( )) dx
∫
1• Beschrijven hoe deze integraal met de GR kan worden berekend 1
• De lengte van de ankerketting is ongeveer 104 meter (of nauwkeuriger) 1 • (104> ⋅3 34, dus) de ankerketting voldoet aan de vuistregel 1 of
• De waterdiepte is (96) 34f ≈ (meter) (of nauwkeuriger) 1
• De lengte van de ankerketting is 96 2
0 1 (+ f ' x( )) dx
∫
1 •(
1 1)
140 140 96 96 2 1 1 2 2 0 0 1 (+ f ' x( )) dx= e ⋅x+ e− ⋅x dx∫
∫
1• Een primitieve van 1 1
140 140 1 1 2e 2e x x ⋅ + − ⋅ is 70e1401⋅x −70e− ⋅1401 x; 96 96 140 140
70e −70e− ≈104 (en 70e0−70e0 = ), dus de lengte van de 0
ankerketting is ongeveer 104 meter (of nauwkeuriger) 1
Een gebroken functie en zijn inverse
10 maximumscore 4 • Er moet gelden ( ( ))f g x =x 1 • 4 4 4 1 4 x f x x x = − − + − 1 • 4 4 4 16 4 4 (4 ) 4 1 4 x x x x x x x − − = − = − − = + − + −(dus g is de inverse van f ) 2
of
• Punt (x, y) ligt op de grafiek van de inverse van f als 4 4 1 x y = − + 1 • Hieruit volgt 4 4 1 x y+ = − 1 • Dus 4 1 4 y x = − − 1
• Dit herleiden tot
4 x y
x =
11 maximumscore 6
• Omdat f en g elkaars inverse zijn, wordt het gebied door de lijn met
vergelijking y=x in twee gelijke delen verdeeld 1
• De gevraagde oppervlakte is gelijk aan 3
0
2⋅
∫
( ( )f x −x) dx 1 • Een primitieve van ( )f x − (voor x x> −1) is 4x−4 ln(x+ −1) 21x2 2 • Elk van de twee delen heeft dus een oppervlakte van3 2 1 1 2 0 2 4x 4 ln(x 1) x 12 4 ln 4 4 − + − = − − 1 • De gevraagde oppervlakte is 15 8 ln 4− 1 of
• Het vierkant met diagonaal door (0, 0) en (3, 3) wordt door de
grafieken van f en g in drie delen verdeeld, waarbij de oppervlakten van
de niet-grijsgemaakte delen aan elkaar gelijk zijn 1
• De gevraagde oppervlakte is
3
0
3 3 2⋅ − ⋅
∫
(3− f x( )) dx 1 • Een primitieve van 3− f x( )(voor x> −1) is − +x 4 ln(x+1) 2• Het linkerdeel heeft een oppervlakte van
[
]
30 4 ln( 1) 3 4 ln 4 x x − + + = − + 1 • De gevraagde oppervlakte is 9 2( 3 4 ln 4)− − + =15 8 ln 4− 1 of
• De gevraagde oppervlakte is gelijk aan 3 3
0 0 ( ) d ( ) d f x x− g x x
∫
∫
1 • ( ) 1 4 4 g x x = − + − 2• Een primitieve van 4 4 1 x −
+ (voor x> −1) is 4x−4 ln(x+1) 1
• Een primitieve van 1 4
Tussen twee bewegende punten
12 maximumscore 4• De lengte van A'B' is xA−xB 1
• Beschrijven hoe het maximum van cos(3 ) cost − t gevonden kan
worden 1
• Per rondgang zijn er 4 maxima die even groot zijn 1
• Het antwoord: 1,54 1
of
• Het verschil tussen de x-coördinaat van A' en de x-coördinaat van B'
is xA−xB 1
• Beschrijven hoe het maximum en het minimum van cos(3 ) cost − t
gevonden kunnen worden 1
• Per rondgang zijn er 2 maxima en 2 minima die in absolute waarde even
groot zijn 1
• Het antwoord: 1,54 1
Opmerking
Als alleen het maximum van xA−xB ofwel xB−xA wordt beschouwd, voor deze vraag maximaal 2 scorepunten toekennen.
13 maximumscore 4
• De richtingscoëfficiënt van koorde AB is gelijk aan sin(3 ) sin cos(3 ) cos
t t
t t
−
− 1
• sin(3 ) sint − t=2 sint⋅cos(2 )t 1
• cos(3 ) cost − t = −2 sin(2 ) sint ⋅ t 1
• Dus 2 sin cos(2 ) cos(2 )
2 sin(2 ) sin sin(2 )
14 maximumscore 5
• cos(2 ) 1
sin(2 )
t t
− = − geeft cos(2 )t =sin(2 )t 1
• 1
2
sin(2 )t =cos(2t− π , dus ) cos(2 )t =cos(2t− π21 ) 1
• 1
2
2t= − π + ⋅ π (met k geheel) (welke geen oplossingen heeft) of 2t k 2
1 2
2t= − + π + ⋅ π (met k geheel) 2t k 2 1
• 1
2
4t= π + ⋅ π , dus k 2 t = π + ⋅ π (met k geheel) 18 k 12 1
• Het antwoord: 1 8π t= of t=58π of t=181π of t=158π 1 of • cos(2 ) 1 sin(2 ) t t
− = − geeft cos(2 )t =sin(2 )t 1
• (Een redenering met eenheidscirkel of grafieken waaruit volgt dat)
16 maximumscore 5
• Er geldt OB= AB=1 en OB2+AB2 =OA2 1
• Hieruit volgt a=OA= 2 1
• Invullen in de formule van het vorige onderdeel geeft 2 1 2 1 r= − + 1 • 2 1 2 1 2 1 2 1 r= − ⋅ − + − 1 • 2 2 2 1 3 2 2 2 1 r= − + = − − (dus p=3 en q= −2) 1 of • Er geldt OB= AB=1 en OB2+AB2 =OA2 1 • Hieruit volgt a=OA= 2 1
• Invullen in de formule van het vorige onderdeel geeft 2 1 2 1 r= − + 1 • Uit 2 1 2 2 1 p q − = + + volgt 2 1− =
(
p+q 2) (
⋅ 2 1+ en dus)
2 1− =(p+q) 2+ +p 2q, waaruit volgt p+ =q 1 en p+2q= −1 1• Een exacte berekening waaruit volgt p=3 en q= −2 1
of • Er geldt OB= AB=1 en OB2+AB2 =OA2 1 • Hieruit volgt a=OA= 2 1 • 2 1 1 2 r = − −r
(want driehoek AMD is gelijkvormig met driehoek AOB) 1 • Een exacte berekening waaruit volgt p=3 en q= −2 (of r= −3 2 2) 2 of • Er geldt OB= AB=1 en OB2+AB2 =OA2 1 • Hieruit volgt a=OA= 2 1 • 1 2 sin 45 2 2 1 MD r MA r ° = = = − − 1
