Berekeningen aan lange leidingen met de Smith-kaart

Berekeningen aan lange leidingen met de Smith-kaart

Citation for published version (APA):

Steffelaar, M. (1962). Berekeningen aan lange leidingen met de Smith-kaart. Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1962

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

§ 1. 2·.

3.

-

~·4.

5.

6.

7.

8.

9. INHOUDSOPGA \' l!; Inleiding.

Berekening van de.impedantieverandering langs een lijn.

Nomogrammen. ·De rechthoekige kaart. De Smithkaart.

Admittanties.

Berekening van de admittantieverandering langs een lijn.

Bronaanpassing en. lijnaanpassing. Impedantiètransformatoren.

"Double stub tuners".

- ·10 • . Se hui vende schroe f;..aanpassers. - 11. Kwart lambda transformatoren.

- 12. re verandering van k ·bij lijnen met kleine verliezen.

- 13.

De extra verliezen bij het optreden van staande golven.

14.

Kleine verliezen· in korte lijnen.

15.

Bepalirig van de reflectie-coifficient.

1~.

~

Di dub~elschalen.

1 .

.J 17. Reflectie-coëfficient. ( A)

-

·

.

1

.

8.

:E.én de"dibel stappen. (B)

. :.._ 19. -Vermog'ens-reflectie coëfficient. ( C en. D) - 20. Vermogens:-reflectie verlies (E)

- 21. Vermogens-reflectie verlies factor (F) - 22. Staande golfverhouding (G in H) - 23. Spannings- en stroomextremen.(I en J) - 24. Literatuur opgaven. pag. 1. Il' _5. Il

_7.

Il _12.

"

15. Il _16• Il _16. .

"

17 •

.

;

"

. 1:8~· Il _{. 20 •.}

"

20 .• .

"

25.

Il _26. Il

_29.

Il

_32.

Il _{32 .•} Il

33.

Il 33 •

"

33.

Il

_34.

Il

_34.

Il

_34.

Il 35. Il

_37.

• S:O L

_s-L

-,_ ' s _- S-L

--

_-

I~

J

c

101

Voortplanting van golven langs ééndimensionale geleiders.

§ 1. Inleiding.

We veronderstellen bekend, dat zich in elk punt van de geleider in het algemeen twee' golven voortplanten, in tegengestelde richting, welke onafhankelijk van elkaar zijn. De spanning ten gevolge van de

- +

zich naar rechts voortplantende golf noemen we U , de spanning ten gevolge van de,zich naar links voortplantende golf noemen we

u-.

De totale spanning is dan dus de som van deze twee.

+

-u

=

u

+

u

c

301

+ De stroom van de zich naar rechts voortplantende golf noemen we I , de stroom van de zich naar links voortplantende golf noemen we I-. De totale stroom is de som van deze twee

c

302 Uit de telegraafverge:ijking blijkt dat deze vier grootheden noeten voldoen aan de betrekkingen:

u+

₌

_A eJ . w t -ys

c

u

-

₌

B e jwt +ys

c

r+

₌

-

.A. _e jwt -ys

_c

zo I

-

₌

B _• e jwt +ys

c

zo

503

304

305

306

...

"i

2

-Hierin is Z de golfweerstand der geleider, en A en B zijn complexe

0

constanten welke z6 worden gekozen, dat aan de ran.dvoorwaarden wordt voldaan •

De definitie van staande ~olfverhoudin~ is lulmax lu+I + lu-1 1 + 1

~:.J

P=

\ui min = _lu+l

-lu-1

= = 1

-1

~:

1

De definitie van reflectie coëfficiënt is:

r

= -

u-

_{;: T}

B

_•

e 2y s u+

•

We zien dat steeds geldt:. 1 +

/r

I

p

=

---1 -

I

r

1

1 + k

=

1 - k als k

=

/r /

We berekenen·nog het verband tussen z en

r

1 1

z

1 u+ +

u

-

A e j wt -z =

z

=z-

_•

=

_{j wt} r+ _{+ I}

-

_A

-0 0 e +

1

~:

1

-1

~:

1

.

.

rs

₊ B _e j cot + ys _{B ej wt +}

, Wanneer we telle11 en noemen delen door A ej w t - y 5 volgt

1 _{+ T e} B 2 ys z

=

-~-

...

---1 - .

~

e2 Y s .blijkbaar is

z

=

1 ₁

+r

_-r

We kunnen ook

r

in

z

uitdrukken:

c

307

c

.308

c

309

ys ys

c

310

r

=

z - 1

c

311 z + 1

Geen index betekent: "s heeft een willekeurige waarde" de index i betekent "voor s

=

O"

"

"

r.

[+

2ys

J

s dus

=

e 1

=

0

r.

B

c

312

1

=

-A

r

B 2yl zodat en _u

_=-;:-

~

•

r.

=

r

e -2 y 1

c

313

1 u ook:

r

₌

B 2 y 6

r

-2 y 1 2 y s A

•

e

=

e 0 e u

r

_-

r

_• e -2 y(l-s)

.

è

314

u

z

Wanneer lijnlengte en Y bekend zijn en z _u -

_z

u is bekend, dan is

0

zi

zi

=

Z te berekenen voor een gegeven frequentie. De formule volgt

0 uit:

u

.

+ _ui

-1 1 ·~ z. =

_z

_•

=

1 L I. 0 + :i. 1 u+ _{+ u}

-

eJ . (l)t 1 u u z

=z-!+ = u ₊

_I-

_{• (1) t} 0 _{u u eJ} - Yl B + yl e + - e . A z

=

- Yl B yl u _e +

- 7

e

Wanneer we uit deze vergelijkingen A A ej wt _{+ B e} j co t _{A +} j w t j (1) t

=

A B

-e

-

e - Yl _{+ --•eJ} B . w t + Yl A -Y 1 B • (1) t _+Yl eJ A B A elimineren vinden we B

_c

315 B

c

316

"'

z u B

T

B A

=

4

--Y l B

+y

1 e

-

z A e

=

e u z _u e -Y l

-

e-Y 1 .

=

_y 1 e + z e y 1 u -Y 1 z -1 e u = _{+Y 1 • z}

---

₊₁ e u ( Yl -Yl) z _u e + e + (e y 1 ( Yl e + e -Yl) + z _u sinh y 1 + z cosb 13 1 u.. z. _1.

=

~---eosh

r

1 + z si l\h 13 1 u -Y 1

Wanneer de lijn verliesvrij is wordt waarin We hebben dan sinh j ~l + z cosh j ~l. u z.

₌

l. cosh j 131 + z . einh j ₁₃₁ u B +Y 1 + - -_A e

=

c

317

c

318

j sin

131

+ z • . cos

131

u

=

~~~~~~~~~~~-cos

131

+ z • u z _u + j tg

131

j sin

l31

1 + j z _u tg

131

We stellen nog z

= r

+ jx

r =

u + jv

=

kej

e

c

319

c

320

c

321

In de U .K.G. techniek hebben we vaak te mak~'n met vierbi ndingsleidingen welke lang zijn, ten opzichte van de golflengte. Om het gedrag van zulk een leiding te kennen moeten we veelal Z. bepalen als Z , 1, Z en

P

1 0 u

bekend zijn. Deze berekening ~an op vele manieren worden uitgevoerd. We kunnen bijvoorbeeld de formule C 319 gebruiken.

§

2. Berekening van de impedantie-verandering langs een li jn.

Gegeven een leiding l = 73 cm, À= 15 cm langs de leiding gemeten.

Z = 19 - j.35 Q Z = 50 Q • Gevraagd Z. u 0 1 z u = 19 ... j. 35 50

=

0,38 - j.0,7

1 73

T

= 15

=

4,87~

~

Da~r

alleen tg 2

~· ~

van belang is kan het getal 4,87 vermeerderd of 1

verminderd worden met n.

2

als n een natuu,rlijk getal is, zonder 1

dat tg 2 Tt

T

verandert. We kiezen

l

T

= 0,37 tg 360°.0,37 = tg 133° = - 1~07 zodat

0,38 - j.0,7 + j.(-1,07)

•

."

6

-0,38

-

j .

(1!77)

3,56 - j.1,28

z.

₌

₌

J.

0,252 - j

<o

-

,

407)

z.

₌

50(3,56

-

j.1,28)

₌

180

-

j.65

Q J.

Deze berekening is nogal omslachtig, doordat het vermenigvuldigen en delen door complexe ·getallen veel werk vr,aagt. Het i s ook mogelijk met formule C

311

de reflectie coefficiënt

r

te berekenen; vervolgens

u

r.

te

1 bepalen met formule

C 313

en ten slotte uit

C 310

z. te bepalen 1 door

arg

arg

dus

Nu is

r.

hierin te substitueren. De berekeLing loopt·dan als volgt: J:

z

_u z

₌

u L, 0 z

-r

₌

u u z + u =

=

0,38

-

j.0,7

1

0,38

-

j.0,7

-=

1

0,38

-

j.0,7

+ ( 0 !

62)

2 + ( 0 ! 7) 2

=

( 11

38

f

+ ( 0' 7

f

~=

:

0,605

r

= bgtg

017

+ bgtg

017

U ·

0,62

1,38

r

_u =

2?8,5°

+

<7

0

=

255,5°

=

4,46

r

₌

0,366.

e

j.4,46

u

r.

₌

r

e

-2

Yl

₌

r

.e

-2j

~ 1 1 u u

=

1

-0,62

-

j.0,7

1

=

_1'3

₈

-

j.0,7

0,385

+

0,49

1,90

+

o,49

rad.

=\

.

~

0,875

=

v

2,39

2 ~l = 2.2"ft

. -r=

l

_{4n. 0,37}

=

_4,65

zodat

r

.=

0

, o . e

6 5 · j.4,46

•

e-j4,65 __

0 , 605 • e-j0,19

J.

1

_360°

₀

Daar -

0,19 •

_{2 n}

= -

19,9

Wordt dus

ri =

0,605

[cos

(-10,9)

+ j sin

(-10,9°)]

r.

=

o,505

·

Co,98 -

j.

0,19)

l.

r.

=

0,593 -

j.

0,115

l.

H~eruit volgt z. met behulp van formale C

310

J.,.

1

+

r.

_Î l. ₊ z. =

₌

l.

1

r.

1

l.

=

1,593 -

j •

0,115

o,407

+ j

0,115

0,593

-

j

0,115

0,593

+ j

0,

115

=

3

,

56 -

j • 1,28 •

Beide methoden geven veel werk en zijn weinig overzichtelijk. Veelal maakt men daarom gebruik van grafische methoden om aeze berekening uit te voeren.

~ ). Nomogrammen. De rechthoekige kaart.

Er zijn twee cocrten nomogrammen :i.n gebruik. Het eerste type wordt de "rechthoekige kaart" genoemd. Het besta&t uit e~n assenkiruis met het nulpunt links op het papier. (fig. C 102)

Ii.ri dit assenkruis wordt z ::: r + jx uitgezet met r horizontaal naar rechts en x verticaal, naa,.r boven en beneden. ::Iet is hier niet

noodzakelijk om met gereduceerde grootheden te werken, hoewel dit voor berekeningen steeds wordt gedaan. Gevraagd: hoe verandert z als we

l~ngs de lijn van belasting naar cenerator gaan? Voer s

=

l vinden we Deze is ge₁çeven en àirect op de kaart aan te wijzen. Ne gaan nu na,

Z=Z •

u

hoe z

=

~

verandert, wanneer we langs de lijn

v~n

de afsluiting s

=

1 naar het begin s

= o gaan.

,...

8

-30 2 0

40 lLlOTllleAL LlNGTH IN DlGllHS -JOWAllD IOl(llATOll

-7 50 60 60

"

"

5

_"

80 1

"

0 100 40 ! 120

_i

150 ~ " 180 90 • 0 50 " IZO 100 -80 60

'

~ -50 0 110 105 100 91.5 to -30 -20 -15 -10 C102

Cp de rechth0ekige ka;_;rt is het begin-punt z reeds gevonden. '_Ti t u

~ormule C 314 zien we dat v~or de verliesloze lijn

r

=

r

u -2j ~(1-s) e een ter arg

r ::

nrg

r

u + [ - 2 13 (1-s) ]

c

323

c

321_~

\'ianneer de nu op de kaart aangeven lijnen van van constante f

r

1 en vun constant arg

r ,

dan k~n de verandering van z lanCTS de lijn in de rechthoekige kr.1art worden gètekend. Deze valt imme!'s samün m·~·t de lijn voor constante

/ r

J door

z •

Je ··:•:.:J'O.~'lder.:!1.;'; Vi:<rl é.U'[~ I' kunnen we aflezen l<1ngs de lijnel'l VSn

const~nl arGureent ~elk9 we, becinnende bij zti, en ga~nde over de lijn I'

1r

·

1

conE t ·.1:t ;s "!!':l .. :.se!"en. De totale vera:r..cleri ng van élrg

r

b.lij}:t uit

ó arg i.~r;~

r

·- u

= -

2 ~ ( 1-s)

Voo!'o-=cld..

.ie ber0kenen nu weer voor dez.elîdc lijn l

=

·:·3 cm i\.

=

15 cm 0 .. r · Ü -7

1

,1 -- -'f, ·v~'7 ~ __ J. ___ 0 ''7

zu

=

'_î(l - J •• '. /\ - ~ À. - '_,

de z. met be1lUL) vc.n de rechtlioel-;:ige ~.:aart. (fiG• C 102).

l.

e zoeken het punt z. op. (punt Á) '.e lezer! cd &rg

r

.

:= - 100°.

u

·.'e zien uit formule C 3. ·5 dat

t:.argr =

[-2.

2J?-.

(l-s)J ::: - 2 .(2n.

~

) .s=o

1

of ook - 2 • 2 n:.

T

·~us t:. arg

r

;..: - 2 70 Ci.US

r.

).

= -

70.

36c = 2 n

r.

J. ? • 360 •

-r:-=

1

2.;;ióc.0,37

c

325

.Diié.!r

1

r

J const"'nt bJ. .ef J_;,'ngs ·le lijn, vo:i..t::t z <lus e ·.'! n '· /

r

J c ons t an t " .

li.jn tot e;.r;; I' =- - 7

°

ü ·: b e ' ,~ i ict • ( s1u !! t J3. ) .. e 1 e z c n ;d ,:. .

=

3 , 7 - j 0 , ~ •

J..

.. e zien dut :z.i gevonden worc!t met ze,~r ;_.:erin[se n:n1wke:..i..;_·i;_~;:eid • .i)e

oo::::--zt;.;:;k. is dat arg

r;;.

zeer onnau";~euri:·: -.·c:'d. bep<--<.2.u. De rèchti:oe~ige

k.'..i.<:.·.rt iG in h·:t ~ :c bj_~d ttwsen o + 1 zeer 0nnauwkeuric-. Voor berekeningen

leemt de kó!.c:.rt zich daiii.rd:-i0r iu :;et :ür;em2cn ni~t • . el ;;::ri jgi; men een

o··.'er'zicht over Je "."~cill':.,~ten w2.nnoer 1-s t;roeit v:.!n nul tot 1.

Deze r~~~thoeK1r c kc~rt h~~ft ·dus twee stel co~rdin3Len. Je cartesische r en :x en de orthcgon&le cirke.loundels

/r /

constant. -=n :.i::·g.

i' const[1nt. \ e z.ullen de li:~gj.nf; v~rn de:'.e cirkelbunà.,,;l.-:; b~p<.len.

Deze 11olr:;t uit tie formule C 311

r

=

z - 1 z ·+ 1 dus

/ r /

=

k

₌

1~

1 + 1 2 l 2 (r-1) + x .c ·-2 (r+1) + x

=

2 2

lr

+ jx - 1

l

1r

+ jx + 1 1

~ 10 -Na enige herleiding: 2 1 + k2 )2

x

+

(r -

=

1 - k2

c

326

dit is een cirkel met straal

R

=

2 k

1 - K.2

c

327

en met het .rn:j.ddélpunt op de r ter plaatse r

as o

Wanneer de lijn door een reële weerstand ~

₁₁

worá.t afgesioten dan is volgens formule C ~11:

r - 1

k =

lrl

= -1 -r1. + 1

We kunnen deze waarde in

c

327

en C .328 invullen dit

R

_{= 2}

1 (r

--

1 ) 1 _r1. 1 (r 1 ) r

_{= 2}

+ -0 1 r 1

Deze waarde invullen in

c

)26

levert

1 2

x2

+

(r - -

1-(r 2 1

--

))-=-2.._'(r

z2

₁ 1 )2 + -r · 1 levert ~ '·J

c

"'.".>O 330

Hieraan moet dus

<x; ,

O) voldoen. Bij substitubie blijkt àit te kloppen.

~e cirkels voor k constant zijn dus bepaald.

Nu nog de ei rkels v·:;or

e

const,ant. Ook deze volgen weer uit C 311

·a

.

r: keJ

z- 1

=

"Z+'1

ar g 1' = d

=

ar g ( z - 1 ) - ar g ( z + 1 )

e

=

arg (r + jx - 1) - arg (r + j~ + 1)

a

=

bgtg _{r -}x 1 1 b t X-. - g g r + 1

x x· tg

e

= r - ·1 r + 1

₌

1 + __ x_ r - 1 • r + 1 x ~ 2x tg v

=

-2 2 x + r - 1 2 2x 2

₁

x

tge

+ r --(x

-

1

)2 2 1 tg8 + r

=

1 + _tg2

_e

Dit is een cirkelbundel met straal

R

=

+ Î sine x (r + 1) - x (r - 1) 2 (r - 1) (r + 1) + x 1

=

_{. 2}

_e

sin

Het middelfunt ligt op de x-as ter plaatse

x ₁ :::: co ·ge _.

Aangezien volgens formu~e

C 314

I'=

zal als y = j ~ en ~, re

ë

e 1, k

=

r

en - 2 j ~ ( 1-s ) = j

e

u u

a = - 2 ~ (1-s) werden.

i-'.ls we dit invullen dan vinden we, met b

=

tg ~ ( 1-s)

R

₌

1 (b _1_) 2 + b 1 (b _1_) x -

--

-1 2 b ( G

₃₃₁

( c

332

c

333

c

334

c

335

De twee coördinaat-bundels zijn hiermede dus bekend, Welke bijschriften kunnen we er zoal bij plaatsen? Voor de clrkels k

=

lr

/=

constant

kan bijgeschrevan worden deze k, echter ook. :c of Q of m. :::>eze groot-he?en staan imllers direct met elkaar in bet~ek.king

-k

=

p= 1 m

₌

p r 1 r 1 1 Î 12 -- 1 + 1 + k

-

k

:iJit c;eld. t ook voor ü.e ::irkels

e =

constant. Hier kunnen de wa2.rde van ö

worden-gebruikt. De bet~ekkingen tussen

~(1-s) b 1-s

van vc:;.n en van

ÎI.

deze grootheden zijn

8=

-

2 ₁₃ (1-s)

i3

=

2 _À 7t

b = tg ~ ·~1-s)

In figuur C 102 is slechts r

1 bijgeschreven bij de k cirkels, bij

de 6 cirkels zijn 8 en 13 (1-s) beide in graden aangegeven. Deze

1-s

p

(1-s) = 360 _• heet: de elektrische lengte in graden, 11_gemeter..

in de richting van c:e generator".

§ 4. De Smiti1koart.

J:;en .suortgeli j,._ nomoJ';ram o.ls de rechthoekige kaart is de Smi tl:>.kaart.

Llt')Ze ;)rn.i_ ttk2art i:> /!'.:etekend in het I' vlak. Da .. r /

r /

steeè.s jcleiner

d~n ·1 hlijft, is alleen het deel

jrj

<

1 van belang. De ~aart is dus rond. rlle voorkcmende toestanden kunnen op àeze ronà e kscèrt worden

•

afgebeeld; dit is ê&n vun de voordelen ten opzichte van de rechthoekige

kaurt. Deze beslaat iml!lers een geheel halfvlak. ~·;anneer

r

geschreven

·e

·

.

wordt als

r

=

k •eJ ' dus in poolco~rdinaten, dan zijn de co3rdinaten welke hier

r

aangeven, dus cirkels rorni te oc,r.sprong en lijnen door de oorsprong. Deze twee coërdinao.t bundeL; f'n:i jè.en elka&r loodre.::ht.

',·,anneer deze coÖrdinaatbundels dus mwr het z-vlak Horden overt;ebracht, àan zullen, w_anne1::r :net _'J er band tussen z en

r

analytisch i s, deze

bundels elkaar in het z-vlak weer loodrecht snijden. (conforme afbeeldinc;

De twee berekende cirkelbundels in het z-vlak staan dus loodrecllt op elkaar.

Omgekeerd zullen èe z-coÖrdinaten r en x uit het z-vlak. bij

transjiotmatie naar het

r

vlak .eveneens twee onderling loodrechte

coÖrdinaatbundels opleveren. Het verband tussen z en

r

is gegeven door

z-1

de formule 1' = en dit is dus analytisch in het rechter halfvlak

z+1

van z. Dus zullen deze twee coördinaatbundels voor r en x hier in

het

r

vlak ook onderling loodrecht staan. Dau,r de genoem~e

transfor-matie een MÖbius transfortransfor-matie is vertoont deze de cirkelverwantschap. Cirkels blijven bij transformatie-cirkels.

Rechte lijnen zijn dan te beschouwen als cirkels met oneindige straal.

De coördinaten :ï,n h~t

r

vlak voor constante r en x, zijn dus

cirkels welke elka."'.r onderling loodrecht snijden en welke allen door

het punt I'

=

1 gaan. Dit punt ~eeld t het punt z "= oo af, en door dit

punt. gaan ook alle r en x coördinaten in het z-vlak. In fig. C 103

zijn deze r en x coördinaten getekend. In dit

r

vlak zijn ook een

aantal k

=

/r {

=

constant cirkels getekend waarbij de 'waarde van m

gQschreven; immers m

=

1-k

•

( m

= - - .

1 )

1+k p

De coÖrdinaatbunàels •rnn z in dit

r

vlak kunnen snel gevonden worden

uit fLrmule C

310,

C

320

en C

321

z

=

1+

_1-r

r

r

+ jx

=

1 + u + jv 1 - U - j'T hieruit volgt 2 2 1 - u - v r

=

_{? 2} ( 1 - u )- + v

c

336 2 v x = - - - -_{2 2} (1 - u) + v

c

337

De cirkels voor constanten r vinden we uit de linker formule van

c

337

ZOcl'lt (u - r 1

f

r + bli jkû:.:.ar u = 0 r

n

=

_r 1 ₊ 2 + v r + 1 1 1 2

=

(1

c

338

c

339

is

14

-De cirkels voor constante x vinden we uit de rechter formule van

c

337 (u - 1

f

+ (v - - 1

f

-x dus R

=

l~

I

u ₀

=

1 v

=

1 0 x 1 2 x

c

340

Nu de coördinaten gevonden zijn, !-<:.unnen we nog vragen naar de

bij-schriften. De cc~rdina~tcirkels zijn r en x cirkels, en de

be--·

noeming is dus zonder meer duidelijk. In de rechthoekige kaart was de

benoeming van deze r - x coördinaten ook geen probleem. Gok hier is het

mogelijk R en X nn te reven bij de assen. Dan is de kaart niet universeel

maar alleen voor lijnen met i

=

50Q

0

kunnen vele waarden worden opgegeven,

bijvoorbeeld. In de k-richting

in plaats van k. Hierover zal

nog worden gesp~oken. In de 0 richting kan ook 1-s

À worden

opge-geven. In figuur C 103 is dit gedaan. Hier ~s dan s

=

0 gedacht. Men

berekent de z a~n de ingangslüer.amen van de lijn. Om ook impedanties

te kunnen bepalen van punten welke verder op de lijn

kende punt, is ook een schaal ( -

~)

aangebracht.

ligsen, dan het

be-/\.

Met deze Smith-kaart kan eveneens de z. van de lijn raet 1

l.

=

15

cm en zu

=

c

,38 -

j.0,7 berekend worden.

=

73

cm,

Hiertoe zoeken we weer z op; dit is punt A in fig. C 103- Daarna

1 u

lezen we (--) a.f o >i de buitenste schaal en tellen hierbij

À 1 -( ~ _L)

= (

À we vinden ,.,-~ ~) -._, l (- ) - 0 " ,.. - t L. '>65 e _}"· (..A.C.:.. --r A ~ .

4, 366. C.ie kunnen dit weer met n.0,5 verm!i:nderen)

•

.

k dezelfde gebleven is moet blijkbaar B gevonden

worden op eah k

=

constantcirkel. Jet punt B, tlat de

r

van de z.

1 l.

voorsteld !1ed't .lus dezelfde k n.ls A. De ( T )

2 van B is 0,265, dus het

punt B kan ~o~Jcn zevenden. ~e lezen af z.

=

3,

6

-

j 112. Dit is

aan-l.

merkelijk n;;u·,·:i~euriger dan net geval was bij de rechthoekic;e kaart.

Dit ve~.·r,cllil in nauwkeurigheid is een gevolg van het :~·eit, dat in

deze Smith-kaélrt punten met gegeven k, bij transformatie steeds

evenver van de oorsprong blijven. ~e zullen aantonen dat voor /z/

<

1

een evengroot ge oied be schik baar ïs als vo~r [ z 1

>

1.

Om dit duidelijk te maken zullen we de 1 z t == 1 cirkel naar het i' v::.2J'~

trnnsforme~"=n. Deze cirkel valt samen met een

e

constant-cirkel,

"

Daar het punt x

=

+1 r

=

0 en ~et punt z = -î en r

=

0 OOL op

deze rechte liggen zien we àus dat 11nks Vé.ln ie :;_~jn u

=

0 de

im-pedantie met / z 1

<

1 en rechts de impedan.tie.s mi;t j z 1

>

1 voorko:nen. De Smith-kaart maakt d~s een goed gebruik van de besc~i~bare ruimte.

~anneer grafische berekeninG~n moeten worden g2~~~~t id de Smith-kaart

daardoor nauwkeuriger.dan de rechthoekige ka~rt. Gok kunnen deze grafische berekeningen uitgevoerd worden met passer en lineaal, ~~en­

als in de rechthoekige kaart . De p~sserpunt moet nier echter steeds

ge-plaatst worden in de oorsprong, zodat de

_.

~ethode ie~s eenvoudiger is dan bij gebruik van de rechthoekige kaart De rect.tr,oekige kaart is voor theoretisch inzicht ecnter een wa_rdevol , u::~iddel~

§

5.

Admittanties. Uit de formule C 311

r

=

r

₌ dus 1 1 z - 1 z + 1 1

-

z 1 +

-

_z

-I'= J. y + volgt 1 1

-- -

z y

-

1 = ::: 1 1 y + 1 + z 1 1

c

'1Vanneer we üus op de .Sm.:_t!1-kaart niet het punt z orzoeken, tu:i. tr het

3

v.1

punt

y'

dan komen we niet in

r

maar in -

r

, dit

.

is dus diametraal .

tegenover

r

ten opzichte van het nunt .î' - O. Blij;;:b~t~~~ '.\:&.n de

Smith-kaart ook gebruikt worden om de reci0roke van ean com~lex getal te bepalen; y en z liggen radia<i.l symrnetr::.sch ten O)t:ichte van de oors:prong.

Wanneer men dus werkt met ad mi ttant i~::;, :LnpL:a-r,s VEln :net im:!,)eàan-ties, dan is de .3mith··kaart ook bruikb,Lcr. Immer;s de forn.:ule c;314

r=

r •

e -2 y (1-s)

u

kan ook geschreven worden

- 16

-zodat de transformatie van -

r

naar -

r ,

g~heel gelijk verloopt

u

met ~ie van +

r

naar

+r •

Alleen wanneer

r'

zelf moet worden

af-u

gelezen, zal bij het gebruik van admittanties met dit min~teken

rekening gehouden moeten worden.

§

6.

Berekening van de admittantie- verandering langs een lijn.

~e admittantie Y

=

0,004

i

j.0,0112 ohm. wordt aangesloten O? een

"'

_32,5

_{cm lange}

De golflengte

'

leiding van 50Q • Hoe grout is

langs de lijn gemeten is

8

cm.

~

=

32

g

5

=

4,0625.

0,0625. Tevens bepalen we

\'ie bepalen eer:::t

1

·::

e

nemen -''· de ingangs adl'!littantie? y

=

y _y 0

=

0,004 + j.0,0112

0,02

=

0,2 + j.0,56 mho.

"e zoeken cd_ t punt o·,, de kaE.rt op. Punt D op kaart C 103 .• ~.e lezen

1 ' 1

<:<f (-X-)D

=

o,oö4.

'iie vermeerderen è.it getal met

0,)625:

(~)E

₌

=

0,084 + 0,0625

=

0,1465. Dit punt wordt opgezocht voor dezelfde

k

=

cor.stant cirkel als D. '.'!e lezen hier af bij E:y

=

0,4 + j.1,24

zodat Y

=

0,008 + j0,0248 mho.

§

7.

Bron-aanpassing en lijn-aannassing.

Janneer een gegeven belasting wordt aangesloten o~ ee .. gefsven bron,

dan zal in het algeneen deze bron energie afgeven a<.n de bel-::.s::ir_g.

Daar praktische enert;ie-'oronnen steeds een eindige, vaak complex·~,

inwendige impedantie hebben, kan de bron geen oneindig Groot vercog. n

afleveren. fiien kan berekenen, d&t het maximum vermosen, dc.t de energie

bron ooit aan een uit'i.:endj tie i:npedantie kan af9even, oereikt wordt,

wanneer de belustingsimpedantie, en de inwendige impedantie toesevoegi complex zijn.

"ilanneer r1e dus een geg~:ven belasting via een

impeJantie-trans-format'or aansluiten op een gegeven energiebron, en c:e getransfor~eerde

belastingsimpeduntic, i.s toe1~evoegd complex me,~ de bronim:yed.nntie,

levert de bron de F,roótst mogelijk energie aan de belasting. V-~rQnder­

steld wordt hierbij,dat de impedantietransformator verliesvrij werkt. Hen noemt dit "bron-aanpassing".

Wanneer een l~nge leiding met een impedantie wordt afgesloten, ~ull~n

er op de lijn meestal staande golven optreden. Alle0n als de

er dus 1ü tslui tend lopende en geen staande golven op. Men kan aan-tonen nat het energietransport en het informatietransport langs een lange leiding het gunstigste is, wanneer de lijn lopen~ is afge-slo-:en. (Voor het gehele frequentiegebied, dat in het beschouwde geval belangrijk is).

0anneer een impedantie op een lijn moet worden aangesloten, plaatst men.daarom veelal tussen deze belastingsimpedantie en de lijn een illpedantietransformator. Deze impedantietransformator wordt zo-danig geconstrueerd dat de belastingsimpedantie erdoor wordt getrans-formeerd in de lijnimpedantiea Ook deze impedantietransformator moet verliesvri j 'lrerY.:er... Men noemt dit "lijnaanpassing" ~

Om een gegeven impedantie te transformeren in een andere im9e-dantie, zal de impedantie-transformator aan twee eisen moeten voldoen: het reële gedeelte èn het imaginaire gedeelte moeten twee andere

gegeven waarden krijgen. Om dit te bereiken moeten we van de

trans-formato~ dus ook twee grootheden kunnen kiezen.

Als beide grootheden de goede wn2rde hebben, dan zal aan de gestelde eisen voldaan zijn.

§

8.

Impedantie-transformatoren.

Gevraagd een impedant~etransformntor waarvan twee grootheden kunnen worden gekozen. Er zijn vele oplossingen. ~e beperken ons tot de oplossingen, waarbij golfgeleiders gebruikt worden en condensatoren.

t

L

j

C1 111. A C2 _{1/1. A} C3

1

I

1

Zo

L

I

I

C101. _C105 l2 C106 _c101

- 10 -"""' L2

...

.;;:; 3/1 ~

""'

c,1

T

lc2

J

/}

C108 C109 E L ~ Il

Ic

•

Il

I

!I

c

110

De figuren C 104 t/m C 110 g~ven een paar v0orbeelden. Gekozen kunnen

worden: de len~ten, welke met L aangegeven zijn, de ca]aciteiten en Z

0•

Deze i~)~dantie transformuto:·en hebben soms slechts beperkte ~Oielijk~eien. Ter illu.str<3.tie VL-ltl het gebruik van de Srnith-kao.rt zullen '.'iè de

trans-formatoren C 106 en C 110 bespreken.

9

9.

"Double stub tuners".

:.~ denken <ie lensten 1

1 en 12 instelbaar; we denken ons rechts de belas-ting z aangesloten en links de generator. Gevraagd àe ingangsimpedantie

u

zi te berekenen. Daar de kortgesloten lijnen 1

1 en 12 J:)arallel op de

l~jn zijn aangesloten, zullen we de Smith-kaart als admittantie diagram

gebruiken. ;,e ga:-;n uit van de gegeven admittantie y (fig. C 111). Door

u

de 9arallel sc~·w.keling van de kortgesloten v ~rliesloze lijn 1₁ kan nu deze afsluitadmitt&ntie veranderen van y naar een punt op de cirkel

. u

.

.

g

=

constant. Immers de parallel ITescha~elde admittantie is steeds zuiver imaginair. «a~neer we wensen dat de lijn naar de generator lopend is afgesloten en we veronderstellen dat deze lijn dezelfde karakteristieke impedantie heeft als de

+

1\ lijn, dan moeten we zorgen dat de impedantie rtH de-±- À

lij~

ligt op de cirkel g

=

1. Het transformeren door het parállel schakelen van een zuivere susceptantie

kan

de admittantie slechts over deze cirkel verplaatsen.

. À

;;·:elke gevolgen heeft de

4

lijn? \~anneer deze lijn is afgesloten met een gegeven admittantile Y~ , dan wordt de ingangsadmittantie gevon-den, door in het diagram het punt op te zoeken, dat

1e. op dezelfde k

=

constant cirkel ligt;

dat ó.

e

=

2 13 (1-s) groter argument heeft.

. '\ 2 '\ 7>60°

. (d . l /\ ) 2 iC /\ ./ 1 °QO

is, aar -s =

4

\.

~

,

:

e

= -

•

T

.

4

.

h

= - 0 •

2e. Dit

We moeten dus het purit opzoeken dat radiaul symmetrisch ligt met y~ • Om nu te zor-gen dat in deze opgave deze_ y ~ ligt op de cirkel g =- 1, _is in figuur C 111 een cirkel gestippeld getekend welke met de cirkel g

=

1 radiaal symmetrisch ligt ten opzichte van het midd·elpunt. Alle admittanties welke liggen op deze cirkel, worden

d~or

e e n + lijn getransformeerd.naar een punt op de cirkel g

=

1~

We kiezen daarom de lijnlengte 1

1 zodanig dat yu transformeert naar de punten B of

c.

Na de

~

lijn is deze admittantie dus getransfor-meerd naar D of E. Door geschikte keuze v~n de lijnlengte 1

2 kan nu

de ingangsadmittantie y

1 gelijk 1 worden.

Voor een dergelijke impedantietransformator is een belangrijke vraag: kan elke admittantie hierdoor op een gegeven lijn worden

aange-·,

past? Het antwoord op deze vraag is· afhankelijk van de gekozen impedantie transformator, en van de aan te passen impedantie.

We onderzoeken voor de transformator van figuur C 106, welke impe-dantie$ wel en welke

niet

kunnen worden aangepast.

Uit het voorgaande is gebleken, dat _. y _u eerst moet worden getrans-formeerd naar een punt op de cirkel B F C. Uit ri.guur C 111 blijkt dat dit slechts gaat voor waarden van Yu welke buiten de cirkel g

=

1 liggen. Wanneer Re <.YuJ

>

1 kan_ geen aanpassing verkregen worden. Admitäanties binnen het gearceerde gebied kunnen niet worden aangepast.

i~e kunnen ons nog afvragen welke admittanties door deze impedantie-transformator wel kunnen worden bereikt en welke niet. Daartoe belienken we dat door de eerste afstemmer 1₁ elk punt op de cirkel A B C kon worden bereikt. Door de

;

~

lijn worden de admittanties op de cirkel A B C allen getransformeerd naar een punt op àe cirkel D E G •

Deze cirkel D E G ligt met de cirkel A B C radiaal symmetrisch ten opzichte van het middelpunt F. We zien dat a.dmittanties, welke liggen binnen de dubbelgearceerde cirkel door de tweede afstemmer 1₂ niet kunnen worden bereikt.

Tenslotte kunnen we vragen of uit figuur C 111 ook een regel

blijkt, of een willekeurige waarde van yu een gegeven nadere waarde yi' door deze impedantietransformator, kan bereiken. We zien uit C 111, dat de punten I · en J symmetrisch lir:gen ten opzichte van F •

- 20

-Daaruit tolgt dat g. J.

1

iet groter kan ziJn dan , als g kleiner

groter d.s.n één i s bLijktf\i de regeluprecies

Jnn î is. .'iëc!meer g

u

eenóer te blijven. De laatste beperKing kun dus vervallen.

9 10 • . -:ic hui v·~rni e schro8f-aanp0:tcser.s.

Je imp0J~ntietransf0rmator ~elke in fig. C 110 is getekend wordt

veel gebruikt voor lijnaanpassing. Wanneer een admittantie y op de

u

uitgang wordt aangesloten, dan zal de admittantie L cm verder o~·de

lijn, dus ter pla~tse ven C li ggen op een p

=

constant cirkel. In figuur·c 112 is· deze yu gedacht in.het :punt

A·

Ter plaatse van de condensator is de admittantie g·elegen ergens op de cirkel ADCB af-hankelijk van de grootte van L. ~aar door de condensator slechts po-sitieve susc;ptanties aan de ~dmittantie ter plaatse kun~en worden toegevoegd, zijn de bereikbare &.dmittanties gelegen in het gebied dat in figuur C 112 niet cearceerà is. :;3lijkbanr is het :r::ur.t F dus steedc:; bereikbaar; als L zo gekozen wordt dat Je admi~tantie ter pleatse Vdn

de condensator gegeven wordt door het punt C dan kan door goed instel-len van de grootte van de condensator 1teeds het punt F be~eikt worden~

De lijn links kan dus steeds lopend worden aangepast. Voor lijnaan-passing is deze irupedantietransfcrmator dairom bij uits~e~ geschikt.

Ook voor bronaanpas:;:;ing kan deze im11edantie-'crans:forné.·,tor worden gebruikt. Niet elke udmittantie is echter bruikbaar. ~anneer we het .hoornvormig gebied ADG:ZBA buiten besc~10uwing laten, kunnen we een

eenvoudige regel geven, waaruit blijkt of een gegev~n Yu in een

ge-vraag~e Yi kan wor~en getransfor~eertl- Da~rtoe berekenen ~ede staande

golfverhoudingen p en P., welke ontstaan als we uchtereenvol~ena u l.

y

u en Y. op ééh lijn aansluiten ;velke d.ez.elfde Y heeft l. . . , r "1.ls àe lijn

welke voor de imped~ntietransformator wordt gebruikt. ;ïannecr P

<

P. dan is de gevraagde Y. zeker bereikbaë>r.

u 1 1

§ 1.1. Kwart .MY!!.bd~...1ri!näf'.01'~at~.

/ie bespre}~en nog d.e

T

transformator. /1anneer tviee ·lijnen met

verschillende golfweerstand op elkaar moet;!n worden aangesloten, en àe er.e is lopend af gesloten, dan kan men door het tussen plaatsen van een

h

1 1 - - + 1 LIJN 1

.,

Î ,·

In figuur C 113'zijn deze lijnen Z o1 formator heeft een lengte gelijk aan

À

e~

z

₀₃ getekend. De

"""1f"

i+"'

voor de frequentie

trans-welke

be-schouwd wordt. Hoe cioet Z

02 gekozen worden?

Als Z 7 lopend is afgesloten, zal de afsluiting van Z ? dus ohms zijn.

0> ry

o-~ LJo3

De gereduceer.-:i.e afslui timpeda.ntie is dan -₇- - en deze is dus J:'.eeel

daar Z

3 en Z _beide reëel zijn. De

impe~g~tie

aan het begin

der·~

. 0 oc: '+

lijn is ook reeel. Immers

~

lijn lengte is 180°

dr~&..ien

op

.

d~

·

·

Zio2 . · :·~ ·

Smithkaart. De gereduceerde ingangsimpedantie is dus .., Dé• J:n--·

.!J ~

gangsimpedantie zelf is dus 0.)

• r•

Li

o3 •

?

Deze moet nu gelijk zijn ac.;n

z

_o1''

.

dus '7

"-=

""'02 203• ""n 1 _{~· .} of

v

z

₌

z

2 01

c

343

o2

o···

)

Aan de voorwaarde

c

.3'+3 kan voor elke frequentie 1:ora~n voldaan. De formule geldt echter slechts voor de freque~tie wa::.rvocr de lengte val'!- de

impedantietr~naformator

precies

+

is. Voor r.lle andere

frequenties ontstaan in de lijn 1 een staande ~olf patroon. In hoeverre deze staande golven kunnen worden toegelaten, hangt geheel af va.n de toeJ:assing. lle zu.Llen veronderstellen dat voor Z

01 eer. staande

golf-verhouding van p = 1,4 toelao.tbaar is. De centrale frequentie v0À.heeft

0

troor lijn 2 een golf:J.engte À , en de lengte van lijn 2 is dus - •

0 ~

Gevraagd te bepalen de frequentieband waarbinne~ deze

p'

1,4 blijft. ~e gaan uit van de veronderstelling dat lijn 3 voor alle

fte-quenties lopend is. afgesloten en dat de golfweerstanden

z

01, :::;02 en

z

x

In lijn 1 is de staande golfverhouding .o ~

flectie coefficient

r

ligt binnen de cirkel met k

1,4 , dus :1-e ::-

e-=

1

r

1

= .

..e____:l

=

p +·1

1

Dez.e cirKel met k

=

b

en p

=

1, 4 is j.n figuur C i î 4 getekenä..

~ ;

ó

De :.iiddelli,jn is BC. Hoe verandert de 1ü tuatie bij l:· i!1 :iguur C 113,

als gevolg van de overgang van lijn 1 naar lijc 2? De i~pedantia ter

plaatse l is dezelfde ,voor beide; pijpen. Je r;e1·educeer :.~ ir:1ped•.::r,-:.::.e<;

ma~ec echter een sprong bij ? door de plotselinge veran~erinz v~n Zr.

v

<~anneer we ü·cts lie figuur C 114 opvatten 2..ls een in:l_)ed.<.:.r:tie -:liagra:n,

gereóuc~erd op•! n

1 , dan zullen alle gereduceerde impedanties een

.60·1 " . . . . .

factor veranderen als het di&gram na deze vera~aering 1mpe:lan~1e3

toont 202 welke op Z

02 zijn gereduceerd. Dus bijZP in figuur C 113 •

verandert de gereduceerde inpedantie een f.;;.ctor

~

als we van

:!.inks naar

rech~s

gaan. Als we deze fç.ct·::ir gelijk

._.9

2

~dezen,

dan komt

dus punt C in G en punt B in D terecnt. De ge:i1ele cirk·3l met BC tot

middellijn tr&nsformeert naar een gesloten kro~me door de punten D en G.

~anneer de gereduceerde impedantie direct rechts van P, ligt binnen

deze kromme zal in lijn 1 P ~

D en G is ook een cirkel.

i,4 zi2n. De gesloten kromne door

l

CIRKEL1

Dit kan worden aa.ngetoonci, met behulp van het z-vlak. In figuur C 115 is cirkel 1 getekend waarvoor p = 1,4. Door de verandering in l~jn

impedantie bij ~ worden alle op

z

01 gereduce~rde impedanties veranderd

~01 . .

met een factor -Z--' zodat ook cirkel 1 nu naar cirkel 2 transfqr.m.eert. 02

wordt uit cirkel 1 gevonden door deze punten'vanuit Zo1

Deze cir:\tel 2

dé oorsprong met de factor

-2- - =

3

te vermeaigvuldigen. De nu ont-02

s tane. figuur is dus de z-kaart op

z

02 gereduceerd. Wanneer cirkel 2 nu weer naar het

r

vlak wordt getransformeerd, dan zal op".'" nieuw een cirkel te voorschijn komen, daar de

r ...

z transfó:t-mati~

cirkel verwantschap bezit. De punten BF en C transformeren naar DE·en G

• 1

in figuur C 1 ~4·. De gesloten lijn door D en G is een cirkel, ti\et :pG ·als middellijn.

Voor de centraJefrequentie is de impedanti e bij P ohms. Op Z·

· o1

gereduceerd wordt deze z voorgesteld p

gereduceerd wordt z voorgesteld door

p

doo:r net punt F (rcO) ;, .

OJ\

fo

₂

E (r=3). Het punt E zal~.

verder langs lijn 2 transformeren naar het punt A. De impedantie welke daar aanwezig is heet

~

• Daar het punt E ligt op

h~t

punt

wa~r

'7

4

'02

; z \'Janne er dus , dus wanneer voldaan wor~t

aan C

343,

is aanpassing verkregen.

Wanneer echter de lijnlengte niet precies

-+

is, echt~r::~~~·a~ig

dat punt A transfor·meert naar een punt tussen H en I, dan zal-1 ·d~ ·; · 1 . gereèJ.uceerde impedantie in lijn 1 liggen binnen de cirkel 1 ~

àl:ls.;

.

zai

.

.

. . ~ '

P ~ 1,4. De gebruikte frequentie valt binnen de bruikbare f,requentie

À

band van de

T

transformator. De grensfrequenties worn.:.n _. "Qepa. ·a1d.,.'' , ·d·oor de punten H en !. Voor H is

L

L

~= 0,23, voor Eis

r

L

=

0,25" .~·--e~. · !<?Or

I is· ~= 9,27 dus 2 À 0

-x-

= 1 L

-

_0,25 0 0,92 À 0 en À2 = O, 1 25 • 0,27 '.L ·- 1 - ;O " 8'

Wanneer de voortplantingssnelheid der golven onafhankelijk van, ·d.e · frequentie is~ dan is dus

v

0

:: 0,92 Men zegt wel de

v v - v

2 2 1

en

-V-

=

1,08 zodat ~v~-

=

0,16.

o 0

bandbreedte is 16

%.

·.Uit figuur C 11'+ ziet men dat de bandbreedte !\roter YTOrdt wanneer cirkèl 2 dichter bij de oorsprong ligt.

24

-'!

'-'01

Dit be tekent dat -".- - niet te groot gekozen moe·.; worden, als een grote bandbreed-ce .::..02 belangrijk is. Om dit te_ bereiken ku.nnen ook

/-. ~

meerdere

4

transrorr:.:;toren ac'0ter elk.aar worde11. gepla::its.t.

:anne..:r men O.e impedantie-st<:..ppen dé..n zo klein lll gelijk wil hquden,

/...

moeten ze alle~'l. gelij;.c ~ekozen \"o,_~,'en. ·1anne::r tn:?e

T

transformatoren

achter elk~ar ~orden geko~en, kan men eenvoudig aantonen dat een extra

b~~lb~eeJte winst optreedt. De transformatoren a~ffen elkaars fouten

t~n dt.le c,. J~t ~s geillustracrd in fis. ~ 116 • . ierin is geen

impe-1.

x

>R

î

c

116

Vcor de centrc.le frequent.i l'.! \'!crdt 7.

03 getraJ·sformeerd naar

z,

door de

eerste

+

lijn met

z

02 al; .:-:-alfweerstand.

De tweede lijn heeft

'

Zo2

als golfweerstand en de •. e transformeert

Z naar

z

01, dit is de gclf·'•l:.!t::·~tanf van de aa~ te pa.men l ijn. Wanneer

voor een lagere frequ.enti e nu de

4

grote ... · is dan ci.e lengten van de

•

twee transfor.matoren, zal de im1'edantie minder. dan een halve cirkel

doorlopen.

z

03

komt

in

b terecht. D~ar de tweede transformati~ echter

8. 0

ook wat geringer is dan 1 0 zal toch omstreeks aanpassing worden ver-kregen.

$ 12. De verandering van k bij lijnen met kb!ine verli ezen.

;;anneer een golf zi ch voortplant langs gele· ders welke verliezen

he~ben, dan zal de voortplantingsconstante y complex worden

y

=

a. j ~

Hierdoor zal de vergelijking C 314 geschreven kunn n w rden:

r

·.of ook

,,

' ;..2 ( ex.

- r

~ e j · ) 1-s. · -2 ex. ( -s) e e -c' ~ _-s)

Blijkbaar is k

=

lr

nu niet langs e l i n constant

maar

;

,

k

=

k u • e -2 a. ( -s

c

344

c;

c

3

Wanneer we naar de generato- toe, langs d lijn g .an, neemt k ·a,f

de hocgste waarde k is bij de Jela ings mpedant~e.

u

Wanneer we dus op de 8 th-k ar de unpedantie-transformati., ' .. oor

1 • •

We bezien deze lopende golf voor S=S en s l • s

1) 2

=

i' •• e j w t -y s

u

₌

i-i. j w t - y l 1 e dus

u2

_{y (1-s) ( ( l + j ~)(1-s)}

~

= e

=

e

u2

_{a (1-s)} --:....

₌

_e

u1

26

-iianneer nu bekend is dat de lijn, bij lopende afsluiting M decibel per meter verzwakt dan moet dus

dus 20 10 log

=

M.(1-s) 20. a.. (1-s) 10 log.e

=

M.(1-s) (1 ) _ M.(1-s) a.. -s - - - -₁₀ k k u 20. log e 2 M(l-s)

=

e- • 10 20. log e

~

= (0,795

)M.(l-s) u M(l-s)

=

10- 10 1 M(l-s) = (10- 10 )

c

34?

Wanneer dus M en (1-s) bekend zijn volgt u.:.t formule C 347 direct de verandering van k langs de lijn. iie zien, dat

r

niet meer een cirkel doorloopt, wanneer de lijnlengte toeneemt, ffiaar een spiraal. Gaande naar de generator toe, neemt de k af: de s,iraal loopt op de Smith-kaart rechts om naar binnen toe.

Voor berekeni.ngen is het niet nodïg deze spiraal te volgen; "wanneer de boekverandering van

r

en de verandering van k beide, bekend .zi~n,·k~

de gevraagde

r

worden bepaald. Daar de

Smith-kaar~

in.1

dit

"

_.

.~~tO:~.g: ~.

~

.

.

sl"ech~s als

r

vlak is gebruikt is he't onverschillig of de 'a,n.!iere ··· ·:: coÖrdina.ten als impedantie of admittantie coördinaten gedacht ~jn• ·: . .

. . . '

...

~ ·.,

"

''

Wan.neer de lijn welke in figuur C 103 door tie punten D en ~··· ;; . .

wordt voorgesteld, b.i:j lopende afsluiting 3 db verl.ie~ ~ad gehad, dan. zou k = ltu (O, 795) ~

=

o,

j ku geworden zijn, zodat het

punt

E in E 1

geleg~n

had. _Daar voor deze lijn

i

·

= 4,866 was, ia

r

ie·ts

m~er da~

. .

,

negen maal rond het middelpunt gegaan, voordat de punten E res~. E

.::·

worden bereikt.

§ 13. De extra verliezen bij het opt~eden van staande golven.

Be~alve de veranderde ligging van het beeldpunt d~ impedantie, zijn ook de lijnverliezen van belang.

De lijnvt)rliczen al.s r;ecn st;s.&nde golven aam1ezig zij:i, worden bekend

veronderste:d" Hoe groot 1·torden de verliezen als

er

wel staande golven aanv:ezie: zijn? Door de grotere stro!'llan e.~ hogere s:pë.nningen

welite dan o:r:.i ·:.:.~ lijn staan zullen extro. Ve~liezen optreden. Wanne-~z:,

de lijn lang L;, zal de staande golf-vcrhoudinc langs cie lijn niet ·

constant zijn"

Om dit te berekenen zullen we gebruik maken van de v0lge~de

definities voor vermogens }. De indèx i betekent, dat het ver~ogen a~n

de irigang bezien wcrdt, de index u , 1at het verm0gen ean óe uit~ang

bezien wordt. P. is het on~encmen, F het afveleverde vermo~an.

1 . D U v

-De toevoeging (~) betekent, dat sle6hts het vermogen bezien ~orclt, v~c de golf welke zich in de richting van de bel~sting ~ocrtplant~ De

toevoeging (-) betekent, <kt slechts het ver:no;;::i::n be~ien 11cr~t van de golf welke zich in de richting v&n de gecerator toe voortplant; wanneer P+ en P positief zijn, wordt vermogen aan de belasting afgele-verd.

We zullen ~erst laten zien dat

P

=

P + P ·er. Pi =F. +P.

· u u+ u- l.+ i

-als Z reëel is.

0 p ₌

_t

_{R e} [ u+.

_r.•

J

vole;ens C. 303 + p ₌

_t

_{R e}

[A

ej wt -+ .AA .... p +

= -....--

2

z

-2 a. s • e p

=

0 2

·z

0 2a s • e ( ( l + j ~ )s

"

eve"nzo lï eri

c

304:

A* - j U) t -( a. +

z

•

e 0

. i\"e berekenen nu P met behulp van C 303, C 304, C 305. en. C 306.

P =

t

Re [ (U+ + U_)(I+ + IJ•]

j

P

)s]

=

t

~

e[

(A .-(ei+

j~)s

+ B. e . ( a. + j~)s)~ . - ; ; - e ( A•

_,,

-(a ~ j ~)s

-0

e ( a - j 13) s )

J

B*

28

-t

R

[

(

~:·

-2 a. s BB* _e2a.s)

=

e

_•

.e

_z

+ 0 ( A!B j.2 13s .;. J •• B* -j2 13s)] ;·7 e

z

e LJ 0 0

De eerste term is reëel; de tweede term is het verschil van twee geconjugeeràe grootheden, en is dus zuiver imaginairo

AA* . -2 a. s

P =

2Z

e

_22e

BB* 2 a. s zodat voor Z reëel geldt

0

0 0

p

=

p-l- + p

Het energieverlies in decibel voor een lijn is p 10 u

=

10. log ~ • 10. u + 10

Pu

log-p u + .r-. l.

- ·

:t"i. l.+ p U+

• T

l. +

•

P. l. + 1 P. l. P. l. + dus 'N =10. 10 log-p Pu u + + 10. 10 p 10 log

T+ -

10 log p ii=10. 101og P ~ l. p 10 U+

=

10. log - _P. 1+ 10. 1 olo g.

_P_i..,.;-~-P_i_-J

l.+ i + + [ 10. 101 og Pu +Pu + -p u +

c

348

De eerste term is ste!;)ds aanwezig, en hangt niet af van de reflecties.

Deze term hebben we re-eds berekend voor reflectievrije afsluiting.

~e twee laatnto termen samen leveren het extra verlies dat uls gevolg

:~·e.r r~!.lecties optreedt. Dit is blijkbaar:

a

10 2.

K ) - 10. _u log(1 - k )

i

c

349

·Ais dus k

11.en ki bekend zijn kunnen met C

349

de extra verliezen worden

·

·

§ 14. Kleine verliezen in korte lijnen.

\ianneer we de verliezen will0n berekenen van een kort stu!: li,;n

waari~ staande golven aanwezig zijn, dan i~ het mogelijk hiervoor ee~ een-voudige. methode te gebruiken. Het blijkt dat ~e iet verlies in decibel, voo:::- het ceval geen .staande golven a;.nwezi.g: zijn, ku:r.nen vermenigv'.11-digen met

2

'1+k

F = 1-k2

c

350

Deze methode gaat slechts op, wànneer het lijnstuk kort ~s, zodat

~lechts enkele procenten van het getransporte~rde vermogen gedissipeerd worden. Bovendie~ moeten de lijnverliezen gelij~elijk over de

aflei-dings- en geleidin~sverliezen zijn verdeeld, zodat

G Z

=

1 0 R1 .. , <.J 0

c

351

:::ioet zijn. Aan deze formule behoeft niet voldaan te worden wanneer

À

het beschouwde stuk n.""2 lang is. Het getransporteerde vermogen is

3t~eds constant gehouden.

De verliezen ir. een lijnstuk ds zijn

c

352

Git C

303,

C

304,

C

305,

C

306

en C

308

volgt.:

u

₌

_u

(1

+r

)

_{= ·}

_'--

. _e jwt-( a.+j 13) s _• ( 1 + r)

+

1u12

₌

uu·

₌

AA* e (-a. -jp)s .e (-. a.+j13)s (1

+r

) ( 1 +r )

.

=IA

12.

e-2 a.s fc1 _{+ u)} 2 _{+ v}

~1

=l,~1

2

-

-2 q.s ₍₁ 2 2 2u) e + u + v +

_, .. 12

-

... "

.

e-2a. s(1 + k 2 + 2u) I

₌

_I+

(1

-r )

=

-

A

_z

ej wt -(a.+jl3)s (1 - r) 0

j

I

1

~

l

~J ~

•

e -2 a. s ( 1 + k2 - 2u) 0

-~jO

---

.

-i~nnneer we tlit invullen in

c

352 vinden we

2 _-2 a. s • [ (1+k2 )(GZ 0 R1 _{. R,}

J

.

,

_{l·ll •}

e )+ dF

=

-r

ds _• +~ _{2u (G1 Zo- , zo) .} d Z . tJ 0 0 ....

';ianneer volda~;n wordt aan C 351 vervalt de tweede term tussen de haken.

~~·ar!neer niet aan C 351 wordt voldaan, maar een lijnlengte van

2À wordt bekeken dan wordt de bijdrage van deze tweede term bepaald door:

À/2

!

-2 a. s

e • u • ds

·.ïe maken twee benaderingen als v:e deze integraal nul. stellen. Ten.

t d d t -2 a. s t t t . ld . lli t t d

eers e oor a e cons an ges·e is. eraan moe me goe e

benadering zijn voldaa;.'l, omdat a. klein werd verondersteld. Ten tweede wordt u = k cos ( .

~s

+ q> ) gedacl:t. Ook dit is niet g.eheel wa.:cr, oi:idat k niet geheel constant is .• Da;;;r het beschouwde

lijnst~ü:

echter

~'

~

dus redelijk kort is, kunnen we deze benadering toepassen. 0e zien, dat de integraal nul wordt.

Zr l;>lij.i.t dus over

j

Aj2

e-2 a. s G R1 dPd

=

ds ₂

_z

(1+If

)(---2.

₂

z

_{+ 2}

z

) 0 0 0 Wanneer rl 1

«

1_{.0 L}

1 en G1

«

w C 1 dan blijkt de laatste f3.ctor met goede

benadering gelijk aan a. te zijn. BijRintegr&tie ov0r een

·

~

of

1 ~

een ande:t' kort lijnstuk als G ₁ Z ₀

=

_{,_,} 7 vinden Wd dus, ander voorwaarde

dat k niet verandert: 0

1 1

=f

· f

a. • e -2 a. s ds

0 0

Het getrans~orteerde vermosen is p

=

p + p

u u u

nu is P

+

zodat met

i'ie zien dat

-2 a. s e en P·

= -

.uu:

2Z 0 2 a. s e. 2al • e 2 a. s e

~nnneer we ciit invullen in de vergelijking voor Pd ~n we stellen k

=

k.

=

k dan vinden we u 1 ( 2 a 1 Pd=Pu. e - 1 ) .

c

353

c

354

:ii'e zien dat de ver:tiezen per watt getransporteerd vermogen toenemen

met de factor

~ :~2

• We .moeten nu nog· '1<=.ntonen dat ook het decibel verlies met deze factor verendert, wanneer k van nul tot k toeneemt. Het verlies in decibel is

10

D =-10. log

10 pd Fd pd

~ • ln (1 - p-):'101n 10. p-~~. 10 ln 10

101 _{og e} 1' ₁ • p _u

deze laatste benadering ga ut alleen op als P d «•Pi. Van deze veronder-stelling was reeds uitgegaan. Dus

..,,,,1 1+k2 JJ =1Cln 10 • (ec:;""' - 1). 1-k2 l'ianneer k ₌ 0 da.n is D : 0 D· ₌ 10

ln

10 (e 2CY. 1 -1) zodat 0 D

₌

D

_•

1+k2 1-k2

•

0

- )2

-§ 15. BepalinG van de reflectie coiffidient.·

Om de reflectie co~fficient te bepalen, welke een gegeven onbe-k.enàe impedantie heeft, als deze op een leid~ing wordt aangesloten, wordt veela.l gebruik gemaald van een staande golfdetector. Gevonden wordt dan 1e: d_e plaats van het minimum, 2a: de grootte vari. het r.iiniuum, 3e: de' plaats van het maximum en 4e: de groott~"? v~n het

Umax

:naximum. De verhouding U = p • Uit .p kan k ber ::kend wQr~en, met. de min

formule C 309.

De plaatsen van het maximum en minimum uit berekend kan worden. We berekenen afstand van het eerste minimum tot de

ligt;:en-\-

uiteen~

·

!_'.zod~t

Ä.

:.

~~

-

e~~

m . . ." .. . .

nog de waarde~ ; m·is d.e.

onbekende impedantie. Ter plaatse van het spanningsminimum is àe stroom maximaal. De impedantie is .daar reëel en minimaal. Dit impedantiepunt P ligt dus op de Smithkaart op. de lijn waar

r

= u

<

o. Om de

r

van de onbekende impedantie te vinden, gaan we van P uit, links om over een hoek

4

1t . : radialen. Daar k bekend was is hiermede de onbekende

r

gevonden.

1

Men kan ook dè afstand Àm uitrekenen tussen het eerste maximum en de onbekende impedantie. Da.:cr is de impedantie maximaal, en reëel, zodut dan moet worden uitgegaan van een punt op _àe Smit!'lkaart dat ligt op de lijn waar r = u > O. Veelal is echter het minimum nauwkeuriger te bepalen, zodat ~e eerste methode de voorkeur verdient.

l/Janneer tussen de staande ~olfmeter en de inpedanti_e nog een sttLt golfgeleider aanwezig is, dan kan de plaats tussen het eerste minimum en

de

impedantie miet worden gemeten. In dit gegal sluit men eerst de impedantie weJ,ke gemeten moet worden kort en bepaalt è.e pla,~ts van een minimum (P) .welke op de staémde golfmeter aanwezig is. Daarna ·;:ordt de kortsluiting verbroken.

De plaats van het eerste minimurr. (Q) in de r!hchM!lg van de generator uitgaande van P, wordt bepaald. De afstand tussen ? en Q is nu gelijk aan de afstand Il!: van de onbekende impèdantie tot het eerste :nini:uum.

Deze meth~de is ook uitvoerbaar met een open lijn, in pla~ts

van een kort~esloten lijn. Da•:.tr een open lijn vask nogal veel

stralingsverliezen heeft, wordt meestal de boven besch~even ~ethode ge-bruikt.

1.

§ 1$. De Dubbelschalen.

Bij berekeningen betreffende c;olfgeleiders zijn een aimtal ~:ro;..·t­ ~eden van belang, welke tiitsluitind functies zijn van k.