Gegeneraliseerde begrippen van vari¨eteiten
Joost van Dijk
18 juli 2014
Bachelorproject wiskunde
Begeleider: dr. Benno van den Berg Tweede Beoordelaar: dr. Hessel Posthuma
0 (0,1)
C
D 0
KdV Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
Samenvatting
In deze bachelorscriptie worden vari¨eteiten gegeneraliseerd. De categorie¨en van deze generalisaties hebben soms mooiere eigenschappen dan de ca-tegorie van normale vari¨eteiten. Eigenschappen van deze caca-tegorie¨en die besproken worden zijn:
• Limieten en colimieten bestaan.
• Exponenten MX bestaan, waar X een verzameling is en M in de
categorie zit.
• Er zijn infinitesimale objecten in de categorie.
Gegevens
Titel: Gegeneraliseerde begrippen van vari¨eteiten Auteur:
Joost van Dijk, joost.vandijk@student.uva.nl, 10202323 Begeleider: dr. Benno van den Berg
Tweede Beoordelaar: dr. Hessel Posthuma Einddatum: 18 juli 2014
Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
Inleiding 4
1. Gladde ringen genaamd C∞- ringen 5
1.1. Inleiding: C∞- ringen . . . 5
1.2. C∞- ringen . . . 5
1.3. Idealen van C∞- ringen . . . 8
2. Fr¨olicherruimtes 13 2.1. Inleiding: Fr¨olicherruimtes . . . 13
2.2. Fr¨olicherruimtes . . . 13
2.3. Stelling van Boman . . . 15
3. Microlineaire ruimtes 25 3.1. Inleiding: Vari¨eteiten op R . . . 25
3.2. Axioma van Kock-Lawvere . . . 25
3.3. Weil-algebra’s en hun spectrum . . . 27
3.4. Het algemene Kock axioma . . . 30
3.5. Quasi-colimieten . . . 32
3.6. Microlineaire ruimtes en raakruimtes . . . 33
Conclusie 36
A. Categorientheorie 37
B. Intuitionistische logica 39
Populaire samenvatting 40
Inleiding
Vari¨eteiten (manifolds) zijn veelgebruikte instrumenten in de wiskunde. Echter, de the-orie van vari¨eteiten is op een aantal punten gelimiteerd. Ten eerste zijn er soms objecten die geen vari¨eteit zijn, maar waarvan je hoopt dat deze dat wel zijn. Zo heeft de cate-gorie van vari¨eteiten geen equalizers als{x ∈ Rn∶ f(x) = g(x)}. Algemener, bestaan niet
alle limieten en exponenten. In de categorie van vari¨eteiten bestaan geen ruimtes van infinitesimalen.
In deze scriptie zal ik drie generalisaties van vari¨eteiten introduceren. Ik zal een aantal mooie categorische eigenschappen geven. Voor de eerste twee zal ik laten zien dat de categorie van manifolds vol en getrouw in de generalisatie ingebed wordt. Bij het behandelen van de derde generalisatie zal ik me vooral concentreren op het geven van de precieze definitie.
De eerste generalisatie is het begrip van de C∞-ringen. Elke vari¨eteit M wordt in deze generalisatie gerepresenteerd door de ring C∞(M) van gladde functies op M. Producten van vari¨eteiten blijven behouden: de vari¨eteiten M1 en M2 worden naar het coproduct
van C∞(M1) en C∞(M2) gestuurd. Het goede aan deze generalisatie is dat er
“infinite-simale” C∞-ringen zijn. Een voorbeeld hiervan is de C∞-ring C∞(R)/ (x2). Hiernaast
zijn de C∞-ringen algebra’s.
De tweede generalisatie die behandeld wordt zijn de Fr¨olicherruimtes. Fr¨olicherruimtes zijn verzamelingen X met daarbij een aantal manieren om X naar R te sturen en een aantal manieren om R naar X te sturen. Het idee is dat dit de gladde afbeeldingen geven. Functies tussen Fr¨olicherruimtes zullen glad zijn op het moment dat het via R glad is. Dit generaliseerd het gebruik van kaarten in een atlas zoals we dit uit de analyse op vari¨eteiten kennen. Fr¨olicherruimtes zijn nuttig in de functionaalanalyse omdat ze je in staat stellen om een mooi begrip van vectorruimte te defini¨eren1.
De laatste generalisatie is tegelijk de vreemdste. In de synthetische differentiaalmeet-kunde is er een ring R, waarin verschillende soorten infinitesimalen δ bestaan. Deze infinitesimalen hebben nuldelers. Om de specifieke ruimte mogelijk te maken, moet intu¨ıtionistische logica worden aangenomen. Binnen de synthetische differentiaalmeet-kunde vormen de microlineaire ruimtes een geschikte generalisatie van de vari¨eteiten. Mooie eigenschappen zijn dat exponenten van microlineaire ruimtes microlineair zijn en dat limieten van microlineaire ruimtes zelf microlineair zijn. Hiermee zijn er microli-neaire ruimtes met singulariteiten en zijn er oneindigdimensionale microlimicroli-neaire ruimten.
Joost van Dijk, 18 juli 2014.
1. Gladde ringen genaamd C
∞
-ringen
1.1. Inleiding: C
∞- ringen
Een C∞-ring A is een ring met gladde functies tussen An en Am. Bij gladde functie
f van Rn naar Rm hoort een gladde afbeelding A(f) ∶ An → Am. De structuur van A
hangt vrijwel volledig van functies als f af. De reden hiervoor is dat de identiteit, de projecties en samenstellingen behouden blijven.
In dit hoofdstuk wordt bewezen dat er een contravariante vol en getrouwe functor van de categorie van vari¨eteiten naar de omgekeerde categorie van C∞-ringen bestaat.
De categorie van C∞-ringen heeft een aantal goede eigenschappen1.
• De functor die vari¨eteiten M en N stuurt naar C∞-ringen stuurt producten van
vari¨eteiten naar coproducten van C∞(M) en C∞(N). • Limieten en colimieten worden puntsgewijs berekend.
• Er zijn C∞-ringen met infinitesimalen. Zo vormt de ring van duale getallen een
C∞-ring.
• De C∞-ringen zijn algebra’s.
Dit hoofdstuk is gebaseerd op het boek [4] van Ieke Moerdijk en Gonzalo E. Reyes.
1.2. C
∞- ringen
Definitie 1.1. Een C∞-ring is een ring zodat er voor elke gladde afbeelding f ∶ Rn→ Rm
er een afbeelding A(f) ∶ An → Am bestaat zodat A(Id) = Id, A(π
i) = πi en A(f ○ g) =
A(f) ○ A(g).
Merk op dat A volledig wordt vastgelegd door afbeeldingen van de vorm A(f) waar f ∶ Rn→ Rm met m= 1. Dat komt doordat de regels impliceren dat π
i○ A(f) = A(πi○ f)
voor alle 1≤ i ≤ m.
We willen kunnen spreken over homomorfismes tussen C∞-ringen:
Definitie 1.2. Een C∞-homomorfisme is een ringhomomorfisme ϕ∶ A → B zodat voor iedere gladde functie f ∶ Rn→ Rm geldt dat het diagram
An ϕ n // A(f) Bn B(f) Am ϕm //Bm .
commutatief is. Ook bij deze definitie kan bij het controleren m= 1 genomen worden. De definitie van een C∞-ring is met categorie¨en iets anders te formuleren. Een functor F ∶ C → D is een afbeelding dat de identiteit en samenstellingen respecteert: F (Ida) =
IdF(a) en F(f ○ g) = F (f) ○ F (g). Laat C∞ de categorie zijn bestaande uit ruimtes Rn
en gladde functies als homomorfismes.
Definitie 1.3. Een C∞-ring is een functor A ∶ C∞ → Sets die eindige producten behoudt. Als X1, . . . , Xn ruimten in C∞ zijn, dan betekent dit concreet dat de
pro-jectie πi ∶ X1 × . . . Xn → Xi in C∞ wordt afgestuurd naar de projectie F(πi) = πi ∶
F(X1)×⋅ ⋅ ⋅×F (Xn) → F (Xi). De categorie van C∞-ringen geven we aan met C∞−ringen.
De verzameling A(R) wordt de onderliggende verzameling van A genoemd. De homo-morfismes van C∞-ringen zijn natuurlijke transformaties.
Het eerste voorbeeld geeft de meest belangrijke C∞-ringen. De voor ons belangrijke C∞-ringen zijn namelijk quoti¨enten C∞(Rn)/I van de C∞-ring C∞(Rn).
Voorbeeld 1.4. Laat X⊆ Rn. Dan is de ring2 (C∞(X), +, ⋅) met
C∞(X) = {f; f ∶ X → R glad}
een C∞-ring: Als de definitie wordt nagegaan: Neem h∶ Rn→ Rm glad. De interpretatie
van f nemen we als
C∞(X)(h) ∶ C∞(X)n→ C∞(X)m∶ (f1, . . . , fn) ↦ h ○ (f1, . . . , fn).
Dan is het simpel in te zien dat
C∞(X)(Id) = Id, C∞(X)(πi) = πi, C∞(X)(f ○ g) = C∞(X)(f) ○ C∞(X)(g).
Voorbeeld 1.5. Neem de verzamelingen X ⊆ Rk, Y ⊆ Rl en laat h∶ X → Y een gladde
functie zijn. Bekijk de afbeelding
φ∶ C∞(Y ) → C∞(X) ∶ f ↦ f ○ h. Er geldt dat voor gladde g∶ Rn→ R dat
C∞(X)(g)(φ(f1), . . . , φ(fn)) = g ○ (f1○ h, . . . , fn○ h) = (g ○ (f1, . . . , fn)) ○ h
= φ(g ○ (f1, . . . , fn)) = φ(C∞(Y )(g)(f1, . . . , fn)).
Verder geldt dat voor functies f, g∶ Y → R en 111 ∶ Y → R ∶ y ↦ 1 dat
φ(f + g) = (f ○ h) + (g ○ h), φ(f ⋅ g) = (f ○ h) ⋅ (g ○ h), φ(111) = 111 ○ h = 111. Oftewel, φ is een ringhomomorfisme en daarom een C∞-homomorfisme.
2De verzameling X hoeft niet open te zijn. De functie f∶ X → R wordt glad genoemd als er een gladde
Het tweede voorbeeld is de welbekende ring R() van duale getallen. Voorbeeld 1.6. Neem de ring van duale getallen
R() = R[x]/ (x2) .
Dit is een C∞-ring. De bijbehorende interpretatie van een gladde afbeelding f ∶ Rn→ R
is R()(f )(a1+ b1, . . . , an+ bn) = f(a1, . . . , an) + n ∑ i=1 ∂f ∂xi (a1, . . . , an)bi.
Vaak zal R()(f ) gewoon f genoemd worden. Dit levert geen verwarring op doordat R()(f ) gezien kan worden als de ontwikkeling van de Taylorreeks rondom het punt a. De Taylorreeks is f(x1, . . . , xn) = ∞ ∑ i1=0 ⋅ ⋅ ⋅∑∞ in=0 (x1− y1)i1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (xn− yn)in i1!⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ in! ( ∂i1+⋅⋅⋅+in(f) ∂xi1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂x in n ) (y1, . . . , yn).
Vervang xi door ai+ bi en yi door ai en dan komt er R()(f ) uit. We gaan de
eigen-schappen van C∞-ringen na: voor gladde functies f ∶ Rn → Rm en g ∶ Rk → Rn geldt
dat
R()(Id) = Id, R()(πi) = πi, R()(f ○ g) = R()(f ) ○ R()(g).
De samenstelling levert geen problemen, want (neem voor het schrijfgemak n= m = 1) f(g(a1+ b1, . . . , ak+ bk)) = f (g(a1, . . . , ak) + k ∑ i=1 ∂g ∂xi(a 1, . . . , ak)bi) = f(g(a1, . . . , ak)) + ∂f ∂x(g(a1, . . . , ak)) k ∑ i=1 ∂g ∂xi (a1, . . . , ak)bi = (f ○ g)(a1, . . . , ak)) + k ∑ i=1 ∂(f ○ g) ∂xi (a1, . . . , ak)bi.
Als (x2) voor het ideaal van ringen staat en als gladde functies f van C∞(R) als hun
talorontwikkeling in 0, dat is f(x) = f(0) + xf′(0) + x2g(x), worden gezien, dan
kun-nen we ons voorstellen dat f(x) = f(0) + f′(0)x in C∞(R)/ (x2). De interpretatie van
C∞(R)/ (x2) is (C∞(R)/ (x2)) (f) = C∞(R)(f). Neem de afbeelding
φ∶ C∞(R)/ (x2) → R() ∶ f → f(0) + f′(0).
Dit is een bijectie. Het is zelfs een isomorfisme van C∞-ringen, omdat de afbeelding die bij een f ∶ Rn→ Rm hoort bij beide ringen “dezelfde” is en φ daarom een homomorfisme
is. Voortaan zal ik R() als C∞(R)/ (x2) zien.
Voorbeeld 1.7. Bekijk de ring R() = C∞(R)/ (x2) met het canonieke
ringhomomor-fisme
Dit een C∞-homomorfisme. Om dit na te gaan moet er worden gecontroleerd dat voor elke gladde functie g∶ Rn→ R geldt dat
R()(g) ○ πn= π ○ C∞(X)(g).
Neem f1, . . . , fn∈ C∞(X). Neem een deel van de Taylorontwikkeling in 0: Er zijn gladde
functies hi met fi(x) = fi(0)+xfi′(0)+x2hi(x) = ai+xbi+x2hi(x). De Taylorontwikkeling
van g in het punt a∶= (a1, . . . , an) is de volgende:
g(f1(x), . . . , fn(x)) = g(a) + n ∑ j=0 ∂g ∂xj (a)bjx+ k (f1(x), . . . , fn(x)) x2 (1.1)
voor een gladde afbeelding k. Maar dan is
R()(g) (π(f1), . . . , π(fn)) = g(a1+ b1, . . . , an+ bn) = g(a1, . . . , an) + n ∑ j=0 ∂g ∂xj (a1, . . . , an)bj = g(a) +∑n j=0 ∂g ∂xj (a)bj (def a) = g(a) +∑n j=0 ∂g ∂xj (a)bj+ k (f1(x), . . . , fn(x)) 2 (2 = 0) = π(g ○ (f1, . . . , fn)) (1.1) = π (C∞(X)(g) (f 1, . . . , fn)) , zoals gewenst.
1.3. Idealen van C
∞- ringen
Een ideaal zal in dit hoofdstuk een ideaal van ringen zijn. Het uitdelen van idealen vormt een belangrijke manier om nieuwe C∞-ringen te maken. We hebben gezien dat de ring van duale getallen daar een voorbeeld van is. Deze paragraaf begint met een propositie die zegt dat het uitdelen van idealen nieuwe C∞-ringen oplevert.
Propositie 1.8. Laat A een C∞-ring zijn en I een ideaal van A. Dan is B= A/I een C∞-ring met voor f ∶ Rn→ R de afbeelding
B(f)(a1, . . . , an) = A(f)(a1, . . . , an) voor (a1, . . . , an) ∈ An.
Bovendien is de canonieke afbeelding π∶ A → A/I een C∞-homomorfisme.
Bewijs. Kies f ∶ Rn → R willekeurig. Zolang B(f) een goed gedefinieerde afbeelding
A(f). Stel dat a1 = b1, . . . , a1 = b1. Volgens het lemma van Hadamard3 zijn er functies g1, . . . , gn∶ Rn× Rn→ R zodat f(x) − f(y) = n ∑ i=1 (xi− yi)gi(x, y).
Verder weten we dat A samenstellingen van functies behoud. In het bijzonder behoudt A samenstelling van + ∶ Rm× Rm → Rm en ⋅ ∶ R × Rm → Rm voor alle m ∈ N. Om die
reden is A(f)(a1, . . . , an) − A(f)(b1, . . . , bn) = A ( n ∑ i=1 (xi− yi)gi) (a1, . . . , an, b1, . . . , bn) =∑n i=1
((A(πi) − A(πi+n))A(gi))(a1, . . . , an, b1, . . . , bn)
=∑n
i=1
(ai− bi)A(gi)(a1, . . . , an, b1, . . . , bn).
Dus B(f) (a1, . . . , an) − B(f) (b1, . . . , bn) = A(f)(a1, . . . , an) − A(f)(b1, . . . , bn) = 0. De
afbeelding B is goed gedefinieerd.
Het blijkt dat voor gesloten verzamelingen X ⊆ Rn geldt dat de C∞-ring C∞(X)
isomorf is aan C∞(Rn)/I voor een ideaal I.
Voorbeeld 1.9. Laat X ⊆ Rn een gesloten verzameling zijn. Vorm hiermee de
verza-meling
m0X ∶= {f ∈ C∞(Rn) ∶ f∣X = 0} .
De verzameling m0
X is een ideaal: voor f, g∈ m0X en h∈ C∞(X) geldt dat
f− g ∈ m0X en f⋅ h ∈ m0X.
Neem de afbeelding φ ∶ C∞(Rn)/m0
X → C∞(X) ∶ f ↦ f∣X. Volgens de extensiestelling
van Tietze4is deze functie surjectief. Omdat het voor h∶ Rm→ R en f ∈ (C∞(Rn)/m0 X) m zo is dat C∞(X)(h)(φ(f1), . . . , φ(fm)) = h ○ (φ(f1), . . . , φ(fm)) = h ○ (f1∣X, . . . , fm∣X) = (h ○ (f1, . . . , fm)) ∣X = φ (h ○ (f1, . . . , fm)) .
Oftewel, φ is zelfs een isomorfisme. Maar dan is C∞(X) ≅ C∞(Rn)/m0 X.
3Het lemma van Hadamard: Voor functies f ∶ Rn → R differentieerbaar in een omgeving U van a
bestaan er gladde functies g1, . . . , gn∶ Rn→ R zodat f(x) = f(a) + ∑ni=1(xi− ai)gi(x) voor x ∈ U. 4De extensiestelling van Tietze: Laat X een normale4topologische ruimte zijn en A⊆ X een gesloten
deelruimte. Voor continue functies f ∶ A → R bestaat er een continue extentie F ∶ X → R. Dat wil zeggen dat F∣A= f.
5Een topologische ruimte X heet normaal als voor alle disjuncte gesloten verzamelingen A, B er
Er zijn gevallen waarin functies niet uitgebreid kunnen worden.
Claim. Stel X ⊆ R is niet gesloten. Dan is er een functie f ∈ C∞(X) die niet kan worden uitgebreid tot R.
Bewijs claim. Er is een rij {yn}
n∈N ⊆ X die convergeert naar een punt y /∈ X. Kies f
met f(x) = x1
1−y. Dan is f op X gedefinieerd en glad op X omdat f op X ⊆ R n/{x
0}
gedefinieerd is. Maar de functie kan niet worden uitgebreid naar R, f is daar immers niet gedefinieerd.
Dit wil niet zeggen dat als X ⊆ Rnniet gesloten is, dat C∞(X) niet isomorf is aan een
C∞(Rm)/I voor een I en een m. Voor lokaal gesloten X ⊆ Rn gaat bewezen worden dat
C∞(X) isomorf is aan C∞(Rn+1)/I voor een I.
Definitie 1.10. Een verzameling van de vorm X = F ∩ U met F gesloten en U open heet een lokaal gesloten verzameling. Laat E de categorie zijn die bestaat uit lokaal gesloten verzamelingen in Rnvoor een n en uit gladde afbeeldingen tussen lokaal gesloten
verzamelingen.
Lemma 1.11. Laat U ⊆ Rn een open verzameling zijn. Dan is er een gladde functie
f ∶ Rn→ R met U = f−1(R/{0}).
Bewijs. Het bewijs wordt opgedeeld in een beginstap en het algemene geval: De begin-stap is het geval dat U een meer dimensionale rechthoek is.
Claim. Stel dat U = (a1, b1) × ⋅ ⋅ ⋅ × (an, bn). Dan is er een gladde functie fU ∶ Rn → R
met U = fU−1(R/{0})
Bewijs claim Neem een functie µ zodat µ(x) ∈ (0, 1) voor x ∈ (0, 1) en zodat µ(x) = 0 elders en zodat∣µ′(x)∣ ≤ 1. Neem dan de functie fU ∶ R → R met
fU(x) = µ ( x1− a1 b1− a1 ) ⋯µ (xn− an bn− an ) . Deze werkt.
In het algemene geval is een open verzameling U ⊆ Rn te schrijven als vereniging van
n-dimensionale rechthoeken Rj:
U =⋃∞
j=1
Rj.
Er geldt dat ∣∑∞n=1fRj2n(x)∣ ≤ ∑∞n=1 21n = 1. Duidelijk is volgens de definitie van fRn en
volgens de productregel het zo dat ∣∂x∂f
i(x)∣ < 1. Daarmee weten we dat ∑ N n=1∣
DαfRn 2n ∣ ≤
∑N
n=121n uniform convergent is voor α∈ Nn. Een gevolg hiervan is dat f = ∑∞n=1 fRn
2n een
gladde functie is. Er geldt nu dat f−1(R/{0}) =⋃∞
j=1
fj−1(R/{0}) =⋃∞
j=1
Gevolg 1.12. Laat X ⊆ Rn een lokaal gesloten deelruimte zijn. Dan bestaat er een
ideaal I met
C∞(X) ≅ C∞(Rn+1) /I.
Bewijs. Aangezien X ⊆ Rn een lokaal gesloten verzameling is, er een open verzameling
U en een gesloten verzameling F zodat X = U ∩ F . Neem de gladde functie (zie lemma 1.11) f ∶ Rn → R met U = f−1(R/{0}). Definieer V ∶= {(x, y) ∈ Rn+1∶ yf(x) = 1}. Merk
op dat(x, y) ∈ V ⇔ x ∈ U en y = f(x)1 , anders is (x, y) = (x, ∞).
Er gaat nu bewezen worden dat V een gesloten verzameling is. Neem een converge-rende rij{(xj,f(x1j))} ⊆ V met limiet (x, y) ∈ Rn+1. Er geldt dan dat{xj} ⊆ U convergeert
naar x∈ U. Stel x ∈ U/U, dan is het wegens continu¨ıteit zo dat lim
j→∞f(xj) = f(x) = 0.
Dan is y = limj→∞f(x1
j) = ∞, wat in tegenspraak is met y ∈ R. Dus x ∈ U. Omdat 1 f continu op U is geldt y= lim j→∞ 1 f(xj) = 1 f(x)
dus (x, y) ∈ V . Dus V is gesloten. Verder is er een diffeomorfisme g∶ U → V ∶ x → (x, 1
f(x)) met als inverse de projectie: g−1(x, 1
f(x)) = x. Het beeld g(X) in V
(deelruimtetopo-logie) is gesloten want X is gesloten in U (deelruimtetopo(deelruimtetopo-logie). Sterker nog: g(X) is gesloten in Rn+1, want V is gesloten. De restrictie g∣
X ∶ X → g(X) is nog steeds een
diffeomorfisme.
Dus is er een diffeomorfisme µ tussen X en een gesloten deelverzameling Y van Rn+1.
Daarmee vinden we
C∞(Y ) ≅ C∞(X)
door f ∶ Y → R naar f ○ g ∶ X → R te sturen. Uit voorbeeld 1.9 weten we dat C∞(Y ) ≅ C∞(Rn+1) /I.
voor een ideaal I.
Met het gevolg kan een bijectie tussen homomorfismes van E en homomorfismes van C∞-ringen worden gevonden.
Stelling 1.13. Laat X ⊆ Rn en Y ⊆ Rm lokaal gesloten verzamelingen zijn. Volgens
gevolg 1.12 en propositie 1.8 bestaan er homomorfismes φX ∶ C∞(X) → C∞(Rn+1)
en φY ∶ C∞(Y ) → C∞(Rm+1) zodat φX ∶ C∞(X) → C∞(Rn+1) /I en φY ∶ C∞(Y ) →
C∞(Rm+1) /J isomorfismes zijn voor bepaalde idealen I en J. De afbeelding
F ∶ HomE(X, Y ) → HomC∞−ringen(C∞(Y ), C∞(X)) ∶ h ↦ F (h)
met F(h) (f) = (φX) −1
Bewijs. Merk op dat (φX) −1
(φY(f) ○ u) = F (u)(f) = F (h)(f) = (φX) −1
(φY(f) ○ h)
impliceert dat φY(f) ○ u = φY(f) ○ h door de bijectiviteit van φX. En ook is φY bijectief
dus worden de projecties πi∶ Rm+1→ R bereikt. De functie F is daarom injectief. Alleen
de surjectiviteit moet nog worden aangetoond.
Door propositie 1.8 en de definitie van C∞-homomorfismes te gebruiken is vast te stellen dat C∞(X)(f) (h1, . . . , hs) = (φX) −1 ((C∞(Rn+1) /m0 X) (f) (φX(h1), . . . , φX(hs))) = (φX) −1 ((C∞(Rn+1)) (f)(φ X(h1), . . . , φX(hs))) = (φX) −1 (f ○ (φX(h1), . . . , φX(hs)))
voor gladde functies f ∶ Rs → R. Voor Y kan hetzelfde: vervang dan X door Y en n
door m. Neem een willekeurige Φ∈ HomC∞−ringen(C∞(Y ), C∞(X)). Neem de functies
ui∶= (φX○ Φ ○ (φY) −1 ) (π1) ∶ Rn+1→ R en u = (u1, . . . , um+1) ∶ Rn+1→ Rm+1. Dan is Φ(f) = Φ ((φY) −1 (φY(f))) = Φ ((φY) −1 (φY(f) ○ (π1, . . . , πm+1))) = Φ(C∞(Y )(φ Y(f)) ((φY) −1 (π1), . . . , (φY) −1 (πm+1)) = C∞(X)(φ Y(f)) ((Φ ○ (φY) −1 ) (π1), . . . , (Φ ○ (φY) −1 ) (πm+1)) = (φX) −1 (φY(f) ○ (u1, . . . , um+1)) = F (u)(f)
voor f ∈ C∞(Y ). (Gebruik dat φY een bijectie is en de eerder opgestelde regel, dan de
definitie van een homomorfisme van C∞-ringen, dan opnieuw de eerder opgestelde regel en dan de definitie van F ). Gevolg: F is surjectief en dus bijectief.
Met andere woorden, de contravariante functor F ∶ E → (C∞− ringen)op ∶ X ↦ C∞(X), h ↦ F (h) is vol en getrouw. Gladde vari¨eteiten (manifolds) met aftelbare basis kunnen worden ingebed in een gesloten deelruimte van Rm voor een m en hierdoor kan
de functor beperkt worden tot de categorie M van gladde vari¨eteiten met aftelbare basis: Gevolg 1.14. De volgende contravariante functor is vol en getrouw:
2. Fr¨
olicherruimtes
2.1. Inleiding: Fr¨
olicherruimtes
Het idee is dat een Fr¨olicherruimte bestaat uit een triple (X, FX,CX), waar
• X een verzameling is,
• FX uit een aantal manieren bestaat om X naar R te sturen en
• CX uit een aantal manieren bestaat om R naar X te sturen.
Op de verzamelingen FX en CX wordt een eis gesteld: Voor alle f ∈ FX en alle c∈ CX
moet de samenstelling f○ c ∶ R → R glad zijn. Een afbeelding tussen Fr¨olicherruimte is glad als dat via die manieren glad is. Dit idee is een generalisatie van het idee hoe een kaart op een vari¨eteit werkt.
Als M een gladde vari¨eteit is, dan is(M, C∞(M, R), C∞(R, M)) een Fr¨olicherruimte. Fr¨olicherruimtes zijn dus een generalisatie van de gladde vari¨eteiten.
Mooie eigenschappen van de categorie van Fr¨olicherruimtes zijn: • De limieten bestaan.
• De colimieten bestaan.
• De categorie is cartesisch gesloten.
De definitie van een Fr¨olicherruimte en diens relatie tot vari¨eteiten is gevonden in het boek [2] van Andreas Kriegl en Peter W. Michor. Het bewijs van de stelling van Boman is dat van Boman zelf [5]. De bewijzen van gevolg 2.3, lemma 2.12 en stelling 2.15 heb ik zelf verzonnen.
2.2. Fr¨
olicherruimtes
Definitie 2.1. Een Fr¨olicherruimte is een triple (X, FX,CX) zodat X een verzameling
is, waar FX ⊆ RX en CX ⊆ XR de volgende twee relaties met elkaar hebben:
FX = {f ∶ X → R ∶ f ○ c ∈ C∞(R) voor alle c ∈ CX},
CX = {c ∶ R → X ∶ f ○ c ∈ C∞(R) voor alle f ∈ FX}.
Op dezelfde manier als bij vari¨eteiten zullen functies f ∶ X → Y tussen Fr¨olicherruimtes zullen glad heten als een voor alle f ∈ FX en c∈ CX geldt dat f○ φ ○ c ∈ C∞(R, R). Merk
• Voor alle f ∈ FX geldt dat f ○ φ ∈ FX.
• Voor alle c ∈ CX geldt dat φ○ c ∈ CX.
Om in te zien dat vari¨eteiten Fr¨olicherruimtes zijn hebben we de stelling van Boman nodig.
Stelling 2.2 (De stelling van Boman voor vari¨eteiten). Laat M een gladde differenti-eerbare vari¨eteit1 zijn. Stel dat f ∶ M → R een afbeelding is. Dan is f glad dan en slechts
dan als f○ u glad is voor alle gladde u ∶ R → M.
Gevolg 2.3. Laat M een gladde differentieerbare vari¨eteit zijn. Dan is de tripel (M, C∞(M, R), C∞(R, M))
een Fr¨olicherruimte.
Bewijs. De stelling van Boman zegt dat f ∈ C∞(M, R) zit dan en slechts dan als f ○ u ∈ C∞(R, R) zit voor alle u ∈ C∞(R, M). Oftewel, C∞(M, R) is te schrijven als
C∞(M, R) = {f ∶ M → R ∶ f ○ u ∈ C∞(R) voor alle u ∈ C∞(R, M)}. We moeten nog bewijzen dat
C∞(R, M) = {u ∶ R → X ∶ f ○ u ∈ C∞(R) voor alle f ∈ C∞(M, R)}.
De inclusie ⊆: Neem vervolgens een u ∈ C∞(R, M). Door de definitie van C∞(M, R) is f○ u glad voor f ∈ C∞(M, R) = C∞(M). De andere inclusie ⊇: Neem
u∈ {u ∶ R → M ∶ f ○ u ∈ C∞(R) voor alle f ∈ C∞(M, R)}.
Dan is H∶ C∞(M) → C∞(R) ∶ f ↦ f ○ u een correct gedefinieerde afbeelding met H∈ HomM(C∞(M), C∞(R)).
Gebruik gevolg 1.12, dan krijgen we een n en een ideaal I zodat C∞(M) ≅ C∞(Rn)/I.
Volgens gevolg 1.14 (zie formulatie van stelling 1.13) geldt dat
u= (u1, . . . , un) = (H(π1), . . . , H(πn)) ∈ HomM(R, M) = C∞(R, M).
Dan is inderdaad
C∞(R, M) = {u ∶ R → X ∶ f ○ u ∈ C∞(R) voor alle f ∈ C∞(M, R)}. Maar dan voldoet de tripel aan de gestelde eisen.
De stelling van Boman voor vari¨eteiten zal ik in de volgende paragraaf bewijzen.
1
Een vari¨eteit van dimensie n heet glad als de transitiefuncties gladde functies van Rn
2.3. Stelling van Boman
Het begin van deze paragraaf wordt gewijd aan de eerste versie van de stelling van Boman. Daarna volgt de generalisatie van de stelling zoals deze in de inleiding naar voren kwam. De stelling was oorspronkelijk een vermoeden van Hans R˚adstr¨om. De stelling van Boman zegt dat als een functie f glad is onder precompositie f○u, voor alle gladde functies u, dat f dan zelf glad is.
Stelling 2.4 (Stelling van Boman). Laat f een functie van Rd naar R zijn en stel dat
f○ u ∈ Cp(R, R) voor elke u ∈ C∞(R, Rd). Dan is f ∈ Cp−1(Rd, R).
Merk op dat de stelling zin heeft: Laat uξ(t) = x + tξ. Voor 1 ≤ i ≤ d bestaan
richtingsafgeleiden: Dξf(x) = D (f ○ uξ) (0). Maar dit wil niet zeggen dat de stelling
triviaal is: We weten niet of Dξf glad of continu is. Wel is D(f ○ uξ) glad.
Boman zelf bewijs de stelling in [5] door generalisaties ervan te bewijzen. In deze scriptie zal ik de generalisaties niet bewijzen. Toch zal wel het pad gevolgd worden dat Boman uitstippelt op pagina 252. Voordat het uiteindelijke bewijs wordt gegeven zijn een vijftal lemma’s nodig.
De volgende definities zijn handig in het bewijs. Definieer de afgeleide Df en de richtingsafgeleide Dξf op de gebruikelijke manier. Neem ook de volgende recursieve
definities:
Dpf = D(Dp−1f) en Dξpf = Dξ(Dξp−1f).
In deze paragraaf wordt met C∞(Rd, Re) de klasse van oneindig differentieerbare functies
f van Rdnaar Rebedoeld. Net zo zal met Cp(Rd, Re) de klasse van functies met afgeleide
van orde≤ p continu bedoeld worden.
We beginnen met een lemma dat een zekere bovengrens geeft voor de afgeleiden van functies van de form u(t) = (a + tb)ψ (Tt) waar ψ in CL zit. Dit lemma zal voornamelijk
handig zijn bij het bewijzen van het tweede lemma.
Definitie 2.5. Zeg dat een functie ψ ∈ C∞(R, R) in de klasse CL zit als het volgende
geldt: Er is een rij L= {Ln}n∈N met
∑
n∈N
L−1n < ∞.
Er zijn constanten C > 0 en B ≥ 0 zodat ψ(t) = 0 voor ∣t∣ ≥ B en zodat voor alle n en t geldt dat
∣ψ(n)(t)∣ ≤ Cn+1Ln n.
Nu kunnen we het lemma opschrijven en bewijzen.
Lemma 2.6. Laat ψ ∈ CL zitten met als bijbehorende rij {L
n}n∈N en als bijbehorende
constanten C en B. Laten a en b elementen van Rd zijn en laat T een waarde in (0, 1]
zijn. Stel verder dat u∶ R → R een functie is die in t ∈ R de waarde u(t) = (a + tb)ψ (t
aanneemt. Dan bestaat er een constante E> 0 onafhankelijk van n, t, T , a, b zodat ∣u(n)(t)∣ ≤ (∣a∣ + ∣b∣)T−nEn+1Ln
n
voor alle n en t.
Bewijs. Merk op dat de afgeleide van fn(t) ∶= T−nψ(n)(Tt) voldoet aan fn′ = fn+1, zodat
((a + tb)fn(t) + nbfn−1(t))′= (a + tb)fn+1(t) + (n + 1)bfn(t). (2.1)
Omdat u(t) = (a + tb)f0(t) + 0 geldt door (2.1) dat
u(n)(t) = (a + tb)fn(t) + nbfn−1(t). (2.2)
Verder is L een stijgend rijtje met als eigenschap∑∞n=1L−1n < ∞, dus is er een constante D> 0 zodat L−1n ≤ Dn. Daarmee is het zo dat
n≤ DLn.
Volgens de definitie van CL is ψ(t) = 0 voor ∣t∣ > B. We kunnen zonder verlies van
algemeenheid stellen dat zowel D> C als B ≥ 1. Als ∣t∣ ≤ B dan is ∣(a + bt)fn(t)∣ = ∣(a + bt)∣ ∣T−nψ(n)(Tt)∣ ≤ (∣a∣ + ∣b∣ ⋅ ∣t∣)T−n∣ψ(n)(t T)∣ (T > 0) ≤ (∣a∣ + ∣b∣ ⋅ ∣t∣)T−n∣ψ(n)(t T)∣ (ψ ∈ C L) ≤ (∣a∣ + ∣b∣)Bn+1T−nCn+1Ln n (∣t∣ ≤ B en B ≥ 1) ≤ (∣a∣ + ∣b∣)Bn+1T−nDn+1Ln n (D ≥ C).
Daarnaast geeft B> 1 om dezelfde redenen dat
∣nbfn−1(t)∣ = ∣nbT−n+1ψ(n−1)(Tt)∣ ≤ n∣b∣T−n+1CnLnn−1−1≤ DLn∣b∣T−nDnLnn−1
≤ (∣a∣ + ∣b∣)Bn+1T−nDn+1Ln n.
voor alle t. Deze twee feiten samen met (2.2) zorgen ervoor dat de constante E= 2BD voldoet.
Met deze afschatting kan worden bewezen dat f continu is en dat Dpξf continu is in de richting ξ. Daarvoor zijn de volgende drie definities nodig: de drager van een functie, continuiteit in de richting ξ en Lipschitz-continuiteit.
De definitie van de drager/support van een afbeelding:
Definitie 2.7. De drager supp(f) van een afbeelding f ∶ Rd → Re is de afsluiting van
de verzameling {x ∈ Rd∶ f(x) /= 0}.
Definitie 2.8. Laat ξ ∈ Rd, ∣ξ∣ /= 0. We noemen een functie f continu in de richting ξ
als f(x + tξ) uniform naar f(x) convergeert voor x in compacte verzamelingen als t ∈ R naar 0 gaat.
Definitie 2.9. Zeg dat 0 < a ≤ 1. Een functie f ∶ Rd → R is Lipschitz-continu als
voor iedere compacte verzameling K ⊆ Rd een constante C > 0 bestaat zodat voor
∣h∣ ≤ , x ∈ F, x + h ∈ F geldt dat
∣f(x + h) − f(x)∣ ≤ Ca.
Een functie f ∶ Rd → R is Lipschitz-continu in de richting ξ als voor iedere compacte
verzameling K ⊆ Rd een constante C > 0 bestaat zodat voor ∣t∣ ≤ , x ∈ F, x + tξ ∈ F geldt
dat
∣f(x + tξ) − f(x)∣ ≤ Ca.
En dan nu het lemma.
Lemma 2.10. Laat f een functie van Rd naar R zijn en stel dat f ○ u ∈ Cp(R, R) voor
elke u ∈ C∞(R, Rd). Dan is f continu. Voor elke richting ξ is de richtingsafgeleide
Dξp−1f Lipschitz-continu in de richting ξ.
Bewijs. Alle uitspraken van het lemma worden bewezen door het tegenovergestelde te beweren en dan een u∈ C∞(R, Rd) te vinden zodat f ○ u niet meer glad is.
Claim. Laat Ln een rijtje zijn met ∑ L−1n < ∞. Neem ook een functie ψ ∈ C∞(R, R)
zodat ψ(t) = 1 voor ∣t∣ < 12, ψ(t) = 0 voor ∣t∣ > 34 en voor alle n, ∣ψ(n)∣ ≤ Cn+1Ln
n.
Hiermee behoort ψ tot CL. Laat x
n een rij zijn die naar 0 convergeert. Neem Tj als
een rij re¨ele getallen met als eigenschappen dat 0 < Tj ≤ 1 en ∑∞j=1Tj < ∞. Laat tk =
Tk+ 2 ∑kj=1−1Tj. Neem voor cj een rij positieve getallen zodat
cjTj−n→ 0 als j→ ∞. (2.3)
Laat rj een rij natuurlijke getallen zijn met
∣xrj∣ ≤ cj. (2.4)
Neem de afbeeldingen uj ∶ R → R met uj(t) = (xrj+ ξcj(t − tj)) ψ ( t−tj
Tj ). Dan is u(t) =
∑∞j=1uj(t) een functie in C∞(R, Rd).
Bewijs claim. Ten eerste: voor j /= k geldt dat supp(uj) ∩ supp(uk) = ∅. Stel dat x een
element is van2 B tj(
3
4Tj) ∩ Btk( 3
4Tk) terwijl j < k. Dan geldt dat
Tj + Tk+ 2 k−1 ∑ i=j+1 Ti = k−1 ∑ i=j (Ti+ Ti+1) = ∣ k−1 ∑ i=j (Ti+ Ti+1)∣ = ∣tj− tk∣ = ∣(tj− x) + (x − tk)∣ ≤3 4(Tj+ Tk).
2Een open bol rond het punt x met straal r noteer ik met B
x(r). De gesloten variant wordt geschreven
Schrijf dit om tot 0< 2 k−1 ∑ i=j+1 Ti≤ − 1 4(Tj+ Tk) ≤ 0,
waar de eerste en laatste ongelijkheden volgen omdat Tj > 0. Tegenspraak. Zie in dat
supp(uj) ⊆ Btj( 3
4Tj) om in te zien dat supp(uj) ∩ supp(uk) = ∅.
Gevolg: u is overal goed gedefinieerd.
Ten tweede: u is glad voor t /= t∞∶= 2 ∑∞j=1Tj = limj→∞tj. Neem een omgeving A rond
t zodat de bol A∩ Bt∞() = ∅. Aangezien
tk= Tk+ 2 k−1 ∑ j=1 Tj↑ 2 ∞ ∑ j=1 Tj = t∞
is er een N > 0 zodat k > N geeft dat
t∞− tk<
oftewel tk> t∞− . Dan is u∣A= ∑Nj=1uj met uj glad dus u∣A glad.
Ten derde: u is glad voor t∞. Om dit te bewijzen wordt bewezen dat u(n)(t) → 0 als t→ t∞ voor alle n. Kies n willekeurig. Neem de bollen Aj = {t ∶ ∣t − tj∣ ≤ Tj}, dan geldt
volgens lemma 2.6 en (2.4) dat
∣u(n)(t)∣ ≤ (∣x
rj∣ + ∣ξcj∣)Tj−nEn+1Lnn
≤ (1 + ∣ξ∣)cjTj−nEn+1Lnn
≤ cjTj−nFn+1Lnn
voor bepaalde constanten E en F . Zij > 0. Omdat cjTj−nFn+1Lnn → 0 als j → ∞ is er
een N > 0 zodat j > N geeft dat
cjTj−nFn+1Lnn< .
Neem δ = TN + 2 ∑∞j=N. Stel dat 0 < ∣t∞− t∣ < δ. Als t∞ < t dan is u∣(t∞,∞) = 0 dus is
u(n)(t) = 0 < . Als t < t∞dan is tN−t < δ −(t∞−tN) = 0. Dus t ∈ (tN, t∞) ⊆ ⋃∞j=NAj. Dus
∣u(n)(t)∣ < . Concluderend kan gezegd worden dat ∣u(n)(t)∣ → 0 als t → t∞. De claim is
bewezen.
De continu¨ıteit van f : Stel dat f niet continu is. Dan is er een rij xn met limiet x
zodat
lim
n→∞f(xn) /= f(x).
Zonder verlies van algemeenheid kan worden aangenomen dat x= 0 (pas desnoods een translatie toe). Definieer u op dezelfde manier als in de claim. Dan geldt dat
lim
j→∞(f ○ u)(tj) = limn→∞f(xn) /= f(x) = (f ○ u)(t∞) = limj→∞(f ○ u)(tj).
Continu¨ıteit van Dpξ−1f in de richting ξ: We gaan bewijzen dat voor willekeurige punten x er een omgeving Vx is waarop Dpξ−1f Lipschitz-continu is in de richting ξ. Dit
is voldoende, want als K compact is dan is {Vx}x∈K een overdekking van K en dus is er
dan een eindige deeloverdekking Vx1, . . . , VxN. Dus voor K∩ Vxi is er een constante Ci
zodat de gewenste relatie geldt op K∩ Vxi. De constante C∶= max C1, . . . , CN werkt dan
voor K.
Stel dat fξ ∶= Dξp−1f niet Lipschitz-continu is op omgevingen van een punt x is. Via
translaties weten we dat voor x net zo goed 0 kan worden genomen. continu in de richting ξ. Dan zijn er xn met ∣xn∣ → 0, hn→ 0 en Bn→ ∞ zodat
∣fξ(xj+ hiξ) − fξ(xj)∣ ≥ Bn∣hn∣a.
Neem u als in de claim met als extra eisen dat na het kiezen van Tj, tj en cj dat rj
gekozen wordt zodat∣xrj∣ ≤ cj,∣hrj∣ < 1 2cjTj en dat c p+1 j Brj → ∞. Definieer j = hrj cj . Zoals
in de claim geldt voor ∣h∣ < 12cjTj dat
u(tj+ h) = xrj+ ξcjh. Door de eis ∣hrj∣ < 1 2cjTj krijgen we dat ∣rj∣ = 1 2Tj dus ∣Dp−1(f ○ u)(t j+ j) − Dp−1(f ○ u)(tj)∣ = ∣cj∣p⋅ ∣fξ(xrj+ hiξ) − fξ(xrj)∣ ≥ ∣cj∣pBrj∣cjj∣ = ∣cj∣p+1Brj∣j∣.
Dus Dp−1(f ○u) is niet Lipschitz-continu in de richting ξ. Maar er geldt dat alle continue differentieerbare functies lokaal Lipschitz-continu3. En Dp−1(f ○ u) is continu
differenti-eerbaar. Tegenspraak.
Het volgende lemma dat uiteindelijk voor het bewijs van de stelling nodig is, is een lemma dat onder bepaalde continu¨ıteitseisen voor f en Dξf aantoont dat Dξf continu
is.
Lemma 2.11. Stel dat f ∶ Rd → R continu is en dat D
ξf continu is in de richting ξ.
Dan is Dξf continu.
Bewijs. Stel dat fξ∶= Dξf niet continu is in y∈ R. Zonder verlies van algemeenheid kan
worden aangenomen dat y= 0 (via translatie). We mogen nu aannemen dat4
limx→0fξ(x) > fξ(0).
Tenminste, als limx→0fξ(x) < fξ(0) geldt kunnen we −fξ nemen. Dan is er een rij xn in
Rd die naar 0 convergeert en een > 0 zodat
fξ(xn) − fξ(0) > , voor n ∈ N.
3
Zie http://www.win.tue.nl/~rvhassel/Onderwijs/2WA23-2011/HO-03.pdf.
Omdat fξ continu is in de richting ξ geldt dan dat er een δ > 0 is onafhankelijk van n
zodanig dat voor n∈ N:
fξ(xn+ tξ) − fξ(tξ) >
1 2. Integreren over t van 0 tot δ geeft voor n∈ N:
f(xn+ δξ) − f(xn) − f(δξ) + f(0) >
1 2δ. Dus wegens continu¨ıteit geldt de volgende (onmogelijke) uitspraak:
0= lim
n→∞(f(xn+ δξ) − f(xn) − f(δξ) + f(0)) >
1 2δ> 0.
Tegenspraak. De aanname dat Dξf niet continu is in de richting ξ kan niet kloppen.
Er zijn nog twee lemma’s nodig om de stelling van Boman te bewijzen. Om deze lemma’s te kunnen formuleren zijn de begrippen multi-index en multinomium nodig: Een multi-index α= (α1, . . . , αd) is een vector in Zd≥0 en het multinomium is
(p α) =
p! α1! . . . αd!
.
Definieer de lengte van α als ∣α∣ = ∑dj=1αj en noteer bij vectoren ξ∈ Rd, ξα = ξ1α1. . . ξ αd d .
Neem voor Γ een verzameling van N ∶= (d+p−1p ) vectoren. Dan zijn er in Γ evenveel vectoren als het aantal multi-indices α∈ Zd
≥0 met ∣α∣ = p. Dus is er een vierkante matrix
M met entries (pα)ξα, waar α en ξ ∈ Γ veranderen. De matrix M is op permutatie van
rijen en kolommen en transposities na uniek.
De absolute determinant van deze matrix hangt niet van de volgorde van rijen en kolommen af. Noteer de absolute waarde van de determinant met ∆(Γ).
Definieer voor de multi-index α= (α1, . . . , αd) en de functie f ∈ C∞,
Dαf ∶= Dαa
1 (. . . (D αd
d f) . . . )
waar met Di de parti¨ele afgeleiden bedoeld worden.
Lemma 2.12. Voor elke d, p∈ N bestaat een verzameling van N ∶= (d+p−1p ) vectoren in Rd zodat ∆(Γ) /= 0.
Bewijs. (Inductie naar d en p). Laten we een aantal zaken afspreken voor het bewijs begint: Laat N = (d+p−1p ). Neem multi-indices β1, . . . , βN van lengte p zijn en die alle
dergelijke vectoren doorlopen en vectoren v1, . . . , vN ∈ Rd. Noem een matrix M van de
vorm M = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ vβ1 1 v β2 1 ⋯ v βN 1 vβ1 2 v β2 2 ⋯ v βN 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ vβ1 N v β2 N ⋯ v βN N ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ (2.5)
een (d, p)-matrix als β1, . . . , βN zo verdeelt zijn dat de laatste entry van βi leeg is de
eerste bij ((d−1)+p−1p ) kolommen. In formule: (βj)d = 0 voor 1 ≤ j ≤ ((d−1)+p−1p ). Dan
geldt voor de rest van de vectoren dat de laatste entry groter dan 0 is (voor βj met
j> ((d−1)+p−1p ) is (βj)d> 0.
De tweede opmerking gaat over de multinomiums: Deze maken niet uit: ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ (d β1)v β1 1 ( d β2)v β2 1 ⋯ ( d βN)v βN 1 (d β1)v β1 2 ( d β2)v β2 2 ⋯ ( d βN)v βN 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ (d β1)v β1 N ( d β2)v β2 N ⋯ ( d βN)v βN N ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ vβ1 1 v β2 1 ⋯ v βN 1 vβ1 2 v β2 2 ⋯ v βN 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ vβ1 N v β2 N ⋯ v βN N ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ (d β1) 0 ⋯ 0 0 0 (βd 2) ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 (βd N) ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ Multinomiums zullen om die reden verder niet in het bewijs voorkomen.
Basisstappen: Het geval d= 1: Dan is N = (pp) = 1. Neem de vector ξ = (1) dan is M1,p = (1p) = (1)
een (1, p)-matrix omdat ((d−1)+p−1p ) = (p−1p ) = 0. Deze is inverteerbaar. Het geval p= 0: Dan is N = (d−10 ) = 1. Neem de vector ξ = (1) dan is
M1,p = (10) = (1)
een (1, p)-matrix omdat ((d−1)+p−1p ) = (p−1p−1) = 1. Deze is inverteerbaar.
Inductiehypothese: Stel dat voor d′ < d, p′ ≤ p een inverteerbare (d′, p′) matrix Md′,p′
bestaat en dat de matrix Md′,p′ ook bestaat als d′ ≤ d, p′ < p. Voor de bijbehorende
vectoren heeft de laatste vector ξ de eigenschap dat ξd /= 0.
Inductiestap: Door de inductiehypothese bestaan er een (d − 1, p) matrix Md−1,p en een
(d, p − 1) matrix Md,p−1. Laat N ∶= (d+p−1p ), N1 ∶= ((d−1)+p−1p ) en N2 ∶= (d+(p−1)−1p−1 ). De
eerste van de twee is een N1× N1 matrix en heeft de bijbehorende vectoren ξ1, . . . , ξN1.
De tweede matrix is een N2× N2 matrix en heeft de bijbehorende vectoren µ1, . . . , µN2.
De vectoren samen vormen een rij van vectoren
v1= (ξ1, 0), . . . , vN1 = (ξN1, 0), vN1+1= µ1, . . . , vN1+N2 = µN2.
Volgens de welbekende regel over binominale getallen, die zegt dat (xy) = (x−1y ) + (xy−1−1), geldt N = N1+ N2 dus vj is een rij van N vectoren.
Omdat er precies ((d−1)+p−1p ) multinomiums α lengte p zijn met αd= 0, kunnen we de
(d, p)-matrix Ad,p defini¨eren als in (2.5), door de vectoren vj te gebruiken. Omdat Ad,p
een (d, p)-matrix is, is Ad,p op permutatie van kolommen na van de vorm
⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ Md−1,p 0 B Md,p−1 ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ (vN1+1)d 0 ⋯ 0 0 (vN1+2)d ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ (vN)d ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ .
Neem dit als de nieuwe Ad,p. Dan is de waarde van de determinant te berekenen: ∣Ad,p∣ = ∣ Md−1,p 0 B Md,p−1∣ = ∣Md−1,p∣ ⋅ ∣Md,p−1∣ ⋅ RRRRR RRRRR RRRRR RRR (vN1+1)d 0 ⋯ 0 0 (vN1+2)d ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ (vN)d RRRRR RRRRR RRRRR RRR = ∣Md−1,p∣ ⋅ ∣Md,p−1∣ ⋅ (vN1+1)d. . .(vN)d /= 0.
De ongelijkheid is waar door de inductiehypothese. Dus is Ad,p een inverteerbare matrix.
Echter zijn we nog niet klaar. Immers is het nu zo dat (v1)d, . . . ,(vN1)d gelijk zijn aan
0.
Dit probleem gaat opgelost worden door (v1)d= 0, (vN1)d= 0 te veranderen in (v1)d=
a,(vN1)d = a waar 0 < a ≤ 1 een klein positief getal dat nader gespecificeerd wordt. Als
dat gebeurd is de resulterende matrix Bd,p van de vorm
Bd,p= ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ Md−1,p Ca B Md,p−1 ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ (vN1+1)d 0 ⋯ 0 0 0 (vN1+2)d ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 (vN)d ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ = Ad,p+ ( 0 Ca 0 0 )
voor de matrix Ca die van de vorm
Ca= ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ vβ1 1 v β2 1 ⋯ v βN2 1 vβ1 2 v β2 2 ⋯ v βN2 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ vβ1 N1 v β2 N1 ⋯ v βN2 N1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠
voor βj met (βj)d > 0. Dus (βj)d − 1 ≥ 0. Neem αj = ((βj)1, . . . ,(βj)N2−1, 0). De
operatornorm5 van C a is dan ∣Ca∣op= sup ∥x∥≤1∥Cax∥ = sup∥x∥≤1 N1 ∑ i=1 N2 ∑ j=1 vβj i xj = sup ∥x∥≤1 N1 ∑ i=1 N2 ∑ j=1 vαj i a(βj)N2xj ≤ a sup ∥x∥≤1 N1 ∑ i=1 N2 ∑ j=1 vαj i 1(βj)N2xj = a∣C1∣op.
Dit kan dus willekeurig klein worden. Kies a> 0 zodat ∣C∣op ≤ ∣A−1d,p∣ −1
op. Dan is volgens
gevolg 4.42 uit het boek “Linear Functional Analysis” van Rynne en Youngson [3] het zo dat Bd,p inverteerbaar is. Met deze (d, p)-matrix voltooien we de inductiestap.
Eindelijk kunnen we het laatste lemma formuleren en bewijzen.
Lemma 2.13. Laat g∶ Rd→ R een continue functie zijn, p een natuurlijk getal zijn, Γ
een verzameling van
N ∶= (d+ p − 1
p )
vectoren in Rd zijn zodanig dat ∆(Γ) /= 0. Stel dat de richtingsafgeleide Dp
ξg bestaat en
continu is voor elke ξ∈ Γ. Dan is g ∈ Cp.
Bewijs. We gaan aantonen dat voor α met ∣α∣ = p, de gemixte afgeleide Dαg bestaat en
continu is. Daarvoor is de volgende claim handig:
Claim. Er is een constante C (afhankelijk alleen van Γ) zodat voor h∈ Cp(Rd, R) geldt
dat max ∣α∣=p ∣D αh(x)∣ ≤ C max ξ∈Γ ∣D p ξh(x)∣ .
Bewijs claim. Nummer de vectoren in Γ met v1, . . . , vN en de multi-indices van lengte p
met β1, . . . , βN. Geef de multi-index α van lengte p die ∣Dαh(x)∣ maximaliseert de naam
αmax en de vector ξ die∣D p
ξh(x)∣ maximaliseert de naam ξmax. Wij weten dat de matrix
M = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ (d β1)v β1 1 ( d β2)v β2 1 ⋯ ( d βN)v βN 1 (d β1)v β1 2 ( d β2)v β2 2 ⋯ ( d βN)v βN 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ (d β1)v β1 N ( d β2)v β2 N ⋯ ( d βN)v βN N ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠
determinant ∆(Γ) heeft en dus inverteerbaar is door de aanname dat ∆(Γ) /= 0. Zoals bewezen in p. 11 van [7] geldt dat
Dpξh(x) = ∑
∣α∣=p(
p α)ξ
αDαh(x) voor ξ∈ Γ.
Met dit feit is het mogelijk om een matrixvermenigvuldiging op te schrijven:
M ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ Dβ1(x) Dβ2(x) ⋮ DβN(x) ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ Dvp1(x) Dvp2(x) ⋮ Dvp3(x) ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ , M is inverteerbaar dus ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ Dβ1(x) Dβ2(x) ⋮ DβN(x) ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ = M−1 ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ Dpv1(x) Dpv2(x) ⋮ Dpv3(x) ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ .
Concludeer dat er er a1, . . . , aN, C≥ 0 zijn zodat
∣Dαmaxh(x)∣ ≤ ∑ ξ∈Γ aξ∣Dξph(x)∣ ≤ ∑ ξ∈Γ aξ∣Dpξmaxh(x)∣ ≤ C ∣Dξpmaxh(x)∣ . De claim is bewezen.
Neem nu een φ∈ C∞(Rd, R) zodat φ ≥ 0, φ = 0 als ∣x∣ > 1 en
∫ φ = 1 en definieer g(x) = ∫ g(x − y)φ(y)dy.
Zie in dat g0= g. Voor ξ ∈ Γ is aangenomen dat Dpξg bestaat en continu is. Als dan naar
0 gaat dan convergeert ∣Dξpg(x) − Dpξg(x)∣ uniform op compacte verzamelingen naar 0.
Zij µ> 0. Dan is er een Nξ > 0 zodat ∣∣ < Nξ impliceert dat
∣Dp ξg(x) − D p ξg(x)∣ ≤ µ 2C. (2.6)
Neem , δ< maxξ∈ΓNξ dan is voor α met ∣α∣ = p,
∣Dαg − Dαgδ∣ ≤ max ∣α∣=p ∣D αg (x) − Dαgδ(x)∣ ≤ C max ξ∈Γ ∣D p ξg(x) − D p ξgδ(x)∣ (claim) ≤ C max ξ∈Γ ∣D p ξg(x) − Dpξg(x)∣ + C maxξ∈Γ ∣D p ξg(x) − D p ξgδ(x)∣ (△-ongelijkheid) < 2C µ 2C = µ. (2.6) Dus convergeert Dαg
−Dαgδuniform op compacte verzamelingen naar 0 als δ en naar 0
gaan. Maar dan convergeert Dαg
uniform op compacte verzamelingen naar een continue
functie v. Uit eerdere feiten weten we dat dan v= Dαg.
Alle benodigde resultaten om de stelling van Boman te bewijzen zijn bereikt. Daarom komt hier het bewijs.
Stelling 2.14 (Stelling van Boman). Laat f een functie van Rd naar R zijn en stel dat
f○ u ∈ Cp(R, R) voor elke u ∈ C∞(R, Rd). Dan is f ∈ Cp−1(Rd, R).
Bewijs. Gebruik lemma 2.10 om te vinden dat f continu is en dat Dpξ−1f (Lipschitz-continu dus) (Lipschitz-continu in elke richting is. Volgens lemma 2.11 is het zo dat de richtings-afgeleide Dξp−1f voor alle richtingen continu is. Gebruik lemma 2.12 samen met lemma 2.13 om te krijgen dat f ∈ Cp−1. De stelling van Boman is bewezen.
Stelling 2.15 (De stelling van Boman voor vari¨eteiten). Laat M een gladde differenti-eerbare vari¨eteit zijn. Stel dat f ∶ M → R een afbeelding is. Dan is f glad dan en slechts dan als f○ u glad is voor alle gladde u ∶ R → M.
Bewijs. Een vari¨eteit van dimensie n heet glad als de transitiefuncties gladde functies van Rn naar Rn zijn. ⇒ Dit is triviaal. ⇐ De afbeelding f is glad op het moment dat
f ○ k−1 ∶ Rn → R glad is voor alle kaarten k ∶ M → Rn in de atlas van M . Verder is
u∶ R → M glad als datzelfde geldt voor k ○ u ∶ R → Rn. Kies een kaart k∶ M → Rn in de
atlas van M . Er geldt dat
f○ u = (f ○ k−1) ○ (k ○ u)
glad is voor alle u∶ R → M. Dus (f ○ k−1) ○ (k ○ u) is glad voor alle k ○ u ∶ R → Rn. De
stelling van Boman: f○k−1 is glad. De kaart was willekeurig gekozen dus f is een gladde afbeelding.
3. Microlineaire ruimtes
3.1. Inleiding: Vari¨
eteiten op R
Door in plaats van de gewone logica de intu¨ıtionistische logica (zie appendix) te gebruiken kan een ring R worden aangenomen dat aan het axioma van Kock-Lawvere voldoet. De elementen uit D= {d ∈ R ∶ d2 = 0} geven een simpele en elegante manier om raaklijnen
van een gegeven functie f ∶ R → R mee te beschrijven. Het axioma zegt dat als een element d∈ D wordt afgeweken van een punt x ∈ R, dat f zich dan als raaklijn gedraagt. Een gevolg is dat D /= {0}. De elementen van D zijn een voorbeeld van infinitesimalen. Dit wordt precies gemaakt in de eerste paragraaf.
De generalisatie van de vari¨eteit die ge¨ıntroduceert gaat worden zijn de microlineaire ruimtes. Dit zijn ruimtes waarop infinitesimalen een zeker regelmatig gedrag vertonen. Deze regelmatigheid is nodig bijvoorbeeld om vezels als TpM R-lineair te laten zijn.
Om microlineaire ruimtes goed te introduceren zijn er verschillende andere begrippen nodig. Zoals: Weil-algebra’s, het spectrum van een Weil-algebra, een algemenere versie van het K-L axioma, quasi-colimieten. Deze begrippen worden vanaf de tweede paragraaf besproken. In de laatste paragraaf probeer ik ook aan te geven waarom de microlineaire ruimtes generalisaties van vari¨eteiten zijn.
Een aantal manieren om microlineaire ruimtes te krijgen: • R is een microlineaire ruimte.
• Limieten van microlineaire ruimten zijn zelf een microlineaire ruimte.
• Voor een microlineaire ruimte M en een intu¨ıtionistische verzameling X is de ruimte MX van functies van X naar M een microlineaire ruimte.
Dit hoofdstuk is voornamelijk gebaseerd op de hoofdstuken 1 en 2 van het boek [8] van Ren´e Lavendhomme en op de hoofdstukken I ∶ 1, I ∶ 3, I ∶ 6, I ∶ 16 het boek [1] van Anders Kock.
3.2. Axioma van Kock-Lawvere
Bekijk een unitaire commutatieve ring R met elementen die deelbaar zijn door elementen van Q is. Neem aan dat 1 /= 0 en dat R aan het onderstaande axioma van Kock-Lawvere voldoet. Dat axioma is een manier om de afgeleide te. defini¨eren aan de hand van de eerste orde benadering.
Het axioma van Kock-Lawvere (K-L) 3.1. Neem de verzameling D = {d ∈ R ∶ d2 = 0}. Voor elke functie f ∶ D → R is er een uniek element b ∈ R zodat voor elke
infinitesimaal d∈ D geldt dat
f(d) = f(0) + db.
De afgeleide f′(x) van een functie f in het punt x ∈ R defini¨eren we als het unieke punt b∈ R uit het axioma. Oftewel
f(x + d) = f(x) + df′(x).
Gevolg 3.2. Neem a, b∈ R. Als geldt dat da = db voor alle d ∈ D, dan is a = b.
Bewijs. Neem f ∶ D → R ∶ d ↦ da. Het axioma zegt dat a uniek is en f(d) = db voor alle d∈ D. Dus a = b.
Propositie 3.3. Er zijn andere elementen d dan 0 die tot de macht 2 nul vormen, i.e. D/= {0}.
Bewijs. Stel dat D = {0}. De nulfunctie 0 ∶ d ↦ 0 wordt volgens het axioma uniek bepaald door een unieke b∈ R:
0= 0 ⋅ b.
Maar alle b∈ R voldoen hieraan dus R = {0}. Dus 1 = 0. Per aanname is 1 /= 0 dus is een tegenspraak bereikt. 0 (0,1) C D 0
Figuur 3.1.: Als de cirkel C= {(x, y) ∈ R2∶ x2+ (y − 1)2= 1} bestaat, dan is D ×{0} ⊆ C.
De getallen in D worden infinitesimalen genoemd. Maar er zijn meer getallen die infinitesimalen genoemd worden. Neem D2= {δ ∈ R ∶ δ3 = 0}.
Propositie 3.4. Er zijn andere elementen δ met δ2 /= 0 maar met δ3= 0 i.e. D 2 /= D.
Bewijs. Stel D2 = D. Voor alle d1, d2 ∈ D geldt dat (d1+ d2)3 = 2d1d2(d1+ d2) = 0, dus
d1+ d2 ∈ D2. Dan ligt de som d1+ d2 in D. Omdat door 2 gedeeld mag worden geldt dan
dat d1d2 = 12(d1+ d2)2 = 0 voor alle d1, d2 ∈ D. Volgens het gevolg is dan d2 = 0 voor alle
d2∈ D. Oftewel D = {0}. Dit is in tegenspraak met de vorige propositie.
Verderop in het hoofdstuk zullen meer verzamelingen met infinitesimalen aan bod komen.
Zoals gewoonlijk zal Rn de verzameling van vectoren zijn en kunnen vectoren
verme-nigvuldigd worden met elementen uit R. Verder hebben we voor verzamelingen X, Y de verzameling YX van functies f ∶ X → Y .
3.3. Weil-algebra’s en hun spectrum
Het gedrag van R is afhankelijk van het gedrag van de verschillende soorten infinite-simalen1. Echter kan met het huidige axioma van Kock-Lawvere het gedrag van deze
infinitesimalen maar deels verklaard worden. Om een betere grip op het gedrag van de infinitesimalen te krijgen zullen we proberen om het gedrag van alle functies op infini-tesimalen vast te leggen, door een algemener axioma te gebruiken: het Kock-axioma.
Voor het Kock axioma zullen zogenaamde Weil-algebra’s en het spectrum van een Weil-algebra een grote rol spelen.
Het begrip van microlineaire ruimte, dat gaat dienen als een veralgemenisering van vari¨eteiten (manifolds), legt een zekere eis op het gedrag van deze functies.
Deze paragraaf zal dienen als inleiding bij Weil-algebra’s. Voordat de definitie verteld wordt, komen er eerst een voorbeeld, waarbij het idee uitgelegd wordt.
Voorbeeld 3.5. Een van de simpelste voorbeelden van een Weil-algebra is misschien wel de ring van duale getallen
R() = R[x]/ (x2) .
Als de elementen a+ b van R() gezien worden als paren (a, b) ∈ R2, dan behoort er een
vermenigvuldiging
⋅m ∶ R2× R2 → R2 ∶ ((a, b), (c, d)) ↦ (ac, ad + bc)
bij. Deze vermenigvuldiging zegt dat(a + b)(c + d) = ac + (ad + bc). De ring met ver-menigvuldiging is associatief, commutatief, bilineair en heeft(1, 0) als eenheidselement. Neem π1 ∶ R2 → R als de projectie op de eerste co¨ordinaat. Dan is J ∶= ker π1 = {(0, b) ∶
b∈ R} een nilpotent ideaal (ideaal als bij ringen).
In de algemene setting zal een vergelijkbare vermenigvuldiging en een vergelijkbaar nilpotent ideaal de defini¨erende factor van Weil-algebra’s vormen. Het bovenstaande voorbeeld kan eenvoudig algemener door (xn+1) te nemen in plaats van (x2). Dan kan
a0+ a1+ ⋅ ⋅ ⋅ + ann gezien worden als een vector (a0, . . . , an). De vermenigvuldiging is
dan een functie van Rn+1× Rn+1 naar Rn+1.
Definitie 3.6. Neem bij W ≅ Rn+1 een bilineaire, associatieve, commutatieve
verme-nigvuldiging ⋅m ∶ Rn+1× Rn+1, waar het eenheidselement (1, 0, . . . , 0) is en de projectie
π1 op de eerste co¨ordinaat een homomorfisme is. Dit heet een commutatieve unitaire
R-algebra. Neem het ideaal J = ker(π1) = {(0, a1, . . . , an) ∶ ai ∈ R}. Dan wordt W een
Weil-algebra genoemd als J nilpotent is.
Naast de Weil-algebra zullen nog twee begrippen een rol spelen in wat komen gaat, namelijk het begrip van homomorfismes tussen Weil-algebra’s en het spectrum van een Weil-algebra.
Definitie 3.7. Een homomorfisme van R-algebra’s f ∶ W1 → W2 tussen Weil-algebra’s
heet een homomorfisme van Weil-algebra’s als het nilpotente ideaal I1 van W1 naar het
nilpotente ideaal I2 van W2 wordt gestuurd. Dat wil zeggen: π1○ f = f ○ π1 waar π1 de
projectie op de eerste co¨ordinaat is.
Niet alle homomorfismes van R-algebra’s zijn homomorfismes van Weil-algebra’s. Dit komt doordat het ideaal ker(π1) geen maximaal ideaal hoeft te zijn, omdat R geen
lichaam is.
Laat W ≅ Rn+1een Weil-algebra zijn. Er is een homomorfisme π ∶ R[x1, . . . , xn]/(P1, . . . , Pt) →
Rn+1 met π(a) = (a, 0, . . . , 0) en π(x
i) = ei. Hier is ei de standaard basisvector. Dan
geldt π(xixj) = ei⋅ ej = n ∑ i=0 ak(i,j)ei= n ∑ k=0 ak(i,j)π(xi) voor bepaalde ak
(i,j) ∈ R. Omdat het ideaal I ∶= ker(π) alleen afhankelijk is van de
ver-menigvuldiging van W bevat het ideaal Pi,j = xixj − ∑kn=0ak(i,j)π(xi). Dit zijn de enige
mogelijke generatoren van I want polynomen met hogere graad zijn modulo I te ontbin-den in eerstegraads polynomen en die zijn alleen afhankelijk van de vermenigvuldiging van W . De afbeelding π ∶ R[x1, . . . , xn]/(P1,1, . . . , Pn,n) → Rn+1 geeft een isomorfisme
van Weil-algebra’s.
Voorbeeld 3.8. De twee afbeeldingen f, g die hieronder beschreven staan zijn homo-morfismes van Weil-algebra’s. De eerste:
f ∶ R[x]/ (x3) → R[x, y]/ (x2, y2) ∶ a+bx+cx2 ↦ a+b(x+y)+c
2(x+y)
2 = a+b(x+y)+cxy.
En de tweede:
Homomorfismes f ∶ R[x1, . . . , xn]/I → R[y1, . . . , yn]/J kunnen beschreven worden door
wat er met de xi gebeurd. Dit aangezien de projectie op de eerste co¨ordinaat en f
commuteren en omdat f een homomorfisme is. Bij de twee voorbeelden boven kan f beschreven worden door te zeggen dat f(x) = x + y en g beschreven worden door te zeggen dat g(x) = y en g(y) = x.
Het spectrum van een Weil-algebra W ≅ R[x1, . . . , xn]/(P1, . . . , Ps) in een R-algebra
C zijn die elementen van a∈ Cn, zodat P
j(a) = 0 voor 1 ≤ j ≤ s.
Definitie 3.9. Laat W een Weil-algebra zijn en C een R-algebra. Het spectrum van W in C wordt gedefinieerd als
SpecC(W ) = {(a1, . . . , an) ∈ Cn∶ Pj(a) = 0 voor 1 ≤ j ≤ s}.
Als C= R wordt het spectrum genoteerd met D(W ). Dit wordt ook wel een klein object genoemd.
Voorbeeld 3.10. Het spectrum van de ring van duale getallen R() in R is D(R()) = {d ∈ R ∶ d2 = 0} = D.
Net zo goed vinden we de volgende kleine objecten bij(xn+1):
Dk∶= D(R[x]/ (xn+1)) = {δ ∈ R ∶ δn+1= 0} .
Andere voorbeelden van kleine objecten zijn: Voorbeeld 3.11. Het volgende is een klein object:
Dk(n) ∶= {(x1, . . . , xn) ∶ elk product van k + 1 objecten xi is 0}.
Neem hierbij wel het volgende als conventie aan: D0(n) = {0} ∈ Rn.
Conventie 3.12. De volgende ruimte is een klein object:
D(n) ∶= D1(n) = {(d1, . . . , dn) ∈ Rn∶ didj = 0∀i, j = 1, . . . , n}.
Dan is het zo dat Dk(n) ⊆ Dl(n) voor k ≤ l en Dk(n) ⊆ Dkn ⊆ Dnk(n). Er zijn
nog veel meer voorbeelden van kleine objecten, gemaakt met de hulp van verschillende Weil-algebra’s, maar die zal ik hier niet geven.
Vanuit een homomorfisme tussen Weil-algebra’s kan er een afbeelding tussen kleine objecten worden gemaakt.
Definitie 3.13. Laat f ∶ W1 → W2 met W1 ≅ R[x1, . . . , xn]/(P1, . . . , Ps) en W2 ≅
R[y1, . . . , yn]/(Q1, . . . , Qt) een homomorfisme van Weil-algebra’s zijn. Dan is D(f)
ge-definieerd als
D(f) ∶ D(W2) → D(W1) ∶ D(f)(a1, . . . , am) = (f(x1)(a1, . . . , am), . . . , f(xn)(a1, . . . , am))
de bedoelde afbeelding. Met f(xi)(a1, . . . , am) wordt bedoeld dat y1, . . . , ymin de formule
Hiermee is D(⋅) een functor tussen Weil-algebra’s en kleine objecten want:
D(IdW) = IdD(W ) en D(f ○ g) = D(f) ○ D(g).
Voorbeeld 3.14. Neem f en g als in voorbeeld 3.8. Het kleine object van R[x]/ (x3) is
D2 en die van R[x, y]/ (x2, y2) is D×D. Voor D(f) ∶ D×D → D2en D(g) ∶ D×D → D×D
geldt dat
D(f)(d1, d2) = (x + y)(d1, d2) = d1+ d2 en D(g)(d1, d2) = (y, x)(d1, d2) = (d2, d1).
3.4. Het algemene Kock axioma
In deze paragraaf zal gesproken worden over een veralgemenisering van het K-L axioma. Maar voordat deze generalisering getoond wordt zal het K-L axioma op een andere manier geformuleerd worden. Bestudeer R(). Zoals in de vorige paragraaf uitgelegd wordt kan R() gezien worden als R × R door a + b te associ¨eren met (a, b) en door de goede vermenigvuldiging op R× R te nemen (R() ≅ R2).
Neem de afbeelding α∶ R() → RD die (a, b) stuurt naar de functie d ↦ a + d ⋅ b. Het
K-L axioma vertelt iets over α. Ter herhaling:
Het axioma van Kock-Lawvere (K-L) 3.15. Voor elke functie f ∶ D → R is er een uniek element b∈ R zodat voor elke nulkwadraatinfinitesimaal d ∈ D geldt dat
f(d) = f(0) + d ⋅ b.
Het axioma dat dat elke functie RD van de vorm d↦ a + d ⋅ b is voor bepaalde a ∈ R
en unieke b∈ R. In andere woorden zegt het axioma dat α bijectief is.
Andersom, als α bijectief is, dan is wegens surjectiviteit elke functie in f ∈ RD van de
vorm f(d) = f(0) + d ⋅ b voor een b ∈ R. Wegens injectiviteit is deze b uniek.
Als hierbij bedacht wordt dat in voorbeeld 3.10 naar voren kwam dat D = D(R()), waar R() de ring van duale getallen is, dan zien we in dat het K-L axioma herschreven kan worden als volgt:
Het axioma van Kock-Lawvere (K-L) 3.16. De afbeelding α∶ R() → RD(R()) ∶ (a, b) ↦ (d ↦ a + d ⋅ b) is bijectief.
Doordat het axioma op deze manier is herschreven kan gemakkelijk ingezien worden dat het volgende axioma een generalisatie daarvan is.
Het algemene axioma van Kock 3.17. Laat W ≃ R[x1, . . . , xn]/I een Weil-algebra
zijn. Dan is het homomorfisme
αW ∶ W → RD(W )∶ p ↦ [(δ1, . . . , δn) ↦ p(δ1, . . . , δn)]
De afbeelding αW is goed gedefinieerd door de definitie van D(W ). Neem maar het
polynoom p+ f waar f ∈ I en waar I wordt gegenereerd door P1, . . . , Pn. Dan is f een
som en product van Pi’tjes die per definitie 0 zijn in D(W ). Dus geldt voor x ∈ D(W )
dat
(p + f)(x) = p(x).
Een paar voorbeelden zullen laten zien wat het axioma zegt over kleine objecten. Voorbeeld 3.18. Neem het kleine object Dk= {δ ∈ R ∶ δn+1= 0}. Het Kock axioma zegt
dat
αW ∶ W → RDk ∶ a1+ a2x+ ⋅ ⋅ ⋅ + ak−1xk−1↦ [δ ↦ a1+ a2δ+ ⋅ ⋅ ⋅ + ak−1δk−1]
bijectief is.
Voorbeeld 3.19. Het axioma verteld wat de afbeeldingen van RDk(n)zijn waar D
k(n) ∶=
{(δ1, . . . , δn) ∶ elk product van k + 1 objecten δi is 0}. Dat zijn
αW ∶ W → RDk(n)∶ ∑ v∶∑ni=1vi≤k anxv11. . . xvnn↦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎣(δ1, . . . , δn) ↦v∶∑ni=1∑vi≤k anδv11. . . δnvn ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎦. Oftewel zijn functies van kleine objecten met het Kock axioma volledig te beschrijven. Het Kock-axioma zegt daarmee veel over het gedrag van functies tussen verschillende kleine objecten onderling. Neem ter illustratie de optelling + ∶ D × D → D2 ∶ (d1, d2) ↦
d1+ d2. Met de optelling zijn elementen van D2 te vinden door voor d1, d2 ∈ D hun som
te nemen: (d1+ d2)3= 2d1d2(d1+ d2) = 0.
Met de optelling d1+ d2+ d3 van drie elementen uit D kan een element van D3 worden
gevonden:
(d1+ d2+ d3)4 = 6d1d2d3(d1+ d2+ d3) = 0.
De volgende vraag komt op: zijn alle elementen in Dk van de vorm d1+ ⋅ ⋅ ⋅ + dk? Dat
weten we niet. Wel vertelt het Kock-axioma het volgende
Propositie 3.20. Bekijk de afbeelding f ∶ Dk→ R. Als voor alle d1, . . . .dk∈ D geldt dat
f(d1+ ⋅ ⋅ ⋅ + dk) = 0 dan is f = 0.
Inductie op k. . Basisstap k= 1: Omdat D1= D is de basisstap triviaal.
Inductiestap: Stel dat het waar is voor k− 1. Neem dk∈ D. Dan is gdk ∶ Dk−1→ R met
gdk(δ) = f(δ + dk) een functie met gdk(d1+ ⋅ ⋅ ⋅ + dk−1) = 0. De inductiehypothese zegt dat
gdk= 0.
Het Kock-axioma geeft dat f(δ) = a1+ a2δ+ ⋅ ⋅ ⋅ + akδk. Het invullen van δ= d1+ ⋅ ⋅ ⋅ + dk
geeft voor willekeurige d1, . . . , dk∈ D dat
a1+ a2δ+ ⋅ ⋅ ⋅ + akδk= f(δ) = gdk(d1+ ⋅ ⋅ ⋅ + dk−1) = 0.
Neem δ= 0 dan volgt a1 = 0. Neem d2, . . . , dk = 0 dan volgt a2d1 = 0, zodat a2 = 0. Stel
a1, . . . , an= 0 dan geeft het nemen van dn+1, . . . , dk = 0 dat an+1 = 0. Dus a1, . . . , ak = 0.
De reden waarom dit werkte is dat het gedrag van f ∶ Dk→ R bekend is. Een eenvoudig
gevolg is dat f1∶ Dk→ R en f2 ∶ Dk→ R met f1(d1+ ⋅ ⋅ ⋅ + dk) = f2(d1+ ⋅ ⋅ ⋅ + dk) voor alle
d1, . . . , dk∈ D geeft dat f1= f2. Een ander voorbeeld:
Voorbeeld 3.21. Stel dat f ∶ D × D → R voldoet aan
f(d1, d2) = f(d2, d1) voor alle d1, d2 ∈ D.
Dan is er een unieke afbeelding g∶ D2 → R zodat g(d1+ d2) = f(d1, d2).
Bewijs. Volgens het Kock-axioma geldt
f(d1, d2) = a + b1d1+ b2d2+ cd1d2 voor alle d1, d2∈ D.
Dan geeft f(d, 0) = f(0, d) dat
b1d1= b2d2 voor alle d∈ D,
dus b∶= b1= b2.
Definieer g∶ D2→ R ∶ a + bδ + c2δ2 dan is g(d1+ d2) = f(d1, d2). Door propositie 3.20 is
g uniek. In diagramvorm: Laat t(d1, d2) ∶= (d2, d1), dan is
D× D Id // t //D× D + // f D2 ∃!g ww R .
Dit diagram is commutatief. In het diagram staat eigenlijk dat R het diagram
D× D Id //
t //D× D
+ //D
2
als een colimiet ziet. (Zie appendix).
3.5. Quasi-colimieten
In het eind van de vorige paragraaf kwamen een aantal regelmatigheden naar voren over functies van infinitesimalen. Om soort regels algemeen te maken bekijken we een diagramD bestaande uit R-algebra’s A1, . . . , Aken eindig veel R-algebra homomorfismes
daartussen. Voor het lezen van deze paragraaf en de volgende paragraaf is wat voorkennis van Categorie¨entheorie nodig. De benodigde stof is in appendix A te vinden. Neem voor L de volgende verzameling:
L= {(a1, . . . , ak) ∈ A1× ⋅ ⋅ ⋅ × Ak∶ ∀f ∶ Ai→ Aj inD, f(ai) = aj}.
Dan is (L Ð→ Aλi i)i het limiet in de categorie van R-algebra’s waar λi de projectie is:
(L λi
Ð→ Ai)i is een kegel en als (M fi
Ð→ Ai)i een kegel is, dan is er een unieke afbeelding
f ∶ M → L met fi = λi○ f; doordat λi de projectie is, is dat f = (f1, . . . , fn).
Definitie 3.22. Stel dat (LÐ→ Aλi i)i een eindig diagram is. In de gevallen dat Ai
Weil-algebra’s zijn en L het limiet van de R-Weil-algebra’s Ai is, wordt(L λi
Ð→ Ai)i een eindig goed
limiet genoemd als L een Weil-algebra is. Het diagram D(Ai) D(f) // D(Aj) D(L) D(λi) gg D(λj) 77 ,
wat verkregen wordt door de functor D(⋅) op (LÐ→ Aλi i)i toe te passen, noemen we een
eindig quasi-colimiet (van kleine objecten).
In de volgende paragraaf zullen wat voorbeelden naar voren komen.
3.6. Microlineaire ruimtes en raakruimtes
Met de definitie van eindige quasi-colimieten uit de vorige paragraaf kan de definitie van een microlineaire ruimte opgeschreven worden:
Definitie 3.23. Een object M heet microlineair als voor eindige quasi-colimieten van kleine objecten (D(Wi)
D(λi)
ÐÐÐ→ D(L))i geldt dat als (D(Wi) fi
Ð→ M)i een kegel is, dat er
dan een unieke afbeelding h∶ D(L) → M bestaat zodat fi= h ○ D(λi).
We zeggen ook wel dat M een eindig quasi-colimiet als een colimiet ziet. Nu de definitie bekend is, kan er bewezen worden dat R microlineair is: Stelling 3.24. Als R aan het Kock-axioma voldoet, dan is R microlineair. Bewijs. Stel dat (D(Wi)
D(λi)
ÐÐÐ→ D(L))i een eindige quasi-colimiet is met (L λi
Ð→ Wi)i als
bijbehorende eindige goede limiet. De Weil-algebra’s W in het limiet zijn als R-algebra isomorf aan RD(W ), wegens het Kock-axioma. Daarmee is het limiet te herschrijven
als het limiet (RD(L) R
D(λi)
ÐÐÐ→ RD(Wi))
i. Dus ziet R het eindige quasi-colimiet als een
colimiet.
Allemaal mooi en aardig, maar zonder een idee te hebben wat een eindig quasi-colimiet is, hebben we er weinig aan.
Voorbeeld 3.25. Bekijk het voorbeeld 3.21. Daar was bewezen dat R
D× D Id //
t //D× D
+ //D
2.
als colimiet zag. In plaats van het te bewijzen kon opgemerkt worden dat het diagram een eindige quasi-colimiet is dat verkregen wordt door D(⋅) toe te passen op
R[x]/ (x3) +′ //R[x, y]/ (x2, y2) Id ′
//
t′ //
R[x, y]/ (x2, y2) .
is, waar Id′ = Id en waar +′(x) = x + y, t′(x) = y en t′(y) = x. Hier zijn +′ en t′ de afbeeldingen van voorbeeld 3.8 zijn.
Om te laten zien dat de eerdere bewijzen wel nuttig waren kan het volgende criterium worden bewezen:
Propositie 3.26. Stel dat R het de eindige kegel(D(Wi) D(λi)
ÐÐÐ→ D(L)) als een colimiet ziet. Dan is het een eindige quasi-colimiet.
Bewijs. Draai het bewijs van stelling 3.24 om, dan zijn we klaar.
Er zijn andere microlineaire ruimten dan R. De volgende proposities geven manie-ren om nieuwe microlineaire ruimten uit al bekende ruimten te maken. Namelijk de ruimte van functies MX vanuit een “verzameling” X naar een microlineaire ruimte M
is microlineair en limieten M van microlineaire ruimten Mα zijn microlineair.
Propositie 3.27. Laat (M Ð→ Mµα α)α een limiet zijn, waar Mα microlineaire ruimten
zijn. Dan is M een microlineaire ruimte. Bewijs. Laat(D(Wi)
D(λi)
ÐÐÐ→ D(L))i een eindige quasi-colimiet zijn. Stel dat (D(Wi) fi
Ð→ M)i een kegel is. Dan is(D(Wi)
µα○fi
ÐÐÐ→ Mα)iook een kegel. Omdat Mα een microlineaire
ruimte is, zijn er unieke afbeeldingen gα,i∶ D(L) → Mα met
µα○ fi= gα,i○ D(λi).
Verder is (M Ð→ Mµα α)α een limiet en (D(L) gα,i
ÐÐ→ Mα)α een kegel, zodat er unieke
hi∶ D(L) → M bestaan met
gα,i= µα○ hi.
Doordat(M Ð→ Mµα α)α een limiet en (D(Wi) µα○fi
ÐÐÐ→ Mα)α een kegel is, zijn de
afbeeldin-gen fi de unieke zodanig dat
µα○ fi= µα○ fi.
Dan geldt µα○ fi = gα,i○ D(λi) = µα○ (hi○ D(λi)). Maar fi waren uniek gekozen, met
als gevolg dat
fi = hi○ D(λi).
Samenvattend: M is een microlineaire ruimte.
Propositie 3.28. Laat M een microlineaire ruimte zijn en X een “verzameling”. Dan is MX een microlineaire ruimte.
