/N N 1 2

(1)

Boltzmann verdeling

(2)

Boltzmann verdeling 1

• Als een systeem verschillende energieën kan aannemen dan is de kans het systeem in een toestand met energie E te vinden gelijk aan:

∑

^⎜_⎝^⎛− ^⎟_⎠^⎞

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

kT f kT

ε ε ε

exp exp )

(

(Noemer dient voor normering)

∑

^f ⁽^ε⁾ ^{= 1}

(3)

Boltzmann verdeling 2

• Vaak hebben een aantal toestanden gelijke

energie. In de verdelingsfunctie nemen we dat mee via de ontaardinsgraad g(ε)

• Als de verdelingsfunctie continu is: vervangen we de som door een integraal.

∑

^⎜_⎝^⎛− ^⎟_⎠^⎞

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

g kT g kT

f ε ε

ε ε ε

exp )

(

exp ) ( )

(

(4)

Boltzmann verdeling in de atmosfeer

• Voor een isotherme atmosfeer:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

= kT

n mgh h

n( ) ₀ exp

= mgh

ε

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

= kT

p mgh h

p( ) ₀ exp dichtheid

druk

(5)

Atmosfeer

• Afleiding via kracht evenwicht:

( ^p ^h ^dh ^p ^h ) ^gAdh

A ⋅ + − = ⋅

− ( ) ( ) ρ

(6)

Twee-niveau systeem

( )

⁻ ⁺

( )

⁻ ^⎜_⎝^⎛− ^⎟_⎠^⎞

=

kT kT

kT

N N

`

` 1

1 2

1

exp exp

exp

ε ε

ε

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 20 40 60 80 100

T (K)

N 2/N 1

Δε = 10 K

(7)

/N N 1 2

Boltzmann verdeling

Boltzmann verdeling 1

∑

∑

Boltzmann verdeling 2

∑

Boltzmann verdeling in de atmosfeer

= mgh

ε

Atmosfeer

( ^p ^h ^dh ^p ^h ) ^gAdh

A ⋅ + − = ⋅

− ( ) ( ) ρ

Twee-niveau systeem

( )

( )

Roterende twee-atomige molekulen

) 1 (

)

( J = B ⋅ J J + E

1 2

)

( J = J +

g

/N N 1 2

Boltzmann verdeling

Boltzmann verdeling 1

∑

∑

Boltzmann verdeling 2

∑

Boltzmann verdeling in de atmosfeer

= mgh

ε

Atmosfeer

( p h dh p h ) gAdh

A ⋅ + − = ⋅

− ( ) ( ) ρ

Twee-niveau systeem

( )

( )

Roterende twee-atomige molekulen

) 1 (

)

( J = B ⋅ J J + E

1 2

)

( J = J +

g

( ^p ^h ^dh ^p ^h ) ^gAdh