VERGROTINGSFACTOR VOOR BUIGZAME STAVEN ( HOOFDSTUK 11 )

ConstructieMechanica 3

7-17 Stabiliteit van het evenwicht

• Inleiding

• Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad)

• Systemen met meer dan één vrijheidsgraad

• Buigzame staaf (oneindig veel vrijheidsgraden)

• Statisch bepaalde op druk belaste staaf

• Algemene aanpak met de D.V.

• Verend ingeklemde buigzame staven

• Gekoppelde systemen

• Knik en de EUROCODE 3

• 2^e orde effecten

• Naknikgedrag

• Initiële scheefstand, vergrotingsfactor

• Vergrotingsfactor voor buigzame staven

• Bezwijken door instabiliteit

VERGROTINGSFACTOR VOOR BUIGZAME STAVEN ( HOOFDSTUK 11 )

VOORBEELD 1

Wat is de invloed van de verticale belasting F op de horizontale

uitbuiging w veroorzaakt door H?

F

EI

H

l w

1e orde uitbuiging :

3

3

3

o

3

o

Hl EI

w H w

EI l

= ⇒ = ×

BASISGEREEDSCHAP 2

^e

orde

( )

x C

x C

x C Fw M

S

q q Fw

EIw

z

z x

α α sin cos

C w(x)

: oplossing Algemene

' '

en

0 ,

0 '' ''

''

4 3

2

1

+ + +

=

−

=

=

= +

• 4

^e

orde D.V.

• 4 randvoorwaarden

Benodigde afgeleiden voor het uitwerken:

2 4

2 3

2

4 3

2

4 3

2 1

' ''

' sin

cos )

( ''

cos sin

) ( '

sin cos

) (

FC Fw

EIw S

x C

x C

x w

x C

x C

C x

w

x C

x C

x C C

x w

z

= − − = −

−

−

=

+

−

=

+ +

+

=

α α

α α

α α

α α

α

α

EVENWICHT

z, w

x

l

F H

) 0 ( w

F H

S

_x

S

z

' ''

' '

'

: 0

'' ''

''

^{2 2}

Fw EIw

S Fw

M S

EI met F

w w

z

z

= − ⇔ = − −

=

=

+ α α

Randvoorwaarden:

1) (0) 3) ( ) 0

2) (0) 0 4) ( ) 0

S

z

H w l

M ϕ l

= − =

= =

Randvoorwaarden: Uitwerken levert:

OPLOSSING:

tan sin

2

( ) met:

cos

H l H H x F

w x l x

F F F l EI

α α

α α α α

 

=  −  + − =

 

DUS : EXACTE VERLOOP VAN w(x) IS BEPAALD VOOR GEGEVEN F en H !

geen knikprobleem maar 2

^e

orde berekening !

2 2

2

3 3

1 2 3 4

2 3 4

1) /

2) 0 0

3) cos sin 0

4) sin cos 0

FC H C H F

EI C C

C C l C l C l

C C l C l

α

α α

α α α α

− = − ⇒ =

= ⇒ =

+ + + =

− + =

2 3

1

4

1) /

2) 0

3) tan

4) cos

C H F C

H l

C l

F C H

F l

α α α α

=

=

 

=  − 

 

= −

2

^e

ORDE UITBUIGING BIJ HET UITEINDE (x=0) :

3

2

2

tan 3

(0) met:

tan 3 tan

(0) 1 1

3 tan

(0) 1

( )

o

o

o

H l EI

w l H w

F l

Hl l EI l

w w

F l l F l

w l w

l l

α α

α α

α α

α

α α

 

=  −  = ×

 

   

=  −  =  −  ×

   

 

=  −  ×

 

exacte vergrotingsfactor

VERGROTINGSFACTOR

dus n/(n-1) geldt altijd …

( )

( )

( ) ( ) l n

EI l l

EI F

n F

l l exact l

n benadering n

k

2 4 4 :

met

tan 1 3

1

2 2 2

2 2 2

α π

α π α

π

α α α

=

=

=

=

 

 

−

=

= −

F

EI

H

l

RESULTAAT VOORBEELD 1

n αl exact n/(n- 1 )

1,01 1,56 99,56 101,00

1,05 1,53 20,71 21,00

1,25 1,40 4,94 5,00

1,50 1,28 2,97 3,00

1,75 1,19 2,31 2,33

2,00 1,11 1,99 2,00

2,50 0,99 1,66 1,67

5,00 0,70 1,25 1,25

7,50 0,57 1,15 1,15

10,00 0,50 1,11 1,11

Hele goede match maar toch kleine verschillen,

waar kan dat door komen ?

VOORBEELD 2 (par 11.2.2)

• Vooruitbuiging t.g.v.

een parabolische initiële verplaatsing

dus n/(n-1) geldt altijd …

Goede benadering :

1

− n

n

VOORBEELD 3

Excentrische drukkracht

Goede benadering voor de vergrotingsfactor voor het

moment in de middendoorsnede :

1 25 , 0

−

+

n

n

VOORBEELD 4 (par 11.3.3)

k u

l

k F

Constructie met belasting Eerste orde uitbuiging

A A

1^e orde uitbuiging : Alleen t.g.v. H :

o o

o o

EI M u l

EI Hl l

u

EI stel rl

r l Hl EI

u Hl

 ×





 

 +

=

 



 

 +

×

=

× = +

=

ρ

ρ ρ

1 3 3

1 3 3

3

2

2 3

H H

TWEEDE ORDE MOMENT

Moment in de veer t.g.v. de totale belasting waarbij de scheefstand wordt meegenomen in de evenwichtsvergelijking

2^e orde uitbuiging en het moment in de veer:



= 

 

 

 

 

−

 

 



 + +

−

×

=

=



 









 







−

 

 



 +

× +

−

×

 =







 





 

 



 +

− × +

×

=

 

 



 +

×

− × +

=

− ×

× +

=

× +

=

π ρ π

ρ ρ

ρ

2 2

2

2 2

2

: 1 met

1 3 1 3

: 1 met

1 3 1 3

1 3 3

1 1

1 3 3

1 1

F EI n

EI l n F

M M

F n F

n

EI nF l

n EI M

l n

M nF M

EI Hl l

n Hl nF n u

F n Hl u

F Hl M

k k

o

k o

o

o

UITWERKEN LEVERT

2^e orde uitbuiging en het moment in de veer:

2

2 2

2 3

2 2

2

1 3

1 (1 )

3 4 1

3(4 )

met: 10

1 1

0, 2

3(5 2 ) 1, 2 3

vergrotingsfactor voor het moment :

1 1

o o

o

EIl n

EIl n

M M M

n n

n n

M M

n n

ρ π

ρ

π ρ

π π

ρ π

ρ ρ

ρ ρ

   

× +

   

 

 − +   + 

 ×  +    − + 

       + 

     

= ×   = × ≈

−  − 

   

   

   

 

 

 

− −

+

= + ×

− −

Dat hadden we niet verwacht ??

ACCEPTABELE VERGROTINGSFACTOR ?

Kies bijvoorbeeld max 15% vergroting van de scheefstand door invloed van een drukkracht.

Vigerende normen stellen hiervoor eisen, zie college Staal-

Betonconstructies.

CONCLUSIE VERGROTINGSFACTOR VOOR BUIGZAME OP DRUK BELASTE STAVEN

• Standaard aanpak volgens starre modellen geeft goede schatting

• De vergrotingsfactor _{n −} ⁿ ₁ is niet exact want de 2

^e

orde uitbuiging is niet affien met 1

^e

orde uitbuiging

• Oppassen als eindmomenten die afhankelijk zijn van drukkracht optreden

• Beperk invloed vergroting door sterke reductie drukkracht

( nauwkeurige bepaling van de knikkracht is daarmee minder van belang, afschatten is lonend!! )