3. Microlineaire ruimtes
3.6. Microlineaire ruimtes en raakruimtes
Met de definitie van eindige quasi-colimieten uit de vorige paragraaf kan de definitie van een microlineaire ruimte opgeschreven worden:
Definitie 3.23. Een object M heet microlineair als voor eindige quasi-colimieten van kleine objecten (D(Wi)
D(λi)
ÐÐÐ→ D(L))i geldt dat als (D(Wi) fi
Ð→ M)i een kegel is, dat er
dan een unieke afbeelding h∶ D(L) → M bestaat zodat fi= h ○ D(λi).
We zeggen ook wel dat M een eindig quasi-colimiet als een colimiet ziet. Nu de definitie bekend is, kan er bewezen worden dat R microlineair is: Stelling 3.24. Als R aan het Kock-axioma voldoet, dan is R microlineair. Bewijs. Stel dat (D(Wi)
D(λi)
ÐÐÐ→ D(L))i een eindige quasi-colimiet is met (L λi
Ð→ Wi)i als
bijbehorende eindige goede limiet. De Weil-algebra’s W in het limiet zijn als R-algebra isomorf aan RD(W ), wegens het Kock-axioma. Daarmee is het limiet te herschrijven
als het limiet (RD(L) R
D(λi)
ÐÐÐ→ RD(Wi))
i. Dus ziet R het eindige quasi-colimiet als een
colimiet.
Allemaal mooi en aardig, maar zonder een idee te hebben wat een eindig quasi-colimiet is, hebben we er weinig aan.
Voorbeeld 3.25. Bekijk het voorbeeld 3.21. Daar was bewezen dat R
D× D Id //
t //D× D
+ //D
2.
als colimiet zag. In plaats van het te bewijzen kon opgemerkt worden dat het diagram een eindige quasi-colimiet is dat verkregen wordt door D(⋅) toe te passen op
R[x]/ (x3) +′ //R[x, y]/ (x2, y2) Id ′
//
t′ //
R[x, y]/ (x2, y2) .
is, waar Id′ = Id en waar +′(x) = x + y, t′(x) = y en t′(y) = x. Hier zijn +′ en t′ de afbeeldingen van voorbeeld 3.8 zijn.
Om te laten zien dat de eerdere bewijzen wel nuttig waren kan het volgende criterium worden bewezen:
Propositie 3.26. Stel dat R het de eindige kegel(D(Wi) D(λi)
ÐÐÐ→ D(L)) als een colimiet ziet. Dan is het een eindige quasi-colimiet.
Bewijs. Draai het bewijs van stelling 3.24 om, dan zijn we klaar.
Er zijn andere microlineaire ruimten dan R. De volgende proposities geven manie- ren om nieuwe microlineaire ruimten uit al bekende ruimten te maken. Namelijk de ruimte van functies MX vanuit een “verzameling” X naar een microlineaire ruimte M
is microlineair en limieten M van microlineaire ruimten Mα zijn microlineair.
Propositie 3.27. Laat (M Ð→ Mµα α)α een limiet zijn, waar Mα microlineaire ruimten
zijn. Dan is M een microlineaire ruimte. Bewijs. Laat(D(Wi)
D(λi)
ÐÐÐ→ D(L))i een eindige quasi-colimiet zijn. Stel dat (D(Wi) fi
Ð→ M)i een kegel is. Dan is(D(Wi)
µα○fi
ÐÐÐ→ Mα)iook een kegel. Omdat Mα een microlineaire
ruimte is, zijn er unieke afbeeldingen gα,i∶ D(L) → Mα met
µα○ fi= gα,i○ D(λi).
Verder is (M Ð→ Mµα α)α een limiet en (D(L) gα,i
ÐÐ→ Mα)α een kegel, zodat er unieke
hi∶ D(L) → M bestaan met
gα,i= µα○ hi.
Doordat(M Ð→ Mµα α)α een limiet en (D(Wi) µα○fi
ÐÐÐ→ Mα)α een kegel is, zijn de afbeeldin-
gen fi de unieke zodanig dat
µα○ fi= µα○ fi.
Dan geldt µα○ fi = gα,i○ D(λi) = µα○ (hi○ D(λi)). Maar fi waren uniek gekozen, met
als gevolg dat
fi = hi○ D(λi).
Samenvattend: M is een microlineaire ruimte.
Propositie 3.28. Laat M een microlineaire ruimte zijn en X een “verzameling”. Dan is MX een microlineaire ruimte.
Bewijs. Neem x ∈ X. Laat Fx ∶ MX → M de afbeelding zijn die f ∈ MX naar f(x)
stuurt. Ik ga laten zien dat(MX Fx
Ð→ M)x∈X een limiet is, dan zijn we klaar vanwege de
vorige propositie. Stel dat(Y Ð→ M)Gx x∈X een kegel is. Neem de afbeelding
H∶ Y → MX ∶ y ↦ fy waar fy(x) ∶= Gx(y).
Dan geldt dat Fx○ H = Gx. Bovendien is H uniek gekozen: Als een afbeelding B ∶ Y →
MX aan F
x○ B = Gx voldoet dan is
B(y)(x) = (Fx○ B)(y) = Gx(y)
dus dan is B= H.
Aangezien n= {0, . . . , n − 1} kunnen we vaststellen dat Rn een microlineaire ruimte is.
In de introductie van dit hoofdstuk gaf ik aan dat microlineaire ruimtes een generalisatie van vari¨eteiten zijn. Laten f, g∶ M → N twee functies zijn tussen microlineaire ruimten M en N . Laat L= {(x, y) ∈ M × N ∶ y = f(x) = g(x)} ≅ {x ∈ M ∶ f(x) = g(x)} (= een equaliser ). Dan is L het limiet van
Rn f // g //R L λ1 ff λ2 99 .
van microlineaire ruimtes Rn en R met λ
i de projectie op de ie component. Hiermee
is L een microlineaire ruimte. Aangezien veel voorbeelden van vari¨eteiten van de vorm {x ∈ M ∶ f(x) = q} zijn, voor een afbeelding f ∶ M → N tussen vari¨eteiten met q een reguliere waarde van f (de reguliere waardestelling zegt dat dit een vari¨eteit is), is te zien dat veel vari¨eteiten microlineaire ruimtes “zijn”. Echter zijn er microlineaire ruimten die met singulariteiten (doordat equalisors bestaan). En doordat exponenten MX bestaan,
zijn er oneindig-dimensionale microlineaire ruimten.
Met microlineaire ruimtes kunnen raakvectoren in x ∈ M gedefini¨eerd worden als t ∶ D → M met t(0) = x. De raakruimte in x is dan T Mx = {t ∈ MD ∶ t(0) = x} en de
raakruimte van M is T M= MD. Net als in de gebruikelijke theorie van vari¨eteiten kun-
nen een afbeelding maken die bij een raakvector vertelt in welk punt hij een raakvector is2:
π∶ T S → S ∶ t → t(0).
Met behulp van deze afbeelding kunnen wij vezels defini¨eren als π−1(x) =∶ Tanp(S).
Een eigenschap van microlineaire ruimtes is dat de vezels R-lineair zijn3.
2Zie daarvoor [6, p.227].
3Op nlab wordt het idee van microlineaire ruimtes uitgelegd: http://ncatlab.org/nlab/show/
Conclusie
Bij het schrijven van deze bachelorscriptie heb ik mij bezig gehouden met generalisaties van vari¨eteiten. Deze generalisaties zijn vandaag de dag nog van belang.
De C∞-ringen worden gebruikt voor meerdere generalisaties van vari¨eteiten. Dit gaat meestal door het gebruik van schoven. Uit 2010 is er er bijvoorbeeld een artikel over “Derived smooth manifolds” van David4. De C∞-ringen heb ik gebruikt in het hoofdstuk
over Fr¨olicherruimtes en impliciet in het hoofdstuk over microlineaire ruimtes (C∞-ringen zijn nodig voor een goed werkend model van synthetische differentiaalmeetkunde).
Fr¨olicherruimtes worden gebruikt in de functionaalanalyse bij het begip van con- vieni¨ent vector space. Zie daarvoor het boek van Kriegl en Michor (1997)5. De stelling
van Boman is recent (in 2005) nog versterkt6
De synthetische differentiaalmeetkunde is nog een onderzoeksgebied waar actief on- derzoek in wordt gedaan. In 2010 is een boek van Anders Kock genaamd “Synthetic geometry of manifolds” uitgekomen over de synthetische differentiaalmeetkunde. Anders Kock is de schrijver van de gebruikte bron [1].
De idee¨en van microlineariteit worden gebruikt door bijvoorbeeld door de differenti- aalmeetkuundigen Breen en Messing7.
De verschillende concepten van vari¨eteiten zijn niet ongerelateerd. De meetkundige Kazuhiro Kawamura8 heeft bijvoorbeeld onderzoek naar microlineairiteit in Frolicher
spaces gedaan.
Er zijn een aantal onderwerpen die ik in deze scriptie niet heb kunnen behandelen, maar waar ik in de toekomst meer over wil weten. Ik wil in de toekomst dieper op de categorie¨entheorie ingaan. Specifiek daarin wil ik weten hoe de schovenmodellen van synthetische differentiaalmeetkunde werken. Daaraan gekoppeld is de categorie L van gladde loci. De theorie van microlineaire ruimtes en die van Fr¨olicherruimtes ga ik graag een volgende keer wat dieper op in. Dan zijn er nog de generalisaties die in deze scriptie niet in beeld zijn gekomen: zoals Chenruimtes, Souriauruimtes, Smithruimten en Sikorskiruimten.
4Spivak, David I. Derived smooth manifolds. Duke Mathematical Journal 153 (2010), no. 1, 55–128.
doi:10.1215/00127094-2010-021. http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1272480932.
5Andreas Kriegl, Peter W. Michor: The Convenient Setting of Global Analysis. Mathematical Surveys
and Monographs, Volume: 53, American Mathematical Society, Providence, 1997. 618 pages. Zbl 889.58001, MR 98i:58015
6H. L. Bentley & Paul Cherenack (2005) Boman’s theorem: Strengthened and applied, Quaestiones
Mathematicae, 28:2, 145-178, DOI: 10.2989/16073600509486122
7Breen, L., Messing, W.: ”Combinatorial Dierential Forms”Advances in Math. 164, 203282 (2001) 8Nishimura, H. (2010). Differential geometry of microlinear Frolicher spaces I. arXiv preprint ar-
A. Categorientheorie
In wat volgt geef ik hopelijk een kleine (informele) intu¨ıtieve uitleg van de gebruikte categorietheorie. Eerst vermeld ik wat categoie¨en zijn en vervolgens behandel ik de begrippen omgekeerde categorie, functor, limiet, colimiet, product en coproduct.
Definitie A.1. Een categorie C bestaat uit collectie objecten C0 met dezelfde structuur
en een collectie pijlen C2 (morfismes of homomorfismes) tussen deze objecten die een
bepaalde structuur tussen deze objecten aangeven. De volgende eigenschappen zijn nodig:
Elke pijl f heeft een domein a∈ C en een codomein b ∈ C en kan worden geschreven als f ∶ a → b. Voor elk object a ∈ C bestaat er een identiteitsfunctie Ida ∶ a → a. Een
associatieve compositie g○ f ∶ a → c van twee pijlen f ∶ a → b en g ∶ b → c bestaat, waarop de identiteit als identiteit werkt: als f ∶ x → y dan is f ○ Idx= f en Idy○ f = f.
De omgedraaide categorie Cop bestaat uit dezelfde objecten als C, echter zijn de pijlen
omgedraaid.
De pijlen tussen twee objecten x en y worden met HomC(x, y) weergeven.
Definitie A.2. Een functor F ∶ A → B tussen categorie¨en A en B is een afbeelding die objecten en pijlen van A naar objecten en pijlen van B stuurt zodanig dat
F(Ida) = IdF(a) en F(f ○ g) = F (f) ○ F (g).
Naast functoren zijn er diagrammen, kegels en limieten nodig.
Definitie A.3. Een diagram D in de categorie C van de vorm J (neem voor J een categorie) is een functor D∶ J → C.
Laten D en D′ diagrammen in C zijn van de vorm I respectievelijk J . De notatie (X fX,Y
ÐÐ→ Y )X∈D,Y ∈D′,f X,Y∈YX
is een notatie voor een categorie die bestaat uit de objecten en pijlen van D(I) en D′(J ) en de pijlen fX,Y. Voor X, Y ∈ D(I) en S, T ∈ D(I) moet echter wel voor g ∶ X → Y
gelden dat fX,S = fY,S ○ g en voor h ∶ S → T gelden dat fX,S○ h = fY,S.
Voorbeeld A.4. Laat D een diagram inC zijn van de vorm I. Laten f ∶ A → B ∈ D(J ) en laat X een verzameling zijn. Geef met XA de verzameling functies f ∶ A → X weer
en met Xf ∶ XB→ XA∶ g ↦ g ○ f weer. Dan is
(XY Ð→ XXf Z) Y,Z,f∈D
Definitie A.5. Laat λi∶ A → Xi de projectieafbeeldingen zijn. Het diagram (A fi
Ð→ Xi)i
bestaande uit commuterende diagrammen Xi g // Xj A fi ee fj 99
voor alle homomorfismes g∶ Xi→ Xj, wordt een kegel genoemd.
Definitie A.6. Voor een diagram D bij de categorieC wordt het limiet van de diagram (als deze bestaat) gezien als een object L in C met de volgende twee eigenschappen:
• (L λX
Ð→ X)X∈D is een kegel.
• Als (A fX
Ð→ X)X∈D een kegel is, dan bestaat er een dan is er een unieke pijl van A
naar L, zodat fX = λX○ f.
Op isomorfie na zijn twee limieten L1, L2 uniek, want er is een uniek morfisme f
tussen zowel L1 en L2 als andersom met een morfisme g en omdat er een uniek morfisme
tussen L1 en zichzelf moet zijn. Dat moet de identitiet zijn zodat g○ f = Id.
Zoals eerder vermeldt wordt kan een categorie worden omgekeerd door de pijlen om te draaien en ontstaan daardoor “omgedraaide” begrippen. Het omgedraaide begrip behorende bij het begrip limiet is het begrip colimiet.
B. Intuitionistische logica
Om de synthetische differentiaalmeetkunde te kunnen gebruiken moet intu¨ıtionistische logica aangenomen worden. De reden hiervoor is dat als de klassieke logica aangenomen wordt en daarbij het axioma van Lawvere aangenomen wordt voor de ring R, dat R dan de nulring is (het bewijs is niet lastig).
In de intu¨ıtionistische logica hebben de logische symbolen als ¬, ∨, ∧, ∃ een andere betekenis dan gebruikelijk. De logica is meer op constructies gericht: een bewijs van a∨ b zal bestaan uit een bewijs van a of een bewijs van b. Hierdoor kan het voorkomen dat er geen bewijzen van a of ¬a zijn zodat een uitspraak als a ∨ ¬a niet per definitie meer waar is. De negatie ¬a in de intu¨ıtionistische logica heeft als definitie a →⊥. Deze definitie van de negatie heeft voornamelijk als gevolg dat bewijzen uit tegenspraak meestal niet geleverd mogen worden behalve om¬a te bewijzen.
De volgende paar formules zijn niet algemeen waar: a∨ ¬a, ¬¬a → a en ¬(a ∧ ¬b) → (a → b). Wel hebben we ¬¬¬a → ¬a, ¬¬(a ∨ ¬a) en (a → b) → ¬(a ∧ ¬b).
Hieronder staat een lijst van axioma’s zoals die door Lavendhomme worden genoemd: 1. (Modus ponens) Als a en a→ b dan b.
2. Als a↔ b dan a → b en b → a. 3. a→ (b → c). 4. (a → b) → ((a → (b → c)) → (a → c)). 5. ((a → c) ∧ (b → c) → (a ∨ b → c). 6. a∧ b → a. 7. a∧ b → b. 8. a→ (b → (a ∧ b)). 9. a→ (a ∨ b). 10. a→ (b ∨ a). 11. (a ∧ ¬a) → b. 12. (a → ¬a) → ¬a. 13. ⊥→ a. 14. ⊺
Populaire samenvatting
Laten wij eens naar de afbeelding f(x) = x2 kijken. De helling van f in het punt x is 2x.
Zo is de helling in 1 gelijk aan 2. Wij kunnen dit te weten komen door een zogenaamde limiet te berekenen. Maar er zijn meer methoden om de helling van f in een punt te bepalen.
Stel dat wij de helling van f in het punt 1 willen weten, en dat de formule onbekend is. Neem een klein getal d, zeg maar d= 0.0001. Dan geldt er dat
f(1 + d) − f(1) = (1 + 0, 0001)2− 12
= 1 + 2 ⋅ 0, 0001 + 0, 00000001 − 1 = 0, 00020001
≈2⋅ 0, 0001
= 2d.
Deze schatting maken we omdat 0, 00000001 verwaarloos veel kleiner dan 0, 0001 is. In de schatting herkennen wij de helling in terug, namelijk de 2 voor de d. Dus door deze schatting kunnen we de helling “berekenen”. Het trucje werkt doordat d2 veel kleiner is
dan d en daardoor makkelijk weg te schatten is.
Kan dit trucje algemener toegepast worden? Bekijk sin(x). De helling van sin(x) in het punt 0 is 1. Neem als klein getal d= 0, 01. Dan is
sin(0, 01) − sin(0) ≈ 0, 0099998333 ≈ 0, 01 = 1 ⋅ d. Weer is de helling te zien.
Een probleem met deze methode is dat hij niet erg exact is. Er is een schatting voor nodig. In een poging om de methode wel exact te maken zullen wij een nieuw soort getal defini¨eren.
Noem getallen d waarvoor d2 = 0, nulkwadraatinfinitesimalen. Het idee is dat dit
getallen zijn die z´o klein zijn dat hun kwadraat 0 is. Normaal gesproken bestaat er maar ´e´en nulkwadraatinfinitesimaal, namelijk 0. Om dat te omzeilen vergeten we dat voor getallen x, ´of x= 0, of x /= 0. Om het helemaal precies te maken zijn moeten we meer principes laten vallen en moet er een axioma erbij genomen worden. In elk geval krijgen we dan nulkwadraatinfinitesimalen d /= 0. Met behulp van deze getallen kan de helling van een afbeelding snel bepaald worden.
Neem ter illustratie f(x) = x2. Dan geldt dat
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2 −1 1 2 3 4
Figuur B.1.: De functie x2 en een raaklijn in 1. De helling in 1 is 2 wat betekent dat de
raaklijn twee stappen stijgt als een stap naar rechts gedaan wordt.
−3 −2 −1 1 2 3
−1 −0.5 0.5 1
Figuur B.2.: De sinusfunctie en een raaklijn in 0.
Nu is de helling van x2 gelijk aan 2x en 2x zien we vermenigvuldigd worden met d. Dus
net als eerder (toen met x= 1) kan de afgeleide gegeven worden door x + d in te vullen. Deze nulkwadraatinfinitesimalen werken ook voor veel andere afbeeldingen. Neem opnieuw de sinusfunctie sin(x). De sinusfunctie is met behulp van de zogenaamde Tay- lorreeks te schrijven als de volgende oneindige som:
sin(x) = x −x 3 3! + x5 5! − x7 7! + x9 9! − . . . enz.
waar 0!= 1 en n! = (n − 1)! voor gehele getallen n groter dan 0. De reeks gaat gebruikt worden om de helling van de sinusfunctie in nul te vinden:
sin(d) − sin(0) = d − d 3 3! + d5 5! − d7 7! + d9 9! − . . .
Maar d2 = 0, dus sin(d) − sin(0) = d −0 3 3! + 05 5! − 07 7! + 09 9! − ⋅ ⋅ ⋅ = 1 ⋅ d.
Net als de vorige keer is de afgeleide het getal 1 en wordt hij hierboven vermenigvuldigd met d.
De methode die wordt toegepast werkt voor de meeste afbeeldingen, voornamelijk door het gebruik van de Taylorreeks. Als de helling van f in een punt x weergeven wordt door f′(x), dan zal voor “gladde” functies f en nulkwadraatinfinitesimalen d gelden dat
f(x + d) − f(x) = f′(x)d. (B.1)
Omdat er nulkwadraatinfinitesimalen d /= 0 zijn kunnen we de helling f′(x) zonder problemen herkennen in (B.1). Een waarschuwing is wel terecht, met d kun je niet rekenen zoals je normaal gesproken doet. Zo bestaat de breuk 1d niet.
Bibliografie
[1] Kock, Anders. 1981. “Synthetic Differential Geometry,” Cambridge University Press. [2] Kriegl, Andreas en Michor, Peter W. 1997. “The Convenient Setting of Global Ana- lysis. Mathematical Surveys and Monographs, Volume: 53,” American Mathematical Society, Providence. 618 pages. Zbl 889.58001, MR 98i:58015
[3] Rynne, Bryan P. en Youngson, Martin A. 2008. “Linear Functional Analysis,” Springer-Verslag Londen.
[4] Moerdijk, Ieke en Reyes, Gonzalo E.. 1991. “Models for Smooth Infinitesimal Ana- lysis,” Springer-Verslag New York.
[5] Boman, Jan. 1967. “Differentiability of a Function and of its Compositions with Functions of One Variable,” Mathematica Scandinavica 20 (1967): 249-268. <http: //eudml.org/doc/165995>.
[6] Bell, John. 2005. “Continuous and the Infinitesimal in Mathematics and Philo- sophy ,” Polimetrica, International Scientific Publisher <http://publish.uwo.ca/ ~jbell/The%20Continuous.pdf>.
[7] Hunter, John K. 2014. “Notes on Partial Differential Equations,” Department of Ma- thematics, University of California at Davis1. <https://www.math.ucdavis.edu/ ~hunter/pdes/pde_notes.pdf>
[8] Lavendhomme, Ren´e. 1996. “Basic Concepts of Synthetic Differential Geometry,” Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.