2 1 y = x +
'( ) 2
'(0) 2 y x dy
dx y
= =
⇒ =
2
''( ) d y
20 ''(3) 0
y x y
= dx = ⇒ =
3
22 1
y = 2 x + x +
'( ) 3 2
'(0, 6) 3, 8
y x dy x
dx y
= = +
⇒ =
2
''( )
23 ''(0,6) 3 y x d y
dx y
= =
⇒ =
Afgeleide functie
Afgeleide functies: algemeen overzicht voor y(x)
( ) 2 1 x t = t +
t a
xt
v
xt a
x( ) '( ) 3 2
(0, 6) 3, 8
x
x
v t x t dx t
dt v
= = = +
⇒ =
3
2( ) 2 1
x t = 2 t + t +
( ) '( ) 3
(0, 6) 3
x
x x
x
a t v t dv
dt a
= = =
⇒ =
( ) 2
(1) 2
x
x
v t dx
dt v
= =
⇒ =
( ) '( ) 0
(1) 0
x
x x
x
a t v t dv
dt a
= = =
⇒ =
t x
t x
t
v
xAfgeleide functies: vertrouwde toepassing uit de kinematica voor x(t)
1
1
'( ) '(0) 2
2 : '( ) 2
y x dy C en y dx
C Dus y x
= = =
⇒ = =
2
''( ) d y2 0 y x
= dx =
2
2
2 2
( ) 3 2 (0) 1
2
1 : ( ) 3 2 1
2
y x x x C en y
C Dus y x x x
= + + =
⇒ = = + +
1
1
'( ) 3 '(0) 2
2 : '( ) 3 2
y x dy x C en y dx
C Dus y x x
= = + =
⇒ = = +
2
''( ) 2 3
''(0, 6) 3 y x d y
dx y
= =
⇒ =
2 2
2 (0) 1
1 : 2 1
y x C en y
C Dus y x
= + =
⇒ = = +
4 A =
2 4
: 1 4 5 voor x
A
nieuwe y waarde
=
=
⇒ − + =
(5 2) * 1
2 3.5
A −2
= + =
1; 3.5
: 1 3.5 4.5 voor x A
nieuwe y waarde
= =
⇒ − + =
Primitieve functie
Primitieve functies: algemeen inleidend overzicht voor y(x) Y
x
2
1
2 1
( ) 3 2 (0) 1
2
1 : ( ) 3 2 1
2 x t t t C en x
C Dus x t t t
= + + =
⇒ = = + +
t x
1; 3.5
: 1 3.5 4.5 voor t A
nieuwe x waarde
= =
⇒ − + =
1
1
( ) 3 (0) 2
2 : ( ) '( ) 3 2
x x
x
v t dx t C en v dt
C Dus v t x t dx t dt
= = + =
⇒ = = = = +
(5 2) * 1
2 3.5
A= + −2 =
t
v
x( ) '( ) x 3
x x
a t v t dv
= = dt =
t a
x3 A =
1; 3
: 2 3 5
x
voor t A
nieuwe v waarde
= =
⇒ − + =
2 2
2 (0) 1
1 : ( ) 2 1
x t C en x
C Dus x t t
= + =
⇒ = = +
1
1
( ) (0) 2
2 : ( ) 2
x x
x
v t dx C en v dt
C Dus v t
= = =
⇒ = =
2 4
: 1 4 5 voor t
A
nieuwe x waarde
=
=
⇒ − + =
( ) '( ) 0
(3) 0
x
x x
x
a t v t dv
dt a
= = =
⇒ =
t a
xt
v
xt x
4 A =
Primitieve functies: voorbeeld in de kinematica voor x(t)
Gebruik eventueel https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus Integreren kan gebruikt worden om het oppervlak onder een grafiek van een functie te vinden.
We kunnen de functiewaarde zoeken in enkele punten en de rechthoekjes optellen met breedte
∆x
.Het gezochte oppervlak zal des te beter benaderd worden als we meerdere kleinere rechthoekjes nemen door de breedte heel klein te nemen: ∆x → 0
Een beetje kort door de bocht: we noteren nu ‘dx’ om te wijzen op de infinitesimaal kleine breedtes. Een ‘rigoureus’
bewijs voor de volgende beweringen zie je in de lessen wiskunde. Het optellen gaat gemakkelijk door het zoeken naar de ‘bepaalde integraal’ en dus naar een primitieve functie. Als we zoeken naar een primitieve functie, dan bepalen we eigenlijk de ‘onbepaalde integraal’.
Tijd dus voor een notatie voor de ‘onbepaalde integraal’:
Symbool voor onbepaalde integraal:
f x .dx( )
met f x
( )
de functie die we willen integrerenBvb.
2x.dx=x2 +C (met C de ‘integratieconstante’)De gezochte primitieve functie is bepaald op de integratieconstante na.
Voorbeelden:
∫x3 dx = x4/4 + C
∫x0,5 dx = x1,5/1,5 + C
∫6x2 dx = 2x3 + C
∫(cos x + x) dx = sin x + x2/2 + C
Functie Integraal
∫
a dx ax + C∫
x dx x2/2 + C∫
x2 dx x3/3 + C∫
(1/x) dx ln|x| + C∫
ex dx ex + C∫
ax dx ax/ln(a) + C∫
ln(x) dx x ln(x) − x + C∫
cos(x) dx sin(x) + C∫
sin(x) dx -cos(x) + C∫
cf(x) dx c∫
f(x) dx∫
xn dx xn+1/(n+1) + C∫
(f + g) dx∫
f dx +∫
g dx∫
(f - g) dx∫
f dx -∫
g dxIntegralen: notatie voor primitieve functies, rekenregels
Tot nu toe zochten we de onbepaalde integraal. Dit komt eigenlijk neer op het zoeken van een functie. De bepaalde integraal daarentegen heeft bepaalde waarden of ‘integratiegrenzen’ waartussen moet geïntegreerd worden.
Bvb. de bepaalde integraal die moet gezocht worden is:
2
1
2x.dxDe onbepaalde integraal is
2x.dx=x2 +CVoor x = 1 krijgen we de functiewaarde: 12 + C Voor x = 2 krijgen we de waarde: 22 +C Hierdoor verkrijgen we:
( ) ( )
= + − + = − =
2
2 2
1
2x.dx 2 C 1 C 4 1 3
Je merkt dat de bepaalde integraal een meetkundige betekenis heeft. Het is de oppervlakte onder de curve tussen de waarden x = 1 en x = 2..
Definitie: debiet of ‘Intensiteit’
Met V het volume.
Integreren is zoals het vullen van een watertank. De input is het debiet van de kraan. Het integreren van het debiet (m.a.w. het optellen van alle kleine beetjes water) geeft ons het volume van het water in de tank.
Zie ook ‘PHET’
De drukmeter registreert het volume want je kent vast nog de relatie tussen hoogte en hydrostatische druk:
p
hydr= ρ .h.g
Dus, als het volume toeneemt, dan neemt ook de druk toe:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
hydr
.A.h t .g .V t .g .g
p t .h t .g .V t Constante.V t
A A A
ρ ρ ρ
= ρ = = = =
De wijze waarop de naald van de drukmeter verandert, zegt dus ook iets over de wijze waarop het volume verandert.
We bekijken nu 2 voorbeelden waarbij de watertank al gevuld is bij het openen van de kraan. Op t = 0 s is de tank al gevuld met 1 m³ water.
Integralen; toepassing: watertank en kraan!
Integralen: meetkundige betekenis van ‘bepaalde integralen’
∆ →
∆ ∆
= = =
∆ ∆
gem t 0
V V dV
I I lim
t t dt
Bijlage blz- 7
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
0 2 0
. 2. 2
0 1 ( ) 2 1
:
0 2 ?
2 0 2.
1 [2. ]
1 2.2 2.0 1 4 5
V t I t dt dt t C
op t s is V V t t
Gevraagd
V tussen t s en t s
V V dt
t
= = = +
= = ⇒ = +
∆ = =
= +
= +
= + −
= + =
∫ ∫
∫
3
3
2 ;
op 1 was de tank al gevuld met 1 water I m
s
t s
m
=
=
2 4
: 1 4 5
voor t A
nieuwe V waarde
=
=
⇒ −
+ =
t
I
t
V
4 A =
2 I =
Integralen; toepassing van het eigen huis: watertank en kraan! – wiskundige uitwerking
Bijlage blz- 8
1; 3.5 : 1 3.5 4.5
voor t A
nieuwe V waarde
= =
⇒ −
+ =
t
I
3 3
3
3
3 . 2 ;
Het debiet neemt nu lineair toe!!
Elke seconde neemt het toe met 3 op 1 was de tank al
gevuld met 1 water
m m
I t
s s
m s t s
m
= +
=
3. 2 I = t +
V
3,5 A =
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1
0
2 1
0
2 2
