Hoofdstuk 5:
Bewijzen in de meetkunde
V-1.a. CAB CBA (VABC is gelijkbenig)
180 180
DAC CAB CBA EBC
o o
b. VACD en VBCE
c. VACDVBCE (ZHZ), dus CD CE V-2.
a. Als AP BP dan is VABP gelijkbenig en dan geldt: A2 B2
b. 1. AC BC (VABC is gelijkbenig)
2. ACP BCP (P ligt op de bissectrice van C) 3. Zijde CP is gemeenschappelijk
4. VACP VBCP (ZHZ)
5. AP BP
V-3.
a. 1. BA DA b. 1. AEB ACD (volgt uit a)
2. BAE DAC 2. ED CB
3. AE AC 3. ADS ABS (volgt uit a)
4. VBAE VDAC (ZHZ) 4. EDS CBS
5. VEDSVCBS (HZH)
6. ES CS
V-4. 1. CAB CBA (VABC is gelijkbenig)
2. CAD180o CAB 180o CBA DBE
3. AC BD (gegeven)
4. ACD BDE (gegeven)
5. VACDVBDE (HZH), dus CD DE V-5.
a. 1 : 2
b. 1. AC DC: 2 : 1
2. BC EC: 2 : 1
3. C is gemeenschappelijk.
4. VABC: VDEC (zhz en uit 1, 2 en 3) 5. DE // AB en 1
2
DE AB
6. DEA EAB (Z-hoeken) 7. EDB DBA (Z-hoeken)
8. VDES: VBAS (hh) en de verhouding is 1 : 2
1.
a. Een cirkel zijn alle punten die gelijke afstand hebben tot een middelpunt. b. Een rechte hoek is een hoek van 90o.
c. Eén graad is het 1
360 deel van een cirkel.
d. Trapezium is een vierhoek met één paar evenwijdige overstaande zijden. e. hoek: …
f. Een rechthoek is een vierhoek met 4 rechte hoeken.
g. Een vlieger is een vierhoek met twee paar aanliggende even lange zijden. h. lijnstuk: …
2.
a. Een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90o (een rechte hoek)
b. Een driehoek is een figuur dat wordt gevormd door drie verbindingslijnstukken tussen drie punten die niet op een rechte lijn liggen.
3. Verdeel de vijfhoek in drie driehoeken door vanuit één hoekpunt de twee diagonalen te tekenen.
De som van de hoeken van een driehoek is 180o. De som van de hoeken van drie
driehoeken (en dus van de vijfhoek) is 3 180 o 540o.
4.
a. vierhoek, evenwijdige zijden. b. 1. ABD BDC (Z-hoeken)
2. BD is gemeenschappelijk 3. BDA DBC (Z-hoeken)
4. VABDVCDB (HZH), dus AB CD en AD BC c. Gegeven: AS CS en BS DS
1. ASB CSD (overstaande hoeken) 2. VABS VCSD (ZHZ), dus BAS SCD
3. AB // CD (volgt uit 2: Z-hoeken)
4. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat VASD VCSB en dus dat AD // BC 5. Vierhoek ABCD is een parallellogram.
5. 1. PAB B1 (VABP is gelijkbenig)
2. BCQ B3 (VBCQ is gelijkbenig)
3. S 180 A C 180 B1 B3
o o
(hoekensom van een driehoek) 4. B2 180 B1 B3
o
(gestrekte hoek) 5. S B2 (volgt uit 3 en 4)
6. 1. BDS 180o90o 90o (hoekensom van een driehoek) 2. ABE 180o90o2 90o2 (hoekensom van een driehoek) 3. EBD 90o ABE 90o(90o2 ) 2
4. BSD 180o(90o) 2 90o
7.
a. Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. b. 1. BAC DAC
2. AC is gemeenschappelijk 3. ACB ACD
4. VABC VADC (HZH), dus ABAD en BC CD 5. Op dezelfde manier is te bewijzen dat AB BC en
AD CD
6. AB BC CD AD, dus ABCD is een ruit.
8.
a. Als van een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan is de driehoek gelijkbenig: waar. b. Twee evenwijdige lijnen l en m snijden lijn p loodrecht: niet waar.
c. Als de diagonalen van een vierhoek ABCD even lang zijn, dan is ABCD een rechthoek: niet waar.
d. Als van een vierhoek ABCD de overstaande hoeken even groot zijn, dan is ABCD een parallellogram: waar.
9.
a. 1. B ACB (VABC is gelijkbenig) 2. DCE E (VCDE is gelijkbenig)
3. 90o B E 180o (hoekensom van een driehoek)
4. BCE ACB ACD DCE B 90o E 180o
b. 1. 90o B E 180o (hoekensom van een driehoek)
2. B ACB (VABC is gelijkbenig) 3. E DCE (VCDE is gelijkbenig) 4. ACB DCE90o (volgt uit 1, 2 en 3)
5. ACD BCE ( ACB DCE) 180 o90o90o
c. Dit bewijs gaat analoog aan het bewijs bij b. 10.
a. Gegeven is de middelloodlijn van CD.
Te bewijzen: M ligt op het midden van AC en N ligt op het midden van BC.
1. MC MD (M ligt op de middelloodlijn van CD)
2. MS is gemeenschappelijk (S is het snijpunt van MN en CD) 3. MSC MSD90o (MN is middelloodlijn)
4. VCSM VDSM, dus SCM SDM
5. SMC 90o SCM (hoekensom van een driehoek)
6. DAM 360o90o90o AMS180o(180o SMC) SMC
7. ADM 90o SDM 90o SCM SMC DAM
8. VADM is gelijkbenig, dus AM DM MC, en dus ligt M op het midden van AC. b.
c. 1. MN gaat door de middens van de zijden, dus MN // PQ 2. RSM RKP 90o
3. VRSM : VRKP (hh), dus 1 2
RS RM RK RP .
Hieruit volgt dat RS SK
11.
a. Uit AB en B C A volgt dat AB
Uit BC en C A B volgt dat B C
b. Een vierkant is een ruit en heeft dus vier even lange zijden. Een vierkant is tevens een rechthoek en heeft dus vier hoeken van 90o. Dus AB.
Een vierkant is een vierhoek met 4 hoeken van 90o. Dus de vierhoek is een
rechthoek. De diagonalen van een rechthoek zijn even lang en delen elkaar
middendoor. Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden. De vierhoek is dus een ruit. De diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar. Dus BC. Een vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn en elkaar middendoor delen is een rechthoek. Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan is de vierhoek ook een ruit. Dus CA.
12.
a. 1. DAB DBA (VABD is gelijkbenig) 2. DAC DCA (VACD is gelijkbenig) 3. 2 2 180o (hoekensom van een driehoek)
4. A DAB DAC 90o
b. 1. Verleng PT naar punt S zo dat PT TS
2. Van vierhoek PQRS is nu gegeven dat de diagonalen elkaar middendoor delen
3. vierhoek PQRS is een rechthoek: dus de diagonalen zijn even lang. 4. 1
2
PT QS
c. In een driehoek PQR met zwaartelijn PS geldt:
1 2 90 P PS QR o 13. a./b.
c. PQRS lijkt wel een parallellogram.
d. Een parallellogram heeft twee paar evenwijdige zijden. e. Teken de diagonaal AC van vierhoek ABCD.
Omdat AS SD en CR RD is SR // AC en omdat
AP PB en CQ QB is ook PQ // AC. Ofwel PQ // SR.
Met de diagonaal BD kun je ook bewijzen dat PS // QR.
PQRS is dus een parallellogram.
f. Dan zijn de diagonalen van ABCD even lang. De zijden van PQRS zijn even lang, dus PQRS is een ruit.
g. Bij vraag e al bewezen dat PQRS een parallellogram is.
ABCD is een ruit, dus de diagonalen staan loodrecht op
elkaar. Omdat de zijden evenwijdig zijn met de
diagonalen staan de zijden ook loodrecht op elkaar. Dus
PQRS is een rechthoek.
14.
a. Een rechthoek heeft vier hoeken van 90o
buitenhoek180o90o 90o (gestrekte hoek) 1
3(som van de niet aanliggende binnenhoeken) 31(90 90 90 ) 90
b. ABCD is een vierhoek, dus 360o De buitenhoek van 1 1 1 3( ) 3(360 ) 120 3 A o o De buitenhoek van A 180o Dus 1 3 120o 180o 2 3 60 90 o o
Op dezelfde manier kun je bewijzen dat de andere hoeken ook 90o zijn.
15.
a. Als BC AC dan is VABC een gelijkbenige driehoek en is A B
b. 1. Als BC CD dan is CBD BDC
2. BDC A ABD (stelling van de buitenhoek) 3. DBC A ABD
4. B ABD DBC ABD A ABD A
En dat is in tegenspraak met het gegeven dat A B
c. BC AC
16. Neem aan dat geen twee personen in dezelfde maand jarig is. Dan is ieder in een andere maand jarig. Dan zouden er 13 maanden moeten zijn, en die zijn er niet. 17. a. n2 :p47 5 : 71 8 : 113 10 : 151 n p n p n p
Dit zijn inderdaad allemaal priemgetallen.
b. n40 is de eerste waarde van n waarvoor p1681 geen priemgetal is. 41 is ook een deler van 1681.
18. Stel dat DP ook een loodlijn is op AB. 90 BPD APC o 90 90 180 APB APC CPD DPB CPD o o o en dat is in
tegenspraak met het feit dat APB een gestrekte hoek is. 19. VPQR is een rechthoekige driehoek.
2 2 2 2 PR PQ QR PQ PR PQ 20.
a. 1. BAD SAE (AD is de bissectrice) 2. ABD AES (gegeven)
3. VABD: VAES (hh, uit 1 en 2)
4. ASE BSD (overstaande hoeken) 5. BSD BDS (uit 3 en 4)
6. VBSD is gelijkbenig (uit 5)
21. Nee dat is niet mogelijk. Als je de zijde van 11 cm tekent, en op het ene eindpunt een cirkel tekent met straal 3 cm en op het andere eindpunt een cirkel met straal 7 cm, dan snijden die cirkels elkaar niet.
22. Als QR de langste zijde is, dan moet PR5 Als PR de langste zijde is, dan moet PR29 23.
a.
b. AB2 AD2BD2 AD2 ABAD
c. BC2 BD2CD2 CD2 BC CD
d. AB BC AD CD AC
24. Stel dat punt B niet op het lijnstuk AC ligt.
A, B en C vormen dan een driehoek waarvoor geldt: AB BC AC. Dat is in tegenspraak met AB BC AC. Dus punt B ligt op lijnstuk AC.
25.
a. AS SD AD en BS SC BC .
AC BD AS SC BS SD AS SD BS SC AD BC
b. In driehoek APC geldt: AP PC AC en in driehoek BPD geldt: BP PD BD .
AP BP CP DP AP CP BP DP AC BD
26.
a. Als in een trapezium ABCD diagonaal AC de bissectrice is van A dan zijn AD en
CD even lang.
b. 1. A1 A2 (AC is de bissectrice)
2. A2 C1 (Z-hoek)
3. A1 C1 (volgt uit 1 en 2)
4. VACD is gelijkbenig, dus AD CD (volgt uit 3) 27.
a. Als van een vierhoek ABCD de diagonalen elkaar loodrecht snijden, dan is ABCD een vlieger.
b. De omgekeerde bewering is niet waar. In de vierhoek ABCD hiernaast staan de diagonalen AC en BD loodrecht op elkaar, maar is de vierhoek geen vlieger.
28.
a. 1. AS is gemeenschappelijk
2. SAP SAT (ABCD is een ruit en de diagonalen van een ruit delen de hoeken middendoor).
3. APS ATS 90o (loodlijnen)
4. VSAP VSAT (ZHH, volgt uit 1, 2 en 3)
5. SP ST (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier is te bewijzen dat PS QS RS b. Dit is niet waar. Hiernaast zie je een
parallellogram met de loodlijnen vanuit S op de zijden. Duidelijk is te zien dat de loodlijnen niet even lang zijn.
29.
a. Als VABC gelijkzijdig is, dan zijn de hoogtelijnen even lang. b. Als van een driehoek de hoogtelijnen even lang zijn,
dan is de driehoek gelijkzijdig. 1. AC is gemeenschappelijk
2. AD CE (gegeven)
3. ADC CEA90o (hoogtelijnen)
4. VADC VCEA (ZZR, uit 1, 2 en 3) 5. DCA EAC (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier (met de hoogtelijn BF) kun je bewijzen dat DCA FAB
7. De drie hoeken zijn gelijk en dus zijn de drie zijden gelijk: VABC is gelijkzijdig. 30.
a. Noem S het snijpunt van de loodlijn met de koorde. 1. MS is gemeenschappelijk
2. MSA MSB90o (gegeven)
3. MAS MBS (MA MB r : gelijkbenige driehoek)
4. VMSAVMSB (ZHH, uit 1, 2 en 3)
5. SA SB (volgt uit 4)
b. Als een lijn door het middelpunt een koorde middendoor deelt, dan staat de lijn loodrecht op de koorde.
c. 1. MA MB r
2. MS is gemeenschappelijk
3. SA SB (gegeven)
4. VAMSVBMS (ZZZ, uit 1, 2 en 3) 5. ASM BSM (volgt uit 4)
6. En omdat ASB 180o (gestrekte hoek) volgt uit 5 dat ASM BSM 90o
31. a./b. c. VABC en VBAD d. 1. AB is gemeenschappelijk 2. A E (AD BC ED, VAED is gelijkbenig) 3. E B (ED // BC, F-hoek)
4. ABC BAD (volgt uit 2 en 3) 5. BC AD (gegeven)
6. VABC VBAD (ZHZ, uit 1, 4 en 5)
7. AC BD 32. 1. 1 2 AP AB en 1 2 RC DC
2. AP RC (AB DC omdat ABCD een parallellogram is)
3. AP // RC (AB // DC)
4. APCR is een parallellogram (volgt uit 2 en 3) 5. AE // FC (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat AQCS een parallellogram is en dus dat AF // EC
33. a.
b. 1. BAD90o BCD90o 360o (hoekensom van
een vierhoek)
2. BAD 180o BCD
3. BCE 180o BCD (gestrekte hoek)
4. BAD BCE (volgt uit 2 en 3)
5. AB BC en AD CE (gegeven)
6. VBADVBCE (ZHZ, uit 4 en 5)
7. BD BE
34.
a. omdat de diagonalen van een ruit loodrecht op elkaar staan.
BTS BTQ
V V en VATP VATR
b. Een ruit is een vierhoek met 4 even lange zijden. c. 1. SBT QBT (BT is een bissectrice van B)
2. BT is gemeenschappelijk
3. BTS BTQ (de bissectrices snijden elkaar loodrecht) 4. VBTSVBTQ (HZH, uit 1, 2 en 3)
5. TS TQ
6. STR QTR 90o (de bissectrices snijden elkaar loodrecht)
7. TR is gemeenschappelijk
8. VSTRVQTR (ZHZ, uit 5, 6 en 7)
9. SR QR (volgt uit 8)
10. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat SP SR
11. SP PQ QR RS (volgt uit 10 en 11), dus PQRS is een ruit.
35. a.
b. Vermoedelijk is QPR PQR en zijn de zijden PR en QR even lang.
c./d. De hoogte lijn uit P snijdt QR in S en de hoogtelijn vanuit Q snijdt PR in T.
1. PQ is gemeenschappelijk
2. PS QT (gegeven)
3. PSQ QTP 90o (hoogtelijnen)
4. VPQSVQPT (ZZR, uit 1, 2 en 3)
5. PQS QPT (volgt uit 4), dus VPQR is gelijkbenig. 36.
a.
b. MP MR RP MS QS MQ
c. 1. MA MB (straal)
2. MAP MBQ (VMAB is gelijkbenig, uit 1) 3. AP BQ (gegeven)
4. VMAP VMBQ (ZHZ, uit 1, 2 en 3) 5. MP MQ (volgt uit 4)
37. a./b.
c. 1. A B C D 360o (hoekensom van een
vierhoek)
2. B D 180o ( A C 90o: gegeven)
3. 2 2 180o, dus 90o
4. ATD 180o A 90o (hoekensom van een driehoek) 5. ATD (volgt uit 3 en 4)
6. TD // BS (F-hoeken, volgt uit 5) 38.
a. 1. R 180o (hoekensom VABR) 2. P 180o (hoekensom VCDP)
3. 2 2 2 2 360o (hoekensom vierhoek ABCD)
4. P R 180o 180o 360o 180o
(volgt uit 1, 2 en 3)
b. Q S 360o ( P R) 360 o180o180o
(hoekensom vierhoek PQRS) c.
d. PQRS is een gelijkbenig trapezium.
In opgave 37 is bewezen dat QR // PS
1 1 2 2 1 1 2 2 180 45 135 180 45 135 RQP BQC BRA o o o o o o
Dus PQRS is een gelijkbenig trapezium. 39.
a. CE is de hoogtelijn van driehoek ABC vanuit punt C
1 1 2 2 sin( ) sin( ) sin( ) CE b ABC CE b Opp c CE bc
b. De hoogte van de driehoeken ADC en DBC is gelijk, namelijk CE.
1 1 2 2 : : : ADC DBC Opp Opp AD CE DB CE AD DB c. 1 1 2 sin(2 ) ADC Opp b CD en 1 1 2 sin(2 ) DBC Opp a CD d. 1 1 1 2 2 2 : sin( ) : sin( ) : : AD BD b CD a CD b a AC BC 40. 1. BP CP (gegeven)
2. BPA CPR (overstaande hoeken)
3. PA PR (gegeven)
4. VABP VRCP (ZHZ, uit 1, 2 en 3) 5. ABP RCP (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier is te bewijzen dat BAQ SCQ
7. SCQ QCP PCR BAC ACB ABC180o (hoekensom VABC)
41.
a. ?
b. 1
2
Opp basis hoogte
Voor driehoek DBA is BD de basis en BC de hoogte; voor driehoek CBF is BF de basis en BH de hoogte.
c. 1. AB FB
2. ABD ABC90o 90o ABC FBC
3. BD BC
4. VABDVFBC (ZHZ, uit 1, 2 en 3) 42.
a. Met behulp van de congruente driehoeken ADC en BEC. b.
c. ECB ECA ACB60o ACB ACB60o ACB BCD ACD
d. 1. BA FA (gelijkzijdige driehoek)
2. BAE 60o FAC
3. AE AC (gelijkzijdige driehoek) 4. VBAE VFAC (ZHZ, uit 1, 2 en 3) 5. BE FC (volgt uit 4)
e. Als AD BE en BE FC dan is AD FC
f. Bij een rotatie van VCEB om punt C over 60o komt E in A en B in D terecht.
Lijnstuk EB gaat over in AD.
T-1. a. b. 1. DAC C (AD CD ) 2. 1 1 2(180 ) 90 2 o o (VABD is gelijkbenig) 3. 1 2 2 90o 180o (hoekensom driehoek) 1 2 2 90 36 o o 4. A 72o, B 72o en C 36o
c. De hoogtelijn is de lijn vanuit een hoekpunt loodrecht op de overstaande zijde.
d. A E EDF F 360o (hoekensom vierhoek)
72 90 90 360 108 EDF EDF o o o o o
e. De driehoeken AED en AFD zijn congruent (ZHH)
Of D ligt op de bissectrice van A, met andere woorden D ligt even ver van de benen van hoek A.
T-2. ABCD is een vierhoek met vier gelijke hoeken van 90o.
Te bewijzen: ABCD is een parallellogram met AC BD 1. ABBC en CDBC, dus AB // CD
2. ADAB en BC AB, dus AD // BC
3. ABCD is een parallellogram (volgt uit 1 en 2) 4. AB is gemeenschappelijk
5. ABC BAD90o (gegeven)
6. BC AD (volgt uit 3)
7. VABC VBAD (ZHZ, uit 4, 5 en 6)
8. AC BD dus ligt S op de deellijn van de buitenhoek van C
PQRS is een parallellogram met PR QS Te bewijzen: PQRS heeft vier rechte hoeken. 1. PQ is gemeenschappelijk
2. QR PS (PQRS is een parallellogram)
3. PR QS (gegeven)
4. VPQR VQPS (ZZZ, uit 1, 2 en 3) 5. PQR QPS (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat RQP QRS
7. PQRS is een vierhoek met 4 gelijke hoeken, die dan 90o moeten zijn.
T-3.
a. Twee lijnen zijn evenwijdig als ze geen gemeenschappelijk punt hebben b. Het snijpunt van de lijn met m noemen we A en met l noemen we B.
Stel de lijnen zijn niet evenwijdig. Dan is er een punt P waar de lijnen l en m elkaar snijden. De som van de hoeken van driehoek ABP is
180 APB 180 APB 180
o o o. En dat is in tegenspraak met de som
van de hoeken van een driehoek is 180o. Dus l en m hebben geen punt gemeen.
T-4. a.
b. Teken een lijn door D evenwijdig aan BC. Deze snijdt
AB in E.
AB DC AB EB AE
AE DE AD (driehoeksongelijkheid)
T-5.
a. Vierhoek KLMN lijkt een parallellogram
b. MQ MP r1, dus MPQ MQP 2 NK NP r LKQ MPQ en KLQ PMQ (F-hoeken) c. Stel NPK . 1. NKP NPK (NP NK)
2. PNK 180o2 (hoekensom van een driehoek, volgt uit 1) 3. MQP MPQ (MP MQ)
4. PMQ180o2 (hoekensom van een driehoek, volgt uit 3) 5. ML // NK (F-hoeken, volgt uit 2 en 4)
6. KLMN is een parallellogram (volgt uit 5 en MN // LK (gegeven))
T-6. 1. ED FD (gegeven)
2. EDB FDB (BD is een diagonaal van een ruit) 3. DB is gemeenschappelijk
4. VEDBVFDB (ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3) 5. DBE DBF
6. BS is gemeenschappelijk
7. BSP BSQ90o (diagonalen van een ruit)
8. VBSP VBSQ (HZH, volgt uit 5, 6 en 7) 9. SP SQ (volgt uit 8) T-7. 1. PC 2z RB (gegeven) 2. PCR 120o RBQ 3. CR z BQ (gegeven) 4. VPCRVRBQ (ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3) 5. PR RQ (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier kan bewezen worden dat QP PR. 7. VPQR is gelijkzijdig.
T-8. Niet waar: neem bijvoorbeeld een gelijkbenig trapezium. T-9.
a. 1. VADQVPQC (ZHZ) 2. AQD PCQ (volgt uit 1) 3. AQ // PC (F-hoeken, volgt uit 2)
4. AP // QC (ABCD is een parallellogram)
5. APCQ is een parallellogram is (volgt uit 3 en 4, twee paar evenwijdige zijden) b./c. op analoge wijze.
d. Als PRSQ een ruit is staan de diagonalen RS en PQ loodrecht op elkaar en dan is
