Topologie
Peter BruinInhoudsopgave
Inleiding . . . 5
1. Metrische ruimten . . . 6
2. Convergentie van rijen . . . 10
3. Continue afbeeldingen tussen metrische ruimten . . . 12
4. Volledigheid en completering . . . 13
5. Genormeerde vectorruimten . . . 16
6. Topologische ruimten . . . 18
7. Continue afbeeldingen tussen topologische ruimten . . . 21
8. Constructies van topologische ruimten . . . 22
9. Compactheid . . . 26
10. Samenhang en wegsamenhang . . . 31
11. Homotopie en weghomotopie . . . 36
12. De fundamentaalgroep . . . 41
13. Overdekkingsruimten en het liften van wegen . . . 42
14. Een groepswerking van de fundamentaalgroep . . . 45
15. Fundamentaalgroepen, continue afbeeldingen en homotopie . . . 48
Opgaven . . . 51
Versie van 28 augustus 2017
Commentaar, suggesties en correcties worden op prijs gesteld. E-mailadres van de auteur: P.J.Bruin@math.leidenuniv.nl
Afbeelding omslag: het oppervlak van Boy, een model (met singulariteiten) van het re¨ele projectieve vlak; zie opgave 137.
Inleiding
De topologie is het deelgebied van de wiskunde waarin begrippen als ruimte, convergentie en continu¨ıteit systematisch worden gedefinieerd en bestudeerd. Net als in bijvoorbeeld de algebra zijn de definities van de basisconcepten relatief algemeen en daardoor enerzijds abstract, maar anderzijds ook zeer breed toepasbaar. Uiteenlopende toepassingen van de topologie zijn te vinden in de meetkunde, de analyse, de natuurkunde en zelfs de getaltheorie.
Het eerste onderwerp dat in dit dictaat aan bod komt, is de theorie van metrische ruimten. Dit zijn verzamelingen voorzien van een afstandsfunctie. Met behulp hiervan worden begrippen als convergentie van rijen en continu¨ıteit van functies in een breder kader gezet.
De behandeling van metrische ruimten is erop gericht om intu¨ıtie en motivatie te bieden voor de overstap naar topologische ruimten. Hier wordt een aantal van de eerder behandelde concepten gegeneraliseerd naar situaties waarin de afstandsfunctie wordt ver-vangen door een algemener type structuur (een topologie) waarmee men continu¨ıteit van afbeeldingen betekenis kan geven. We bestuderen eigenschappen van individuele topolo-gische ruimten en afbeeldingen daartussen, en vervolgens het begrip homotopie, waarmee het “continu vervormen” van afbeeldingen en ruimten uitgedrukt kan worden.
Het laatste deel van het college gaat over de fundamentaalgroep, een algebra¨ısch object dat aan een topologische ruimte toegekend kan worden en informatie geeft over de verschillende niet-equivalente manieren waarop men “in een topologische ruimte rond kan lopen”. De fundamentaalgroep en zijn eigenschappen vormen het hoofdingredi¨ent van het bewijs van de dekpuntsstelling van Brouwer : elke continue afbeelding van de gesloten eenheidsschijf naar zichzelf heeft een vast punt.
Dit dictaat is grotendeels gebaseerd op (delen van) de hoofdstukken 2, 3 en 5 van het boek A Taste of Topology van Volker Runde. Dit boek wordt aanbevolen als aanvullende referentie voor de in dit dictaat behandelde stof. Het dictaat bevat een aantal verwijzingen naar het boek; deze hebben de vorm [Runde, . . . ].
1. Metrische ruimten
In de topologie wordt onder andere het begrip continu¨ıteit uit de analyse gegeneraliseerd. Definitie. Zij D een deelverzameling van R. Een functie f : D → R is continu in een punt x als er voor alle ǫ > 0 een δ > 0 bestaat zodat voor alle y∈ D geldt
|y − x| < δ =⇒ |f(y) − f(x)| < ǫ.
Onnauwkeurig gezegd: als y dicht genoeg bij x ligt, dan ligt f (y) dicht bij f (x). Het begrip afstand lijkt voor de notie van continu¨ıteit dus van belang te zijn. De eerste stap in de richting van een algemene definitie van continue afbeeldingen (hiervoor zullen we later het begrip topologische ruimte introduceren) is het defini¨eren van ruimten die voorzien zijn van een afstandsfunctie. We zullen later echter een definitie van continu¨ıteit invoeren die niet naar een afstandsfunctie verwijst.
Definitie. Een metriek of afstandsfunctie op een verzameling X is een functie d: X× X → R
met de volgende eigenschappen:
(1) Voor alle x, y ∈ X geldt d(x, y) ≥ 0, met gelijkheid dan en slechts dan als x = y (positief-definietheid ).
(2) Voor alle x, y∈ X geldt d(x, y) = d(y, x) (symmetrie).
(3) Voor alle x, y, z ∈ X geldt d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (driehoeksongelijkheid).
Een metrische ruimte is een paar (X, d) waarbij X een verzameling is en d: X× X → R een metriek.
Als de metriek d uit de context duidelijk is, wordt (X, d) vaak afgekort tot X. Voorbeelden. (1) Zij X = Rn met n≥ 0. De functie
d: Rn× Rn−→ R
(x, y)7−→p(x1− y1)2+· · · + (xn− yn)2
is een metriek. Deze heet de euclidische metriek op Rn.
(2) De functie
d: Z2× Z2 −→ R
((x, y), (x′, y′))7−→ |x − x′| + |y − y′|
is een metriek op Z2. Deze staat bekend als de Manhattan- of taximetriek . (3) Zij (F, d) een metrische ruimte en p∈ F . Stel dat voor alle x, y ∈ F geldt
x6= y =⇒ d(x, y) = d(x, p) + d(p, y).
Dan noemen we d een Franse-spoorwegmetriek met centrum p. (De snelste treinreis tussen twee Franse steden loopt vaak via Parijs.)
(4) Zij X een verzameling en definieer d: X× X → R door d(x, y) =
0 als x = y, 1 als x6= y.
Dan is (X, d) een metrische ruimte. Dit is een voorbeeld van een discrete metrische ruimte. (5) Zij (X, d) een metrische ruimte, en zij Y een deelverzameling van X. Dan is de beperking d|Y ×Y van d tot de deelverzameling Y × Y van X × X een metriek op Y (ga
Naar analogie met de euclidische metriek op Rn zullen we nu achtereenvolgens open
ballen, open verzamelingen en gesloten verzamelingen in algemene metrische ruimten defini¨eren.
Definitie. Zij (X, d) een metrische ruimte, zij x∈ X en zij r een positief re¨eel getal. De open bal van straal r om x is de deelverzameling Br(x)⊆ X gedefinieerd door
Br(x) ={y ∈ X | d(x, y) < r}.
Voorbeeld. In het geval X = R (met de euclidische metriek) zijn open ballen hetzelfde als niet-lege, begrensde, open intervallen.
Definitie. Zij (X, d) een metrische ruimte. Een open deelverzameling van X is een deel-verzameling U ⊆ X zodanig dat er voor elke x ∈ U een ǫ > 0 bestaat zodanig dat Bǫ(x)
bevat is in U .
Propositie 1.1. Zij (X, d) een metrische ruimte.
(a) Elke open bal in X is een open deelverzameling van X.
(b) Een deelverzameling U ⊆ X is open dan en slechts dan als U een vereniging van open ballen is.
Bewijs. (a) Zij Bǫ(x) een open bal van straal ǫ om een punt x ∈ X, en zij y ∈ Bǫ(x)
willekeurig gegeven. We moeten bewijzen dat er een δ > 0 bestaat zodanig dat de open bal Bδ(y) van straal δ om y in Bǫ(x) bevat is. We kiezen δ = ǫ− d(x, y); dit is positief
omdat y in Bǫ(x) ligt. Voor alle z∈ Bδ(y) geldt nu
d(x, z)≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + δ = ǫ,
en hiermee is bewezen dat Bδ(y)⊆ Bǫ(x).
(b) Zij U een deelverzameling van X. Stel dat U een verzameling van open ballen is, en zij x∈ U. Wegens de aanname bestaan er y ∈ X en ǫ > 0 zodanig dat
x∈ Bǫ(y)⊆ U.
Wegens (a) is Bǫ(y) open, dus er is een open bal rond x die bevat is in Bǫ(y) en dus in U .
Omdat dit voor alle x∈ U geldt, volgt dat U open is. Stel omgekeerd dat U open is. Dan is voor elke x∈ U de verzameling
E(x, U ) ={ǫ > 0 | Bǫ(x)⊆ U}
niet-leeg. Er geldt dus
x∈ [
ǫ∈E(x,U )
Bǫ(x)⊆ U.
Nemen we nu de vereniging over alle x∈ U, dan zien we
U = [
x∈U
[
ǫ∈E(x,U )
Bǫ(x),
Definitie. Zij X een metrische ruimte. Een gesloten deelverzameling van X is een deel-verzameling F ⊆ X zodanig dat het complement X \ F een open deelverzameling van X is.
Voorbeeld. Zij X een metrische ruimte, x ∈ X en r > 0. De gesloten bal van straal r om x is gedefinieerd als
Br[x] ={y ∈ X | d(x, y) ≤ r}.
We beweren dat Br[x] inderdaad een gesloten deelverzameling van X is, met andere
woorden dat X\ Br[x] open is. Zij y ∈ X \ Br[x]; dan geldt d(x, y) > r. We schrijven
ǫ = d(x, y)− r. Voor alle z in de open bal Bǫ(y) geeft de driehoeksongelijkheid
d(x, y)≤ d(x, z) + d(z, y) < d(x, z) + ǫ. Hieruit volgt
d(x, z) > d(x, y)− ǫ = r, dus Bǫ(y) is bevat in X\ Br[x], hetgeen we moesten bewijzen.
Propositie 1.2. Zij X een metrische ruimte.
(a) Elke vereniging van open deelverzamelingen van X is open.
(b) Elke doorsnede van eindig veel open deelverzamelingen van X is open. (c) Elke doorsnede van gesloten deelverzamelingen van X is gesloten.
(d) Elke vereniging van eindig veel gesloten deelverzamelingen van X is gesloten. Opmerking. Als Y een collectie deelverzamelingen van X is, dan zijn de verzamelingen S
Y ∈YY en
T
Y ∈YY voorY = ∅ gelijk aan ∅ respectievelijk X. In het bijzonder volgt uit
de propositie dat∅ en X zowel open als gesloten deelverzamelingen van X zijn.
Bewijs. (a) Zij U een collectie open deelverzamelingen van X, en zij U′ de verzameling
S
U ∈UU . Wegens propositie 1.1 is elke U ∈ U een vereniging van open ballen, en derhalve
geldt dit ook voor U′.
(b) We bewijzen met inductie naar n dat de doorsnede van n open deelverzamelingen open is. Het geval n = 0 (X is open) volgt uit de definitie van open deelverzamelingen. Stel dat voor gegeven n ≥ 0 elke vereniging van n open deelverzamelingen open is. Als U0, . . . , Un open zijn, dan is U = Tn−1i=0 Ui open wegens de inductieveronderstelling; we
moeten bewijzen dat U′ = U∩ Unopen is. Zij x∈ U′. Er bestaan ǫ > 0 en ǫn> 0 zodanig
dat geldt Bǫ(x)⊆ U en Bǫn(x) ⊆ Un. Neem nu ǫ
′ = min{ǫ, ǫ
n}; dan geldt Bǫ′(x) ⊂ U′.
Dit geldt voor alle x∈ U′, dus U′ is open.
De beweringen (c) en (d) volgen uit (a) en (b) door het nemen van complementen. We eindigen met twee definities die in veel contexten voorkomen.
Definitie. Zij X een metrische ruimte. Een omgeving van x is een deelverzameling N ⊆ X zodanig dat er een ǫ > 0 bestaat met Bǫ(x)⊆ N.
Een open omgeving van x is uiteraard een omgeving van x die ook een open deelver-zameling van X is, oftewel een open deelverdeelver-zameling U ⊆ X waarvoor geldt x ∈ U. Definitie. Een metrische ruimte X heet discreet als voor elke x∈ X de deelverzameling {x} open is in X.
Propositie 1.3. Zij X een metrische ruimte. De volgende uitspraken zijn equivalent: (1) X is discreet;
(2) voor elke x∈ X bestaat er een ǫ > 0 zodanig dat Bǫ(x) ={x};
(3) elke deelverzameling van X is open; (4) elke deelverzameling van X is gesloten. Bewijs. Zie opgave 10.
Voortbouwend op de noties van open en gesloten deelverzamelingen zullen we nu een aantal nieuwe begrippen invoeren. Het blijkt dat dit gedaan kan worden zonder expliciet naar de metriek te verwijzen.
Definitie. Zij X een metrische ruimte, en zij S een deelverzameling van X. Het inwendige van S in X, notatie S◦, is de grootste open deelverzameling U ⊆ X waarvoor geldt
U ⊆ S. De afsluiting van S in X, notatie ¯S, is de kleinste gesloten deelverzameling F ⊆ X waarvoor geldt S ⊆ F .
Om er zeker van te zijn dat de definitie van het inwendige betekenis heeft, moeten we nagaan dat er daadwerkelijk zo’n grootste open deelverzameling U⊆ X bestaat. Met andere woorden, zijU de verzameling van alle open deelverzamelingen van X is die in S bevat zijn, geordend onder inclusie. Dan moeten we aantonen datU een (noodzakelijker-wijs uniek) grootste element heeft. Dit element bestaat: de verzameling U′ =SU ∈UU is open en is bevat in S, dus U′ is het (unieke) grootste element vanU. Op dezelfde manier kunnen we nagaan dat de definitie van de afsluiting betekenis heeft (de doorsnede van alle gesloten deelverzamelingen die S bevatten is zelf ook een gesloten deelverzameling die S bevat, en daarmee automatisch de kleinste).
Propositie 1.4. Zij X een metrische ruimte. Het nemen van het inwendige en van de afsluiting in X zijn complementaire bewerkingen in de zin dat voor alle deelverzamelingen S⊆ X geldt
X\ ¯S = (X\ S)◦ en
X\ S◦= X\ S. Bewijs. Zie opgave 22.
Propositie 1.5. Zij X een metrische ruimte, en zij S een deelverzameling van X. (a) Het inwendige van S in X is de verzameling van alle punten x ∈ X zodanig dat er een omgeving van x bestaat die bevat is in S.
(b) De afsluiting van S in X is de verzameling van alle punten x∈ X zodanig dat elke omgeving van x een niet-lege doorsnede met S heeft.
Bewijs. (a) Stel dat x in S◦ ligt. Omdat S◦ open is in X, is S◦ zelf een omgeving van x
die bevat is in S. Stel omgekeerd dat x een omgeving heeft die bevat is in S. Dan heeft x ook een open omgeving die geheel binnen S ligt, en deze open omgeving is op haar beurt bevat in S◦.
(b) Dit volgt uit de volgende keten van equivalenties: x∈ ¯S ⇐⇒ x 6∈ (X \ S)◦
⇐⇒ geen enkele omgeving van x is bevat in X \ S
⇐⇒ elke omgeving van x heeft niet-lege doorsnede met S, waarbij we in de eerste stap propositie 1.4 gebruikt hebben.
Definitie. Zij X een metrische ruimte, en zij S een deelverzameling van X. De rand van S in X, notatie ∂S, is de gesloten deelverzameling van X gedefinieerd door
∂S = ¯S∩ X \ S.
Propositie 1.6. Zij X een metrische ruimte, en zij S een deelverzameling van X. De rand van S in X is de verzameling van alle punten x ∈ X zodanig dat elke omgeving van x zowel met S als met X\ S een niet-lege doorsnede heeft.
Bewijs. Dit volgt uit de definitie van ∂S en propositie 1.5.
Voor elke deelverzameling S ⊆ X is ∂S wegens de definitie en propositie 1.4 te schrijven als
∂S = ¯S\ S◦.
Dit betekent dat X te schrijven is als een disjuncte vereniging (d.w.z. een vereniging van deelverzamelingen met paarsgewijs lege doorsnede)
X = ¯S⊔ (X \ ¯S) = ¯S⊔ (X \ S)◦
= S◦⊔ ∂S ⊔ (X \ S)◦.
Definitie. Zij X een metrische ruimte. Een deelverzameling S⊆ X heet dicht in X als de afsluiting van S gelijk is aan X.
Waarschuwing. Bij het gebruiken van de hierboven ingevoerde begrippen (open en geslo-ten verzamelingen, inwendige, afsluiting, rand en dichtheid) is het belangrijk om steeds in gedachten te houden op welke omliggende metrische ruimte X ze betrekking hebben. Bekijk bijvoorbeeld de metrische deelruimte X = [0, 1) van R. Met betrekking tot de metrische ruimte X geldt: X is zowel open als gesloten, dus X◦= X = ¯X en ∂X =∅, en
X is dicht. Met betrekking tot de metrische ruimte R geldt echter: X is noch open noch gesloten, X◦ = (0, 1), ¯X = [0, 1], ∂X ={0, 1} en X is niet dicht.
2. Convergentie van rijen
De bekende definitie van convergentie voor rijen van re¨ele getallen is zonder problemen te vertalen naar de context van metrische ruimten.
Definitie. Zij (X, d) een metrische ruimte, zij (xn)n≥0 een rij in X, en zij x ∈ X. De
rij (xn)n≥0 is convergent (met limiet x), of convergeert naar x, als er voor alle ǫ > 0 een
N ≥ 0 bestaat zodanig dat voor alle n ≥ N geldt d(x, xn) < ǫ. Notatie: xn → x als
n→ ∞, of limn→∞xn= x.
Propositie 2.1. Zij (X, d) een metrische ruimte, en zij (xn)n≥0 een rij in X. Dan heeft
(xn)n≥0 ten hoogste ´e´en limiet.
Bewijs. Stel dat de rij twee verschillende limieten x en x′ heeft. Zij δ = d(x, x′) > 0. Wegens de definitie van convergentie bestaat er een n≥ 0 waarvoor geldt d(x, xn) < δ/2
en d(x′, x
n) < δ/2. Hieruit volgt
δ = d(x, x′)≤ d(x, xn) + d(xn, x′) < δ/2 + δ/2 = δ,
Propositie 2.2. Zij (X, d) een metrische ruimte, en zij S een deelverzameling van X. Dan is de afsluiting ¯S de verzameling van punten van X die de limiet zijn van een rij in S die in X convergeert.
Bewijs. Zij (xn)n≥0 een rij in S die in X convergeert naar x. Voor alle ǫ > 0 geldt voor
n≥ 0 voldoende groot dat xn∈ Bǫ(x), dus Bǫ(x) heeft niet-lege doorsnede met S. Hieruit
volgt x∈ ¯S.
Zij omgekeerd x ∈ ¯S. Dan is voor elke n ≥ 0 de doorsnede van B2−n(x) met S
niet-leeg, dus er bestaat een xn ∈ S met d(xn, x) < 2−n. De rij (xn)n≥0 convergeert dus
naar x.
Gevolg 2.3. Zij X een metrische ruimte, en zij F een deelverzameling van X. Dan is F gesloten dan en slechts dan als voor elke rij (xn)n≥0 in F die in X convergeert, de limiet
limn→∞xn in F ligt.
Voor de volgende voorbeelden introduceren we het begrip begrensde functie.
Definitie. Zij S een niet-lege verzameling, en zij (Y, d) een metrische ruimte. Een functie f : S → Y heet begrensd als er een positief re¨eel getal M bestaat zodanig dat voor alle s, t∈ S geldt d(f(s), f(t)) < M.
Voorbeelden. (1) Zij B([0, 1], R) de verzameling van alle begrensde functies f : [0, 1]→ R. De uniforme metriek op B([0, 1], R) is gedefinieerd door
D(f, g) = sup
[0,1]|f − g| = supt∈[0,1]|f(t) − g(t)| voor alle f, g ∈ B([0, 1], R).
Het is niet moelijk na te gaan dat D inderdaad een metriek op B([0, 1], R) is. Een rij functies (fn)n≥0 in B([0, 1], R) convergeert met betrekking tot D dan en slechts dan als
(fn)n≥0 uniform convergeert.
(2) Algemener introduceren we voor een niet-lege verzameling S en een metrische ruimte (Y, d) de verzameling B(S, Y ) van begrensde functies S → Y voorzien van de uniforme metriek
D(f, g) = sup
s∈S
d(f (s), g(s)).
(Zie opgave 14 voor het bewijs dat D een metriek is.) Dit geeft een algemene context voor het begrip uniforme convergentie: we zeggen dat een rij functies (fn)n≥0 in B(S, Y )
3. Continue afbeeldingen tussen metrische ruimten
Ook de bekende definitie van continu¨ıteit is zonder problemen te generaliseren naar me-trische ruimen. Er blijkt een nuttige karakterisering van continue afbeeldingen te bestaan in termen van open verzamelingen.
Definitie. Zijn (X, dX) en (Y, dY) twee metrische ruimten. Een continue afbeelding van
X naar Y is een afbeelding f : X → Y zodanig dat er voor elke a ∈ X en elke ǫ > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat
dX(x, a) < δ =⇒ dY(f (x), f (a)) < ǫ.
Propositie 3.1. Zij f : X → Y een afbeelding tussen metrische ruimten. De volgende uitspraken zijn equivalent:
(1) f is continu;
(2) voor alle a ∈ X en alle ǫ > 0 bestaat er een δ > 0 waarvoor geldt Bδ(a) ⊆
f−1(B
ǫ(f (a))).
(3) voor elke convergente rij (xn)n≥0in X met limiet a is de rij (f (xn))n≥0 in Y
conver-gent met limiet f (a);
(4) voor elke gesloten deelverzameling F ⊆ Y is f−1F een gesloten deelverzameling van X.
(5) voor elke open deelverzameling U ⊆ Y is f−1U een open deelverzameling van X;
Bewijs. We bewijzen de onderstaande implicaties.
(1)⇐⇒ (2): Deze twee uitspraken zijn slechts herformuleringen van elkaar.
(2) =⇒ (3): Neem aan dat (2) geldt en zij (xn)n≥0 een convergente rij in X met limiet a.
Zij ǫ > 0 willekeurig. Wegens (2) is er een δ > 0 zodanig dat Bδ(a) ⊆ f−1(Bǫ(f (a))).
Wegens de convergentie van (xn)n≥0 is er N ≥ 0 zodanig dat voor alle n ≥ N geldt
xn ∈ Bδ(a). Hieruit volgt f (xn) ∈ Bǫ(f (a)) voor alle n ≥ N. Omdat ǫ willekeurig was,
concluderen we dat (f (xn))n≥0 in Y convergeert naar f (a).
(3) =⇒ (4): Neem aan dat (3) geldt, zij G ⊆ Y gesloten, en zij F = f−1G. We gaan
bewijzen dat elke rij in F die convergeert in X haar limiet in F heeft; wegens gevolg 2.3 geldt dan ¯F = F , dus F is gesloten. Zij (xn)n≥0 een rij in F met limiet a ∈ X. Dan
is (f (xn))n≥0 een rij in G die in Y convergeert naar f (a). Omdat G gesloten is, geldt
f (a)∈ G wegens gevolg 2.3. Dit is equivalent met a ∈ F , hetgeen we moesten bewijzen. (4) =⇒ (5): Dit volgt uit f−1(Y \ U) = X \ f−1U .
(5) =⇒ (2): Neem aan dat (5) geldt, en laten a ∈ X en ǫ > 0 gegeven zijn. Dan is Bǫ(f (a)) open in Y , dus per aanname is f−1(Bǫ(f (a))) open in X. Bovendien geldt
a ∈ f−1(Bǫ(f (a))). Wegens de definitie van open verzamelingen bestaat er een δ > 0
zodanig dat Bδ(a)⊆ f−1(Bǫ(f (a))), hetgeen we moesten bewijzen.
Opmerking. Voor elke afbeelding van verzamelingen f : X→ Y en alle deelverzamelingen S ⊆ X en T ⊆ Y geldt S ⊆ f−1T dan en slechts dan als f (S)⊆ T . In de equivalente
eigenschap (2) hierboven is de voorwaarde Bδ(a) ⊆ f−1(Bǫ(f (a))) dus equivalent met
f (Bδ(a)) ⊆ Bǫ(f (a)). De gegeven formulering van (2) is echter meer in de geest van de
Voorbeelden. (1) Als X een discrete metrische ruimte is, dan is elke deelverzameling van X open, dus elke afbeelding van X naar een metrische ruimte Y is continu.
(2) Zij (X, d) een metrische ruimte. We voorzien de verzameling X2 = X× X van de metriek
˜
d: X2× X2−→ R
((x, y), (x′, y′))7−→ d(x, x′) + d(y, y′).
(Dit is een generalisatie van de Manhattanmetriek op R2.) We beweren dat d: (X2, ˜d)→ R een continue afbeelding is. Zij P0 = (x0, y0) ∈ X2, en zij ǫ > 0. Voor P = (x, y)∈ X2
geldt (zie ook [Runde, Example 2.3.9])
|d(P ) − d(P0)| = |d(x, y) − d(x0, y0)|
≤ d(x, x0) + d(y, y0)
= ˜d(P, P0).
Hieruit volgt dat voor alle P in de open bal Bǫ(P0) in X2 het punt d(P ) in de open bal
Bǫ(d(P0)) in R ligt. Aangezien ǫ willekeurig was, is d continu.
Definitie. Zijn (X, d) en (X′, d′) twee metrische ruimten. Een isometrie van (X, d) naar (X′, d′) is een afbeelding f : X → X′ zodanig dat voor alle x, y∈ X geldt d′(f (x), f (y)) =
d(x, y).
4. Volledigheid en completering
Het begrip Cauchyrij speelt een belangrijke rol in de constructie van de re¨ele getallen. We voeren dit begrip ook in de context van metrische ruimten in.
Definitie. Zij (X, d) een metrische ruimte. Een Cauchyrij in X is een rij (xn)n≥0 met
de eigenschap dat er voor alle ǫ > 0 een N ≥ 0 bestaat zodanig dat voor alle m, n ≥ N geldt d(xm, xn) < ǫ.
Het is niet moeilijk na te gaan dat elke convergente rij een Cauchyrij is. Het omge-keerde geldt echter niet automatisch.
Definitie. Een metrische ruimte (X, d) heet volledig als elke Cauchyrij in X convergeert. Voorbeelden. (1) De metrische ruimte R is volledig. Dit volgt uit de constructie van R met behulp van equivalentieklassen van Cauchyrijen in Q.
(2) Net zo is de metrische ruimte Rn (met de euclidische metriek) volledig.
(3) Zij S een verzameling met de metriek d gegeven door d(x, y) = 0 voor x = y en d(x, y) = 1 voor x 6= y. Dan is elke Cauchyrij in S uiteindelijk constant, dus (S, d) is volledig.
(4) Zij S een niet-lege verzameling, zij (Y, d) een volledige metrische ruimte, en zij B(S, Y ) de verzameling van begrensde functies f : S → Y , voorzien van de uniforme metriek D (zie de voorbeelden na gevolg 2.3). We beweren dat B(S, Y ) volledig is met betrekking tot D. Zij dus (fn)n≥0 een Cauchyrij in B(S, Y ). Voor alle s∈ S en alle m, n ≥ 0 geldt
d(fm(s), fn(s))≤ D(fm, fn); hieruit volgt dat voor alle s∈ S de rij (fn(s))n≥0 in Y een
Cauchyrij is. Omdat Y volledig is, kunnen we een functie f : S → Y defini¨eren als de puntsgewijze limiet
f (s) = lim
We moeten bewijzen dat f begrensd is. Zij ǫ > 0 willekeurig gegeven. Zij N zodanig dat voor alle m, n ≥ N geldt D(fm, fn) < ǫ. Voor alle x ∈ S en n ≥ N geldt (omdat f de
puntsgewijze limiet van (fn)n≥0 is, en wegens de continu¨ıteit van d)
d(f (x), fn(x)) = lim
m→∞d(fm(x), fn(x))≤ limm→∞D(fm, fn)≤ ǫ.
Zij R = sups,t∈Sd(fN(s), fN(t)). Voor alle s, t∈ S geldt nu
d(f (s), f (t))≤ d(f(s), fN(s)) + d(fN(s), fN(t)) + d(fN(t), f (t))
< ǫ + R + ǫ.
Hieruit volgt dat f in B(S, Y ) ligt. We beweren vervolgens dat fn → f als n → ∞. Dit
volgt uit het feit dat voor alle n≥ N geldt D(f, fn) = sup x∈S
d(f (x), fn(x))≤ ǫ
en het feit dat ǫ willekeurig gekozen was.
Propositie 4.1. Zij (X, d) een metrische ruimte, en zij Y een metrische deelruimte van X. (1) Als X volledig is en Y gesloten in X, dan is Y volledig.
(2) Als Y volledig is, dan is Y gesloten in X.
Bewijs. (1) Stel X is volledig en Y is gesloten in X. Elke Cauchyrij (xn)n≥0 in Y is ook
een Cauchyrij in X en heeft dus een limiet x∈ X. Aangezien Y gesloten is, geldt x ∈ Y wegens gevolg 2.3. Hieruit volgt dat Y volledig is.
(2) Stel Y is volledig, en zij (xn)n≥0 een rij in Y die convergent is in X. Dan is (xn)n≥0
een Cauchyrij in X en dus ook in Y . Aangezien Y volledig is, convergeert (xn)n≥0 in Y .
Wegens gevolg 2.3 is Y gesloten.
Voorbeelden. (1) In Rn(of algemener in elke volledige metrische ruimte) zijn de
volle-dige metrische deelruimten wegens de propositie precies de gesloten deelverzamelingen. (2) Zijn (X, dX) en (Y, dY) metrische ruimten met X 6= ∅ en Y volledig. Zij BC(X, Y ) ⊆
B(X, Y ) de verzameling van begrensde continue functies X → Y . We beperken de uni-forme metriek D op B(X, Y ) tot een metriek op BC(X, Y ). We beweren dat BC(X, Y ) gesloten is in B(X, Y ); wegens propositie 4.1 en de volledigheid van B(X, Y ) is BC(X, Y ) dan ook volledig. Zij dus (fn)n≥0 een rij in BC(X, Y ) die in B(X, Y ) convergeert naar f .
We moeten bewijzen dat f continu is. Zij a∈ X en zij ǫ > 0. We zoeken δ > 0 waarvoor geldt
dX(t, a) < δ =⇒ dY(f (t), f (a)) < ǫ.
Zij n≥ 0 zodanig dat geldt D(fn, f ) < ǫ/3, en zij δ zodanig dat geldt
dX(t, a) < δ =⇒ dY(fn(t), fn(a)) < ǫ/3.
Voor alle t∈ Bδ(a) geldt dan
dY(f (t), f (a))≤ dY(f (t), fn(t)) + dY(fn(t), fn(a)) + dY(fn(a), f (a))
≤ D(f, fn) + dY(fn(t), fn(a)) + D(fn, f )
< ǫ/3 + ǫ/3 + ǫ/3 = ǫ.
Definitie. Zij (X, d) een metrische ruimte. Een completering van (X, d) is een volledige metrische ruimte ( ˜X, ˜d) samen met een isometrie ι: (X, d) → ( ˜X, ˜d) met de volgende eigenschap: voor elke volledige metrische ruimte (Y, dY) en elke isometrie f : (X, d) →
(Y, dY) is er een unieke isometrie g: ( ˜X, ˜d)→ (Y, dY) waarvoor geldt f = g◦ ι.
Een completering is “uniek op een unieke bijectieve isometrie na”. Preciezer gezegd: Lemma 4.2. Zij (X, d) een metrische ruimte. Als (( ˜X1, ˜d1), ι1) en (( ˜X2, ˜d2), ι2) twee
completeringen van (X, d) zijn, dan bestaat er een unieke bijectieve isometrie g: ˜X1 → ˜X2
met ι2 = g◦ ι1.
Bewijs. Wegens de eigenschap van de completering voor ˜X1 respectievelijk ˜X2 is er een
unieke isometrie g: ˜X1 → ˜X2 die voldoet aan ι2 = g◦ ι1. We moeten nog bewijzen dat
g een bijectieve isometrie is. Hiertoe merken we op dat er wegens de eigenschap van de completering voor ˜X2 een unieke isometrie h: ˜X2 → ˜X1 is die voldoet aan ι1 = h◦ ι2.
Hieruit volgt ι1= h◦ (g ◦ ι1) = (h◦ g) ◦ ι1. De identiteit op ˜X1 is echter ook een isometrie
k: ˜X1→ ˜X1 met ι1 = k◦ ι1; per aanname is h◦ g dus de identiteit op ˜X1. Net zo is g◦ h
de identiteit op ˜X2. We concluderen dat g: ˜X1 → ˜X2 een bijectieve isometrie is.
Propositie 4.3. Elke metrische ruimte (X, d) heeft een completering ( ˜X, ˜d).
Bewijs (schets). Zij R de verzameling van alle Cauchyrijen in X. We defini¨eren eerst een equivalentierelatie op R. Twee Cauchyrijen (xn)n≥0 en (yn)n≥0 noemen we equivalent
(notatie: (xn)n≥0∼ (yn)n≥0) als d(xn, yn)→ 0 voor n → ∞, d.w.z. als er voor elke ǫ > 0
een N > 0 bestaat zodanig dat voor alle n≥ N geldt d(xn, yn) < ǫ. Het is eenvoudig na
te gaan dat∼ inderdaad een equivalentierelatie is.
We schrijven ˜X voor de quoti¨entverzameling R/∼. De equivalentieklasse van een Cauchyrij (xn)n≥0 noteren we met [(xn)n≥0]. We defini¨eren een metriek ˜d op ˜X door
˜
d(˜x, ˜y) = lim
n→∞d(xn, yn) als ˜x = [(xn)n≥0] en ˜y = [(yn)n≥0].
Men kan nagaan dat de limiet bestaat, niet afhangt van de gekozen representanten van de klassen ˜x en ˜y, en inderdaad een metriek op ˜X definieert. We defini¨eren ι: X → ˜X als volgt: voor x∈ X is ι(x) de klasse van de constante rij (xn)n≥0 met xn= x voor alle
n≥ 0. Dan is ι duidelijk een isometrie.
Zij (Y, dY) een volledige metrische ruimte, en zij f : (X, d)→ (Y, dY) een isometrie.
Dan defini¨eren we
g: ( ˜X, ˜d)−→ (Y, dY)
˜
x7−→ lim
n→∞f (xn) als ˜x = [(xn)n≥0].
Merk op dat g een welgedefinieerde afbeelding is, aangezien de rechterkant niet afhangt van de keuze van een representant (xn)n≥0 voor de equivalentieklasse ˜x. Verder is g een
isometrie omdat dY(g(˜x), g(˜y)) = dY lim n→∞f (xn), limn→∞f (yn) = dY lim n→∞(f (xn), f (yn)) = lim n→∞dY(f (xn), f (yn)) = lim n→∞d(xn, yn) = ˜d(˜x, ˜y).
Voor alle x∈ X geldt
g(ι(x)) = g([(x)n≥0]) = lim
n→∞f (x) = f (x),
dus g◦ ι = f. We moeten nagaan dat g de unieke voortzetting van f tot een isometrie ˜
X→ Y is. Hiervoor merken we op dat ˜
x = lim
n→∞ι(xn) als ˜x = [(xn)n≥0],
en dus, als h: ˜X→ Y een isometrie is met h ◦ ι = f, h(˜x) = hlim n→∞ι(xn) = lim n→∞h(ι(xn)) = lim n→∞f (xn) = g(˜x). Hieruit volgt de uniciteit van g.
5. Genormeerde vectorruimten
Vooral in de analyse vormen vectorruimten een belangrijke bron van metrische ruimten. De metriek op een vectorruimte V wordt typisch geconstrueerd vanuit een norm op V . Definitie. Zij V een re¨ele vectorruimte. Een norm op V is een functie
V → R v7→ kvk met de volgende eigenschappen:
(1) voor alle v ∈ V geldt kvk ≥ 0, met gelijkheid dan en slechts dan als v = 0; (2) voor alle v ∈ V en c ∈ R geldt kcvk = |c|kvk;
(3) voor alle v, w∈ V geldt kv + wk ≤ kvk + kwk.
Een vectorruimte V voorzien van een norm heet een genormeerde vectorruimte.
Voorbeelden. Laten we een aantal normen op V = Rn bekijken. We noteren elementen van Rn als x = (x1, . . . , xn). Het bekendste voorbeeld is de euclidische norm
kxk2=
q
x21+· · · + x2 n.
Andere belangrijke voorbeelden zijn de 1-norm
kxk1 =|x1| + · · · + |xn|
en de maximumnorm
kxk∞= max{|x1|, . . . , |xn|}.
De bovenstaande definitie is moeiteloos te uit te breiden tot complexe vectorruimten. Hetzelfde geldt voor de overeenkomstige voorbeelden van normen op Cn. De enige
aan-passing is dat er in de formule voor de euclidische norm nu absoluutstrepen nodig zijn: kxk2 =
p
Lemma 5.1. Zij V een re¨ele of complexe vectorruimte, en zijk k een norm op V . Dan is de functie
d: V × V −→ R (x, y)7−→ kx − yk een metriek op V .
Bewijs. Uit eigenschap (1) in de definitie van de norm volgt dat d positief-definiet is. De symmetrie-eigenschap d(x, y) = d(y, x) volgt uit de berekening
kx − yk = k(−1)(y − x)k = | − 1|ky − xk = ky − xk,
waarbij we eigenschap (2) gebruikt hebben. Tot slot volgt de driehoeksongelijkheid uit de berekening
kx − zk = k(x − y) + (y − z)k ≤ kx − yk + ky − zk, waarbij we eigenschap (3) gebruikt hebben.
Voorbeeld. De euclidische metriek op Rn kan op de bovenstaande manier geconstrueerd worden uit de euclidische norm. De Manhattanmetriek op R2 kan geconstrueerd worden uit de 1-norm.
In toepassingen in de analyse is het vaak nuttig om limieten te kunnen nemen in genormeerde vectorruimten; denk aan de limiet van een rij functies op R. Hiervoor is de volgende definitie van belang.
Definitie. Een Banachruimte is een genormeerde R-vectorruimte (V,k k) die volledig is met betrekking tot de metriek d gedefinieerd door d(x, y) =kx − yk.
Voorbeelden. (Zie ook opgave 50.)
(1) Uit de volledigheid van R is af te leiden dat elke eindigdimensionale R-vectorruimte voorzien van een norm k k automatisch volledig is met de betrekking tot de door k k gedefinieerde metriek. De definitie is dus voornamelijk interessant voor oneindigdimen-sionale vectorruimten.
(2) Zij V de ruimte van continue functies f : [0, 1] → R voorzien van de norm kfk = supx∈[0,1]|f(x)|. Dan is (V, k k) een Banachruimte.
6. Topologische ruimten
Het gedrag van open en gesloten deelverzamelingen van een metrische ruimte met be-trekking tot het nemen van verenigingen en doorsneden (propositie 1.2) blijkt zo funda-menteel te zijn dat deze eigenschappen als basis dienen voor de algemene definitie van topologische ruimten.
Definitie. Zij X een verzameling. Een topologie op X is een collectie T van deelverza-melingen van X zodanig dat geldt
(0) ∅ en X zijn elementen van T ;
(1) elke vereniging van elementen vanT is een element van T ;
(2) elke eindige doorsnede van elementen van T is een element van T .
Een topologische ruimte is een paar (X,T ) met X een verzameling en T een topologie op X. De elementen van T heten open deelverzamelingen van (X, T ). Een gesloten deelverzameling van (X,T ) is een deelverzameling F ⊆ X waarvoor geldt X \ F ∈ T . Opmerking. Omdat de vereniging (resp. doorsnede) van de lege collectie deelverzamelin-gen van X gelijk is aan∅ (resp. X) volgt (0) in feite uit (1) en (2).
Opmerking. Uit de definitie volgen direct de eigenschappen van gesloten verzamelingen met betrekking tot verenigingen en doorsneden:
(0) ∅ en X zijn gesloten deelverzamelingen van (X, T );
(1) elke doorsnede van gesloten deelverzamelingen van (X,T ) is een gesloten deelverza-meling van (X,T );
(2) elke eindige vereniging van gesloten deelverzamelingen van (X,T ) is een gesloten deelverzameling van (X,T ).
Voorbeelden. (1) Voor elke verzameling X is T = {∅, X} een topologie op X. Deze heet de triviale of chaotische topologie.
(2) Voor elke verzameling X is de machtsverzamelingP(X) (de collectie van alle deelver-zamelingen van X) een topologie op X. Deze heet de discrete topologie.
(3) Zij (X, d) een metrische ruimte, en zijTd de verzameling van open deelverzamelingen
van (X, d) (volgens de definitie van open deelverzamelingen in een metrische ruimte). Dan isTd een topologie op X wegens propositie 1.2.
(4) ZijT de collectie deelverzamelingen van het complexe vlak C gedefinieerd door T = {∅} ∪ {U ⊆ C | C \ U is eindig}.
Dan is (C,T ) een topologische ruimte.
(5) Zij (X,T ) een topologische ruimte, en zij Y een deelverzameling van X. We defini¨eren TY ={Y ∩ U | U ∈ T }.
Dit is een topologie op Y ; deze heet de deelruimtetopologie op Y , en (Y,TY) heet een
(topologische) deelruimte van (X,TX).
In plaats van een topologie te beschrijven door alle open verzamelingen te geven, is het vaak praktischer om een kleinere collectie open verzamelingen aan te geven waaruit alle open verzamelingen verkregen kunnen worden door het nemen van verenigingen en eventueel eindige doorsneden. Dit geeft aanleiding tot de definitie van bases en subbases.
Definitie. Een basis van een topologische ruimte (X,T ) is een deelverzameling B ⊆ T zodanig dat elke open verzameling van X een vereniging van elementen van B is. Een subbasis van (X,T ) is een deelverzameling S ⊆ T zodanig dat de collectie van eindige doorsneden van elementen vanS een basis van T is.
Gegeven een willekeurige collectie S van deelverzamelingen van X is er een unieke topologie op X waarvoorS een subbasis is, namelijk de collectie van alle verenigingen van eindige doorsneden van elementen vanS.
Voorbeeld. Zij (X, d) een metrische ruimte, en zij Td de door d gedefinieerde topologie
op X. Dan is de collectie
B = {Br(x)| x ∈ X, r > 0}
van alle open ballen in (X, d) wegens propositie 1.1 een basis voorTd.
Evenals in het geval van metrische ruimten kunnen we een topologie ook karakteris-eren met behulp van de omgevingen.
Definitie. Zij (X,T ) een topologische ruimte, en zij x ∈ X. Een omgeving van x in (X,T ) is een deelverzameling N ⊆ X zodanig dat er een U ∈ T bestaat met x ∈ U ⊆ N. Net als voor metrische ruimten is een open omgeving van x een open deelverzameling U ⊆ X met x ∈ U.
Propositie 6.1. Zij (X,T ) een topologische ruimte.
(1) Voor alle x ∈ X, elke omgeving N van x en elke deelverzameling M van X met M ⊇ N is M een omgeving van x.
(2) Voor alle x∈ X is de doorsnede van twee omgevingen van x ook een omgeving van x. (3) Een verzameling U ⊆ X is open dan en slechts dan als U een omgeving van x is voor
elke x∈ U.
Bewijs. Bewering (1) volgt direct uit de definitie. Laten N , N′ omgevingen van x zijn.
Dan zijn er open verzamelingen U , U′ met x∈ U ⊆ N en x ∈ U′ ⊆ N′. Dan is U ∩ U′
een open verzameling met x∈ U ∩ U′ ⊆ N ∩ N′; dit geeft (2). Het is duidelijk dat elke
open verzameling U een omgeving van elke x∈ U is. Omgekeerd: stel U is een omgeving van x voor elke x∈ U. Voor elke x ∈ U kunnen we een open verzameling Ux kiezen met
x∈ Ux ⊆ U. Nu geldt
U ⊆ [
x∈U
Ux⊆ U,
dus beide inclusies zijn gelijkheden; in het bijzonder is U een vereniging van open verza-melingen en dus open.
De volgende propositie laat zien dat het begrip omgeving gebruikt kan worden om een alternatieve definitie van topologische ruimten te geven.
Propositie 6.2. Zij X een verzameling, en zij voor elke x ∈ X een niet-lege collectie Nx van deelverzamelingen van X gegeven zodanig dat de volgende uitspraken gelden voor
alle x∈ X:
(1) voor alle N ∈ Nx geldt x∈ N;
(2) als N ∈ Nx en M ⊇ N, dan geldt M ∈ Nx;
(4) voor alle N ∈ Nx is er een U ∈ Nx met U ⊆ N zodanig dat voor alle y ∈ U geldt
U ∈ Ny.
Dan is er een unieke topologieT op X zodanig dat voor elke x ∈ X de omgevingen van x in (X,T ) precies de elementen van Nx zijn.
Bewijs (schets). We nemen voor T de collectie van alle deelverzamelingen U ⊂ X die voldoen aan U ∈ Nxvoor alle x∈ U; dit is de enige mogelijkheid wegens propositie 6.1(3).
Het bewijs datT een topologie op X is, wordt aan de lezer overgelaten. Zij tot slot x ∈ X en N ⊆ X. Als N een omgeving van X is, dan is er een open verzameling U met x ∈ U ⊆ N; per constructie geldt U ∈ Nx, dus ook N ∈ Nx wegens (2). Omgekeerd is
het niet moeilijk na te gaan dat voor elke N ∈ Nx de verzameling
U ={y ∈ N | N ∈ Ny}
een open verzameling is met x∈ U ⊆ N.
Zoals we in voorbeeld (3) gezien hebben, is elke metrische ruimte op een natuurlijke manier op te vatten als topologische ruimte. Het is echter niet zo dat elke topologische ruimte op deze manier geconstrueerd kan worden. Een tegenvoorbeeld is X ={p, q} met T = {∅, {p}, {p, q}}. Dan is {p} niet gesloten. In een metrische ruimte zijn alle eindige verzamelingen echter gesloten, dusT komt niet af van een metriek op X.
Zij (X, d) een metrische ruimte. Dan zijn er voor twee punten x 6= y altijd open omgevingen U van x en V van y te vinden met lege doorsnede. (Neem bijvoorbeeld U = Br(x) en V = Br(y), waarbij r = d(x, y)/2.) Deze eigenschap is nuttig, maar
geldt niet voor alle topologische ruimten. Voor de eerder genoemde topologische ruimte X ={p, q} met T = {∅, {p}, {p, q}} geldt zelfs dat elke open omgeving van q ook p bevat, dus zijn er zeker geen disjuncte open omgevingen van p en q.
Definitie. Een Hausdorffruimte is een topologische ruimte (X,T ) zodanig dat er voor alle x, y ∈ X met x 6= y open omgevingen U van x en V van y bestaan zodanig dat U∩ V = ∅.
Voorbeeld. Zij (X, d) een metrische ruimte, en zij Td de topologie op X gedefinieerd
door d. Dan is (X,Td) een Hausdorffruimte: als x, y twee verschillende punten van X zijn
en r = d(x, y)/2, dan zijn Br(x) en Br(y) disjuncte open omgevingen van x en y.
Het is vaak zinvol om verschillende topologie¨en op dezelfde verzameling met elkaar te vergelijken.
Definitie. Zij X een verzameling, en zijn T en T′ twee topologie¨en op X. We zeggen
datT′ fijner is danT , of dat T grover is dan T′, als geldt T ⊆ T′.
Op precies dezelfde manier als voor metrische ruimten kunnen we nu het inwendige, de afsluiting en de rand van deelverzamelingen van topologische ruimten defini¨eren, eve-nals het begrip dichtheid.
Definitie. Zij X een topologische ruimte, en zij S een deelverzameling van X. Het in-wendige van S in X, notatie S◦, is de grootste open deelverzameling U ⊆ X waarvoor geldt U ⊆ S. De afsluiting van S in X, notatie ¯S, is de kleinste gesloten deelverzame-ling F ⊆ X waarvoor geldt S ⊆ F . De rand van S in X, notatie ∂S, is de gesloten deelverzameling van X gedefinieerd door
∂S = ¯S∩ X \ S. We zeggen dat S dicht is in X als geldt ¯S = X.
7. Continue afbeeldingen tussen topologische ruimten
In propositie 3.1 hebben we gezien dat het begrip van continu¨ıteit voor afbeeldingen tussen metrische ruimten uitgedrukt kan worden in termen van open verzamelingen. Hierop baseren we de definitie van continue afbeeldingen tussen willekeurige topologische ruimten. Definitie. Zijn (X,TX) en (Y,TY) topologische ruimten. Een continue afbeelding van
(X,TX) naar (Y,TY) is een afbeelding f : X → Y zodanig dat voor elke U ∈ TY geldt
f−1U ∈ TX.
Voorbeelden. (1) Elke afbeelding van een verzameling met de discrete topologie naar een willekeurige topologische ruimte is continu.
(2) Elke afbeelding van een willekeurige topologische ruimte naar een verzameling met de triviale topologie is continu.
(3) Zijn (X, dX) en (Y, dY) twee metrische ruimten, en zij f : X → Y een afbeelding. Dan
is f continu als afbeelding van metrische ruimten dan en slechts dan als f continu is als afbeelding van topologische ruimten van (X,TdX) naar (Y,TdY).
(4) Neem X = C en zijT = {∅} ∪ {U ⊆ C | C \ U is eindig}. Dan geldt T ⊂ Td, dus de
identieke afbeelding op C definieert een continue afbeelding (C,Td)→ (C, T ).
(5) ZijnT en T′ twee topologie¨en op een verzameling X. Dan is de identiteit op X een
continue afbeelding van (X,T′) naar (X,T ) dan en slechts dan als T′ fijner is danT .
We voeren nu een begrip in dat zegt wanneer twee topologische ruimten “topologisch hetzelfde” zijn.
Definitie. Een homeomorfisme tussen topologische ruimten X en Y is een continue af-beelding f : X → Y met de eigenschap dat er een continue afbeelding g: Y → X bestaat zodanig dat g◦ f de identiteit op X is en f ◦ g de identiteit op Y is. We zeggen dat X en Y homeomorf zijn als er een homeomorfisme van f naar g bestaat.
Definitie. Een afbeelding f : X→ Y tussen topologische ruimten heet open als voor elke open deelverzameling U ⊆ X de verzameling f(U) open is in Y . Net zo heet een afbeelding f : X → Y gesloten als voor elke gesloten deelverzameling F ⊆ X de verzameling f(F ) gesloten is in Y .
Propositie 7.1. Zij f : X → Y een afbeelding tussen topologische ruimten. De volgende uitspraken zijn equivalent:
(1) f is een homeomorfisme; (2) f is bijectief, continu en open; (3) f is bijectief, continu en gesloten. Bewijs. Zie opgave 81.
Voorbeelden. (1) Zijn (X, d) en (Y, d) metrische ruimten, en zij f : X → Y een bijectieve isometrie. Vatten we X en Y op als topologische ruimten, dan is f een homeomorfisme. (2) De afbeelding
(−π/2, π/2) −→ R x7−→ tan x is een homeomorfisme met inverse y7→ arctan y.
(3) De afbeelding van de open eenheidsschijf naar R2 die in poolco¨ordinaten gegeven
wordt door (r, θ)7→ (r/(1−r), θ) is een homeomorfisme met inverse (u, θ) 7→ (u/(1+u), θ). (4) Een koffiekop en een donut zijn homeomorf.
Een type afbeelding dat later een belangrijke rol zal spelen, zijn continue afbeeldingen vanaf het eenheidsinterval [0, 1].
Definitie. Zij (X,T ) een topologische ruimte. Een weg of pad in X is een continue afbeelding
γ: [0, 1]→ X.
Als x = γ(0) en y = γ(1), dan noemen we γ een weg (of pad ) van x naar y. De volgende begrippen zijn erg nuttig bij het redeneren over wegen.
Definitie. Zij X een topologische ruimte, en zij γ: [0, 1] → X een weg. De omkering van γ is de weg
γ−1: [0, 1]−→ X t7−→ γ(1 − t).
Definitie. Zij X een topologische ruimte, en zijn γ1, γ2: [0, 1] → X twee wegen met de
eigenschap dat γ1(1) = γ2(0). De aaneenschakeling van γ1 en γ2 is de weg
γ1⊙ γ2: [0, 1]−→ X
t7−→
γ1(2t) als 0≤ t ≤ 1/2;
γ2(2t− 1) als 1/2 ≤ t ≤ 1.
(Merk op dat γ1⊙ γ2 goed gedefinieerd is dankzij de aanname dat γ1(1) = γ2(0). Zie
opgave 58 voor het bewijs dat γ1⊙ γ2 continu is.)
8. Constructies van topologische ruimten
We hebben al gezien dat het nemen van deelruimten een manier is om “nieuwe” topolo-gische ruimten te construeren. In deze paragraaf beschrijven we drie andere constructies: disjuncte verenigingen, quoti¨enten en producten van topologische ruimten.
Definitie. Zijn X en Y twee verzamelingen. De disjuncte vereniging van X en Y is de verzameling
X⊔ Y = {(0, x) | x ∈ X} ∪ {(1, y) | y ∈ Y }.
We kunnen X als deelverzameling van X ⊔ Y opvatten via de injectieve afbeelding X → X ⊔ Y
x7→ (0, x),
en net zo voor Y . De disjuncte vereniging verschilt van een “gewone” vereniging doordat X en Y per definitie lege doorsnede hebben als deelverzamelingen X⊔ Y .
Definitie. Zijn (X,TX) en (Y,TY) twee topologische ruimten. De topologie van de
dis-juncte vereniging is de collectie deelverzamelingen van X⊔ Y gedefinieerd door TX⊔Y ={U ⊔ V ⊆ X ⊔ Y | U ∈ TX, V ∈ TY}.
Het is niet moeilijk na te gaan dat TX⊔Y inderdaad een topologie op X ⊔ Y is, dat
X en Y open deelverzamelingen van X⊔ Y zijn en dat de deelruimtetopologie van X (respectievelijk Y ) als deelruimte van X ⊔ Y precies de oorspronkelijke topologie TX
Voorbeeld. Bekijk de deelruimten X, Y ∈ R2 gedefinieerd door X = {(x, 0) | x ∈ R}
en Y = {(0, y) | y ∈ R. In de “gewone” vereniging X ∪ Y hebben X en Y doorsnede {(0, 0)}. In de disjuncte vereniging zijn de punten (0, 0) ∈ X en (0, 0) ∈ Y daarentegen twee verschillende punten.
Vereniging (links) en disjuncte vereniging (rechts) van de x- en y-as in R2. Als X een verzameling is en ∼ een equivalentierelatie op X, noteren we de equiva-lentieklasse van een element x ∈ X met [x], en de verzameling equivalentieklassen met X/∼. Er bestaat een kanonieke afbeelding
q: X → X/∼ x7→ [x].
Per definitie is q invariant voor de equivalentierelatie∼, d.w.z. voor alle x, y ∈ X geldt de implicatie
x∼ y =⇒ q(x) = q(y).
Deze heeft de volgende universele eigenschap: als Z een verzameling is en f : X → Z is een functie die invariant is voor∼, d.w.z. die voldoet aan
x∼ y =⇒ f(x) = f(y),
dan bestaat er een unieke functie g: X/∼ → Z die voldoet aan g ◦ q = f, namelijk de functie die gegeven wordt door
g([x]) = f (x) voor alle x∈ X;
merk op dat g goed gedefinieerd is wegens de aanname dat f invariant is voor∼.
Propositie 8.1. Zij (X,TX) een topologische ruimte. Zij∼ een equivalentierelatie op de
verzameling X, zij Q = X/∼ de quoti¨entverzameling, en zij q: X → Q de quoti¨entafbeel-ding.
(a) Zij TQ de collectie van deelverzamelingen van Q gedefinieerd door
TQ ={U ⊆ Q | q−1U is open in X}.
Dan is TQ een topologie op Q.
(b) De afbeeelding q definieert een continue afbeelding (X,TX)→ (Q, TQ).
(c) We voorzien Q van de topologie TQ uit (a). Zij Z een topologische ruimte, en zij
f : X → Z een continue afbeelding zodanig dat voor alle x, x′ ∈ X geldt x ∼ x′ ⇒
f (x) = f (x′). Dan bestaat er een unieke continue afbeelding g: Q → Z waarvoor
Bewijs. Omdat q−1∅ = ∅ en q−1Q = X open zijn in X, geldt ∅, Q ∈ T
Q. Voor een
willekeurige collectieU van elementen van TQ is de deelverzameling
q−1 [
U ∈U
U = [
U ∈U
q−1U
van X open, dus geldtSU ∈U ∈ TQ; dit laat zien dat willekeurige verenigingen van
elemen-ten vanTQ weer in TQ liggen. Een soortgelijk argument laat zien dat eindige doorsneden
van elementen van TQ weer in TQ liggen. Dit bewijst (a). Voor (b) merken we op dat
q continu is per constructie van TQ en de definitie van continu¨ıteit. Om (c) te bewijzen,
merken we als hierboven op dat de gezochte afbeelding g noodzakelijk gegeven wordt door g([x]) = f (x); we moeten laten zien dat deze g continu is. Voor elke open deelverzameling U ⊆ Z is de deelverzameling
q−1(g−1U ) = (g◦ q)−1U = f−1U
van X open wegens de continu¨ıteit van f ; de definitie vanTQ impliceert nu g−1U ∈ TQ,
hetgeen we moesten bewijzen.
Definitie. Zij X een topologische ruimte, zij ∼ een equivalentierelatie op X, en zij Q = X/∼ de quoti¨entverzameling. De topologie TQ uit propositie 8.1 heet de quoti¨enttopologie
op Q, en de topologische ruimte (Q,TQ) heet het quoti¨ent van de ruimte X naar de
equivalentierelatie∼.
Propositie 8.1(c) laat zien dat wanneer we Q = X/∼ voorzien van de quoti¨enttopo-logie, de bovengenoemde universele eigenschap van quoti¨entverzamelingen betekenis blijft houden in de context van continue afbeeldingen. De topologieTQ is te karakteriseren als
de fijnste topologie op Q waarvoor de afbeelding q: X→ Q continu is.
Voorbeeld. Zij I het eenheidsinterval [0, 1], en zij∼ de equivalentierelatie op I waarvoor geldt x ∼ y dan en slechts dan als geldt x = y of {x, y} = {0, 1}. Door het quoti¨ent te nemen, plakken we de uiteinden 0 en 1 aan elkaar; intu¨ıtief levert dit een cirkel op. Dit is precies te maken door na te gaan dat de continue afbeelding
I −→ R2
t7−→ (cos(2πt), sin(2πt))
een homeomorfisme induceert van I/∼ naar S1={(x, y) ∈ R2 | x2+y2 = 1}. Zie hiervoor
opgave 59.
Voorbeeld. Zij R de rechthoek [0, L]× [0, 1] in R2 voor een L > 0. We defini¨eren een
equivalentierelatie ∼ op R door voor te schrijven dat twee punten (x, y), (x′, y′) ∈ R
equivalent zijn dan en slechts dan als ze ofwel gelijk zijn, ofwel er een t ∈ [0, 1] bestaat waarvoor geldt
{(x, y), (x′, y′)} = {(0, t), (L, 1 − t)}. De quoti¨entruimte R/∼ staat bekend als de M¨obiusband.
1
L
Voorbeeld. Als gelijktijdige toepassing van disjuncte verenigingen en quoti¨enten kunnen we twee topologische ruimten “aan elkaar plakken”. Hiertoe nemen we aan dat de volgende data gegeven zijn:
• twee topologische ruimten X1 en X2;
• topologische deelruimten U1 ⊆ X1 respectievelijk U2 ⊆ X2;
• een homeomorfisme φ: U1 −→ U∼ 2.
We nemen X = X1⊔ X2 met de topologie van de disjuncte vereniging, en we beschouwen
X1 en X2 als deelruimten van X. We defini¨eren een equivalentierelatie∼ op X door voor
te schrijven dat twee punten x, x′ ∈ X equivalent zijn dan en slechts dan als ze ofwel gelijk zijn, ofwel er een x1 ∈ U1bestaat waarvoor geldt{x, x′} = {x1, φ(x1)}. De oorspronkelijke
ruimten X1 en X2 zijn op te vatten als deelruimten van de quoti¨entruimte X/ ∼, en de
doorsnede van deze deelruimten is homeomorf met zowel U1 als U2.
Twee ruimten X1 en X2 met homeomorfe deelruimten (boven)
en het resultaat van plakken langs deze deelruimten (onder)
Een ander type constructie waarmee we nieuwe ruimten kunnen maken, is het nemen van producten. We kunnen op het product van twee metrische ruimten (X, dX) en (Y, dY)
een “productmetriek” defini¨eren. Net zo kunnen we op het product van twee topologische ruimten (X,TX) en (Y,TY) een producttopologie defini¨eren. Dit is de grofste topologie op
X× Y zodanig dat de projectieafbeeldingen X × Y → X en X × Y → Y continu zijn. Definitie. De producttopologie op X× Y is de topologie T zodanig dat de verzameling
S = {U × Y | U ⊆ X open} ∪ {X × V | V ⊆ Y open} een subbasis voorT is.
Propositie 8.2. Zijn X en Y twee topologische ruimten, en zijn p: X × Y → X en q: X× Y → Y de projectieafbeeldingen. Dan bestaat er voor elke topologische ruimte Z en elk tweetal continue afbeeldingen g: Z→ X en h: Z → Y een unieke continue afbeelding f : Z → X × Y die voldoet aan p ◦ f = g en q ◦ f = h.
Bewijs. Op het niveau van verzamelingen is de afbeelding f : Z → X × Y gedefinieerd door f (z) = (g(z), h(z)) de unieke afbeelding met de gewenste eigenschap. We moeten dus nagaan dat f continu is; zie hiervoor opgave 66.
Voorbeeld. De producttopologie op R× R is gelijk aan de euclidische topologie op R2; zie opgave 63.
Voorbeeld. Het product S1 × S1 van twee kopie¨en van de cirkel staat bekend als de
torus. Deze kan ook verkregen worden door de randen van een vierkant op een geschikte manier aan elkaar te plakken; zie opgave 67.
De definitie van de producttopologie is zonder problemen te generaliseren naar pro-ducten van willekeurig veel topologische ruimten.
Definitie. Zij I een verzameling, zij voor elke i∈ I een topologische ruimte Xi gegeven,
zij X de productverzameling Qi∈IXi, en zij pi: X → Xi de i-de projectieafbeelding. De
producttopologie op X is de topologieT zodanig dat de verzameling S = {p−1i U | i ∈ I, U ⊆ Xi open}
een subbasis voorT is.
Evenals in het eindige geval is de producttopologie volgt uit de definitie dat T de grofste topologie op X is waarvoor alle projecties X→ Xi continu zijn.
9. Compactheid
Een fundamentele eigenschap van de re¨ele getallen is het volgende feit, dat samenhangt met de volledigheid van R.
Stelling 9.1(Bolzano–Weierstraß). Elke begrensde rij in R heeft een convergente deelrij. Dit geeft aanleiding tot de volgende definities.
Definitie. Een metrische ruimte (X, d) is begrensd als er een positief re¨eel getal M bestaat zodanig dat voor alle x, y∈ X geldt d(x, y) < M.
Definitie. Een metrische ruimte (X, d) is rijcompact als elke rij in X een convergente deelrij heeft.
Stelling 9.2 (Heine–Borel). Zij X een deelverzameling van R. Dan is X rijcompact dan en slechts dan als X gesloten en begrensd is.
We zullen deze stelling hieronder als gevolg van een algemenere stelling afleiden. Daarnaast willen we de gesloten en begrensde deelverzamelingen van R karakteriseren op een manier waarin alleen de topologie en niet de metriek tot uitdrukking komt.
Definitie. Zij (X,T ) een topologische ruimte. Een open overdekking van X is een deel-verzamelingU van T waarvoor geldt X =SU ∈UU .
Definitie. Een topologische ruimte (X,T ) heet compact als er voor elke open overdekking U van X een eindige deelverzameling U′⊆ U bestaat waarvoor geldt X =S
U ∈U′U .
De definitie van compactheid wordt vaak geformuleerd als “elke open overdekking heeft een eindige deeloverdekking”.
Voorbeelden. (1) Elke eindige topologische ruimte X is compact. Dit volgt direct uit het feit dat X maar eindig veel open verzamelingen heeft.
(2) De topologische ruimte R is niet compact. Bekijk bijvoorbeeld de open overdekking U = {B1(x)| x ∈ R} van R. De vereniging van eindig veel elementen van U is begrensd,
en is dus niet gelijk aan R; dit betekent datU geen eindige deeloverdekking heeft. (3) Hetzelfde argument als in (2) laat zien dat elke compacte metrische ruimte begrensd is.
Propositie 9.3. Zij (X,T ) een topologische ruimte, en zij S een deelverzameling van X. De volgende uitspraken zijn equivalent:
(1) S (gezien als topologische ruimte met de deelruimtetopologie van X) is compact; (2) voor elke deelverzameling U van T met S ⊆SU ∈U bestaat er een eindige
deelverza-meling U′ ⊆ U waarvoor geldt S ⊆SU ∈U′U .
Bewijs. Dit is af te leiden uit het feit dat de open deelverzamelingen van S precies de verzamelingen van de vorm U∩ S zijn met U een open deelverzameling van X. De details worden als opgave aan de lezer overgelaten.
We noemen een verzameling S als in de bovenstaande propositie een compacte deel-verzameling van X. Een deel-verzameling U als in de propositie heet een open overdekking van S (door open verzamelingen van X).
Propositie 9.4. Zij (X,T ) een topologische ruimte, en zij Y een topologische deelruimte van X.
(a) Als X compact is en Y gesloten is in X, dan is Y compact.
(b) Als X een Hausdorffruimte is en Y compact is, dan is Y gesloten in X.
Bewijs. (a) Zij U een overdekking van Y door open verzamelingen van X. Omdat Y gesloten is in X, is U ∪ {X \ Y } een open overdekking van X. Wegens de compactheid van X heeft deze open overdekking een eindige deeloverdekkingU′. De doorsnede U ∩ U′
is nu een eindige deelverzameling vanU die Y overdekt.
(b) We bewijzen dat X\ Y open is. Zij x ∈ X \ Y . Omdat X een Hausdorffruimte is, bestaan er voor alle y∈ Y open verzamelingen Uy, Vy ⊆ X waarvoor geldt x ∈ Uy, y∈ Vy
en Uy∩ Vy = ∅. De verzameling V = {Vy | y ∈ Y } is een overdekking van Y met open
deelverzamelingen van X. Wegens de compactheid van Y is er een eindige deeloverdekking V′ ⊆ V; deze heeft de vorm {V
y | y ∈ S} voor een eindige deelverzameling S ⊆ Y . Bekijk
nu de open verzameling U = Ty∈SUy. Deze U heeft lege doorsnede met Vy voor elke
y∈ S, en dus geldt U ∩ Y = ∅. Hieruit volgt dat U een open omgeving van x is die binnen X\ Y ligt.
Een nuttige eigenschap van compacte ruimten is dat het beeld van een compacte ruimte onder een continue afbeelding weer compact is.
Propositie 9.5. Zij f : X → Y een continue afbeelding tussen topologische ruimten, en zij C een compacte deelverzameling van X. Dan is f (C) compact.
Bewijs. We mogen aannemen dat geldt C = X en f (C) = Y . ZijV een open overdekking van Y , en zij U = {f−1V | V ∈ V}. Dan is U een open overdekking van X. Wegens
de compactheid van X is er een eindige deeloverdekking U′ ⊆ U. Deze is van de vorm
U′ = {f−1V | V ∈ V′} voor een eindige deelverzameling V′ ⊆ V. Als x ∈ X bevat is in
f−1V , dan is f (x) bevat in f (f−1V )⊆ V . Hieruit volgt dat V′ een overdekking van Y
is.
Gevolg 9.6. Zij f : X → Y een continue afbeelding van een compacte ruimte X naar een Hausdorffruimte Y . Dan is f gesloten.
Bewijs. Zij F ⊆ X een gesloten deelverzameling. Wegens propositie 9.4(a) is F compact. Uit propositie 9.5 volgt dat f (F ) compact is. Tot slot volgt uit propositie 9.4(b) dat f (F ) gesloten is in Y .
Gevolg 9.7. Zij f : X → Y een bijectieve continue afbeelding van een compacte ruimte X naar een Hausdorffruimte Y . Dan is f een homeomorfisme.
Bewijs. Wegens propositie 7.1 volstaat het om te bewijzen dat f gesloten is. Dit hebben we echter gezien in gevolg 9.6.
De volgende herformulering van compactheid is vaak nuttig.
Definitie. Zij X een topologische ruimte. We zeggen dat X de eindige-doorsnijdings-eigenschap heeft als er voor elke collectieF van gesloten verzamelingen metTF ∈FF =∅
een eindige deelverzamelingF′⊆ F bestaat zodanig dat T
F ∈F′F =∅.
Propositie 9.8. Zij X een topologische ruimte. Dan is X compact dan en slechts dan als X de eindige-doorsnijdingseigenschap heeft.
Bewijs. Dit volgt uit de definitie door het nemen van complementen.
Het volgende feit is een bijzonder nuttige eigenschap van compacte ruimten.
Stelling 9.9. Zij X een niet-lege compacte topologische ruimte, en zij f : X → R een continue functie. Dan neemt f een maximum en minimum aan op X.
(Oftewel: er bestaan a, b∈ X zodanig dat voor alle x ∈ X geldt f(a) ≤ f(x) ≤ f(b).) Bewijs. Omdat X compact is, is f (X) compact wegens propositie 9.5. Uit proposi-tie 9.4(b) volgt nu dat f (X) gesloten is; gezien het eerder opgemerkte feit dat compacte metrische ruimten begrensd zijn, is f (X) begrensd. Omdat X niet-leeg is, geldt hetzelfde voor f (X); dit impliceert dat f (X) een minimaal en een maximaal element heeft.
We gaan terug naar metrische ruimten.
Zij (X, d) een metrische ruimte. De diameter van een niet-lege deelverzameling S⊆ X is gedefinieerd als
diam(S) = sup{d(x, y) | x, y ∈ S} ∈ R ∪ {∞}. (Zie ook opgave 7.)
Stelling 9.10 (Cantor). Zij X een volledige metrische ruimte. Stel dat F0 ⊇ F1 ⊇ F2 ⊇
. . . gesloten en niet-lege verzamelingen zijn zodanig dat diam(Fn) → 0 als n → ∞. Dan
bevat F =Tn≥0Fn precies ´e´en punt.
Bewijs (schets). We kiezen een rij (xn)n≥0 in X zodanig dat xn ∈ Fn voor alle n. Dan
is (xn)n≥0een Cauchyrij en heeft wegens de volledigheid van X een limiet x. Deze limiet
ligt in F =Tn≥0Fn omdat de Fn gesloten zijn. Tot slot is het eenvoudig na te gaan dat
diam(F ) = 0, zodat F niet meer dan ´e´en punt kan bevatten.
Definitie. Zij X een metrische ruimte. We zeggen dat X totaal begrensd is als er voor elke ǫ > 0 een eindige overdekking van X bestaat met open ballen van straal ǫ.
De volgende stelling kan gezien worden als een generalisatie van de stelling van Heine–Borel (gebruik dat gesloten en begrensde deelverzamelingen van R hetzelfde zijn als volledige en totaal begrensde deelverzamelingen van R).
Stelling 9.11. Zij (X, d) een metrische ruimte. De volgende uitspraken zijn equivalent: (1) X is compact;
(3) X is volledig en totaal begrensd.
Bewijs. We bewijzen de implicaties (1) =⇒ (2) =⇒ (3) =⇒ (1).
(1) =⇒ (2) Stel X is compact. Zij (xn)n≥0 een rij in X. We willen een convergente
deelrij (xnk)k≥0 construeren. Voor alle n ≥ 0 defini¨eren we Fn als de afsluiting van de
verzameling{xm| m ≥ n}. Dan is de doorsnede van eindig veel Fn niet-leeg. Wegens de
eindige-doorsnijdingseigenschap is de doorsnede van alle Fn ook niet-leeg. We kiezen een
punt x∈Tn≥0Fn. Zij n0 = 0. Voor alle k ≥ 1 is er wegens het feit dat x in Fnk−1+1 ligt
een nk> nk−1 waarvoor geldt d(xnk, x) < 2
−k. De rij (x
nk)k≥0 convergeert nu naar x.
(2) =⇒ (3) Stel X is rijcompact. Zij (xn)n≥0 een Cauchyrij in X. Wegens de
rijcom-pactheid heeft (xn)n≥0 een convergente deelrij. Zij x de limiet van deze deelrij. Dan
convergeert ook de hele rij (xn)n≥0 naar x. Hieruit volgt dat X volledig is. Stel nu dat X
niet totaal begrensd is. Dan is er een ǫ > 0 zodanig dat X niet overdekt kan worden door eindig veel ballen van straal ǫ. We willen een rij construeren zonder convergente deelrij. Kies x0 ∈ X. Dan is Bǫ(x0) niet gelijk aan X, dus er bestaat x1 ∈ X \ Bǫ(x0). Nu is ook
Bǫ(x0)∪ Bǫ(x1) niet gelijk aan X, dus er bestaat x2 ∈ X \ (Bǫ(x0)∪ Bǫ(x1)). Inductief
construeren we zo een rij (xn)n≥0 met de eigenschap dat xn+1 6∈ Bǫ(x0)∪ . . . ∪ Bǫ(xn).
Hieruit volgt dat (xn)n≥0geen deelrij heeft die een Cauchyrij is (twee verschillende punten
liggen altijd minstens ǫ van elkaar vandaan), tegenspraak. Dus X is totaal begrensd. (3) =⇒ (1) Stel X is volledig en totaal begrensd. Zij U een open overdekking van X. Stel dat U geen eindige deeloverdekking heeft. Er bestaat daarentegen wel een eindige overdekking van X met open ballen van straal 1. OmdatU geen eindige deeloverdekking heeft, is er dus een x0∈ X zodanig dat B1(x0) niet overdekt kan worden door eindig veel
open verzamelingen in U. Wel kan X, en dus ook B1(x0), overdekt worden met eindig
veel open ballen van straal 1/2 in X; er is dus een x1 ∈ X zodanig dat B1(x0)∩ B1/2(x1)
niet overdekt kan worden door eindig veel open verzamelingen in U. Zo verdergaand construeren we een rij (xn)n≥0 in X zodanig dat de open verzameling Vn= B1(x0)∩ · · · ∩
B2−n(xn) in X niet overdekt kan worden door eindig veel open verzamelingen inU. Voor
n≥ 0 defini¨eren we Fn als de afsluiting van Vn. Dan is de diameter van Fn ten hoogste
21−n. Omdat X volledig is, bevat Tn≥0Fn wegens stelling 9.10 precies ´e´en punt x. Kies
U0 ∈ U met x ∈ U0. Dan bestaat er een ǫ > 0 met Bǫ(x) ⊆ U0. Zij n≥ 0 zodanig dat
21−n < ǫ, dan geldt Fn ⊆ Bǫ(x)⊆ U0. In het bijzonder is{U0} een eindige overdekking
van Vn door open verzamelingen inU, een tegenspraak.
Compacte topologische ruimten zijn in zekere zin “overzichtelijker” dan algemene topologische ruimten; denk aan het feit dat compacte metrische ruimten volledig en totaal begrensd zijn. Een veel gebruikte techniek om een niet-compacte ruimte X te bestuderen is om X “in te bedden” in een compacte ruimte. Dit heet het compactificeren van X en is enigszins vergelijkbaar met het completeren van een metrische ruimte. Voor onze doeleinden beperken we ons tot lokaal compacte Hausdorffruimten X, en we beperken ons tot het eenvoudigste type compactificatie.
Definitie. Een topologische ruimte (X,T ) is lokaal compact als er voor elke x ∈ X een (niet noodzakelijk open) omgeving N van x bestaat zodanig dat N compact is.
Voorbeelden. Compacte ruimten, Rn, discrete ruimten.
Definitie. Zij (X,T ) een lokaal compacte Hausdorffruimte. Een eenpuntscompactificatie van (X,T ) is een compacte Hausdorffruimte (X∞,T∞) samen met een continue afbeelding
ι: (X,T ) → (X∞,T∞) zodanig dat ι: X → ι(X) een homeomorfisme is en X∞\ ι(X) uit
Stelling 9.12. Zij (X,T ) een lokaal compacte Hausdorffruimte. Dan bestaat er een een-puntscompactificatie (X∞,T∞) van (X,T ), en deze is op homeomorfie na uniek bepaald.
Bewijs. Zij X∞ de verzameling X⊔ {∞}. We defini¨eren een topologie T∞ op X∞ door
T∞=T ∪ {X∞\ K | K ⊂ X is compact}.
De collectie van complementen van verzamelingen inT∞ is
F∞={F ∪ {∞} | F ⊆ X is gesloten} ∪ {K | K ⊂ X is compact}.
We gaan na dat T∞ een topologie is door te bewijzen dat F∞ de eigenschappen van de
collectie van gesloten verzamelingen heeft. Ten eerste is duidelijk dat geldt ∅, X∞∈ F∞.
Laten F, F′ ∈ F
∞gegeven zijn. Als∞ ∈ F ∪F′, dan is F∪F′van de vorm F′′∪{∞} met F′′
gesloten (compacte deelverzamelingen van X zijn gesloten omdat X een Hausdorffruimte is). Anders is F ∪ F′ een vereniging van twee compacte verzamelingen en is dus weer compact.
Zij G een willekeurige deelverzameling van F∞. Als ∞ ∈ F voor alle F ∈ G, dan
is TF ∈GF van de vorm F ∪ {∞} met F gesloten in X. Anders bevat G een compacte deelverzameling K van X, en geldt
\
F ∈G
F = \
F ∈G
(F ∩ K)
De verzamelingen rechts is een doorsnede van gesloten deelverzamelingen van de compacte ruimte K, is dus zelf gesloten in K en is dus een compacte deelverzameling van X.
We bewijzen dat (X∞,T∞) compact is. Zij U een open overdekking van X∞. Dan is
er minstens een U ∈ U met ∞ ∈ U. Zij K = X∞\ U; dan is X = U ∪ K en het volstaat
te bewijzen dat K een eindige overdekking door elementen vanU heeft. Dit volgt echter uit het feit dat U∩ X open is in X voor elke U ∈ T∞ en K compact is.
We bewijzen dat (X∞,T∞) een Hausdorffruimte is. Zijn x, y ∈ X∞ verschillend. Als
x, y 6= ∞, dan bestaan er disjuncte open omgevingen van x en y in X (en dus in X∞)
omdat X een Hausdorffruimte is. We mogen dus aannemen dat x∈ X en y = ∞. Omdat X lokaal compact is, bestaan er U ⊆ X open en K ⊆ X compact met x ∈ U ⊆ K. Verder is X∞\ K een open omgeving van ∞ in X∞. Hiermee zijn U en X∞\ K disjuncte open
omgevingen van x en∞ in X∞.
De natuurlijke inbedding ι: X → X∞is een homeomorfisme naar ι(X) omdat{U ∩X |
U ∈ T∞} = T .
Om te bewijzen dat (X∞,T∞) op homeomorfismen na uniek is, nemen we aan dat
(X∞′ ,T′
∞) een andere eenpuntscompactificatie is. Dan kunnen we een voor de hand
liggende bijectie f : X∞′ → X∞ construeren. We merken nu op dat de topologie T∞
“minimaal” is in de zin dat voor alle U ∈ T∞ de eis dat (X∞′ ,T∞′ ) een compacte
Haus-dorffruimte is, impliceert dat f−1U open is. Dit betekent dat f een continue afbeelding van een compacte ruimte naar een Hausdorffruimte is. Wegens gevolg 9.7 is f een home-omorfisme.
Compacte topologische ruimten zijn het onderwerp van een van de meest funda-mentele stellingen uit de topologie, namelijk de stelling van Tichonov . (Alternatieve transliteraties: Tikhonov, Tichonow, Tychonoff enz.)
