Een verzamel ing is een aantal elementen die door een bepaald voorschrift gegeven zijn

HERHALING.

N = natuurl ijke getal len: 0, 1, 2, 3,

Z = gehele getal len: ~.,_._~-3. -2. -1, o, 1 , 2, 3, . ... ...

Q = rationale getallen '.~? '=-, -3- 5/2, - 34R32, 0, 1 , 3, 7, . . .. . . R = reeel getal len: -3, - 5, - 2. - 21 , 0, 7, ~, 4, ...2 13 2

Enkele begrippen uit de verzamel ingenleer.

--- ---

Een verzamel ing is een aantal elementen die door een bepaald voorschrift gegeven zijn.

Voorbeeld 1 : ~ 0,1,2,3,4 (eindige verz.) Voorbeeld 2: ~x/x is even} (oneindige verz.)

Een verzamel ing kan grafisch voorgesteld worden d.m.v. een Venn -diagram.

~ = q ~,1,2,3,4~ .1

~ \ 0 .2

.3 .4

2 is een element van V: 2 E V 5 is Been element van V: 5 ~ V

Het begrip doorsnede en vereniging:

--- ---

V n W doorsnede van V en W V U W vereniging van V en W

Voor c geldt: c E V n c~ W ~ c~ V /1 W

A ls voor een element x geldt: x E V v x E Wc§~ x E V U W

Het begrip relatie en functie.

--- ---

Een relatie tussen twee verzamel ingen is een voorschrift dat aan elk element van de ene verzamel ing een element van de andere verzamel ing toevoegt.

~29~ ~6~

Voorbeeld 1: al le l / alle getrouwde R. vrouwen

mannen _._-- van

van

Venlo . I Venlo

~ ~_ "~.. i

R: voeg aan elke man zijn vrouw en gel iefde toe.

Voorbeeld 2:

R: voeg aan el k element van u ?~:Jn -~b~ol u~e~ wa~rde`~'~b~. ~t. -~ . ~ ~ "'

Voorbeeld 3~ Rel. : voeg aan elk getal van R zijn kwadraat toe.

Door een relatie worden er paten gevormd, die een nieuwe verzamel ing vormen: Relatieverzamel ing.

ad voorbeeld 3. R = ~~ -3,9)~ ~3,9)~~1,1); ( 2,2); ...

De verzamel ing eerste elementen van de paten vormen het domein: D~

De verzamel ing tweede elementen het bereik° B R

Een functie is een relatie waarbij elk origineel slechts een beeld heeft.

Voorbeeld 1: R = ~(x1,y1); (x2,y1); (x3,y1); (x1 y2)~ geen functie want x1 heeft 2 verschi ll .beelden.

Voorbeeld 2: R = ~ (x1,y2); (x2,y1) ~ wel een functie.

Voorbeeld 3: R = ~(x,y) / y = x2 ~: wel een functie ( / betekent waarvoor geldt) Voorbeeld 4: R = ~(x,y) / y = ~ x x E R+ ~ wel een functie.

Voorbeeld 5~ R = ~(x,y) / x2 + y2 = 25~ geen functie.

Begrip Interval zie Boek.

_~ \ 2 R.

. ,~i .fl

. sof ( un ~o ~ 6f 9e 9V91 3 i $Ott 9f0"I~ - f191/9 ~~rl fl

De

--

~ ~ X ~ ~y 3 ~ "3~~

x ) ~v2 2 _ nverse van ee = ~(y ~ ~ 1 ~~~~ ,

De inverse van een Relatie (Rinv~ vinden we door de paren van de relatie om to keren~

D r = B r inv.

g = p r inv.

r

D ~ = Binv.

B ~ = DRinv.

'`~ ~~x3 y3)

Voorbeeld 2: R = ~(x,y) / y = x2n x E R R inv = ~ ~y~x~ ~ y = x2 nx E R~

De inverse -van een functie.

De inverse van een functie Levert niet altijd wederom een functie op.

Voorbeeld 1: f = ~(x,y) / y = x.. ~; enkele elementen zijn (1 ,1)(-1,1)(0,0)2

Door de functie to inverteren krijgen we de verzamel ing

(1,1)(1,-1); . ... .. wat Been functie is (2 originelen gel ijk).

Voorbeeld 2: De inverse van een functie f is wel een functie als bij de oorspronkel ijke functie elk beeld slechts een keer voorkomt.

f = ~ (x, Y) / y = 2x + 3 ,~ (;`I' i nea is r~ fur~et i es) —`

f ine = ~ ~Y~x) / y = 2x + 3J

Omdat het eerste element van een paar op de x-as wordt uitgezet schrijft me t1 voor f~nv.

of - —.

De grafieken van f en finv Zijn elkanders gespiegelde t.o.v.

de l ijn y = x.

3

(as itanu~~~~a~ i ari i~)

;~ersLe graaasruncLies. ;

Eerste graadsfuncties zijn functies van de vorm.

y =mx+n of fx =mx+n

~ .r .

m richtingscoefficient = -~o~..-oc o ~,~~ go° y ,~~«>b -~.r.c~o .-coo ~ of ~ o -~ -Ea,,,~ a <o -~ r- c ~o

d d

Evenwijdige l ijnen hebben dezelfde richtingscoefficient.

Voorbeeld 1: y = 2x - 6

Bepaal snijpunt X-as:

Voorbeeld 2: Lijn door 2 punten

L ijn door (2,1) en (4,6) 1e oplos

y2 - y1 6-1 5

►'. c = tanv(= X2 _ X1 4-2 2

y =mx+n Y =2x+n

Lijn door (2,1) : 1 = 2 2+n 1 =~5+ n

n =-4 ~; y=2x- 4.

2e oplossing: y = mx + n

Door (2,1) 1 = 2m + n Door (4,6) ~ _ ~m + n

-5 = -2m , ,

m =2 ~ n=-4~~ y=2x-4

De inverse van een eerste graadsfunctie.

~ ~

Voorbeeld 1: f x - 3y + 6 = 0 - - - . ~ L ~ v~. va v~ -~ ems. ~,,.~.

7

f ~ n~ rechtstreeks uit f to vinden door x en y to verwisselen.

f x-3y+6=o

f ins y- 3x+6= 0 Voorbeeld 2: f y = 3

f inv x = 3

Voorbeeld 3: f y = x f inv x = y

Voorbeeld 4: Van welk 1e graadsfuncties zijn f en f~ n~ hetzelfde ? De functies waarvan de grafiek samenvalt met de l ijn y = x of loodrecht staat op de l ijn y = x

Dit zijh,: 1e y = x

2e y=-x+b

5

0 2 /~ ~0~2) ~2~~)

3 3 (3,3) (3,3)

-3 7 C -3,1) X1, -3)

-6 0 (-6,0) (0,-6)

DE MODULUSFUNKTIE.

Onder de modulus of absolute waarde van een getal verstaan we, op de getallenl ijn, de afstand van dat getal tot de oorsprong.

-2 -1 0 1 2

/2/ = 2 /0/ = 0 /-1/ = 1 / - 2/ = 2 We zien dus:

/2/ = 2

Dus als a > 0 dan /a/ = a Dus als a ~l 0 dan /a/ _ -a

I n het algemeen geldt dus: /x/ = x als x ~ 0 _ -x als x 0 Dus geldt: /x-2/ = x-2 als x > 2

_ -(x-2) als x ~ 2

/x2-9/ = x2-g a 1 s x> 3 v x C -3

Opmerking x2 = x als x ~ o (3) 2 = 3

Dus geldt: x2 = /x/

Vergel ijkingen en ongel ijkheden.

/ax+b/ _ /cx+d/. Algemeen /a/ _ /b/

A ls /a/ _ /b/ dan geldt: a = b v a = -b Los x op uit: /x-3/ _ /2x-5/

/x-3/ _ /2x-5/

x-3 = 2x-5 ~ x = 2

Voor Welke x geldt: / ~ x-3/ > /2x-5/

Werkvolgorde:

1. De gel ijkheid oplossen 2. Teken de grafieken

3. Ongel ijkheid uit de grafiek aflezen.

/ 2x-5/.

-3/

~ 8/3

Voor Welke x geldt:

/x-2/ > /x2-1/.

1e. /x-2/ _ /x2-1/

x-2 = x2-1~ x2-x+1 = 0 geen oplossing

x-2 = -(x2-1).~ x2+x-3 = 0 x = -z+Z t3 v x = -Z-2 13

2e.

/x-2/.

~ V13 <~~ ~ — z+Z1T3t J

A ls /a/ = b geldt: b ~ 0

a =b v a= -b.

Los x op uit: /x-3/ = 2x-5.

7

Oplossing: 2x-5 ~ 0 e~i x > 2,5

x-3 = 2x-5 x = 2 (vervalt).

Voor Welke x geldt: /x-3/ ~ 2x'5

/ x-3/ < Zx-5 voor x ~ 8/3

Exponentiele functie.

f (x) = aX met a~ 0 n a _# 1 a = 2 f (x) = 2X Df = 1R

B f = 1R+

f (x) = 2"

x o 1 - 1 -2 f (x) 1 Z 1 1 2 ~+

x f (x) g (x)

-2 4 4

-1 2 2

0 1 1

1 2 ~2~

2 4 4

x

A ls a > 1 grafiek van f(x) = ax is monotoon stijgend.

A ls 0 ~ a C1 grafiek van f(x) = aX is monotoon dalend.

Verband tussen de arafieken:

De grafiek van a X en a-x zijn elkanders gespiegelde t.o.v. de y-as.

De grafiek van ax en (a) x zijn ook elkanders gespiegelde t.o.v. de y -as.

g (X) = 3X

x 0 1 -1 -2

,g(x) 1 3 1 1

3 9

0

Logaritmische functies.

Eigenschappen logaritmen log a b = log a + log b log b = log a - log b

1 og a re. = rz 1 og a

a log b = log b log a f (x) = aX (a > 0 n a ~ 1)

f ~= ax f inv = x = aY

log x = log aY logx=y logy

log x y log a

Y = a ~~9 X

Dus a gog X = y ~ aY = x

f y= 2 logx Bf=R

D f = R+

y = 21og 1 = 0_want 2~ = 1 y = 21og 2 = 1 want 2~ = 2

f (x) = ax alle grafieken door (0,1) f~nv = a log x al ien door (1 ,0) f (x) = aX en f~~~~ = a log x:elkandersgespiegelde t.o.v. de lijn y = x

m

y = 21og ~ _ - 1 want 2 -~ _ ~ 2 2 r1~1-~X /

Exponentiele vergel ijkingen.

Los x op uit:

1) 3x = 9~3 3x = 32 ,3Z

3" = 352 ~ x = 5/2

2~ 3x+2 _ 5

log 3 x+2 _ log 5 ( x+2) log 3 = log 5 x+2= ~og3= 31og 5

x = 31og 5 - 2 (x = dog 3 - 2

3 ) 4 3x-1 _ 9 x+2

l og 43x- ~ = log g X+2

3x log 4 - log 4 = x log 2 + 2 log 9 x (31og 4 - log 2) = log 4 + 2 log 9

log 4+2 log 9 ,,, .x = 3 log 4 - tog 2 "'

4) g" ^- 3" - 2 = 0 9 = 3 2 9" _ ~ 3 Z) x Noem y = 3x y2 - y -2 = 0

= 2 3X = 2 x = ~ og 2

Y log 3

y = -1 3X = -1 geen oplossing

Exponentiele ongel ijkheden los je op door:

2 _ (3")

1 ) De gel ijkheid op to lossen 2) De grafieken to schetsen

3) De oplossing van de ongel ijkheid uit de grafiek of to lezen.

1 1

Logaritmische vergel i jkingen.

Bij logaritmische vergel ijkingen is het van belang eerst het domein op to sporen.

Lox x op uit:

1 ) log (x+2) = log (2x-1).

Voorwaarde: x+2 > 0 n 2x-1 ~ 0

x >-2 ~ xJz ~x>2.

Oplossing: x+2 = 2x-1 ,~ x j 2 -x = -3 ^ x > Z

x = 3.

2) log (-x+1) + log (2x-1) = log 2 Voorwaarde: -x+1 J 0 n 2x-1 ~ 0

-x ~ -1 .• 2x > 1 x ( 1 .• x > Z

Z C x < 1

Oplossing: log (-x+1) (2x-1) = log 2 Z < x ~ 1 -2x2+3x- 7 = 2 ~ '-z < x < 1

2x2-3x+3 = o ~ Z ~ x ~ 1 Ov=qS.

3) 21og (x+2) = 41og (x) 4~ og x ., _ log x _ log x log 4 2 log 2

= Z. dog 2 = 2. 21og x = 21og 1l—x'.

Voorwaarde: x+2 > 0 ~ x > 0 x > -2 .• x> 0

x > 0

Oplossing: 21og(x+2) = 21og ~x x+2 = ~ f x n x> 0

x 2+4 x+4 = x ~ x> o x2+3x+4 = o ~ x ~ o Ov = ~

x > 0

Logaritmische ongel ijkheden los je op door:

1 ) De gel ijkheid op to lossen 2) De grafiek to schetsen

3) De oplossing van de ongel ijkheid uit de grafiek of to lezen.

7 2

Voorbeeld. f (x) = 2 log (x - 3) Df= ~x/x)3~

Bf = R.

Snijpunt x-as: 2 log (x-3) = 0 x-3 = 1

x = 4 Sni

Opmerking: f (x) = aX heeft een horizontateasymptoot.

f (x) = log (az+ b) heeft een vertikale asymptoot.

Deze vind je door a z + b = 0 to stellen.

Wat is de inverse van f y = Z loq (x - 3) f i nv ~ x _ 2 fag ~y - 3)

21og ~Y - 3) = x 2x = y - 3 Y = 2x +3

f y=2"+3

f inv

x=2Y +3 x - 3=2Y

log (x-3) = log Zy log (x-3) = y ~ og2

Y _ log ~X'3) y = 21og ~x-3)log 2

13

Ongel ijkheden.

Exponentiele en logaritmische ongel ijkheden hoef je alleen grafisch to kunnen oplossen. (3x ` 31-x~

Ongel ijkheden van de vorm: f (x) > 0g x ` (f (x) en g(x) van hooguit de 2egraad;

Voorbeeld 1: x - 3 2x + 8 Teken overzicht teller:

Teken overzicht noemer:

Teken overzicht breuk:

0

3

- - - - Q + + + + + + -4

-4 3

X 3 > 0 voor

2x + 8 ____: 1) x ~ 3 v x < -4

2) c3 , ---~~ v ~E--, - 4 ~

Voorbeeld 2: x2 - x - 2 ~ ~ , 2x`+x- 6

Teken overzicht teller: + + + + 0 - - - - 0 + + + +

-1 2 x2-x-2=(x-2)(x+1)

Teken overzicht noemer: + + + 0 - - - 0 + + + + 2x2+x-6= (2x-3)(x+2)

-2 1 ,5

Teken overzicht breuk: +++ ? - - 0 ++++++ ? - - 0 ++++

~ ~ ~ ~

- 2 -1 1 ,5 2

2

2x~ -6 ~ 0 voor: Ov ~x/1 , 5 < x < 2 V -2 < x <-1

Voorbeeld 3= x2 - X ~ 4 (ongel ijkheid op nul herleiden).

2x2 + 3x +5

x - x 2 _ 4 > 0 2x2 +3x+5

14

x2 - x 4 (2x2 + 3x + 5) ~ 0

2x2 + 3x +5 2x2 + 3x + 5

x2 - 8x2 - x - 12x - 20 ~ ~ 2x2 + 3x + 5

-7x2 - 13x - 20 ~ o 2x2 + 3x + 5

Oplossing: volgens voorbeeld 1 en 2.

,'

~,.

-,

i

1 ~ ~1

~ 1 y

`~ 17

._

~f ~ 0 ,f

L~

j V

15

i i

L imieten.

D iverse schri ifwi ize van functie:

1 . ) f s ~ ~x~Y) / y = x2 2.) f y = x2

3 • ) f f (x) = x3 4 . ) f x --► x3

f (x) = 2x + 6 x - 3

a 1 s x ---+ ~ dan nadert f (x) tot 2

2x + 6 _ 2 + 12 x-3 / Zx + 6 ~ 2

X 3 X-3 2x - 6

1 2 door x voldoende groot to kiezen kunnen we 12 ~0 klein maken als we wi llen.

x- 3

S tel_ x~3 < ~ x-3 > 1 12 f.

( ~ is zeer klein)

x-3 > ~E x > ~~ + 3

12 C 0,00001 . x- 3

12

" ~ O,0000l + 3 x > 1200.003 2x + 6 _ 2 + 12 ~ 2

x-3 x-3

Stel E: 0,00001

Al s x -~ ~+ dan f (x) ~ 2 A 1 s x ---~ ao d a n f (x) -~ 2 We_schri~v_en_ -- --- - ~ ~ ~ m 2x+6

~,x-s•o x-3 2 i _.

m

Als x --~ - ~ dan f (x) T 2.

A 1 s x --~ -~ da o f (x) --~ 2.

l im 2x + 6 _ 2

X-e-~ X - 3

Samenvattin

l im 2x + 6

~ _

Hoe bereken je: l im f(x)

x2 2x

a) lim x2 - 2x l im x3 x2

x --~ ~0 2x2 + 3x x-> o0

2x2 + 32

x x

2 ~ ~ 1 i m 1 - x _; 1 ; -~ ~ 2 + 3 2 '

x x ' '

x

b) lim x l im x

x -.~ ~ x- 2 x-9.o x _ 2 x x2 2

l im 1 ' _ ' 1 ''

x ~~ ~ • ~

~ -2 ~ ~ x2

A ltijd delen door de hoogste macht van de noemer.

_ _ L imieten voor x ----~ a.

Onder x --> a verstaan we dat x zowel van de boven- als van de onderkant Haar a kan naderen.

Onder x ~ a. Verstaan we dat x van de bovenkant tot a nadert.

Onder x T a. Verstaan we dat x van de onderkant tot a nadert.

l im l imiet.

x --~ 5

l im rechter l imiet (Hader 5 van rechts) x ~ 5

t im l inker l imiet (Hader 5 van l inks) x ~ 5

77

. 7 ~fI190 fl 9

Voorbeeld 1: f(x) = x + 2

Voorbeeld 2: f(x) = 2x - 10 x+6

f(5) _ ~₁₁ 1 im f(x) _ ~

x -~ 5 1 1

f (5) _ ~~ = 0 1 i m f (x) = 0 x ~ 5

Voorbeeld 3: f(x) = 3x - 6 _ x f(5) = 0 = bestaat niet

= 5 =______

wat wordt f(x) als x in de beurt van 5 wordt genomen.

wat is l im 3x - 6 _____= x -s 5 x - 5

x = 5,1 f(5,1) = 0~~ = 93

x = 501 f~5,01) _ ~~o~ = 903 x = 4,99 f(4,99) =_90~~ = 807

l im 3X -

x -~5 x-56 = bestaat niet

Voorbeeld 4: f(x) = x2 - 8x + 15

wat is:

x2 -3x- 10 l im f(x) x -~ 5

f ~ 5 ~ _ 25-40-15 = ~ = bestaat niet 25-15-10 0

1 i m x2 - 8x + 15 x -~ 5 X2 _ 3x - 10

6 l im (x-5) ~x-3) x ---~ 5 x- 5 x+2 l im x - 3 _; 2

x --~ 5 x+ 2 -' 7 '

7 8

Voorbeeld 5: f(x) = x2 - 8x + 15 x2 - lox + 25 l im x2 - 8x + 15

x --~ 5 x2 - 1 ox + 25

= l im ~X-5) ~x-3) x -~ 5 x-5 x-5

f(5) _ ~ = bestaat niet

_ l im x --> 5 x- 5 x - 3 2 = bestaat niet ( 0 )

Het oplossen van: lim f(x) x -s a

1e) f(a) = c (constant getal) l im f(x) = c (Vb. 1) x -a s~.

2e) f(a) = 0 l im f(x) = 0 (Vb. 2) x -~ a

3e) f(a) = 0 l im f(x): bestaat niet (Vb. 3) x --~ a

4e) f(a) _ ~ l im f(x) : bestaat wel (Vb. 4) x --~ a

l im f(x): bestaat niet (Vb. 5) x -~ a

Goniometrische l imieten.

Voorbeeld 1: Xl i~mo si3x3x (f (o) = S 'o ~ bestaat niet) a 1 s x ~ 0 dan 3x -~ 0

l im sin 3x l im sin 3x x —+ 0 3x — 3x --~ 0 3x

= l im p --> 0

Voorbeeld 2: l im sin 2x l im sin 2x 2x x -~ 0 2 x -> 0 X 2

x 2x x"

xl--~ 0 S 2x 2x x X bestaat n i et want l im -~ bestaat niet.x

sin L P

1g

Voorbeeld 3: l im sin 2x l im sin 2x 2x

x —~ o x-3 — x—~ 0 2x x-3

1 im 1 0 = ~0 x -> 0

1 s ing 2x Voorbeeld 4: l im tan3 3x tan, 3x tan 3x. tan -3x 3 1

x -~ 0 x s i n2 2x x--~ 0 3x 3X 3x . 27x X .

l im tan 3x tan 3x tan 3x 2x3 1 2x .2x x -~ 0 3x 3x 3x x s i n 2x ' sin 2x

1 4x2

l im tan 3x tan 3x tan 3x 2x 2x 27x3

x --~0 3x 3x 3x ' sin 2x' sin 2x 4x 3 ,

27 _ ~ 27

Voorbeelden.

1 ) l im x -~ 2 x - 2 - COx - 3 ~ bestaat niet.

2) l im 2x4 + x2 lim = x (2x3 + x) x -~ 0 x3 _ x2 x --~ 0 X ~ XZ _ x~

_ l im 2x3 + x _ l im = x (2x2 + 1)

x -~ 0 2 x -~ 0 x x- 1

x - x

l im 2x2 + 1 _ _ 1 (na invulten van x = 0)

~ -~ 0 x - 1

3) t im 10 - x - 3 bestaat niet.

x -~3 3-x

20

4) 1 i m x x( x+ g+ ~g - x)

x --~ 0 -

x +g - 9 -x ( x+9 - 9 -x) ( x+g + 9 -x)

1 im x (~+ 9 +Vg - x) _ l im x ( x + g + 9 - x) x -~ o x+ g - g- x - x --3 0 2x

x --~, 0 2 - 2 _

21

Her

Uit deze eenheidscirkel is of to Leiden dat:

tangy - sin a sin2a + cos ta = 1 cos a

s in x = sin (x+k.2~) sinus heeft een periode van 2 ~ rad.

cos x = cos (x+k. 2~r) cos i n:us " " " 2 ~r rad.

tan x = tan (x+k.~r ) tangens " " " " ~r rad.

s in (~r-x) = sin x cos (~r-x) = cos x tan (~r-x) _ -tan x

s in (-x) _ -sin x cos (-x) = cos x tan (-x) _ -tan x.

Som en verschi lformules.

s in p + sin q = 2 sin Z (p+q) cos z (p-q) s in p - sin q = 2 sin 2 (p-q) cos Z (p+q).

cos p + cos q = 2 cos Z (p+q) cos Z (p-q).

cos p - cos q = -2 sin Z (p+q) sin 2 (p-q) . s in (a+(3) = since co s(3 + cosy sin(3

s in (a-(3) = since cosh - cosa sin(3 cos (a+(3) = cosa cos( - s i na s i n(3 cos (a-S) = cosa cosQ + since sing.

22

1

y

-/

tan x = sin x is cos x

n iet gedefinieerd als cos x = 0.

Dit geldt voor

x =g0° + k. 180° ( u/2 + k 7i ).

Onder periode verstaan we "het gebied" waarover de grafiek zich precies een keer herhaalt.

Periode sin x is 2 i~' rad. of 360°

Periode cos x is 2 T rad. of 360°

Periode tan x is ~~ rad. of 180°

23 f (x) = sin x

f (x) =cos x

Vergel ijkingen.

I . sin v(= c

A lso(= x° voldoet, voldoet eveneens 180~x want sin (180-x) = sin x.

Oplossing: of = x° + k.36o (periode 360°) a = 180-x + k.360.

Voorbeeld: sin (2x-30) = Z

2x-3~ = 30 + k.36o x = 30° + k.18o 2x-30 = 150 + k.36o x = 90 + k.180 cosol= c

Oplossing: aC = x° + k.36o (periode 360°)

Voorbeeld: cos Zx = 2

zx = 45° + k.36o x = 90° + k.72o Zx = -45° + k.36o x = -9~° + k.72o tanoC= c

Oplossing: o(= x° + k.180° (periode 180°) . Voorbeeld: tan 3x = 1 met o 1 ~ < 360°

3x = 45° + k.18o x = 15° + k.6o°

De juiste waarden zijn nu: 15~; 75~; 735°; 795°; 255°; 375°

(k = 0, 1 , 2, 3, 4~ 5)

25

I I sing =sin (3

Oplossing a = (3+k.36o°

~a = 180 - Q+ k.360°

Voorbeeld: sin x = sin 2x-60°

x = 2x-60 + k.360

x = 180 - (2x - 60)+ k.360

-x = -60 + k.36o x = 60° + k.360°

3x = 240 + k.36o ~ x = 80° + k.12o°

cos a= cos (3

Oplossing: a = ~ + k.360 a = -Q+ k.360

Voorbeeld: cos Zx = cos (x-10°)

-Zx = -10° + k.360 x = 20° + k.720°

Zx = 10° + k.36o° x = 23 + k.240°0

tan a = tan

Oplossing: a = (3 + k.180°

Voorbeeld: tan( -x) = tan 2x

-3x = k.180 x = k.60°

r_r~,~r~i,on

Hetgeen voor de sinus geldt, geldt eveneens voor cos en tangens met dit verschi l dat de tangens een periode van 180° heeft:

26

f(x) =sin x g (x) = 2 sin x

Daar g(x) = 2 f(x) worden de funktiewaarden dus s teeds 2 maal zo groot.

f(x) = sin x g (x) = sin 2 x.

S tel 2x = y dan g(y) = sin y.

Omdat de sinus een periode heeft van 360° zal , als we y over 360° varieren de kromme precies een maal voorkomen.

Daar 2x = y zal x dus slechts over 0

32~ = 180° hoeven to varieren. De periode is dus 32~ = 180°.

A lgemeen: 0

g (x) = sin ax heeft een periode van Sao

f (x) = sin x

3 1

Daar g(x) = 2 + f(x) ont - staat de:grafiek van g(x) door die van f(x) over 2 eenheden Haar boven to schu'iven.

g (x) = s i n (n - 30°)~ s i n (x - ~ ) De grafiek van g(x) ontstaat uit die van f(x) door de grafiek van f over 30°

Haar rechts to schuiven.

A lgemeen:

g (x) = sin (x + a°)

a positief --s over a° Haar l inks a negatief ~, over a° Haar rechts.

A lgemeen: f(x) = a sin (bx + c) + d.

Periode: 360°

b

Horizontale verschuiving: over b ~J'-haar l inks of rechts.

Ampl itude: deze bedraagt a

Vertikale verschuiving: over d Haar boven of beneden.

2 7 g (x) = 2 + sin x.'

Voorbeeld: f(x) = z cos (2x - 60°) + 1 . Periode: 36~° = 180°.₂

0

Horizontale verschuiving: 60 = 30° Haar rechts.

f (o) = 2 cos (o - 60°) = 2. cos 60 = Z z = 4.

-i

-2

S

Grafieken van goniometrische funkties.

Gegeven f(x) = sin x g (x) = sin 2x

h (x) = sin (2x - 60°) .

Bereken de snijpunten met de x-as.

Teken de grafieken

f (x) = s i n x= 0 fi x= k. 180°

g (x) = sin 2x = 0 2 x = k. 180° ~ x = k. 90°

h (x) = sin (2x - 60°) = 0 2x - 60° = k.180° ~ x = 30° + k. 900

f (x) = s i n (a x+ b) + c dat: 0

de faktor a de periode verkleint tot 3a~ (frequentie).

de faktor b de grafiek versohuift Haar l inks of rechts n.l . als b positief is: a Haar l inks

0

a ls b negatief is: a Haar rechts

de faktor c de grafiek in vertikale richting verschuift.

29

I n het algemeen geldt dat als gegeven is dat: