Appendix II Complexe functies

Appendix II Complexe functies

Definitie

Als u, v re¨ele, differentieerbare functies op een open interval I dan heet de complexe functie

f : I → C met f (t) = u(t) + i v(t) differentieerbaar op I en u⁰ + i v⁰ de afgeleide van f op I.

Notatie

f⁰ dus f⁰(t) = u⁰(t) + i v⁰(t).

Gevolg

Als f : R → C gegeven wordt door f (t) = e^λt dan

Polynomiale vergelijkingen

Definitie

p(z) = a_nzⁿ + a_n−1zⁿ⁻¹ + · · · + a₁z + a₀ waarbij a0, a1, · · · , an−1, an∈ C, an6= 0

heet een polynoom van graad n met complexe co¨effici¨enten.

Wat is er bekend over de nulpunten van dit polynoom ? Anders gezegd:

Wat is er bekend over de oplossingen of wortels van de polynomiale vergelijking p(z) = 0 ?

I.A.M. Goddijn

Een reststelling

Als p een polynoom is van de graad n ≥ 1 en α1 ∈ C dan bestaat er een polynoom q van de graad n − 1 en een r ∈ C zodat p(z) = (z − α1)q(z) + r.

Hoofdstelling van de algebra

Als p een polynoom is van de graad n ≥ 1 dan heeft p minstens ´e´en nulpunt α1∈ C.

Stelling

Als p een polynoom is van de graad n ≥ 1 en α₁ is een nulpunt van p dan bestaat er een polynoom q van de graad

Gevolg

Herhaalde toepassing van deze stelling geeft : p(z) = c(z − α1)(z − α2) · · · (z − αn) voor zekere c, α₁, α₂, · · · , α_n∈ C, c 6= 0.

I.A.M. Goddijn

Partieel breuksplitsen

Als p een polynoom is met re¨ele co¨effici¨enten en α is een nulpunt van dit polynoom dan is α ook een nulpunt van dit polynoom.

(z − α)(z − α) = z² + 2Reα z + |α|² en dus

p(z) = (z² − 2Reα z + |α|²) · q(z) waarbij q een polynoom is van de graad n − 2 met re¨ele co¨effici¨enten.

Ieder polynoom met re¨ele co¨effici¨enten kan ontbonden worden in lineaire en kwadratische factoren met re¨ele