Analyse: van R naar R
nhoorcollege
Differenti¨eren en continu¨ıteit in Rn(17)
Gerrit Oomens
G.Oomens@uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Differentieerbaarheid tot nu toe
Verband tussen afgeleides
Zij f : Rk → R` een (totaal) differentieerbare afbeelding.
Dan is f0(~a) een lineaire afbeelding Rk→ R` met matrix
f0(~a) =
D1f1(~a) D2f1(~a) · · · Dkf1(~a) D1f2(~a) D2f2(~a) ...
... . .. ...
D1f`(~a) · · · Dkf`(~a)
.
Voor ~u ∈ Rk geldt D~uf (~a) = f0(~a)~u.
Vragen:
Hoe kunnen we spreken over continu¨ıteit van de afgeleide?
Is een differentieerbare functie ook continu?
Operatornorm
Zij V , W genormeerde vectorruimten en L : V → W een lineaire afbeelding.
Definieer
kLkop= sup
x ∈V \{0}
kLxkW
kxkV . Merk op dat
kLkop= sup
x 6=0
L x kxkV
W
= sup
kxkV=1
kLxkW = sup
x ∈Sn−1
kLxkW < ∞,
want Sn−1is compact en L is continu (als V , W eindig-dimensionaal).
Claim: dit is een norm op Lin(V , W ).
1 kLk = 0 ⇔ L = 0 2 kλLk = |λ|kLk voor λ ∈ R 3 kK + Lk ≤ kK k + kLk
Eigenschappen van de operatornorm
Zij V , W genormeerde vectorruimten en L : V → W een lineaire afbeelding. We defini¨eren deoperatornorm
kLk := sup
x ∈V \{0}
kLxk kxk. Merk op: voor x ∈ V geldt
kLxk
kxk ≤ kLk ⇒ kLxk ≤ kLk · kxk.
Als K : W → U een lineaire afbeelding is, dan geldt kKLxk = kK (Lx)k ≤ kK kkLxk ≤ kK kkLkkxk, dus
kKLk = sup
x 6=0
kKLxk
kxk ≤ kK kkLk.
Differentieerbaarheid en continu¨ıteit
Propositie 8.16
Zij f : Rk → R`differentieerbaar in ~a ∈ Rk. Dan is f continu in ~a.
Bewijs:
We bekijken
f (~a + ~h) − f (~a) =
f0(~a)~h + o(k~hk) . Er geldt kf0(~a)~hk ≤ kf0(~a)kk~hk.
Er bestaat een δ > 0 zodat voor k~hk < δ geldt
o(k~hk) k~hk
< 1.
We zien dat voor k~hk < δ geldt kf (~a + ~h) − f (~a)k ≤ kf0(~a)~hk +
o(k~hk)
< kf0(~a)kk~hk + k~hk = kf0(~a)k + 1k~hk.
Continu¨ıteit van de afgeleide
Als f : Rk → R`, dan geldt voor ~a ∈ Rk dat f0(~a) ∈ Lin(Rk, R`) en dus is f0een afbeelding Rk → Lin(Rk, R`).
Definitie 8.28
Zij E ⊆ Rk en f : E → R` differentieerbaar. Als f0: E → Lin(Rk, R`) continu is op E (met de operatornorm op het codomein), dan noemen we f continu differentieerbaar, ook wel C1.
Herinner: f0(~a) = Djfi(~a)
i ,j. Propositie 8.29
Zij E ⊆ Rk en f : E → R` differentieerbaar. Dan is f0 continu op E desda elk van de parti¨ele afgeleides Djfi continu is op E .
Continu¨ıteit van de parti¨ ele afgeleides
Stelling 8.30
Zij E ⊆ Rk en f : E → R. Als elk van de parti¨ele afgeleiden van f bestaat en continu is op E , dan is f (continu) differentieerbaar op E .
We willen bewijzen dat f (~a + ~h) − f (~a) −D1f (~a) · · · Dkf (~a)~h = o(k~hk). Schrijf f (~a + ~h) − f (~a) als
f
a1+ h1
... ... ... ak+ hk
| {z }
~a+~vk
−f
a1+ h1
... ... ak−1+ hk−1
ak
| {z }
~a+~vk−1
+f
a1+ h1
... ... ak−1+ hk−1
ak
| {z }
~a+~vk−1
−f
a1+ h1
... ak−2+ hk−2
ak−1
ak
| {z }
~a+~vk−2
+ · · ·+f
a1+ h1
a2
... ... ak
| {z }
~ a+~v1
−f
a1
a2
... ... ak
| {z }
~ a+~v0
Merk op ~vj = ~vj −1+ hj~ej. Nu is
f (~a + ~vj) − f (~a + ~vj −1) = gj(hj) − gj(0) = gj0(ξj)hj= Djf (~a + ~vj −1+ ξj~ej)hj
waar gj(t) = f (~a + ~vj −1+ t~ej) en ξj ∈ (0, hj).
Stelling 8.30
Zij E ⊆ Rk en f : E → R. Als elk van de parti¨ele afgeleiden van f bestaat en continu is op E , dan is f (continu) differentieerbaar op E .
We willen bewijzen dat f (~a + ~h) − f (~a) −D1f (~a) · · · Dkf (~a)~h = o(k~hk).
We hebben voor ξj ∈ (0, hj) dat
f (~a + ~h) − f (~a) =
k
X
j =1
f (~a + ~vj) − f (~a + ~vj −1) =
k
X
j =1
Djf (~a + ~vj −1+ ξj~ej)hj.
Schrijf ~xj = ~a + ~vj −1+ ξj~ej, dan hebben we
f (~a + ~h) − f (~a) −D1f (~a) · · · Dkf (~a)~h k~hk
=
k
X
j =1
Djf (~xj) − Djf (~a) hj
k~hk
≤
k
X
j =1
Djf (~xj) − Djf (~a) → 0 want ~xj → ~a als ~h → 0 en Djf is continu.
