Wiskunde logica

(1)

Jolien Oomens Werkcollege 8 6 april 2017 1 / 6

Wiskunde logica

Werkcollege 8

Jolien Oomens 6 april 2017

Opgave 1

Zij Φ = {v0≡ t | t ∈ T^S} ∪ {∃v0∃v1¬v0≡ v1}. Bewijs Con Φ en dat er geen consistente verzameling in L^S bestaat die Φ omvat en ook getuigen heeft.

Bekijk een structuur bestaande uit twee punten a en b. Kies β(x ) = a voor alle x . Dan worden alle termen afgebeeld op a, dus J|= Φ. Uit Sat Φ volgt Con Φ.

Stel dat er een Ψ is met Φ ⊆ Ψ die getuigen bevat. Volgens de volledigheidsstelling is er een model J dat Ψ waar maakt. Er zijn ook getuigen t₁, t₂ ∈ T^S zodat

Ψ ` (∃v₀∃v₁¬v₀ ≡ v₁ → ¬t₁ ≡ t₂)

dus J |= ¬t₁ ≡ t₂ maar ook J |= t₁ ≡ t₂. Tegenspraak.

Opgave 2

Is {¬∀v1Pv1, Pv1, Pv2, Pv3, . . . } consistent?

Kies opnieuw β niet surjectief.

Opgave 3

Laat zien dat een oneindige kaart met vier kleuren te kleuren is dan en slechts dan als elke eindige deelkaart met vier kleuren te kleuren is.

Bekijk de taal met de vier unaire relaties {G , B, R, O} (groen, blauw, rood, oranje) en introduceer een constante voor elk land op de kaart (bijvoorbeeld c_NL, c_EN, c_BE). Zij R de relatie die weergeeft welke landen aan elkaar grenzen. De formule

ϕ = ∀x ((Gx ∨ Bx ∨ Rx ∨ Ox ) ∧ ∀y (Rxy → ((Gy → ¬Gx ) ∧ . . . )) beschrijft een correcte kleuring.

De compactheidsstelling (VI.2.1(b)) geeft nu het resultaat.

(2)

Opgave 4

Zij Σ1en Σ2twee verzamelingen zinnen zodat er geen structuur is die een model is van zowel Σ1als Σ2. Bewijs dat er een zin τ is zodat Mod(Σ1) ⊆ Mod(τ ) en Mod(Σ2) ⊆ Mod(¬τ ).

Er geldt niet Sat(Σ₁∪ Σ₂) dus er is een eindige deelverzameling zonder model, zeg {ϕ₁, . . . , ϕ_n, ψ₁, . . . , ψ_m} waarbij elke ϕ_i ∈ Σ₁ en elke ψ_j ∈ Σ₂. Definieer nu

τ = ϕ₁∧ · · · ∧ ϕ_n.

Elk model voor Σ₁ is zeker een model voor τ . Zij M ∈ Mod(Σ₂) en stel dat M 6∈ Mod(¬τ ). Dan geldt M |= τ , maar dan moet ook M |= {ϕ₁, . . . , ϕ_n, ψ₁, . . . , ψ_m}. Tegenspraak.

Opgave 5

Neem S = {P} en zij A de structuur met A = Z en (a, b) ∈ P^A precies als |a − b| = 1.

Bewijs dat er een structuur B is die dezelfde S -zinnen waar maakt als A, maar niet samenhangend is.

Voeg twee constanten c en d toe aan A. Schrijf

ϕ_n = ∃x₁. . . ∃x_n−1(Rcx₁∧ Rx₁x₂∧ · · · ∧ Rx_n−1d ) . We zien dat elke eindige deelverzameling van

∞

[

n=1

ϕ_n∪ Th(A)

een model heeft, dus er bestaat een structuur die al deze formules waar maakt (compactheid).