Julius Instituut, Faculteit Natuur- en Sterrenkunde, UU.
In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A−Eskwadraat.
Het college NS-202b werd in 2003/2004 gegeven door J.J. Koenderink.
Quantummechanica 1 (NS-202b) 24 augustus 2004
Ter herinnering (maar het is niet verplicht hier gebruik van te maken!):
~ σ =
0 1 1 0
,
0 −i
i 0
,
1 0
0 −1
S±|l, mi = ~p
l(l + 1) − m(m + 1)|l, m ± 1i
∞
X
k=0
1 k + 1
6
= π6 945
√2 π
Z z 0
e−t2dt = erf(z)
erf(0) = 0, erf(∞) = 1, erf(1) = 0, 842701 . . . , erf(2) = 995322 . . .
Opgave 1
Voor elk van de volgende vragen kan een bondig antwoord volstaan (wees zo volledig als nodig is, maar vermijd irrelevante uitweidingen).
a) Waarom is een oplossing van de Schr¨odingervergelijking voor een vrij deeltje in dimensie 1 voor kinetische energie 0 niet toelaatbaar als het deeltje over de gehele lijn kan bewegen? Geef een voorbeeld van de randvoorwaarden waarbij zo’n oplossing w´el aanvaardbaar is.
b) Als ψ(x) een oplossing van de tijdsonafhankelijke Schr¨odingervergelijking is, is eiφψ(x) het ook.
Wat is de fysische betekenis van deze fasefactor?
c) Een deeltje beweegt in een lineaire potentiaal V (x) = mgx (het zwaartekrachtsveld in het labo- ratorium, x is de hoogte boven de vloer), met een w´elbepaalde energie. Hoe zal de golffunctie er (kwalitatief) uitzien?
d) Is de golffunctie dimensieloos? Zo ja, waarom? Zo niet, wat is dan de dimensie?
e) Bij een meting verandert de golffunctie plotseling (“collapse of the wave function”). Wat zegt de quantummechanica over de dynamica van dit verschijnsel?
Opgave 2
Een deeltje van massa m beweegt niet-relativistisch in dimensie 1 in een potentiaal gegeven door V (x) = −aδ(x), (a > 0), waar δ(x) de gebruikelijke delta-functie voorstelt.
a) Vind de gebonden toestanden.
b) Stel de S-matrix op.
Opgave 3
De golffunctie van de grondtoestand van een harmonische oscillator met veerconstante k en massa m is
ψ0(x) = (α/π)1/4e−ax2/2, α = mω0/~, ω02= k/m.
a) Bepaal de klassieke oplossing.
b) Vind een (eenvoudige!) uitdrukking voor de waarschijnlijkheid om het deeltje buiten het klas- sieke bereik aan te treffen.
