26 juni 2015
Het waarderen van rekenkundige Aziatische opties
Robert Tol, studentnummer 10367756 Bachelorscriptie Actuariële Wetenschappen FEB, Universiteit van Amsterdam
Inhoudelijk begeleider: prof. dr. ir. M.H. (Michel) Vellekoop
Abstract:
In dit onderzoek worden drie methodes voor het waarderen van Aziatische callopties getoetst op snelheid en benaderingsfout. De benaderingsmethodes van Turnbull en Wakeman (1991), Hull en White (1993) en Milevsky en Posner (1998) worden beschreven, in R
geïmplementeerd, uitgevoerd en ten slotte vergeleken met een Monte-Carlosimulatie. De methodes worden op verschillende manieren getoetst en de resultaten worden grafisch weergegeven.
Inhoudsopgave
1 Inleiding ... 1
2 Theoretisch kader ... 3
2.1 Monte Carlosimulatie ... 4
2.2 Turnbull en Wakemanbenadering ... 5
2.3 Hull en White, de binomiale boom ... 7
2.4 Milevsky en Posner, de inverse gammaverdeling ... 8
3 Opzet en inhoud van het onderzoek ... 10
4 Resultaten ... 12
5 Analyse ... 17
6 Conclusie ... 19 Bibliografie... Bijlagen...
1 Inleiding
Voor het waarderen van Europese en Amerikaanse opties worden het Black-Scholesmodel (Black en Scholes, 1973), Monte Carlosimulatie (Boyle, 1977) en binomiale bomen (Cox, Ross en Rubinstein, 1979) gebruikt, maar bij het waarderen van Aziatische opties schieten deze methodes tekort. Het Monte Carloproces neemt te veel tijd in beslag, het
Black-Scholesmodel kan niet meer gebruikt worden en de binomiale bomen worden snel te groot en te onoverzichtelijk om bruikbare resultaten te genereren.
De pay-off van de Aziatische optie heeft betrekking op de gemiddelde prijs over een tijdspanne van een onderliggend financieel product (in de meeste gevallen is dit een aandeel). Er zijn twee manieren waarop dit gemiddelde kan worden berekend, namelijk als rekenkundig en meetkundig gemiddelde. Hierdoor heten deze opties rekenkundige en meetkundige
Aziatische opties.
Doordat de gemiddelde prijs de waarde van deze optie bepaalt, is de prijs op de excercitiedatum minder belangrijk omdat deze prijs slechts een klein deel van het gemiddelde is. Prijsschommelingen aan het einde van de looptijd worden hierdoor grotendeels afgevlakt en het risico op grote verliezen neemt als gevolg hiervan af, waardoor de prijs van de Aziatische optie lager is dan de prijs van een Europese of Amerikaanse optie op eenzelfde product. Door de afvlakking van prijsschommelingen worden Aziatische opties vaak verhandeld op de valutamarkt en op marken waarop weinig verhandeld wordt (op deze
markten treden vaak prijsschommelingen op door vraag- en aanbodschommelingen) (Turnbull en Wakeman, 1991).
In dit onderzoek worden methodes getest die het waarderen van rekenkundige Aziatische opties mogelijk maken. Er wordt gezocht naar de efficiëntste manier om het gemiddelde van de koersen over een tijdspanne te schatten, gelet op beperkingen op het gebied van tijd en op de toegestane foutenmarge.
In het theoretisch kader worden drie methodes voor het waarderen van rekenkundige Aziatische opties besproken, namelijk de methodes van Turnbull en Wakeman (1991), Hull en White (1993) en Milevsky en Posner (1998). Deze methodes zijn ontstaan uit de zoektocht naar een vervanger voor Monte-Carlosimulatie (en in mindere mate als vervanger voor de bestaande processen om Aziatische opties te waarderen) die sneller werkt en toelaatbare fouten maakt.
Na de beschrijving van de methodes worden deze geïmplementeerd in het programma R en worden er resultaten gegenereerd die vergeleken worden .
De resultaten die uit het eigen onderzoek volgen worden vervolgens geanalyseerd. In de conclusie worden de uitkomsten met de hypotheses vergeleken (en eventueel verworpen) en wordt de hoofdvraag beantwoord.
Na de conclusie volgt een lijst met de voor dit onderzoek gebruikte literatuur en volgen de bijlagen, waarin de gebruikte R-codes te vinden zijn met een korte toelichting van de gebruikte variabelen. In de bijlagen zijn ook de resultaten van de tests te vinden.
2 Theoretisch kader
In dit hoofdstuk wordt een korte beschrijving van opties gegeven en worden de in dit onderzoek gebruikte methodes beschreven. Ook wordt verteld hoe deze methodes getest kunnen worden en hoe ze in R geïmplementeerd kunnen worden.
Een optie is een recht om een goed of een future te kopen of te verkopen tegen een vooraf afgesproken prijs (deze prijs heet de uitoefenprijs). Voor dit recht wordt vaak (in sommige gevallen is een optie gratis, bijvoorbeeld een kortlopende optie op het kopen van een huis) een prijs betaald, dit heet de optiepremie. Opties om goederen of futures te kopen en verkopen worden respectievelijk call- en putopties genoemd.
De houder van de optie is niet verplicht om de optie uit te oefenen, het is ten slotte een recht en geen plicht. Een calloptie zal namelijk niet uitgeoefend worden als de marktprijs onder de vooraf afgesproken prijs ligt. Dit komt omdat het product elders voor een lagere prijs gekocht kan worden dan bij degene die de calloptie heeft verkocht. Een putoptie zal niet uitgeoefend worden als de marktprijs boven deze afgesproken prijs ligt (Black en Scholes, 1973), omdat het product elders voor een hogere prijs verkocht kan worden dan bij degene die de putoptie heeft verkocht.
Op de aandelenmarkt zijn de twee meest gebruikte optievormen de Amerikaanse en de Europese optie. De Amerikaanse optie kan gedurende de hele looptijd uitgeoefend worden en de Europese optie kan slechts aan het einde van de looptijd uitgeoefend worden. Doordat het uitoefenmoment van een Amerikaanse optie zelf gekozen kan worden ligt de prijs van deze optie boven de prijs van zijn Europese equivalent (Barone-Adesi en Whaley, 1987).
Naast de Amerikaanse en de Europese opties bestaan er nog meer soorten (in de praktijk minder gebruikte) opties. Deze opties worden exotische opties genoemd. Hier vallen onder andere Bermudean (deze opties mogen op een beperkt aantal momenten uitgeoefend worden) en Aziatische opties onder. Van laatstgenoemde heeft de pay-off betrekking op het gemiddelde van de prijs van één aandeel op verschillende tijdstippen.
De prijs van een Aziatische calloptie met uitoefenprijs K is de risiconeutrale verdisconteerde waarde 𝑒−𝑟𝑇𝐸(𝑚𝑎𝑥(𝐴
[0,𝑇]− 𝐾, 0)) en de waarde van een Aziatische putoptie is 𝑒−𝑟𝑇𝐸(𝑚𝑎𝑥(𝐾 − 𝐴
[0,𝑇], 0)), waarbij A[0,T] de gemiddelde prijs van aandeel S over periode [0,T] is (Rogers en Shi, 1995).
In dit onderzoek zal de nadruk liggen op het zoeken naar de efficiëntste manier om de
verwachting van dit gemiddelde van toekomstige aandelenprijzen te berekenen. Verschillende methoden worden vergeleken met een benchmark. Als benchmark wordt er gebruikgemaakt van Monte Carlosimulatie, omdat wanneer deze simulatie wordt uitgevoerd met een groot aantal replicaties, de echte optieprijs goed kan worden benaderd.
In de onderstaande onderzoeken worden de volgende termen gebruikt: - St is de waarde van aandeel S op tijdstip t
- σ is de volatiliteit van het aandeel
- r staat voor de risicovrije interestvoet (constant verondersteld) - T is het uitoefentijdstip van de optie
- K is de uitoefenprijs van de optie op tijdstip t=T - n is het aantal waarnemingen
- Δt is de grootte van de tijdstap tussen twee aandelenkoersen: Δt=T/n - N(0,1) is de standaardnormale verdeling
2.1 Monte Carlosimulatie
Bij deze vorm van Monte Carlo-simulatie wordt er verondersteld dat de koers op tijdstip t + Δt afhankelijk is van de koers op tijdstip t en afhankelijk is van de volatiliteit, de risicovrije rentevoet r, de grootte van de tijdstap (Δt) en een random component Zt ~ N(0,1) i.i.d.:
𝑆𝑡+∆𝑡 = 𝑆𝑡𝑒(𝑟−12𝜎2)∆𝑡 + 𝜎𝑍𝑡√∆𝑡
Om dit te vergemakkelijken wordt aan beide kanten de natuurlijke logaritme genomen:
ln(𝑆𝑡+∆𝑡) = ln(𝑆𝑡) + (𝑟 −1 2𝜎
2) ∆𝑡 + 𝜎𝑍√∆𝑡
Het rekenkundig gemiddelde wordt vervolgens berekend als de som van alle Si’s gedeeld door
n, het aantal waarnemingen. Bij deze vorm van Monte Carlo-simulatie wordt een groot aantal verlopen van aandelenkoersen gesimuleerd, waar vervolgens het gemiddelde van wordt genomen. Hierna wordt het maximum van 0 en (A[0,T] – K) genomen om de waarde van de optie op tijdstip t=T te berekenen. Deze waarde wordt vervolgens vermenigvuldigd met 𝑒−𝑟𝑇 (er wordt constante continue interest verondersteld) om naar tijdstip t=0 te verdisconteren
(deze waarde wordt Ci0 genoemd). Van al deze verdisconteerde waaden wordt vervolgens
weer het gemiddelde genomen, om de ‘echte’ (onbekende) call-waarde C0 te berekenen.
De standaarddeviatie van C0 wordt berekend als de wortel van de variantie hiervan. Deze
variantie is gelijk aan 𝑉𝑎𝑟 (1
𝑛∗ ∑ 𝐶𝑖0 𝑛 𝑖=1 ) = 1 𝑛2𝑉𝑎𝑟(∑ 𝐶𝑖0 𝑛 𝑖=1 ) = 1 𝑛2∑ 𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑖0) 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛2∑ 𝐸(𝐶𝑖0− 𝐶0)2 𝑛 𝑖=1 .
In het R-script (zie bijlage I) wordt er n keer het verloop een aandelenkoers met k meetmomenten gesimuleerd in vector ‘koers’. Van deze vector ‘koers’ wordt het
verdisconteerde van rekenkundig gemiddelde minus K weggeschreven naar de vector ‘call’. Hierna wordt van de vector ‘call’ het gemiddelde genomen. Dit is de optieprijs op
t=0.Vervolgens wordt de standaardafwijking berekend en weergegeven.
Het gemiddelde van deze simulatie met een zeer grote n (aantal koersverlopen) en k (totale meetmomenten) zal als benchmark fungeren.
2.2 Turnbull en Wakemanbenadering
In het onderzoek van Turnbull en Wakeman (1991) wordt de verdeling van het rekenkundig gemiddelde van de toekomstige koersen benaderd met een Edgeworth-expansie. De echte verdeling f wordt hierbij benaderd met een verdeling a:
𝑓(𝑦) = 𝑎(𝑦) +𝜅2 𝑓− 𝜅 2𝑎 2! 𝑑2𝑎(𝑦) 𝑑𝑦2 + 𝜅3𝑓− 𝜅3𝑎 3! 𝑑3𝑎(𝑘) 𝑑𝑦3 +𝜅4 𝑓− 𝜅 4𝑎+ 3(𝜅2𝑓− 𝜅2𝑎)2 4! 𝑑4𝑎(𝑦) 𝑑𝑦4 + 𝑒(𝑦)
Een vereiste voor de benaderende verdeling is dat hij viermaal differentiëerbaar is. Omdat er in dit onderzoek verondersteld wordt dat de aandelenprijzen lognormaal verdeeld zijn, wordt voor de benaderende verdeling ook een lognormale verdeling gekozen. Om praktische redenen is er voor gekozen om de verdeling van de geschaalde som van de aandelenprijzen Y te benaderen: 𝑌 = ( 𝐴[0,𝑇]
𝑆0 ∗ 𝑛) .
Om verdeling a te ‘kalibreren’ worden de eerste twee centrale momenten (verwachting en variantie) gelijk gesteld aan de eerste twee centrale momenten van f.
De momenten van een lognormaal verdeelde stochast met parameters µ en σ zijn te berekenen met de momentgenererende functie: 𝐸(𝑌𝑚) = 𝑒µ𝑚+ 𝜎2𝑚2/2. De eerste twee momenten van Y worden dan gelijk aan 𝐸(𝑌) = 𝑒µ+ 𝜎2/2 en 𝐸(𝑌2) = 𝑒2µ+ 2𝜎2.
Als 𝑆𝑖+1= 𝑆𝑖𝑅𝑖+1, dan is 𝑌 = (𝑅1+ 𝑅1𝑅2+ ⋯ + 𝑅1𝑅2… 𝑅𝑛) = 𝑅1𝐿2 waarbij 𝐿𝑖 = 1 + 𝑅𝑖𝐿𝑖+1. Gebruik makend van 𝐿𝑛+1 = 1, 𝑅𝑖 =
𝑆𝑖
𝑆𝑖−1 = 𝑒
𝜇∆𝑡 (constant voor elke i) en de onafhankelijkheid van de 𝑅𝑖’s kunnen 𝐿2 en de verwachting van 𝑌𝑚 recursief berekend worden. Na het oplossen van deze vergelijkingen volgt er: 𝜇 = 2 ln(𝐸(𝑌)) −ln (𝐸(𝑌2))
2 en 𝜎2 = ln(𝐸(𝑌2)) − 2ln (𝐸(𝑌)).
De overige cumulanten van f worden berekend als 𝜅3𝑓= 𝐸(𝑌 − 𝐸(𝑌))3 en 𝜅4𝑓 = 𝐸(𝑌 − 𝐸(𝑌))4− 3𝐸(𝑌 − 𝐸(𝑌))2 waarbij voor de berekening van de overige momenten gebruik wordt gemaakt van 𝐸(𝑌𝑚) = 𝐸((𝑅1𝐿2)𝑚) = 𝐸((𝑅1)𝑚)𝐸((𝐿2)𝑚) voor 𝑚 = 1, 2, 3, … .
𝜅3𝑎 is de scheefheid van de lognormale verdeling (√𝑒𝜎2
− 1(𝑒𝜎2+ 2)). 𝜅4𝑓 is de kurtosis van de lognormale verdeling: 3𝑒2𝜎2+ 2𝑒3𝜎2+ 𝑒4𝜎2− 3.
De verwachte contante waarde van de calloptie C0 wordt berekend met de volgende formule:
𝐶0 = 𝑒−𝑟𝑇𝑆0 𝑛 ∫ (𝑦 − 𝑘)𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 ∞ 𝑘 = 𝑒−𝑟𝑇𝑆0 𝑛 (∫ (𝑦 − 𝑘)𝑎(𝑦) 𝑑𝑦 ∞ 𝑘 +𝜅2 𝑓− 𝜅 2𝑎 2! 𝑎(𝑘) + 𝜅3𝑓− 𝜅3𝑎 3! 𝑑𝑎(𝑘) 𝑑𝑦 +𝜅4 𝑓− 𝜅 4𝑎+ 3(𝜅2𝑓− 𝜅2𝑎) 4! 𝑑2𝑎(𝑘) 𝑑𝑦2 ) Waarbij ∫ (𝑦 − 𝑘)𝑎(𝑦) 𝑑𝑦𝑘∞ = 𝑒𝜇+𝜎22𝛷(𝑑1) − 𝑘𝛷(𝑑2) met 𝑘 =𝑛𝐾 𝑆0, 𝑑1 = 𝜇+ 𝜎2−ln (𝑘) 𝜎 en 𝑑2 = 𝑑1− 𝜎.
In R (zie bijlage II) worden, gegeven 𝐸(𝑅𝑖) en 𝐸(𝑅𝑖2), eerst de verwachtingen van 𝐿2 en 𝐿22 berekend. Hierna worden de verwachtingen van 𝐸(𝑌) en 𝐸(𝑌2) berekend, waarmee µ en σ2 kunnen worden berekend. Met behulp van deze twee gegevens worden 𝐸(𝑌3), 𝐸(𝑌4) en de
overige cumulanten van f en a berekend. Vervolgens wordt de waarde van C0 berekend en
weergegeven.
2.3 Hull en White, de binomiale boom
De methode met de binomiale boom die voor het eerst gebruikt werd door Cox, Ross en Rubinstein (1979) wordt hier aangepast om de toekomstige gemiddelde koers te berekenen. In het binomiale model kan het aandeel op tijdstip t=k omhoog (up, hierbij wordt de koers van aandeel S vermenigvuldigd met u) met risiconeutrale kans p óf omlaag (down, hierbij wordt de koers vermenigvuldigd met d=u-1) met kans (1-p), waarbij:
𝑢 = 𝑒𝜎√∆𝑡 ; 𝑑 = 1
𝑢 ; 𝑝 =
𝑒𝑟∆𝑡− 𝑑 𝑢 − 𝑑
De waarde van aandeel S na n tijdstappen waarbij het aandeel g keer omhoog is gegaan en (n-g) keer omlaag is gegaan is 𝑆𝑛 = 𝑆0𝑢𝑔𝑑𝑛−𝑔 en de waarde van een normale calloptie op tijdstip n wordt dan 𝑚𝑎𝑥 (𝑆𝑛− 𝐾, 0). De waarde van een Aziatische calloptie op dit moment wordt 𝑚𝑎𝑥 (𝐴[0,𝑛∆𝑡]− 𝐾, 0). Als n groot wordt, wordt het aantal mogelijke gemiddelden na n tijdstappen ook heel groot, hier moet een oplossing voor gevonden worden.
Bij deze methode worden op tijdstip 𝑡 = 𝑖𝛥𝑡 bij de op (𝑗 − 1) na hoogste koers eerst twee gemiddelden uitgerekend, het maximale en het minimale gemiddelde. Het minimale gemiddelde is hier 𝑖 keer het minimale gemiddelde van het vorige tijdstip plus de nieuwe koers gedeeld door (𝑖 + 1) . Het maximale gemiddelde op dit tijdstip is i keer het maximale gemiddelde van het vorige tijdstip plus de nieuwe koers gedeeld door (𝑖 + 1).
In de beginsituatie (t=0) is het maximale gemiddelde gelijk aan het minimale gemiddelde en in situaties die maar op één manier bereikbaar zijn (hierbij gaat het aandeel elke tijdstap strikt omhoog of strikt omlaag) is het maximale gemiddelde gelijk aan het minimale gemiddelde. In de andere situaties is het minimale gemiddelde van de vorige situatie in de ‘onderste’ situatie (het aandeel is in de afgelopen periode omhoog gegaan) en het maximale gemiddelde van de vorige situatie is het maximale gemiddelde van de vorige situatie in de ‘bovenste’ situatie (het aandeel is in de afgelopen periode omlaag gegaan).
Als deze twee gemiddelden bekend zijn, wordt er geïnterpoleerd zodat er s ‘gemiddelden’ met even veel afstand tussen elkaar op tijdstip 𝑡 = 𝑖𝛥𝑡 bij de op (𝑗 − 1) na hoogste koers zijn. Op
tijdstip t=T is de waarde van de call bij gemiddelde ATjs (tijdstip T bij de op (𝑗 − 1) na
hoogste koers in staat s, het op (𝑠 − 1) na hoogste gemiddelde in ATj) is 𝐶𝑇𝑗𝑠 = 𝑚𝑎𝑥 (𝐴𝑇𝑗𝑠− 𝐾, 0).
De waarde van de calloptie op tijdstip (𝑇 – 𝛥𝑡) met gemiddelde 𝐴(𝑇−∆𝑡)𝑗𝑠 wordt dan 𝑒𝑟𝛥𝑡 keer p keer de waarde van de calloptie in het nieuwe gemiddelde (inclusief de nieuwe ‘up’-koers) op tijdstip T plus 𝑒𝑟𝛥𝑡 keer (1-p) keer de waarde van de calloptie in het nieuwe gemiddelde (inclusief de nieuwe ‘down’-koers) op tijdstip T. Omdat er voor deze ‘nieuwe gemiddelden’ waarschijnlijk geen optieprijs is op tijdstip T, wordt er lineair geïnterpoleerd tussen de bekende waarden in dit punt. Op deze manier wordt de optieprijs op t=0 recursief berekend.
In het R-script (zie bijlage III) worden eerst u, d en p berekend, waarna de matrix S met aandelenkoersen wordt berekend. Hierna worden in matrix A (voor Averages) eerst de minimale en maximale gemiddelden berekend, waarna de overige tussenliggende
gemiddelden worden ingevuld. In de laatste kolom van matrix V (voor Values) worden eerst de optieprijzen op t=T berekend, waarna recursief de overige optieprijzen voor de andere tijdstippen worden berekend. Op het einde wordt C0 weergegeven.
2.4 Milevsky en Posner, de inverse gammaverdeling
In het onderzoek van Milevsky en Posner (1998) wordt aangetoond dat de oneindige som van gecorreleerde lognormaal verdeelde stochasten (in dit geval de aandelenkoersen) in verdeling convergeert naar een inverse gammaverdeelde stochast, dit wil zeggen dat de inverse van deze som een gammaverdeling volgt. De eerste twee momenten van dit ‘oneindige gemiddelde’ worden: 𝑀1 = 𝐸(𝐴[0,𝑇]) = 𝑆0 exp(𝑟𝑇) − 1 𝑟𝑇 𝑀2 = 𝐸(𝐴[0,𝑇]2) = 2𝑆02 𝑇2 ( exp ((2𝑟 + 𝜎2)𝑇) (𝑟 + 𝜎2)(2𝑟 + 𝜎2)+ 1 𝑟( 1 2𝑟 + 𝜎2− exp (𝑟𝑇) 𝑟 + 𝜎2 ))
Voor de inverse gammaverdeling geldt ook:
𝑀𝑖 = 1
Als deze formule voor M1 en M2 toegepast wordt, volgt uit het stelsel vergelijkingen van deze
twee vergelijkingen en de twee vergelijkingen daarvoor:
𝛼 = 2𝑀2 − 𝑀1 2 𝑀2 − 𝑀12 ; 𝛽 = 𝑀2− 𝑀12 𝑀2𝑀1
Verder geldt dat als X een inverse gammaverdeling volgt (X ~ GR(α,β)), er geldt:
𝑃(𝑋 ≥ 𝑤) = 𝑃 (𝑋−1≤ 1
𝑤) =: 𝐺 ( 1
𝑤|𝛼, 𝛽) Met G de cumulatieve gammaverdeling.
De risiconeutraal verdisconteerde waarde van de optie wordt:
𝐶0 = 𝑒−𝑟𝑇𝐸[max(𝐴[0,𝑇]− 𝐾, 0)] = 𝑒−𝑟𝑇∫ (𝑦 − 𝐾)𝑔𝑅(𝑦|𝛼, 𝛽)𝑑𝑦 ∞
𝐾
Met 𝑔𝑅 de pdf van de inverse gammaverdeling. Als er nu x = 1/y genomen wordt volgt:
𝐶0 = 𝑒−𝑟𝑇∫ (1 𝑥− 𝐾) 𝑔(𝑥|𝛼, 𝛽)𝑑𝑥 1/𝐾 0 = 𝑒−𝑟𝑇(∫ 𝑔(𝑥|𝛼, 𝛽) 𝑥 𝑑𝑥 1/𝐾 0 − 𝐾 ∫ 𝑔(𝑥|𝛼, 𝛽)𝑑𝑥 1/𝐾 0 )
Met 𝑔 de pdf van de gammaverdeling. Als er gebruik wordt gemaakt van 𝑔(𝑥|𝛼, 𝛽) = 𝑥/(𝛽(𝛼 − 1))𝑔(𝑥|𝛼 − 1, 𝛽) en 1/(𝛽(𝛼 − 1)) = 𝐸(𝐴[0,𝑇]) = 𝑆0∗ (exp(𝑟𝑇) − 1)/𝑟𝑇 volgt de waarde van de calloptie op t=0:
𝐶0 = 1 − 𝑒 −𝑟𝑇 𝑟𝑇 𝑆0𝐺 ( 1 𝐾|𝛼 − 1, 𝛽) − 𝑒 −𝑟𝑇𝐾𝐺 (1 𝐾|𝛼, 𝛽)
In het R-script (zie bijlage IV) worden eerst 𝑀1 en 𝑀2 berekend, waarna 𝛼 en 𝛽 berekend kunnen worden. Vervolgens wordt de optieprijs op t=0 berekend en weergegeven.
3 Opzet en inhoud van het onderzoek
In dit onderzoek worden de methodes van Turnbull en Wakeman (1991), Hull en White (1993) en Milevsky en Posner (1998) voor het waarderen van Aziatische opties beoordeeld op de waarden die voor een calloptie (met een ‘oneindig’ aantal tijdstappen) berekend worden. Toetsingscriteria zijn de tijd die het in beslag neemt om de waarde te berekenen en de fout die wordt gemaakt ten opzichte van de echte optieprijs. Bij elke test zijn de risicovrije interestvoet r, de volatiliteit σ, de uitoefenprijs K, de looptijd T en de prijs van het aandeel op tijdstip t=0 gelijk voor de drie methodes.
De echte waarde van de optie wordt berekend met behulp van een Monte Carlosimulatie met een groot aantal tijdstappen en een groot aantal aandelenkoersen. De uitkomst hiervan is niet het echte gemiddelde, maar door de grootte van de simulatie wijkt deze waarde hier
nauwelijks van af.
De drie waarderingsmethoden worden toegepast met een variërend aantal tijdstappen en aantal aandelenkoersen. Naarmate deze aantallen groter worden, wordt de tijd die het in beslag neemt om de berekeningen uit te voeren waarschijnlijk ook groter, omdat er meer berekeningen gemaakt moeten worden door de computer.
Om het vergelijken van de onderzoeksmethodes te vergemakkelijken, worden de resultaten in een dubbellogaritmische grafiek weergegeven. Hierbij staat op de x-as de logaritme van de tijd die het duurt om de berekening uit te voeren. Op de y-as staat de logaritme van de fout die gemaakt is ten opzichte van het ‘echte’ gemiddelde (de Monte Carlosimulatie).
De scripts worden getimed met de functie microbenchmark(), die in de package ‘microbenchmark’ in R beschikbaar is. Als in deze functie als argument de R-functie wordt ingevuld, samen met ‘times = k’, wordt het script k keer uitgevoerd en wordt als output een aantal karakteristieken over de tijd die het in beslag neemt gegeven, zoals het minimum, het maximum en het gemiddelde van de tijd die het in beslag neemt.
Ik verwacht dat de methode van Milevsky en Posner (1998) heel snel goede goede resultaten geeft omdat er slechts een kleine berekening wordt gemaakt met een aantal snel
geconstrueerde variabelen. Omdat er in hun onderzoek wordt aangetoond dat de verdeling van het oneindig gemiddelde van aandelenprijzen naar een inverse gammaverdeling convergeert, verwacht ik dat de benaderingen relatief kleine fouten maken.
Van de methode van Turnbull en Wakeman (1991) verwacht ik dat hij verloop van tijd resultaten produceert die qua fout vergelijkbaar zijn met de methode van Milevsky en Posner (1998). Omdat er bij de Edgeworth expansie gebruik gemaakt wordt van een foutterm e(y) die in de berekening van de optieprijs niet gebruikt wordt, zal deze methode nooit de exacte optieprijs kunnen genereren. Qua snelheid verwacht ik dat het langer duurt dan de methode van Milevsky en Posner (1998), omdat er hier een aantal variabelen recursief moet worden berekend die bij het toenemen van het aantal tijdstappen meer tijd in beslag nemen.
Van de methode van Hull en White (1993) verwacht ik dat het het langste duurt om resultaten te genereren, maar dat deze resultaten na verloop van tijd de beste benadering van de optieprijs geven, omdat er bij het toenemen van het aantal tijdstappen en het toenemen van het aantal gemiddelden in een situatie er steeds een betere benadering kan worden gemaakt. Omdat er bij deze methode drie matrices moeten worden geconstrueerd, waarvan er twee uit drie dimensies bestaan en er één recursief ‘ingevuld’ wordt, verwacht ik dat het uitvoeren van de berekening behoorlijk zal toenemen bij het toenemen van het aantal tijdstappen en
gemiddelden in een situatie.
Wanneer de volatiliteit toeneemt verwacht ik dat de methode van Turnbull en Wakeman (1991) grotere absolute fouten maakt, omdat ik denk dat de foutterm e(y) met de volatiliteit toeneemt, maar niet meegenomen wordt in de benadering van de optieprijs. Van de overige onderzoeken verwacht ik dat ze vergelijkbare resultaten zullen produceren bij het veranderen van de volatiliteit, net als dat ik verwacht dat de resultaten vergelijkbaar zullen zijn voor de drie onderzoeken bij het aanpassen van de looptijd en uitoefenprijs.
4 Resultaten
In alle tests is een Monte-Carlosimulatie met n = 250000 en k = 500 de benchmark. S0 is in
elke test gelijk aan 100 en de risicovrije rentevoet r wordt gelijk aan 5% verondersteld. Er blijven dan nog drie vrij te kiezen variabelen over, namelijk σ, K en T. Voor elke van deze variabelen worden twee waarden gekozen die getest worden, wat resulteert in 23 = 8 tests.
In de figuren zijn de natuurlijke logaritmes van de tijd die het duurt om de berekening uit te voeren op de x-as uitgezet en de natuurlijke logaritmes van de absolute fouten ten opzichte van de Monte-Carlosimulatie op de y-as uitgezet. Horizontale stippellijnen zijn slechts voor beter overzicht toegevoegd, dit betekent dat er wanneer er langer wordt gedaan over een berekening, de nauwkeurighied nauwelijks (een paar honderdsten van een cent) zal verbeteren. In bijlage V tot en met XII zijn de uitkomsten van de berekeningen te vinden per test. De tijd die in de bijlagen vermeld wordt is in milliseconden (ms). Voor het overzicht is voor de tijd in de figuren microseconden (µs) als maatstaf gebruikt (1 ms = 1000 µs).
Test 1: T = 1 jaar, K = 100 en σ = 0,15
Monte-Carlo-optieprijs: 4,6819, standaardafwijking = 0,0121
Test 2: T = 1 jaar, K = 110 en σ = 0,15
Monte-Carlo-optieprijs: 1,0554, standaardafwijking = 0,006
Figuur 2: Resultaten van test 2
Test 3: T = 1 jaar, K = 100 en σ = 0,3
Monte-Carlo-optieprijs: 7,9613, standaardafwijking = 0,0241
Test 4: T = 1 jaar, K = 110 en σ = 0,3
Monte-Carlo-optieprijs: 4,0887, standaardafwijking = 0,018
Figuur 4: Resultaten van test 4
Test 5: T = 1,5 jaar, K = 100 en σ = 0,15
Monte-Carlo-optieprijs: 6,0392, standaardafwijking = 0,0152
Test 6: T = 1,5 jaar, K = 110 en σ = 0,15
Monte-Carlo-optieprijs: 1,9873, standaardafwijking = 0,0092
Figuur 6: Resultaten van test 6
Test 7: T = 1,5 jaar, K = 100 en σ = 0,3
Monte-Carlo-optieprijs: 9,9146, standaardafwijking = 0,0304
Test 8: T = 1,5 jaar, K = 110 en σ = 0,3
Monte-Carlo-optieprijs: 5,9105, standaardafwijking = 0,0244
5 Analyse
Wat al snel opvalt, is dat de methode van Milevsky en Posner (1998) zeer snel resultaten genereert die een relatief goede schatting maken van de optieprijs (de verschillen liggen tussen de 𝑒−2.5 en de 𝑒−6.5). De methode van Turnbull en Wakeman (1991) doet iets langer over de berekeningen, maar maakt in de meeste gevallen de minst goede benadering van de optieprijs. De methode van Hull en White (1993) neemt flink meer tijd in beslag dan de andere twee, maar dit resulteert soms in een betere benadering.
Omdat de methode van Milevsky en Posner slechts één resultaat genereert (dat weliswaar zeer snel berekend wordt) wordt er voor deze ene benadering wel wat flexibiliteit ingeleverd (bij de andere twee methodes is het aantal tussentijdse meetmomenten vrij te kiezen, waar in dit onderzoek het gemiddelde van n aandelenkoersen wordt benaderd met een verdeling die onafhankelijk van n is).
Het veranderen van de volatiliteit, looptijd en uitoefenprijs blijkt geen effect te hebben op de tijd die het duurt om de berekeningen uit te voeren (de kleine verschillen zijn te
verklaren door andere processen die de computer uitvoert naast de berekening, waardoor het soms iets langer duurt). Dit is ook logisch, want er hoeven niet meer berekeningen uitgevoerd te worden. Alleen als het aantal tijdstappen of aantal tussenliggende gemiddelden (dit is een variabele bij de methode van Hull en White (1993)) wordt aangepast, verandert de duur van de berekeningen.
Wanneer de volatiliteit verhoogd wordt van 15% naar 30% worden de fouten ten opzichte van de benchmark groter. De drie methodes maken bij het verhogen van de volatiliteit een hogere schatting van de optieprijs dan bij een lagere volatiliteit. Wat vooral opvalt is dat de methode van Milevsky en Posner (1998) bij een hogere volatiliteit in vergelijking met de andere twee onderzoeken een veel grotere fout maakt ten opzichte van een situatie met een lagere
volatiliteit.
Als de looptijd toeneemt van 1 jaar naar 1,5 jaar blijven de resultaten vergelijkbaar, maar alleen als de volatiliteit 15% is en de uitoefenprijs gelijk aan 100 is, komt de methode van Milevsky en Posner met het beste resultaat bij het verhogen van de looptijd, in tegenstelling tot de situatie waarin de looptijd gelijk aan 1 jaar is.
Als uitoefenprijs K hoger dan de aanvangsprijs van het aandeel S0 is, valt snel op dat de
methode van Turnbull en Wakeman (1991) veel grotere fouten maakt ten opzichte van de andere methodes en ten opzichte van zichzelf wanneer de volatiliteit en looptijd hetzelfde zijn maar K gelijk aan S0 is. De methodes van Hull en White (1993) en Milevsky en Posner (1998)
blijven vergelijkbare resultaten produceren bij het veranderen van K.
De methode van Milevsky en Posner (1998) kan maar één waarde genereren per situatie en de methode van Turnbull en Wakeman (1991) produceert optieprijzen die met het toenemen van het aantal tijdstappen convergeren naar één waarde. De methode van Hull en White (1993) lijkt niet te convergeren, maar lijkt in elke test dicht naar de echte optieprijs te gaan om vervolgens weer minder nauwkeurig te worden.
In 5 van de 8 gevallen komt de methode van Hull en White (1993) met de beste benadering voor de optieprijs en in de andere 3 gevallen komt de methode van Milevsky en Posner (1998) met de beste benadering. Er moet dus in de meeste gevallen een afruil gemaakt worden tussen snelheid van de berekening en de accuraatheid hiervan. Deze afruil wordt gemaakt waarbij er rekening wordt gehouden met het doel van de optiewaardering.
6 Conclusie
In dit onderzoek zijn drie methodes voor het waarderen van een Aziatische calloptie
beschreven en getest; de methode van Turnbull en Wakeman (1991), waarbij de verdeling van het rekenkundig gemiddelde van de optieprijzen wordt benaderd met een lognormale
verdeling met dezelfde verwachting en variantie als de echte verdeling, de methode van Hull en White (1993), waarbij de binomiale boom van Cox, Ross en Rubinstein (1979) wordt uitgebreid voor gemiddelde aandelenprijzen en de methode van Milevsky en Posner (1998), waarbij de verdeling van het gemiddelde wordt benaderd met een inverse gammaverdeling.
De uitkomsten van de waarderingsmethodes werden vergeleken met een benchmark. Deze benchmark was de uitkomst van een Monte-Carlosimulatie met dezelfde parameters. De simulatie is met een groot aantal koersverlopen gedaan zodat de standaardafwijking zeer klein wordt en deze simulatie-uitkomst als ‘echte’ optieprijs gezien mag worden.
Gebleken is dat de verwachtingen deels uitkwamen. Milevsky en Posner (1998) kwam het snelste met resultaten, gevolgd door Turnbull en Wakeman (1991) en Hull en White (1993) als laatste. Wat opvalt is dat er een flink verschil zit tussen de tijden die het duurt om de berekeningen uit te voeren.
De methode van Milevsky en Posner (1998) kwam snel met goede resultaten, maar Turnbull en Wakeman (1991) en Hull en White (1993) hadden naast een langere duur soms ook slechtere resultaten. Als de uitoefenprijs hoger dan de aandelenprijs op t=0 is, komt Turnbull en Wakeman (1991) met veruit de slechtste resultaten.
Als de volatiliteit toeneemt, neemt ook de benaderingsfout toe. De drie methodes maken wanneer er een hogere volatiliteit is een hogere inschatting van de optieprijs dan wanneer er een lagere volatiliteit is.
Wanneer het snel berekenen van de optieprijs het doel is en de fout die gemaakt wordt niet zo’n probleem is, is de methode van Milevsky en Posner (1998) de efficiëntste manier om een rekenkundige Aziatische optie te waarderen. Wanneer de toegestane foutenmarge iets kleiner is en de tijd die het berekenen van de optieprijs in beslag neemt niet zo’n probleem is, is de methode van Hull en White (1993) in de meeste gevallen de efficiëntste manier om een rekenkundige Aziatische optie te waarderen, vooral wanneer de volatiliteit hoger is.
Bibliografie
Barone-Adesi, G. & R.E. Whaley (1987). Efficient Analytic Approximation of American Option Values. The Journal of Finance, 42(2), 301-320.
Black, F. & M. Scholes (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81(3), 637-654.
Boyle, P.P (1977). Options: A Monte Carlo Approach. Journal of Financial Economics, 4(3), 323-338.
Cox, J., S. Ross & M. Rubinstein (1979). Option Pricing: A Simplified Approach. Journal of Financial Economics, 7(3), 229-264.
Hull, J. & A. White (1993). Efficient Procedures for Valuing European and American Path Dependent Options. Journal of Derivatives, 1(1), 21-31.
Milevsky, M.A. & S.E. Posner (1998). Asian Options, the Sum of Lognormals, and the Reciprocal Gamma Distribution. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 33(3), 409-422.
Rogers, L.C.G. & Z. Shi (1995). The Value of an Asian Option. Journal of Applied Probability, 32(4), 1077-1088.
Turnbull, S. & L. Wakeman (1991). A Quick Algorithm for Pricing European Average Options. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 26(3), 377-389.
Bijlagen
Bijlage I: Monte Carlo-simulatie
montecarlo <- function(S0,K,T,sigma,r,n,k){ koers = matrix(0,nrow=1,ncol=k) gemiddelden = matrix(0,nrow=1,ncol=n) call = matrix(0,nrow=1,ncol=n) koers[1]=S0 delta.T=T/k for(i in 1:n){ for(j in 2:k){ koers[j]=koers[j-1]*exp((r-0.5*sigma^2)*delta.T+sigma*rnorm(1,mean=0,sd=1)*sqrt(delta.T)) } call[i]=max(c(mean(koers)-K,0))*exp(-r*T) } prijs = mean(call) print(prijs) var.call = sum((call-prijs)^2)/n^2 print(sqrt(var.call)) } Gebruikte variabelen: - S0 is de koers op tijdstip t=0 - K is de uitoefenprijs - T is het uitoefenmoment - sigma is de volatiliteit van S
- r is de (constant veronderstelde) risicovrije interestvoet - n is het aantal koersverlopen dat wordt gesimuleerd - k is het aantal meetmomenten
Bijlage II: Algoritme van Turnbull en Wakeman
turnbullwakeman <- function(S0,K,T,theta,r,n){ delta.t = T/n
# Berekening van de verwachtingen van Ri en Ri^2 Ri = exp(r*delta.t)
Ri2 = exp(2*r*delta.t + theta^2*delta.t)
# Vector L, waarin recursief E(L_2) wordt berekend L = vector(length = n+1)
L[n+1] = 1
# for - loop voor L
Ey = Ri*L[2]
# Vector L2, waarin recursief E((L^2)_2) wordt berekend L2 = vector(length = n+1)
L2[n+1] = 1
# for - loop voor L^2
for (i in n:2){L2[i] = 1 + Ri2*L2[i+1] + 2*Ri*L[i+1]} Ey2 = Ri2*L2[2]
k = n*K/S0
mu = 2*log(Ey) -0.5*log(Ey2) sigma.sq = log(Ey2) - 2*log(Ey)
# Berekening van E(Y^3) en E(Y^4) met behulp van de formule voor de momenten
Ey3 = exp(3*mu + 9*sigma.sq/2) Ey4 = exp(4*mu + 16*sigma.sq/2)
# Berekening van de eerste vier cumulanten van F, de 'echte verdeling'
K1F = Ey
K2F = Ey2 - Ey^2
K3F = Ey3 + 2*Ey^3 - 3*Ey2*Ey
K4F = Ey4 - 6*Ey^4 - 4*Ey3*Ey + 12*Ey2*Ey^2 - 3*Ey2^2
# Berekening van de eerste vier cumulanten van G, de benaderende verdeling
K1G = K1F K2G = K2F
K3G = (exp(sigma.sq) +2)*sqrt(exp(sigma.sq) -1)
K4G = exp(4*sigma.sq) + 2*exp(3*sigma.sq) + 3*exp(2*sigma.sq) -3 d1 = (-log(k) + mu + sigma.sq)/sqrt(sigma.sq)
d2 = d1 - sqrt(sigma.sq) call = exp(-r*T)*S0/n*(
exp(mu + sigma.sq/2)*pnorm(d1) - k*pnorm(d2) + (K2F - K2G)/2 * dlnorm(k,mu,sqrt(sigma.sq)) - (K3F - K3G)/6 * dlnorm(k,mu,sqrt(sigma.sq)) * (1/k) * ((mu-log(k))/sigma.sq - 1 ) + (K4F - K4G + 3*(K2F-K2G)^2)/24 * dlnorm(k,mu,sqrt(sigma.sq)) * (1/k^2) * (((mu-log(k))/sigma.sq - 1) * ((mu-log(k))/sigma.sq - 2) - 1/sigma.sq) ) print(call) } Gebruikte variabelen: - S0 is de koers op tijdstip t=0 - K is de uitoefenprijs
- T is het uitoefenmoment - theta is de volatiliteit van S
- r is de (constant veronderstelde) risicovrije interestvoet - n is het aantal tussentijdse meetmomenten
Bijlage III: Hull en White, de binomiale boom
hullwhite <- function(S0,K,T,sigma,r,n,s){ # up,down en kans p
u = exp(sigma*sqrt(T/n)) d = 1/u
p = (exp(r*T/n)-d)/(u-d)
# Matrix S met alle mogelijke prijzen op alle tijdstippen S = matrix(0, nrow = n+1, ncol = n+1)
S[1,1]=S0 for (i in 1:(n+1)){ for (j in 1:i){ S[j,i] = S0*u^(i-j)*d^(j-1) } }
# Matrix A met de gemiddelden, dimensie n+1 x n+1 x s A = array(0,dim=c(n+1,n+1,s))
# Het eerste gemiddelde is steeds S0 voor alle waarden van s for (i in 1:s){A[1,1,i]= S0}
# Losse for-loop voor de diagonaal en rij 1 in staat 1 en staat s for (i in 2:(n+1)){ A[1,i,1] = ((i-1)*A[1,i-1,1]+S[1,i])/i A[1,i,s] = A[1,i,1] A[i,i,1] = ((i-1)*A[i-1,i-1,1]+S[i,i])/i A[i,i,s] = A[i,i,1] }
# De minima en maxima berekenen for (i in 3:(n+1)){ for (j in 2:(i-1)){ # max A[j,i,1] = ((i-1)*A[j-1,i-1,1]+S[j,i])/i # min A[j,i,s] = ((i-1)*A[j,i-1,s]+S[j,i])/i } }
# For-loop voor staat k = 2 tot en met staat (s-1) via interpolatie for (i in 2:(n+1)){
for (j in 1:i){ for (k in 2:(s-1)){
A[j,i,k] = ((s-k)/(s-1))*A[j,i,1] + ((k-1)/(s-1))*A[j,i,s] }
}
# Matrix V met de optiewaarden (berekend van achteren naar voren), dimensie n+1 x n+1 x s
V = array(0,dim=c(n+1,n+1,s)) # Laatste kolom: V = max(A-K,0) for (i in 1:(n+1)){ for (j in 1:s){ call = c(A[i,n+1,j]-K,0) V[i,n+1,j] = max(call,na.rm=FALSE) } }
# Berekenen van de optieprijzen op tijdstippen 0 tot en met (n-1) for (i in n:1){ for (j in 1:i){ for (k in 1:s){ V[j,i,k] = exp(-r*T/n)* ( p*approx(rev(A[j,(i+1),]),rev(V[j,(i+1),]),xout =
(i*A[j,i,k]+S[j,i+1])/(i+1), method = "linear", ties = "ordered")$y +
(1-p)*approx(rev(A[j+1,i+1,]),rev(V[j+1,i+1,]),xout
=(i*A[j,i,k]+S[j+1,i+1])/(i+1), method = "linear", ties = "ordered")$y
) } } }
# Berekenen van de optieprijs op tijdstip t = 0 prijs = V[1,1,1] print(prijs) } Gebruikte variabelen: - S0 is de koers op tijdstip t=0 - K is de uitoefenprijs - T is het uitoefenmoment - sigma is de volatiliteit van S
- r is de (constant veronderstelde) risicovrije interestvoet - n is het aantal tussentijdse meetmomenten
Bijlage IV: Milevsky en Posner, de inverse gammaverdeling milevskyposner <- function(S0,K,T,sigma,r){ m1 = S0*((exp(r*T)-1)/(r*T)) m2 = 2*S0^2/T^2 * (exp((2*r + sigma^2)*T)/ ((r+sigma^2)*(2*r+sigma^2))+1/r* (1/(2*r+sigma^2)-exp(r*T)/(r+sigma^2))) alpha = (2*m2-(m1)^2)/(m2-(m1)^2) beta = (m2-(m1)^2)/(m2*m1)
call = ((1-exp(-r*T))/(r*T))*S0*pgamma(1/K, shape = (alpha-1), rate = 1/beta)- exp(-r*T)*K*pgamma(1/K, shape = alpha, rate = 1/beta) print(call)}
Gebruikte variabelen:
- S0 is de koers op tijdstip t=0 - K is de uitoefenprijs
- T is het uitoefenmoment - sigma is de volatiliteit van S
- r is de (constant veronderstelde) risicovrije interestvoet
Bijlage V: Uitkomsten berekeningen test 1: Milevsky & Posner
Waarde 4,6774 Tijd 0,0273 Hull & White
Waarde 4,8791 4,6966 4,6602 4,6564 4,6555 4,6749 4,6891 4,6816 4,6833
n 10 10 10 10 10 25 50 50 70
s 5 10 25 50 100 100 100 200 300
Tijd 23,65 48,14 125,22 267,15 577,10 3.421 13.139 31.118 103.090 Turnbull & Wakeman
Waarde 5,7330 4,7598 4,6662 4,6603 4,6566 4,6562 4,6560 4,6559 4,6559 4,6558 n 25 100 500 1.000 5.000 10.000 25.000 50.000 100.000 250.000 Tijd 0,156 0,43 1,70 3,75 16,67 33,24 80,35 166,80 335,97 837,04
Bijlage VI: Uitkomsten berekeningen test 2: Milevsky & Posner
Waarde 1,0737 Tijd 0,0247 Hull & White
Waarde 1,1515 1,0053 0,9841 0,9810 0,9806 1,0316 1,0542 1,0487 1,0534
n 10 10 10 10 10 25 50 50 70
s 5 10 25 50 100 100 100 200 300
Tijd 23,78 54,60 126,27 264,89 580,38 3.359 13.091 31.970 110.193 Turnbull & Wakeman
Waarde 2,0754 1,2156 1,1413 1,1371 1,1345 1,1343 1,1341 1,1341 1,1340 1,1340 n 25 100 500 1.000 5.000 10.000 25.000 50.000 100.000 250.000 Tijd 0,150 0,42 1,59 3,20 15,87 32,64 81,63 166,92 336,91 844,65
Bijlage VII: Uitkomsten berekeningen test 3: Milevsky & Posner
Waarde 7,9064 Tijd 0,0237 Hull & White
Waarde 8,4576 7,9850 7,9027 7,8944 7,8915 7,9264 7,9571 7,9385 7,9417
n 10 10 10 10 10 25 50 50 70
s 5 10 25 50 100 100 100 200 300
Tijd 29,92 47,54 130,51 265,86 578,07 3.355 13.101 32.311 115.759 Turnbull & Wakeman
Waarde 8,7009 8,0119 7,9282 7,9210 7,9157 7,9150 7,9147 7,9145 7,9145 7,9144 n 25 100 500 1.000 5.000 10.000 25.000 50.000 100.000 250.000 Tijd 0,151 0,42 1,61 3,16 16,25 32,12 79,31 172,85 344,64 856,48
Bijlage VIII: Uitkomsten berekeningen test 4: Milevsky & Posner
Waarde 4,0748 Tijd 0,0254
Hull & White
Waarde 4,5281 4,0817 3,9983 3,9917 3,9890 4,0405 4,0752 4,0583 4,0632
n 10 10 10 10 10 25 50 50 70
s 5 10 25 50 100 100 100 200 300
Tijd 23,04 48,29 126,93 272,89 578,13 3.359 13.115 32.311 115.800 Turnbull & Wakeman
Waarde 5,1415 4,4246 4,3405 4,3334 4,3283 4,3276 4,3273 4,3272 4,3271 4,3271 n 25 100 500 1.000 5.000 10.000 25.000 50.000 100.000 250.000 Tijd 0,162 0,38 1,59 3,15 16,23 31,69 78,71 166,73 327,75 839,66
Bijlage IX: Uitkomsten berekeningen test 5: Milevsky & Posner
Waarde 6,0374 Tijd 0,0241 Hull & White
Waarde 6,2921 6,0547 6,0216 6,0152 6,0143 6,0385 6,0563 6,0473 6,0495
n 10 10 10 10 10 25 50 50 70
s 5 10 25 50 100 100 100 100 300
Tijd 24,07 47,59 125,69 269,57 574,40 3.361 13.192 31.150 125.700 Turnbull & Wakeman
Waarde 6,9608 6,0981 6,0075 6,0009 5,9964 5,9958 5,9955 5,9954 5,9954 5,9954 n 25 100 500 1.000 5.000 10.000 25.000 50.000 100.000 250.000 Tijd 0,155 0,39 1,58 3,16 16,46 31,61 83,05 166,51 334,83 868,53
Bijlage X: Uitkomsten berekeningen test 6: Milevsky & Posner
Waarde 2,0051 Tijd 0,0248 Hull & White
Waarde 2,1656 1,9410 1,9018 1,8963 1,8956 1,9570 1,9865 1,9780 1,9837
n 10 10 10 10 10 25 50 50 70
s 5 10 25 50 100 100 100 200 300
Tijd 23,03 48,66 125,94 273,10 570,38 3.353 13.170 29.416 118.207 Turnbull & Wakeman
Waarde 3,0521 2,1831 2,0994 2,0939 2,0902 2,0898 2,0896 2,0895 2,0894 2,0894 n 25 100 500 1.000 5.000 10.000 25.000 50.000 100.000 250.000 Tijd 0,151 0,39 1,57 3,17 15,88 32,63 81,73 163,82 339,65 858,11
Bijlage XI: Uitkomsten berekeningen test 7: Milevsky & Posner
Waarde 9,8593 Tijd 0,0258 Hull & White
Waarde 10,5786 10,0006 9,8833 9,8691 9,8653 9,9072 9,9466 9,9226 9,9265
n 10 10 10 10 10 25 50 50 70
s 5 10 25 50 100 100 100 200 300
Tijd 23,99 48,19 125,93 264,90 583,53 3.347 13.139 30.750 115.127 Turnbull & Wakeman
Waarde 10,6256 9,9690 9,8787 9,8701 9,8637 9,8629 9,8624 9,8623 9,8622 9,8621 n 25 100 500 1.000 5.000 10.000 25.000 50.000 100.000 500.000 Tijd 0,140 0,38 1,60 3,15 16,30 32,70 86,49 161,85 334,30 841,43
Bijlage XII: Uitkomsten berekeningen test 8: Milevsky & Posner
Waarde 5,9188 Tijd 0,0247 Hull & White
Waarde 6,5351 5,9650 5,8615 5,8496 5,8467 5,9049 5,9478 5,9262 5,9316
n 10 10 10 10 10 25 50 50 70
s 5 10 25 50 100 100 100 200 300
Tijd 23,72 48,08 126,26 266,00 576,50 3.352 13.129 31.778 105.883 Turnbull & Wakeman
Waarde 7,1312 6,4108 6,3152 6,3062 6,2996 6,2988 6,2983 6,2981 6,2981 6,2980 n 25 100 500 1.000 5.000 10.000 25.000 50.000 100.000 250.000 Tijd 0,142 0,38 1,60 3,14 16,36 31,74 81,99 170,57 329,30 849,40
