Take ir or leave it : de eci entie van waarderingsmodellen voor aritmetische Aziatische opties

(1)

TAKE IT OR LEAVE IT

De effici¨

entie van waarderingsmodellen

voor aritmetische Aziatische opties

Yvette de Koning

Afstudeerscriptie voor de

Bachelor Actuari¨ele Wetenschappen Universiteit van Amsterdam

Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics Auteur: Yvette de Koning Studentnr: 10346120

Email: yvettedekoning@hotmail.com Datum: 27 juni 2015

(2)

(3)

De effi¨entie van optiewaarderingsmodellen — Yvette de Koning iii

Samenvatting

Monte Carlosimulatie is een nauwkeurige, maar inefficiënte stochastische methode om aritmetische Aziatische opties te waarderen vanwege de lange rekentijd die voor een nauwkeurige benadering noodzakelijk is. In deze studie wordt de efficiëntie van de de-terministische methoden van Turnbull en Wakeman (1991), Hull (2009) en Milevsky en Posner (1998) bepaald. Door de benodigde rekentijd van de deterministische methoden voor een bepaalde absolute fout ten opzichte van Monte Carlosimulatie te analyseren, kan bepaald worden welke methode het meest efficiënt is. De kleinste absolute fout die bereikt kan worden en de bijbehorende rekentijd voor de methode van Turnbull en Wakeman (1991), Hull (2009) en Milevsky en Posner (1998) voor een geselecteerde pa-rameterset zijn gelijk aan respectievelijk 0.64 (0.11 seconden), 6.6 · 10−4(2.41 seconden) en 7.5·10−3(3.9·10−5 seconden). De methode van Milevky en Posner (1998) is het meest efficiënt wanneer een fout is toegestaan, maar wanneer een zeer kleine fout bereikt moet worden is de methode van Hull (2009) het meest efficiënt.

Keywords aritmetische gemiddelde, Aziatische optie, Monte Carlosimulatie, deterministische optiewaarderingsmodellen, effici¨entie, Brownse beweging, Wienerproces, Ito’s lemma, binomial lattice tree, Edgeworth series expansion.

(4)

Voorwoord v

1 Inleiding 1

2 Waardering van opties 3

2.1 Achtergrond . . . 3

2.2 Monte Carlosimulatie . . . 4

2.3 Binomiale boom . . . 5

2.3.1 CRR . . . 5

2.3.2 De methode van Hull en White . . . 6

2.3.3 De methode van Hull . . . 7

2.4 Momentenmethoden . . . 8

2.4.1 De methode van Turnbull en Wakeman . . . 8

2.4.2 De methode van Milevsky en Posner . . . 10

2.5 Samenvatting . . . 12 3 Onderzoeksmethode 13 3.1 Monte Carlosimulatie . . . 13 3.2 Deterministische methoden . . . 14 3.3 Samenvatting . . . 14 4 Resultaten en analyse 15 4.1 Implementatie van Monte Carlosimulatie . . . 15

4.1.1 Het aantal simulaties en het aantal tijdstappen . . . 15

4.1.2 De invloed van verschillende parameters . . . 17

4.2 Implementatie van de deterministische methoden . . . 19

4.2.1 De absolute fout en het aantal tijdstappen. . . 19

4.2.2 Numerieke resultaten. . . 21 4.3 Effici¨entie . . . 23 4.4 Samenvatting . . . 26 5 Conclusie 27 Referenties 54 iv

(5)

Voorwoord

Voor u ligt de thesis TAKE IT OR LEAVE IT, de effici¨entie van waarderingsmodellen voor aritmetische Aziatische opties. Deze thesis is geschreven in het kader van mijn afstuderen aan de bacheloropleiding Actuari¨ele Wetenschappen aan de Universiteit van Amsterdam (UvA). In de periode april 2015 tot en met juni 2015 ben ik bezig geweest met het onderzoek en het schrijven van deze thesis.

Ik heb de afstudeerthesis als plezierig ervaren. Graag wil ik dhr. prof. dr. ir. M.H. Vellekoop bedanken voor zijn begeleiding bij het onderzoek.

Ik wens u veel leesplezier. Yvette de Koning

Uitgeest, 26 juni 2015

(6)

(7)

Hoofdstuk 1

Inleiding

Een optie is het recht, maar niet de verplichting, om gedurende een bepaalde periode een bepaald effect, meestal een aandeel, tegen een afgesproken prijs te kopen of te verkopen (Hull, 2009).

Optiecontracten bestaan al ten tijde van de Babyloniërs en de Oude Grieken. De eerste gestructureerde markt voor financiële producten is in de zeventiende eeuw in Ne-derland ontstaan. Deze optiehandel is tijdens de tulpenmanie op de Amsterdamse beurs uiteindelijk uitgegroeid tot de huidige Amsterdam Stock Exchange. De eerste officiële optiebeurs, de Chicago Board of Trade, is in 1848 geopend. De mondiale optiehandel is d op gang gekomen na de opening van de Chicago Board Options Exchange in 1973 (Poitras, 2009).

Voordat er accurate waarderingsmodellen beschikbaar waren, gingen speculanten uit van eenvoudige methoden en projecties in de toekomst om een optie te waarderen. Dit veranderde in 1973 door de komst van het Black-Scholes-model, een optiewaarderings-model gebaseerd op het inzicht dat onder bepaalde omstandigheden het risico van een optie volledig afgedekt kan worden door dynamisch te investeren in de onderliggende waarde van die optie (Black & Scholes, 1973).

Door de opbloeiende optiehandel ontstonden er naast Europese en Amerikaanse op-ties steeds meer opop-ties met een minder eenvoudige uitbetaling, zoals Aziatische opop-ties. Een Aziatische optie is een optie waarbij de uitbetaling is gebaseerd op het gemiddelde van de prijzen van de onderliggende waarde die gedurende de looptijd van de optie tot stand zijn gekomen. In deze thesis wordt met een onderliggende waarde een aandeel bedoeld. Het gemiddelde kan aritmetisch of geometrisch bepaald worden (Hull, 2009). Aritmetische Aziatische opties kunnen niet met het Black-Scholes-model gewaardeerd worden (Milevsky & Posner, 1998). Met de komst van Aziatische opties waren dus nieuwe waarderingsmodellen nodig.

In de literatuur zijn waarderingsmodellen voor aritmetische Aziatische opties beschik-baar, maar over de efficiëntie van deze modellen is weinig bekend. In deze thesis worden verschillende waarderingsmodellen voor aritmetische Aziatische opties onderzocht en er wordt antwoord gegeven op de vraag welke methode het meest efficiënt is om aritme-tische Aziaaritme-tische opties te waarderen. De efficiëntie wordt gedefinieerd als de rekentijd die nodig is om tot een voldoende nauwkeurige waardering te komen. Met Monte Carlo-simulatie kan een aritmetische Aziatische optie nauwkeurig worden gewaardeerd, maar deze methode is traag en daarom niet efficiënt. Andere modellen hebben minder tijd nodig, maar deze modellen zijn bij minder rekentijd ook minder nauwkeurig. Door de modellen die in de literatuur zijn beschreven te implementeren, wordt inzicht verkre-gen in de efficiëntie van de verschillende methoden. Bij ieder model moet de afweging gemaakt worden tussen de benodigde rekentijd en de gemaakte fout.

In deze thesis wordt allereerst Monte Carlosimulatie voor een aritmetische Aziati-1

(8)

sche optie ge¨ımplementeerd in het programma MATLAB. Vervolgens worden de me-thoden van Turnbull en Wakeman (1991), Hull (2009) en Milevsky en Posner (1998) ge¨ımplementeerd. Monte Carlosimulatie is een stochastische methode. De methoden van Turnbull en Wakeman (1991), Hull (2009) en Milevsky en Posner (1998) zijn deter-ministische methoden. Wanneer er bij Monte Carlosimulatie lang doorgerekend wordt, kan de exacte waarde van de optie goed benaderd worden. Daarna kan de gemaakte fout van de deterministische methoden ten opzichte van de waardering die bij Monte Carlo-simulatie tot stand is gekomen worden bepaald bij minder rekentijd. Ten slotte wordt de benodigde rekentijd van de verschillende methoden geanalyseerd en wordt antwoord gegeven op de vraag welke methode het meest effici¨ent is om een aritmetische Aziatische optie te prijzen.

De opbouw van de thesis ziet er als volgt uit. In hoofdstuk 2 wordt de waardering van opties in het algemeen en de waardering van aritmetische Aziatische opties in het bijzonder besproken. In hoofdstuk 3 wordt ingegaan op de opzet en inhoud van het onderzoek. In hoofdstuk 4 worden de resultaten van het onderzoek besproken en gea-nalyseerd. Ten slotte volgt in hoofdstuk 5 een conclusie.

(9)

Hoofdstuk 2

Waardering van opties

In dit hoofdstuk wordt beschreven welke waarderingsmodellen ontwikkeld zijn voor arit-metische Aziatische opties. De waarderingsmethoden voor aritarit-metische Aziatische opties die worden besproken zijn de methoden van Turnbull en Wakeman (1991), Hull en White (1993), Hull (2009) en Milevsky en Posner (1998).

2.1 Achtergrond

Opties kunnen onderverdeeld worden in call- en putopties. Een calloptie geeft de houder van de optie het recht om het onderliggend aandeel te kopen en een putoptie geeft het recht om het onderliggend aandeel te verkopen (Hull, 2009). Er wordt ook onderscheid gemaakt tussen Amerikaanse en Europese opties. Een Europese optie kan alleen op een vooraf afgesproken datum worden uitgeoefend, terwijl een Amerikaanse optie op elk wil-lekeurig tijdstip voor de afloopdatum van de optie uitgeoefend kan worden (Hull, 2009). Een call- of putoptie met een standaarduitbetaling wordt een vanilla-optie genoemd (Hull, 2009).

In 1973 introduceren Black en Scholes een model voor het waarderen van een optie, het Black-Scholes-model. Het Black-Scholes-model is gebaseerd op arbitragevrije mark-ten en gaat ervan uit dat de prijs van de onderliggende waarde wordt gekenmerkt door een geometrische Brownse beweging. Het Black-Scholes-model heeft een exacte oplossing voor Europese opties (Black & Scholes, 1973). Echter, op de financi¨ele markten wor-den vanilla-opties, zoals Europese opties, verhandeld, maar ook opties die complexere uitbetalingen hebben. Voor het waarderen van deze opties zijn numerieke methoden nodig.

Een voorbeeld van een numerieke benadering is de aanpak van Cox, Ross en Ru-binstein (CRR). Dit model is gebaseerd op de veronderstelling van een binomial lattice tree. Het kan worden ge¨ınterpreteerd als een numerieke methode om de Black-Scholes-vergelijking op te lossen (Cox, Ross & Rubinstein, 1979). Een andere numerieke benade-ring is Monte Carlosimulatie. Deze methode genereert door simulatie een groot aantal mogelijke onderliggende waarden, de prijs van een optie kan hieruit worden afgeleid (Boyle, 1977).

Geometrische Aziatische opties zijn relatief eenvoudig te prijzen met behulp van het Black-Scholes-model, maar het geometrische gemiddelde wordt in de praktijk niet ge-bruikt (Milevsky & Posner, 1998). Wanneer de prijs van de onderliggende waarden een lognormale verdeling volgt, is het aritmetische gemiddelde niet lognormaal verdeeld. Omdat het Black-Scholes-model uitgaat van de veronderstelling van een lognormale verdeling zijn er voor aritmetische Aziatische opties geen sluitende formules in het Black-Scholes-model (Milevsky & Posner, 1998). Wanneer CRR wordt gehanteerd om de prijs van een Aziatische optie te bepalen, is een exacte analytische oplossing niet mogelijk

(10)

vanwege de complexiteit van de randvoorwaarden (Hull & White, 1993; Hull, 2009). Het Black-Scholes-model en de CRR-methode bieden dus niet voldoende mogelijkheden om de prijs van een aritmetische Aziatische optie te bepalen.

2.2 Monte Carlosimulatie

Monte Carlosimulatie is een numerieke benadering waarmee het mogeljik is om arit-metische Aziatische opties te waarderen. Deze methode is ge¨ıntroduceerd door Boyle (1977) en genereert door simulatie een groot aantal mogelijke onderliggende waarden waaruit de prijs van een optie afgeleid kan worden.

Boyle (1977) veronderstelt net zoals Black en Scholes (1973) dat de aandelenprijs S in een risiconeutrale wereld een geometrische Brownse beweging volgt

dS = µSdt + σSdZ

waarbij de drift rate µ en volatiliteit σ constant zijn en dZ het increment van een standaard Wienerproces is.

Voor een systeem in een risiconeutrale wereld geldt dat de drift rate µ gelijk is aan de risicovrije rente r (Black & Scholes, 1973; Boyle, 1977):

dS = rSdt + σSdZ = rSdt + σSε

√ dt.

Het toepassen van Ito’s lemma geeft de volgende vergelijking: d ln(S) = (r − q − σ

2

2 )dt + σε √

dt. (2.1)

De afleiding van Vergelijking 2.1 is opgenomen in Appendix A.

Een Wienerproces is een stochastisch Markovproces. Een eigenschap van een Markov-proces is dat bij het voorspellen van aandelenprijzen in het heden de aandelenprijzen in het verleden irrelevant zijn. Wanneer de looptijd van het aandeel wordt opgedeeld in n tijdstappen van lengte ∆t, geldt voor een standaard Wienerproces ∆Z = ε√∆t waarbij ε een standaardnormale verdeling volgt. Hieruit volgt dat ∆Z een normale verdeling volgt met verwachting E[∆Z] = 0 en variantie Var[∆Z] = ∆t. Een Wienerproces is dus een reeks normaal verdeelde variabelen waarbij de variantie toeneemt over de tijd. Dit betekent dat het moeilijker wordt de waarde van het proces na langere tijd te voorspel-len. Als n oneindig groot wordt, convergeert ∆t naar 0 en wordt ∆t geschreven als dt en ∆Z als dZ. Het betreft dan een systeem in continue tijd.

Wanneer Vergelijking 2.1 toegepast wordt in discrete tijd, geldt dat ∆ ln(S) = (r − q −σ

2

2 )∆t + σε √

∆t. Bovenstaande vergelijking wordt geschreven als

ln(St+∆t) − ln(St) = (r − q − σ2 2 )∆t + σε √ ∆t. en hieruit volgt St+∆t= Ste(r−q− σ2 2 )∆t+σε √ ∆t_.

(11)

De effi¨entie van optiewaarderingsmodellen — Yvette de Koning 5

Met bovenstaande formule wordt een reeks van random paden van onderliggende waar-den gecre¨eerd die een geometrische Brownse beweging volgen, welke vervolgens worden gebruikt om de prijs van een aritmetische Aziatische optie te bepalen (Boyle, 1977). Azi-atische opties kunnen worden ingedeeld in Europees-AziAzi-atische opties en Amerikaans-Aziatische opties. De prijs van een aritmetische Europees-Amerikaans-Aziatische calloptie op tijdstip t = 0 is gelijk aan

Ccall = e−rTE[max{A − K, 0}] waarbij A gelijk is aan het aritmetische gemiddelde: A = _n1 Pn

j=1Stj. T is gelijk aan de

looptijd van het optiecontract en K is gelijk aan de uitoefenprijs. De uitoefenprijs is de in het optiecontract afgesproken prijs. De prijs van een aritmetische Europees-Aziatische putoptie op tijdstip t = 0 is gelijk aan:

Cput = e−rTE[max{K − A, 0}].

Monte Carlosimulatie is een stochastische methode, er worden namelijk random getallen getrokken uit een standaard normale verdeling. Omdat Monte Carlosimulatie een sto-chastische methode is, wordt de standaardafwijking als foutmaat gekozen (Boyle, 1977). Met behulp van Monte Carlosimulatie kan een aritmetische Aziatische optie nauwkeurig gewaardeerd worden, maar de methode is langzaam (Turnbull & Wakeman, 1991; Hull & White, 1993; Hull 2009; Milevsky & Posner, 1998). Daarom zijn er andere methoden ontwikkeld om aritmetische Aziatische opties te waarderen. Deze methoden worden in de volgende secties besproken.

2.3 Binomiale boom

In 1993 is het binomial lattice model voor de prijsbepaling van Aziatische opties voor-gesteld door Hull en White (1993). Hull (2009) beschrijft een vergelijkbare methode gebaseerd op het binomial lattice model. De modellen van Hull en White (1993) en Hull (2009) zijn een uitbreiding van de CRR-methode, daarom wordt in deze sectie allereerst de CRR-methode besproken. Na het beschrijven van de beperkingen van deze methode voor Aziatische opties, worden de waarderingsmodellen van Hull en White (1993) en Hull (2009) besproken.

2.3.1 CRR

Cox, Ross en Rubinstein (1979) veronderstellen, evenals Black en Scholes (1973) en Boyle (1977), dat de aandelenprijs S in een risiconeutrale wereld een geometrische Brownse beweging volgt. Dit proces kan geschreven worden in de vorm van een bi-nomial lattice tree waar de looptijd van de optie T wordt ingedeeld in n tijdstappen van lengte ∆t = T /n. In de tijd ∆t stijgt de aandelenprijs S met een vermenigvuldigings-factor u met kans p. De aandelenprijs S daalt met vermenigvuldigingsvermenigvuldigings-factor d met kans (1 − p), waarbij

u = eσ

√

∆t_{, d = 1/u, a = e}µ∆t_{, p = (a − d)/(u − d).}

De waarde van S op knooppunt (i, j) van de binomial lattice tree is gelijk aan S(0)uj−i_di−1

voor i = 0, 1, ..., j.

In Figuur 2.1 is een voorbeeld van de CRR binomial lattice tree weergegeven waarbij de aandelenprijs op tijdstip 0 gelijk is aan 50.

Wanneer de binomial lattice tree voor de aandelenprijzen is opgesteld, kan de optie-prijs bepaald worden met voorwaartse inductie. De optie wordt gewaardeerd op alle

(12)

Figuur 2.1: Voorbeeld van CRR binomial lattice tree. De initi¨ele aandelenprijs is gelijk aan 100; de tijdstappen zijn 1 jaar; de continue samengestelde risicovrije rente is 4% per jaar; en de volatiliteit is 20% per jaar. Op elke knoop zijn de waarden van (i,j) weergegeven boven het kader, de aandelenprijs is weergegeven binnen dit kader.

knooppunten voor alle realisaties van de path function F (t, S). Om deze methode te kunnen gebruiken, mag het aantal realisaties van F (t, S) niet te snel groeien wanneer het aantal tijdstappen in de binomial lattice tree toeneemt. De k-de waarde van F op knoop (i, j) wordt Fi,j,kgenoemd en vi,j,k is de optieprijs op knoop (i, j) als F de waarde

Fi,j,k heeft. De optieprijs op afloopdatum vn,j,k is bekend voor alle j en alle k. Om de

optieprijs op knoop (i, j) te bepalen voor alle j < n, wordt verondersteld dat de k-de waarde van F op knoop (i, j) leidt tot de ku-de waarde van F op knoop (i, j + 1) met

kans p en tot de kd-de waarde van F op knoop (i + 1, j + 1) met kans (1 − p). Voor een

Europese optie geldt

vi,j,k= e−r∆t[pvi,j+1,ku+ (1 − p)vi+1,j+1,kd] (2.2)

waarbij r de risicovrije rente is.

Bij een Amerikaanse optie die gedurende de gehele looptijd ingewisseld kan worden, moet vi,j,k vergeleken worden met de eerdere optieprijs op het moment van inwisselen.

De optieprijs vi,j,k moet vervolgens gelijkgesteld worden aan het maximum van deze

twee waarden.

2.3.2 De methode van Hull en White

Voor Aziatische opties is CRR niet mogelijk omdat het aantal aritmetische gemiddelden exponentieel groeit wanneer het aantal tijdstappen dat gebruikt wordt om de optieprijs te berekenen, toeneemt (Hull & White, 1993; Hull, 2009). Daarom beschouwen Hull en White (1993) een verzameling van representatieve gemiddelden op elk knooppunt van de binomial lattice tree om vervolgens met lineaire interpolatie de ontbrekende waarden van de optieprijzen te berekenen. Omdat S een geometrische Brownse beweging volgt, worden de waarden van F zodanig gekozen dat ze de vorm hebben van S(0)emh_waarbij

h een constante en m een positief of negatief geheel getal is. Vergelijking 2.2 geldt nog steeds, maar het verschil is dat vi,j+1,ku en vi+1,j+1,kd bepaald worden door lineaire

interpolatie. Zo wordt vi,j+1,ku bepaald door te interpoleren tussen vi,j+1,k1 en vi,j+1,k2.

De waarden k1 en k2 zijn zodanig gekozen dat Fi,j+1,k1 en Fi,j+1,k2 de dichtstbijzijnde

waarden van F tot Fi,j+1,ku zijn die de vorm hebben van S(0)e

mh_{en waarbij geldt dat}

(13)

2.3.3 De methode van Hull

Een vergelijkbare aanpassing van de CRR-methode waarbij ook gebruik wordt gemaakt van lineaire interpolatie is de methode van Hull (2009). Allereerst worden de maximale en minimale aritmetische gemiddelde aandelenprijzen op elk knooppunt van de binomial lattice tree bepaald. Voor elk knooppunt (i, j) wordt de maximale gemiddelde aandelen-prijs M (i, j) bepaald door j − i opwaartse stappen gevolgd door i − 1 benedenwaartse stappen:

M (i, j) = S(0)(1 + u + u

2_{+ ... + u}j−i_{+ u}j−i_{(d + d}2_{+ ... + d}i−1₎₎

j = S(0) 1−uj−i+1 1−u + S(0)u j−i_d1−di−1 1−d j .

De minimale gemiddelde aandelenprijs m(i, j) wordt bepaald door i − 1 benedenwaartse stappen gevolgd door j − i opwaartse stappen:

M (i, j) = S(0)(1 + d + d

2_{+ ... + d}i−1_{+ d}i−j_{(u + u}2_{+ ... + u}j−i₎₎

j = S(0)

1−di

1−d + S(0)d

i−1_u1−uj−i 1−u

j .

Voor elk knooppunt worden vervolgens de representatieve gemiddelde aandelenprijzen A(i, j, k) bepaald met behulp van de minimale en de maximale gemiddelde aandelen-prijs. Hierbij is l gelijk aan het aantal interpolatiestappen en k is gelijk aan de k-de interpolatiestap:

A(i, j, k) = l − k

l M (i, j) + k

lm(i, j) voor k = 0, 1, ..., l.

Na het bepalen van de representatieve gemiddelde aandelenprijzen bepaalt Hull (2009) voor elk eindknooppunt (n, j) de optieprijs voor elk representatief gemiddelde A(i, n, k) voor respectievelijk een call- en een putoptie:

Ccall(i, n + 1, k) = max{A(i, n + 1, k) − K, 0} Cput(i, n + 1, k) = max{K − A(i, n + 1, k), 0}.

Vervolgens worden met terugwaartse inductie de optieprijzen op elk knooppunt van de binomial lattice tree bepaald. Dit is in Figuur 2.2 ge¨ıllustreerd. Wanneer respectievelijk een opwaartse stap of benedenwaartse stap wordt gemaakt, worden Au en Ad als volgt bepaald:

Au = jA(i, j, k) + uS(i, j) j + 1

Ad = jA(i, j, k) + dS(i, j)

j + 1 .

Wanneer verondersteld wordt dat Au in het interval [A(i, j + 1, ku), A(i, j + 1, ku−1)]

ligt, wordt de corresponderende optieprijs Cu bepaald door lineaire interpolatie Cu = wuC(i, j + 1, ku) + (1 − wu)C(i, j + 1, ku−1)

waarbij wu = _A(i,j+1,kA(i,j+1,k_u−1_{)−A(i,j+1,k}u−1)−Au _u₎. Wanneer verondersteld wordt dat Ad in het

(14)

Figuur 2.2: Terugwaartse inductie om de optieprijzen op elk knooppunt van de binomial lattice tree te bepalen.

De optieprijs van een aritmetische Europees-Aziatische optie op knooppunt (i, j) van de binomial lattice tree is gelijk aan:

C(i, j, k) = e−r∆t(pCu + (1 − p)Cd).

Voor een Amerikaanse aritmetische Aziatische optie is de optieprijs op knooppunt (i, j) gelijk aan:

C(i, j, k) = max{A(i, j, k) − K, e−r∆t(pCu + (1 − p)Cd)}.

Door de aanvulling van Hull en White (1993) en Hull (2009) op de methode van Cox, Ross en Rubinstein (1979), is het mogelijk om Aziatische opties met behulp van een binomial lattice tree te bepalen.

2.4 Momentenmethoden

Andere methoden om aritmetische Aziatische opties te waarderen zijn de modellen van Turnbull en Wakeman (1991) en Milevsky en Posner (1998). In deze modellen wordt de verdeling van het aritmetische gemiddelde benaderd en door bepaling van de momenten van het aritmetisch gemiddelde kan een optie gewaardeerd worden. Allereerst wordt het waarderingsmodel van Turnbull en Wakeman (1991) besproken, vervolgens komt het waarderingsmodel van Milevsky en Posner (1998) aan bod.

2.4.1 De methode van Turnbull en Wakeman

Turnbull en Wakeman (1991) beschrijven een methode om een aritmetische Europees-Aziatische calloptie te prijzen door de verdeling F van het aritmetische gemiddelde te benaderen met een lognormale verdeling G. De verdeling F kan niet bepaald worden, maar omdat alle momenten van het aritmetisch gemiddelde wel bepaald kunnen wor-den, kan de verdeling benaderd worden door gebruikmaking van een Edgeworth series

(15)

expansion. De eerste twee momenten van de benaderde lognormale verdeling G worden gelijkgesteld aan de eerste twee momenten van de echte verdeling F . Daarna wordt de eerste en tweede afgeleide van de benaderde dichtheidsfunctie bepaald. Na het bereke-nen van de eerste vier cumulanten van beide verdelingen, kan de prijs van de Europees aritmetische Aziatische calloptie bepaald worden.

Allereerst bepalen Turnbull en Wakeman (1991) de eerste vier momenten van de echte verdeling F van het aritmetische gemiddelde. Turnbull en Wakeman (1991) defini¨eren Ln ≡ 1 en Li ≡ 1 + RiL(i + 1) voor i = 1, 2, ..., n − 1. De relatieve aandeelprijs Ri

is gedefinieerd als Ri = S_ti

S_ti−1. Het aritmetische gemiddelde wordt dan geschreven als

A(T ) = S(0)R0L1

n . Dit wordt in Appendix B afgeleid waarbij Turnbull en Wakeman

(1991) ervan uitgaan dat de aandelenprijs S in een risiconeutrale wereld een geometri-sche Brownse beweging volgt net zoals bij de al eerder besproken methoden. De optie wordt uitgeoefend wanneer Y ≡ R0L1 > _S(0)nK ≡ k. Met behulp van bovenstaande

de-finities worden de momenten Yi van de echte verdeling F bepaald. De afleidingen van

onderstaande uitdrukkingen zijn opgenomen in Appendix B. Y1 = E[Li] = E[1 + RiLi + 1]

Y2 = E[L2i] = 1 + E[R2iL2i+1] + 2E[Ri]E[Li+1]

Y3 = E[L3i] = 1 + E[R3iL3i+1] + 3E[R2iL2i+1] + 3E[Ri]E[Li+1]

Y4 = E[L4i] = 1 + E[R4iL4i+1] + 4E[R3iL3i+1] + 6E[R2iL2i+1] + 4E[Ri]E[Li+1]

E[R_im] = eµ1m+1₂σ21m2 _{= e}(r−12σ

2_)dt·m+1 2σ

2_dt·m2

voor m = 1, 2, ...

Vervolgens bepalen Turnbull en Wakeman (1991) de eerste vier momenten A1, A2, A3en

A4 van de benaderde verdeling G. De eerste twee momenten van de benaderde verdeling

G worden gelijkgesteld aan de eerste twee momenten van de verdeling F . De afleidingen van onderstaande uitdrukkingen zijn in Appendix B opgenomen.

A1 = Y1 A2 = Y2 A3 = e 32 log(Y1)−log(Y2)₂ +(log(Y2)−2 log(Y1))32·1₂ A4 = e4 2 log(Y1)−log(Y2)₂ +(log(Y2)−2 log(Y1))42·1₂

Met behulp van de momenten worden de cumulanten van beide verdelingen bepaald en vervolgens worden c1, c2, c3en c4bepaald zodat de Edgeworth series expansion toegepast

kan worden. De afleiding van de cumulanten is opgenomen in Appendix B. c1= Y1

c2= Y2− Y12− (A2− A21)

c3= Y3+ 2Y13− 3Y2Y1− (A3+ 2A31− 3A2A1)

c4= Y4− 6Y13− 4Y3Y1+ 12Y2Y12− 3Y22− (A4− 6A31− 4A3A1+ 12A2A21− 3A22) + 3c22

Voordat de Edgeworth series expansion toegepast kan worden, moeten de eerste en tweede afgeleide van de benaderde verdeling bepaald worden. De dichtheidsfunctie g(x) van de benaderde lognormale verdeling met parameters µ2 = 2 log (Y1) − log (Y₂ 2) en

σ2

2 = log (Y2) − 2 log (Y1) is gelijk aan:

g(x) = 1 σ2 √ 2π 1 xe −(µ2−ln x)2 2σ2 voor x > 0.

De afleidingen en verkregen uitdrukkingen voor de eerste en tweede afgeleide van g(x) zijn opgenomen in Appendix B.

(16)

Wanneer f (x) de kansdichtheidsfunctie is van de echte verdeling F en g(x) de kans-dichtheidsfunctie van de benaderde verdeling G, dan is de Edgeworth series expansion gelijk aan (Turnbull & Wakeman, 1991):

f (x) = g(x) +c2 2! d2g dx2(x) − c3 3! d3g dx3(x) + c4 4! d4g dx4(x) + e(x) (2.3)

waarbij e(x) een errorterm is.

De prijs van een aritmetische Aziatische calloptie op tijdstip T is max{A − K, 0}, dus de optieprijs op tijdstip 0 is gelijk aan:

C = e−rTE[max{A − K, 0}] = e −rT_S(0) n E[max{Y − k, 0}] = e −rT_S(0) n Z ∞ k (x − k)f (x)dx

Hierbij is gebruikgemaakt van de al afgeleide uitdrukking A(T ) = S(0)R0L1

n =

S(0)Y n

en _S(0)nK ≡ k. Wanneer op bovenstaande integraal de Edgeworth series expansion uit Vergelijking 2.3 wordt toegepast, wordt de volgende vergelijking verkregen (Turnbull & Wakeman, 1991): Z ∞ k (x − k)f (x)dx = Z ∞ k (x − k)g(x)dx + c2 2!g(k) − c3 3! dg dx(k) + c4 4! d2g dx2(k) + e(k).

De prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie op tijdstip 0 bepalen Turn-bull en Wakeman (1991) ten slotte als volgt:

Ccall = e −rT_S(0) n [e −µ2+ σ2₂ 2 N (d1)−kN (d2)] +c2 2!g(k) − c3 3! dg dx(k) + c4 4! d2g dx2(k) + e(k) waarbij d1= − ln(k)+µ2+σ 2 2 σ2 en d2 ≡ d1− σ2.

De prijs van een aritmetische Europees-Aziatische putoptie op tijdstip 0 is gelijk aan (Turnbull & Wakeman, 1991):

Cput = e −rT_S(0) n [e −µ2+ σ2₂ 2 N (−d1)−kN (−d2)] + c2 2!g(k) − c3 3! dg dx(k) + c4 4! d2g dx2(k) + e(k)

Turnbull en Wakeman (1991) vergelijken hun algoritme met Monte Carlosimulatie en concluderen dat hun algoritme een goede benadering is. De snelheid van het algoritme is vergelijkbaar met het Black-Scholes algoritme, Monte Carlosimulatie is daarentegen een stuk langzamer (Turnbull & Wakeman, 1991). Hull en White (1993) en Hull (2009) con-cluderen echter dat hun algoritmen nauwkeurigere resultaten opleveren in vergelijking met de resultaten van Turnbull en Wakeman (1991).

2.4.2 De methode van Milevsky en Posner

Milevsky en Posner (1998) beweren dat de verdeling van het aritmetische gemiddelde beter benaderd kan worden met een reciproke gammaverdeling in plaats van een lognor-male verdeling zoals Turnbull en Wakeman (1991) beweren. Allereerst worden de eerste twee momenten van de echte verdeling van het aritmetische gemiddelde bepaald net zoals bij Turnbull en Wakeman (1991). De eerste twee momenten van de benaderde verdeling, in dit geval de reciproke gammaverdeling, worden gelijkgesteld aan de eerste

(17)

twee momenten van de echte verdeling. Vervolgens kan de prijs van de optie op tijdstip 0 met looptijd T en uitoefenprijs K bepaald worden.

Milevsky en Posner (1998) verwijzen voor de bepaling van de momenten in het dis-crete geval naar de appendix van Levy (1992). Er moet opgemerkt worden dat Milevsky en Posner (1998) het gemiddelde bepalen als _n1Pn

i=1Sti en Levy bepaalt het

gemid-delde als _n+11 Pn

i=0Sti. De momenten uit het artikel van Levy (1992) moeten dus eerst

omgeschreven worden in termen van de momenten van Milevsky en Posner (1998). Deze afleiding is Appendix C opgenomen. Het blijkt dat de momenten gelijk zijn aan:

M1= S(0) n e (r−q)dt1 − e(r−q)T 1 − e(r−q)dt M2= S(0)2 n2 (A1− A2+ A3− A4) waarbij A1 = e(2(r−q)+σ2)dt− e(2(r−q)+σ2_)(n+1)dt (1 − e(r−q)dt_{)(1 − e}(2(r−q)+σ2_)dt ) A2 = e((r−q)(n+2)+σ2)dt− e(2(r−q)+σ2_)(n+1)dt (1 − e(r−q)dt_{)(1 − e}(r−q+σ2_)dt ) A3 = e(3(r−q)+σ2)dt− e((r−q)(n+2+σ2_)dt (1 − e(r−q)dt_{)(1 − e}(r−q+σ2_)dt) A4 = e(4(r−q)+2σ2)dt_{− e}(2(r−q)+σ2)(n+1)dt (1 − e(r−q+σ2_)dt )(1 − e(2(r−q)σ2_)dt ).

Wanneer de interestrate r gelijk is aan de dividendrate q, kan de optieprijs in het dis-crete geval niet bepaald worden omdat de noemers van A1, A2 en A3 in dit geval gelijk

zijn aan 0.

In het continue geval bepalen Milevsky en Posner (1998) de eerste twee momenten van het aritmetische gemiddelde als volgt:

M1 = E[A] = ( S(0)e(r−q)T −1_(r−q)T r 6= q S(0) r = q M2 = E[A2] =    2S(0)_T22 e2(r−q)+σ2_T (r−q+σ2_)(2r−2q+σ2₎ +_r−q1 1 2(r−q)+σ2 − e (r−q)T r−q+σ2 r 6= q 2S(0)_T22e σ2T_−1−σ2_T σ4 r = q.

Door vervolgens de eerste twee momenten, ofwel voor het discrete geval ofwel voor het continue geval, gelijk te stellen aan de eerste twee momenten van de benaderde reciproke gammaverdeling kunnen de parameters α en β van de benaderde reciproke gammaverdeling bepaald worden. Turnbull en Wakeman (1991) hebben een vergelijk-bare methode gebruikt om de parameters van de benaderde lognormale verdeling te bepalen. De afleiding is opgenomen in Appendix C.

α = 2M2− M 2 1 M2− M12 β = M2− M 2 1 M2M1

(18)

Ten slotte kan de prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie op tijdstip t = 0 bepaald worden met de volgende formule (Milevsky & Posner, 1998):

Ccall = e −qT _{− e−rT} (r − q)T S(0)G 1 K | α − 1, β − e−rTKG 1 K | α, β

De prijs van een aritmetische Europees-Aziatische putoptie kan bepaald worden met de put-call parity. Het verschil tussen de eindwaarden van een put- en calloptie is:

Ccall(0) − Cput(0) = max{A − K, 0} − max{K − A, 0} = A − K. Door risiconeutraal waarderen volgt dat

Ccall(T ) − Cput(T ) = e−rT[E[A] − K].

Milevsky en Posner (1998) vergelijken hun resultaten met Monte Carlosimulatie en concluderen dat de methode accuraat is.

2.5 Samenvatting

Samenvattend, het Black-Scholes-model en de CRR-methode zijn methoden die niet gebruikt kunnen worden voor de waardering van aritmetische Aziatische opties. Monte Carlosimulatie is een nauwkeurige methode, maar deze methode is niet effici¨ent. De waarderingsmethoden voor aritmetische Aziatische opties die zijn besproken, zijn de methoden van Turnbull en Wakeman (1991), Hull en White (1993), Hull (2009) en Mi-levsky en Posner (1998). De effici¨entie van deze methoden komt aan bod in de volgende hoofdstukken.

(19)

Hoofdstuk 3

Onderzoeksmethode

In deze thesis worden verschillende waarderingsmodellen voor aritmetische Aziatische opties gemodelleerd en er wordt antwoord gegeven op de vraag welke methode het meest effici¨ent is om aritmetische Aziatische opties te waarderen. In dit hoofdstuk wordt de opzet en inhoud van het onderzoek besproken. Er wordt in het bijzonder naar een arit-metische Europees-Aziatische calloptie gekeken omdat dit het meest eenvoudige product is. De resultaten van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie zijn generaliseerbaar voor producten met een minder eenvoudige uitbetaling zoals een aritmetische Europees-Aziatische putoptie, een aritmetische Amerikaans-Europees-Aziatische calloptie en een aritme-tische Amerikaans-Aziaaritme-tische putoptie. Voor iedere determinisaritme-tische methode moeten namelijk vergelijkbare aanpassingen worden gedaan om de producten met een minder eenvoudige uitbetaling te waarderen.

3.1 Monte Carlosimulatie

Allereerst wordt Monte Carlosimulatie geprogrammeerd in MATLAB. Monte Carlosi-mulatie genereert door siCarlosi-mulatie een groot aantal mogelijke paden voor onderliggende waarden. Door het aantal simulaties en het aantal tijdstappen groot genoeg te kiezen, treedt convergentie op naar de vrijwel exacte waarde. Bij een bepaald aantal tijdstap-pen en simulaties wordt de benodigde rekentijd bepaald. Als uitgangspunt wordt Monte Carlosimulatie uitgevoerd met 100 simulaties en 10 tijdstappen. Met behulp van de functie tic toc in MATLAB wordt de rekentijd bepaald. Vervolgens wordt het aantal simulaties en het aantal tijdstappen afwisselend met een vermenigvuldigingsfactor van 10 opgehoogd. Er wordt een tabel gemaakt waarin de rekentijd voor een aritmetische Europees-Aziatische calloptie is opgenomen bij een bepaald aantal simulaties en een bepaald aantal tijdstappen. De rekentijd neemt toe wanneer het aantal simulaties en het aantal tijdstappen groter wordt. Monte Carlosimulatie is een stochastische methode. Daarom wordt de standaardafwijking als foutmaat genomen. Naast de rekentijd is de standaardafwijking bij een bepaald aantal simulaties en tijdstappen opgenomen in de tabel.

Vervolgens wordt Monte Carlosimulatie uitgevoerd voor verschillende parameters bij 10000 simulaties en 1000 tijdstappen voor een aritmetische Europees-Aziatische callop-tie. Door telkens één parameter te variëren en de andere parameters constant te houden, wordt bepaald wat de invloed is van de parameters S(0) (aandelenprijs op tijdstip 0); σ (volatiliteit); r (risicovrije rente); en T (looptijd van het optiecontract) op de prijs van de optie. De parameter K, de uitoefenprijs, wordt voor elke analyse gelijkgesteld aan 100 en de parameter q, de dividendrate, wordt voor elke analyse gelijkgesteld aan 0.

(20)

3.2 Deterministische methoden

Na de implementatie van Monte Carlosimulatie worden de waarderingsmethoden van Turnbull en Wakeman (1991), Hull (2009) en Milevsky en Posner (1998) ge¨ımplementeerd in MATLAB. Net zoals bij Monte Carlosimulatie worden bij deze methoden data gege-nereerd. Als de vrijwel exacte waarde is bepaald door heel veel simulaties en tijdstappen kan de fout van de deterministische methoden bepaald worden ten opzichte van de exacte waarde die bij Monte Carlosimulatie tot stand komt. Voor iedere deterministische me-thode wordt de invloed van het aantal tijdstappen op de absolute fout ten opzichte van Monte Carlosimualtie geanalyseerd.

De berekende optieprijs is verschillend voor verschillende waarden van de parameters S(0), σ, r en T . Door telkens één parameter te variëren en de andere parameters con-stant te houden, kan de invloed van de desbetreffende parameter op de prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie geanalyseerd worden. De parameter K wordt voor elke analyse gelijkgesteld aan 100 en q wordt voor elke analyse gelijkgesteld aan 0. De aandelenprijs S(0) neemt de waarden 80, 90, 100, 110 en 120 aan. De volatiliteit wordt gelijkgesteld aan achtereenvolgens 0.2, 0.3 en 0.4. De risicovrije rente r is 0, 0.02 en 0.04 en de looptijd van het optiecontract T wordt gelijkgesteld aan 1 maand, 3 maanden en 1 jaar. De keuzes voor deze waarden zijn vergelijkbaar met de keuzes die Turnbull en Wakeman (1991), Hull en White (1993), en Milevsky en Posner (1998) gemaakt hebben bij het ontwikkelen van hun methoden.

Voor elk waarderingsmodel wordt een grafiek gemaakt waar op de verticale as de loga-ritme van de absolute waarde van de gemaakte fout is uitgezet en op de horizontale as de logaritme van de rekentijd. Er wordt voor een logaritmische schaalverdeling gekozen omdat met een logaritmische schaalverdeling relatieve veranderingen worden weergege-ven in plaats van de numerieke waarden zelf. Op deze manier kunnen de verschillende methoden goed vergeleken worden. De methode die de minste tijd nodig heeft om tot een kleine fout te komen en te blijven, wordt het meest effici¨ent genoemd.

3.3 Samenvatting

Monte Carlosimulatie en de deterministische methoden worden in MATLAB ge¨ımplemen-teerd. Voor Monte Carlosimulatie worden de rekentijd en de standaardafwijking bere-kend bij een verschillend aantal simulaties en tijdstappen. Voor zowel Monte Carlosi-mulatie als voor de deterministische methoden wordt de invloed van verschillende para-meters geanalyseerd. Voor de deterministische methoden wordt ook de invloed van het aantal tijdstappen op de absolute fout ten opzichte van Monte Carlosimulatie bepaald. Ten slotte wordt voor iedere deterministische methode de logaritme van de absolute fout uitgezet tegen de logaritme van de benodigde rekentijd en hieruit kan bepaald worden welke methode het meest effici¨ent is.

(21)

Hoofdstuk 4

Resultaten en analyse

In dit hoofdstuk worden de resultaten van het onderzoek besproken en geanalyseerd. Alleerst komt de implementatie van Monte Carlosimulatie aan bod. Vervolgens wordt de implementatie van de deterministische methoden besproken. In dit hoofdstuk worden in het bijzonder de resultaten voor een aritmetische Europees-Aziatische optie besproken en geanalyseerd tenzij dit expliciet anders is aangegeven.

4.1 Implementatie van Monte Carlosimulatie

Monte Carlosimulatie genereert door simulatie een groot aantal mogelijke onderliggende waarden. De prijs van een optie kan hieruit worden afgeleid (Boyle, 1977). Wanneer er heel veel simulaties en tijdstappen gedaan worden, kan de vrijwel exacte waarde van een aritmetische Aziatische optie bepaald worden. Bij veel simulaties en veel tijdstappen is Monte Carlosimulatie echter langzaam. Allereerst wordt de benodigde rekentijd bij een bepaald aantal simulaties en tijdstappen bepaald. Vervolgens wordt Monte Carlosimu-latie voor verschillende parameters uitgevoerd met 1000 tijdstappen en 10000 simuCarlosimu-laties om na te gaan welke invloed de waarde van een bepaalde parameter heeft op de prijs van een optie. Het MATLAB-script van Monte Carlosimulatie is in Appendix D opgenomen.

4.1.1 Het aantal simulaties en het aantal tijdstappen

In Figuur 4.1 zijn 100 onderliggende waarden van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie gesimuleerd met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0, T = 1 en het aantal tijdstappen n = 10. Deze onderliggende waarden worden gebruikt om de prijs van een optie te bepalen. In Tabel 4.1 is de Monte Carloprijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie weergegeven voor een bepaald aantal tijdstappen en si-mulaties. Als uitgangspunt wordt Monte Carlosimulatie uitgevoerd met 100 simulaties en 10 tijdstappen. Vervolgens wordt het aantal simulaties en het aantal tijdstappen af-wisselend met een vermenigvuldigingsfactor van 10 opgehoogd. De standaardafwijking is naast de prijs weergegeven en neemt af als het aantal simulaties toeneemt. De be-nodigde rekentijd is tussen haakjes weergegeven. De rekentijd wordt bepaald met de functie tic toc in MATLAB. Wanneer het aantal tijdstappen of het aantal simulaties wordt overschreven en MATLAB het gevraagde aantal niet aan kan is in de tabel een kruisje weergegeven.

Na het draaien van een aantal testruns blijkt dat de rekentijd voor ongewijzigde para-meters verandert bij elke nieuwe simulatie. Wanneer een for-loop opgezet wordt waarin voor dezelfde simulatie de rekentijd keer op keer bepaald wordt, is de rekentijd niet iedere keer hetzelfde. Zelfs na een groot aantal runs zijn er nog verschillen. Dit komt omdat MATLAB niet waarneembare procedures uitvoert om de run sneller en effici¨enter

(22)

Figuur 4.1: Monte Carlosimulatie: 100 random gegenereerde paden van de aandeelprijs in ´e´en jaar met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0 en het aantal tijdstappen n = 10

Tabel 4.1: Monte Carloprijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie en de benodigde re-kentijd voor een bepaald aantal tijdstappen en simulaties met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0 en T = 1 Aantal simulaties Aantal tijdstappen 100 1000 10000 100000 10 5.0489 - 0.7578 5.1360 - 0.2421 5.0210 - 0.0742 5.0679 - 0.0437 (0.0003) (0.0007) (0.0045) (0.0319) 100 5.4194 - 0.7662 6.2908 - 0.8866 5.7077 - 0.2625 5.5179 - 0.0815 (0.0008) (0.0023) (0.0044) (0.0312) 1000 5.7760 - 0.7805 5.9721 - 0.2750 5.3260 - 0.0795 5.5484 - 0.0259 (0.0045) (0.0347) (0.2825) (2.6971) 10000 5.9949 -0.8876 5.4984 - 0.2550 5.5637 - 0.0818 x (0.0376) (0.3187) (2.7659) 100000 4.9818 - 0.7665 5.9052 - 0.2621 x x (0.3462) (3.1710)

te maken. De inconsistentie van de tic toc functie is vooral waarneembaar na een clear all commando en na het opnieuw opstarten van het MATLAB-programma. Ook moe-ten er naast MATLAB geen andere programa’s actief zijn omdat deze programma’s het MATLAB-proces kunnen verstoren. Het clear all commando wordt niet opgenomen in de for-loop. Wanneer de rekentijden in de for-loop worden geplot, is te zien dat de meeste waarden clusteren, maar er zijn ook een aantal pieken waarneembaar. Het nemen van de modus van de rekentijden is de ideale oplossing, maar omdat de rekentijden continu zijn, is dit niet mogelijk. Uit een aantal testruns blijkt dat de pieken voornamelijk in de eerste helft van de simulaties optreden, maar soms komen er ook pieken in de tweede helft van de simulaties voor. Daarom wordt het gemiddelde genomen over de tweede helft van de simulaties uit de for-loop. Om te corrigeren voor het feit dat MATLAB niet waarneembare procedures uitvoert die de oorzaak zijn van de pieken, worden outliers uit de tweede helft van de simulaties gefilterd waarbij wordt verondersteld dat de re-kentijden normaal verdeeld zijn. In een normale verdeling ligt 95% van de meetwaarden op maximaal twee standaardafwijkingen van het gemiddelde. De benodigde rekentijd wordt benaderd door het gemiddelde van de niet-outliers uit de tweede helft van de simulaties te bepalen.

(23)

Figuur 4.2:Benodigde rekentijd per simulatie voor een aritmetische Europees-Aziatische calloptie

In Figuur 4.2 zijn twee testruns weergegeven voor 100 simulaties en 100 tijdstappen (linkerfiguur) en 1000 simulaties en 1000 tijdstappen (rechterfiguur). Er worden in het linkerfiguur 20 outliers gevonden en in het rechterfiguur worden er 40 outliers gevonden. De benodigde rekentijd is voor 1000 simulaties en 1000 tijdstappen aanzienlijk meer dan de benodigde rekentijd voor 100 simulaties en 100 tijdstappen. Dit blijkt ook uit Tabel 4.1.

In Tabel 4.1 is te zien dat de standaardafwijking afneemt wanneer het aantal simula-ties toeneemt. Wanneer het aantal simulasimula-ties toeneemt, wordt de benadering dus steeds nauwkeuriger, maar dit kost ook meer rekentijd. Monte Carlosimulatie is het meest nauwkeurig voor 100000 simulaties en 1000 tijdstappen, de standaardafwijking is dan het kleinst.

4.1.2 De invloed van verschillende parameters

In deze subsectie wordt Monte Carlosimulatie voor verschillende parameters uitgevoerd met 1000 tijdstappen en 10000 simulaties om na te gaan welke invloed de waarde van een bepaalde parameter heeft op de prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie. Allereerst wordt de parameter S(0) gevarieerd terwijl K = 100, T = 1, r = 0.04, q = 0 en σ = 0.2 constant blijven. In Figuur 4.3 is te zien dat de prijs van een aritmeti-sche Europees-Aziatiaritmeti-sche calloptie stijgt wanneer de onderliggende aandelenprijs stijgt. Omdat een calloptie een recht betreft om een bepaald aandeel te kopen tegen de afge-sproken prijs in het optiecontract, wordt de optie meer waard wanneer de onderliggende aandelenprijs stijgt en deze groter is dan de afgesproken prijs in het optiecontract. Het is dan immers profijtelijker om de optie in te wisselen.

In Figuur 4.4 is de invloed van de looptijd T op de prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie ge¨ıllustreerd. De parameter T wordt gevarieerd terwijl K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, q = 0 en σ = 0.2 constant worden gehouden. Wanneer de looptijd van het optiecontract groter wordt, neemt de optieprijs toe. Hoe langer de looptijd, hoe groter de kans dat een bepaalde onderliggende waarde een grote beweging laat zien en de optie veel geld waard wordt.

In Figuur 4.5 is de prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie voor verschillende waarden van r weergegeven. Hierbij geldt dat K = 100, S(0) = 100, T = 1, q = 0 en σ = 0.2. De prijs van de calloptie neemt af als de rente afneemt. Wanneer een calloptie door een marktmaker verkocht wordt, koopt de marktmaker ook de onderliggende aandelen om aan de eventuele leveringsplicht te kunnen voldoen. Het geld dat de marktmaker investeert om de aandelen te kopen, had ook op de bank gezet kunnen worden, maar daar wordt een lage rente verkregen. Daarnaast heeft de

(24)

Figuur 4.3: Prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie voor verschillende waarden van S(0) met K = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0, T = 1, n = 1000, N = 10000

Figuur 4.4: Prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie voor verschillende waarden van T met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0, n = 1000, N = 10000

Figuur 4.5: Prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie voor verschillende waarden van r met K = 100, S(0) = 100, σ = 0.2, q = 0, T = 1, n = 1000, N = 10000

(25)

Figuur 4.6: Prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie voor verschillende waarden van de volatiliteit σ met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, q = 0, T = 1, n = 1000, N = 10000

marktmaker nu recht op dividend. Daarom zal de marktmaker een lagere prijs voor de calloptie vragen bij een lagere rente.

In Figuur 4.6 is de prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie uitgezet tegen de volatiliteit σ. De parameter σ wordt gevarieerd terwijl K = 100, S(0) = 100, T = 1, q = 0 en r = 0.04. Hoe volatieler de waarde van de onderliggende aandelen, hoe groter de kans is dat de optie veel geld waard wordt. De verwachte volatiliteit kan sterk fluctueren en verschilt per uitoefenprijs en looptijd en is daarom een belangrijke factor bij het het waarderen van een optie (Hull, 2009).

4.2 Implementatie van de deterministische methoden

In deze sectie wordt de implementatie van de deterministische methoden besproken. Al-lereerst wordt de methode van Turnbull en Wakeman (1991) ge¨ımplementeerd. Daarna komen de methoden van Hull (2009) en Milevsky en Posner (1998) aan bod. De MATLAB-scripts zijn in Appendix D opgenomen.

4.2.1 De absolute fout en het aantal tijdstappen

De methode van Turnbull en Wakeman (1991), Hull (2009) en Milevsky en Posner (1998) zijn deterministische methoden. De optieprijs verschilt bij een verschillend aan-tal tijdstappen, maar deze wijzigt niet wanneer een aanaan-tal keer dezelfde simulatie wordt uitgevoerd. Dit is in tegenstelling tot Monte Carlosimulatie. Bij de deterministische me-thoden hoeft daarom geen rekening gehouden te worden met de standaardafwijking. Als de vrijwel exacte waarde bepaald is door heel veel simulaties bij Monte Carlosimulatie kan de fout van de deterministische methoden bij minder rekentijd bepaald worden ten opzichte van de exacte waarde. De verwachting is dat de absolute fout kleiner wordt wanneer voor meer tijdstappen wordt gekozen. Het is hierbij belangrijk dat bij Monte Carlosimulatie de vrijwel exacte waarde bepaald wordt. In de vorige sectie is aangetoond dat dit het geval is bij 100000 simulaties en 1000 tijdstappen.

In Figuur 4.7 is de absolute fout van de methode van Turnbull en Wakeman (1991) ten opzichte van Monte Carlosimulatie uitgezet tegen het aantal tijdstappen. Monte Carlosimulatie is uitgevoerd bij 100000 simulaties en 1000 tijdstappen. In Figuur 4.8 en Figuur 4.9 is hetzelfde gedaan voor respectievelijk de methode van Hull (2009) en de methode van Milevsky en Posner (1998). Er wordt in het bijzonder gekeken naar een aritmetische Europees-Aziatische calloptie. Voor alle methoden zijn de parameters gelijkgesteld aan K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0 en T = 1.

(26)

Figuur 4.7: De absolute fout en het aantal tijdstappen voor een aritmetische Europees-Aziatische calloptie voor de methode van Turnbull en Wakeman (1991) met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0 en T = 1

Figuur 4.8: De absolute fout en het aantal tijdstappen voor een aritmetische Europees-Aziatische calloptie voor de methode van Hull (2009) met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0 en T = 1 en het aantal interpolatiestappen gelijk aan 150

Figuur 4.9: De absolute fout en het aantal tijdstappen voor een aritmetische Europees-Aziatische calloptie voor de methode van Milevsky en Posner (1998) met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0 en T = 1

(27)

Figuur 4.10: De absolute fout en het aantal interpolatiestappen voor een aritmetische Europees-Aziatische calloptie voor de methode van Hull (2009) met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0 en T = 1 en het aantaltijdstappen gelijk aan 10

Bij de methode van Turnbull en Wakeman (1991) convergeert de absolute fout niet naar 0 wanneer het aantal tijdstappen naar oneindig gaat. In Figuur 4.7 is te zien dat de absolute fout bij Turnbull en Wakeman (1991) niet kleiner wordt dan ongeveer 0.65 voor de gekozen parameters. Bij de methode van Hull (2009) is de absolute fout dicht-bij 0 voor ongeveer 50 tijdstappen voor de gekozen parameters. Echter, wanneer het aantal tijdstappen groter wordt, groeit de absolute fout en deze convergeert vervolgens naar een vaste waarde. De absolute fout bij de methode van Milevsky en Posner (1998) convergeert naar een waarde dichtbij 0 wanneer het aantal tijdstappen toeneemt. Voor de gekozen parameters heeft de methode van Turnbull en Wakeman (1991) de grootste absolute fout ten opzichte van Monte Carlosimulatie. Uit Figuur 4.8 en 4.9 blijkt niet duidelijk of de methode van Hull (2009) bij 50 tijdstappen een kleinere absolute fout heeft dan de methode van Milevsky en Posner (1998) bij een oneindig aantal tijdstap-pen. Dit wordt nader onderzocht in de volgende subsectie. Ook wordt in de volgende subsectie de invloed van verschillende parameters op de absolute fout van de determi-nistische methoden bepaald.

Bij de methode van Hull (2009) kan niet alleen het aantal tijdstappen gevarieerd wor-den, maar de benadering is ook afhankelijk van het aantal interpolatiestappen. In Figuur 4.10 is weergegeven dat de absolute fout naar 0 convergeert wanneer het aantal interpo-latiestappen toeneemt. Dit klopt met de verwachting dat de benadering nauwkeuriger wordt wanneer tussen meer waarden ge¨ınterpoleerd wordt.

4.2.2 Numerieke resultaten

Om te controleren of de deterministische methoden op dezelfde wijze reageren op de invloed van verschillende parameters als Monte Carlosimulatie, zijn in Tabel 4.2 de resultaten van Monte Carlosimulatie en van de deterministische methoden voor ver-schillende parameters weergegeven voor een aritmetische Europees-Aziatische calloptie. In sectie 4.1 is aangetoond dat Monte Carlosimulatie voor 100000 simulaties en 1000 tijdstappen de meest nauwkeurige benadering oplevert. Daarom zijn de resultaten van Monte Carlosimulatie in Tabel 4.2 weergegeven voor 100000 simulaties en 1000 tijd-stappen. De bijbehorende standaardafwijking is tussen haakjes weergegeven. In sectie 4.2.1 is aangetoond dat hoe meer tijdstappen er bij Turnbull en Wakeman (1991) ge-daan worden, hoe nauwkeuriger de methode is. Na een groot aantal tijdstappen treedt

(28)

convergentie op naar een absolute fout groter dan 0. In Tabel 4.2 is de prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie met de methode van Turnbull en Wakeman (1991) bepaald voor 1000000 tijdstappen. Ook is in sectie 4.2.1 aangetoond dat de me-thode van Hull (2009) met K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0, T = 1 en l = 150 voor 50 tijdstappen de meest nauwkeurige benadering oplevert. Het aantal tijdstappen in Tabel 4.2 wordt gelijkgesteld aan 50. Het aantal interpolatiestappen in Tabel 4.2 wordt gelijkgesteld aan 150. Voor de methode van Milevsky en Posner (1998) wordt het aantal tijdstappen in Tabel 4.2 gelijkgesteld aan 350. Wanneer de risicovrije rente r gelijk is aan de dividendrate q kan de optieprijs voor de methode van Milevsky en Posner (1998) in het discrete geval niet bepaald worden. In Tabel 4.2 is voor deze situatie een kruisje weergegeven.

Tabel 4.2: De invloed van verschillende parameters op Monte Carlosimulatie (100000 simulaties en 1000 tijdstappen), de methode van Turnbull en Wakeman (1000000 tijdstappen), de methode van Hull (50 tijdstappen en 50 interpolatiestappen) en de methode van Milevsky en Posner (350 tijdstappen)

S(0) σ r T K q MC TW Hull MP 80 0.2 0.04 1 100 0 0.175846 - 0.004149 0.206453 0.168843 0.193621 90 0.2 0.04 1 100 0 1.473499 - 0.013117 1.686553 1.451503 1.483678 100 0.2 0.04 1 100 0 5.504278 - 0.025832 6.153500 5.518462 5.519016 110 0.2 0.04 1 100 0 12.717036 - 0.036985 13.698437 12.703574 12.694216 120 0.2 0.04 1 100 0 21.681866 - 0.043890 22.912216 21.725624 21.727016 100 0.2 0.04 1 100 0 5.521465 - 0.025849 6.153500 5.518462 5.519016 100 0.3 0.04 1 100 0 7.703180 - 0.039253 9.176149 7.727839 7.710187 100 0.4 0.04 1 100 0 9.985717 - 0.053789 12.610237 9.939745 9.883887 100 0.2 0 1 100 0 4.568874 - 0.023087 5.167144 4.600072 x 100 0.2 0.02 1 100 0 5.029028 - 0.024291 5.650523 5.048938 5.050646 100 0.2 0.04 1 100 0 5.476424 -0.025724 6.153500 5.518462 5.519016 100 0.2 0.04 ₁₂1 100 0 1.416344 - 0.006516 1.456517 1.410769 1.414253 100 0.2 0.04 ₁₂3 100 0 2.553279 - 0.011735 2.686314 2.542929 2.547992 100 0.2 0.04 1 100 0 5.505733 - 0.025741 6.153500 5.518462 5.519016

In Tabel 4.2 is te zien dat de deterministische methoden op dezelfde wijze reageren op de invloed van verschillende parameters als Monte Carlosimulatie. De prijs van een aritmetische Europees-Aziatische calloptie stijgt voor alle methoden wanneer de onder-liggende aandelenprijs stijgt. Ook stijgt bij alle methoden de prijs van de optie wanneer de volatiliteit groter wordt. Eveneens geldt voor alle methoden dat bij een hogere rente of langere looptijd de prijs van de optie stijgt.

De methode van Turnbull en Wakeman (1991) geeft voor alle parametersets een over-schatting ten opzichte van Monte Carlosimulatie, maar ook ten opzichte van de andere deterministische methoden. Dit bevestigt het resultaat van Figuur 4.7. Met de methode van Turnbull en Wakeman (1991) kan de prijs van een optie niet zo nauwkeurig bena-derd worden als met de methode van Hull (2009) en de methode van Milevsky en Posner (1998). Zelfs als het aantal tijdstappen naar oneindig gaat, blijft de onnauwkeurigheid bestaan bij de methode van Turnbull en Wakeman (1991). De resultaten van de me-thode van Hull (2009) en de meme-thode van Milevsky en Posner (1998) liggen in Tabel 4.2 dicht bij de waarden van Monte Carlosimulatie. Voor bepaalde parametersets levert dit een overschatting op en voor bepaalde parametersets een onderschatting. Dit hangt niet zozeer af van de gekozen parameterset, maar van het stochastische element van Monte Carlosimulatie. Daarom wordt de absolute fout ten opzichte van Monte Carlosimulatie in de volgende sectie voor de verschillende deterministische methoden vergeleken voor ´

(29)

Figuur 4.11: De absolute fout uitgezet tegen de rekentijd voor de verschillende deterministische me-thoden

Tabel 4.3: De kleinste absolute fout en de bijbehorende benodigde rekentijd voor de verschillende deterministische methoden. Het aantal interpolatiestappen bij de methode van Hull is gelijkgesteld aan 150.

kleinste absolute fout benodigde rekentijd

Turnbull en Wakeman 0.64 0.11

Milevsky en Posner 7.5 · 10−3 3.9 · 10−5

Hull (lineair) 6.6 · 10−4 2.41

Hull (kwadratisch) 1.4 · 10−5 2.00

4.3 Effici¨

entie

In deze sectie wordt de effici¨entie van de deterministische methoden onderzocht. Voor de verschillende methoden wordt de prijs van een aritmetische Europees-Aziatische call-optie bepaald voor de parameterset K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0 en T = 1. De parameterset is ook gebruikt in sectie 4.2.1. Vervolgens worden de absolute fout en de benodigde rekentijd geanalyseerd. Er wordt hierbij alleen gevarieerd in het aantal tijdstappen. Bij de methode van Hull (2009) wordt het aantal interplolatiewaar-den voor elke analyse gelijksteld aan 150.

In Figuur 4.11 is de absolute fout van de deterministische methoden uitgezet tegen de rekentijd. De rekentijd is bepaald met de functie tic toc in MATLAB. Na het draaien van een aantal testruns blijkt evenals bij Monte Carlosimulatie dat de functie tic toc niet consequent is. Daarom wordt bij het bepalen van de rekentijd voor de deterministische methoden net zoals bij Monte Carlosimulatie het gemiddelde genomen over het laatste deel van de benodigde rekentijden. Outliers worden op dezelfde wijze als bij Monte Car-losimulatie uit de run gefilterd. In Tabel 4.3 is de kleinste absolute fout die bereikt kan worden voor de gekozen parameterset en de bijbehorende benodigde rekentijd voor de verschillende deterministische methoden weergegeven.

Uit Figuur 4.11 en Tabel 4.3 blijkt dat de kleinste absolute fout bij de methode van Turnbull en Wakeman (1991) groter is dan de kleinste absolute fout bij de methode

(30)

Figuur 4.12: De logaritme van de absolute fout uitgezet tegen de logaritme van de rekentijd voor de deterministische methoden

van Hull (2009) en de methode van Milevsky en Posner (1998). De kleinste absolute fout bij de methode van Hull (2009), die wordt bereikt voor 50 tijdstappen, is kleiner dan de kleinste absolute fout bij de methode van Milevsky en Posner (1998). De be-nodigde rekentijd om tot de kleinste absolute fout te komen is echter het grootst voor de methode van Hull (2009). Om de verschillende deterministische methoden goed met elkaar te kunnen vergelijken, worden in Figuur 4.12 de resultaten van de verschillende methoden in ´e´en figuur weergegeven. Om relatieve veranderingen te kunnen weergeven, is hierbij voor een logaritmische schaalverdeling gekozen.

In Figuur 4.12 is de logaritme van de absolute fout van de prijs van een aritmeti-sche Europees-Aziatiaritmeti-sche calloptie uitgezet tegen de logaritme van de rekentijd voor de verschillende deterministische methoden. Uit Figuur 4.12 blijkt dat de methode van Turnbull en Wakeman (1991) het minst effici¨ent is. De absolute fout bij de methode van Turnbull en Wakeman (1991) is altijd groter dan de absolute fout bij de methode van Hull (2009) en de methode van Milevsky en Posner (1998). Ook is de benodigde reken-tijd bij de methode van Turnbull en Wakeman (1991) groter dan de benodigde rekenreken-tijd bij de methode van Milevsky en Posner (1998). De benodigde rekentijd bij de methode van Milevsky en Posner (1998) is altijd kleiner dan de rekentijd bij de methode van Turnbull en Wakeman (1991) en de methode van Hull (2009). Zelfs wanneer het aantal tijdstappen bij de methode van Turnbull en Wakeman (1991) en de methode van Hull (2009) gelijkgesteld wordt aan 1 is de rekentijd bij een willekeurig aantal tijdstappen bij de methode van Milevsky en Posner (1998) kleiner.

De methode van Milevsky en Posner (1998) is effici¨ent wanneer er een fout is toege-staan. Echter, wanneer een zeer kleine fout bereikt moet worden, voldoet de methode van Milevsky en Posner (1998) niet meer. Met de methode van Hull (2009) kan een zeer kleine absolute fout bereikt worden (6.6 · 10−4), maar daar is meer rekentijd voor nodig (2.41 seconden).

De rekentijd bij de methode van Hull (2009) is voor 50 tijdstappen en 150 interpo-latiestappen 2.41 seconden (zie Figuur 4.11; Tabel 4.3). De rekentijd voor Monte Car-losimulatie is voor 100000 simulaties en 1000 tijdstappen 2.70 seconden (zie Tabel 4.1).

(31)

Figuur 4.13: De logaritme van de absolute fout uitgezet tegen de logaritme van de rekentijd voor de methode van Hull (2009) bij 150 interpolatiestappen

Figuur 4.14: De logaritme van de absolute fout uitgezet tegen de logaritme van de rekentijd voor de methode van Hull (2009) bij 20 interpolatiestappen

De methode van Hull (2009) heeft dus minder rekentijd nodig dan Monte Carlosimulatie voor een zeer kleine fout (6.6 · 10−4). Wanneer kwadratische interpolatie in plaats van lineaire interpolatie wordt toegepast, blijkt de methode van Hull (2009) nog nauwkeu-riger te zijn (1.4 · 10−5), terwijl de benodigde rekentijd minder groot is (2.00 seconden). In Figuur 4.13 en Figuur 4.14 is de logaritme van de absolute fout en de logaritme van de rekentijd uitgezet voor de methode van Hull (2009) voor zowel lineaire interpo-latie als kwadratische interpointerpo-latie. Het aantal interpointerpo-latiestappen voor zowel lineaire interpolatie als voor kwadratische interpolatie is in Figuur 4.13 gelijkgesteld aan 150 en in Figuur 4.14 is het aantal interpolatiestappen in beide gevallen gelijkgesteld aan 20. De benadering is voor 150 (lineaire) interpolatiestappen nauwkeuriger (6.6 · 10−4) dan de benadering voor 20 (lineaire) interpolatiestappen (7.9 · 10−3). Dit resultaat klopt met Figuur 4.10, waar is aangetoond dat de absolute fout naar 0 convergeert wanneer het aantal interpolatiestappen toeneemt. Uit Figuur 4.13 en Figuur 4.14 blijkt dat er voor 150 interpolatiestappen meer rekentijd nodig is dan voor 20 interpolatiestappen. Met kwadratische interpolatie bij 20 interpolatietappen kan er nog steeds een absolute fout bereikt worden die kleiner (5.9 · 10−4) is dan de absolute fout bij de methode van Milevsky en Posner (1998) (7.5 · 10−3) en ongeveer gelijk is aan de kleinste absolute fout die wordt bereikt bij de methode van Hull (2009) bij lineaire interpolatie voor 150 interpolatiestappen (6.6 · 10−4). De rekentijd is in dit geval nog steeds groter (0.06

(32)

se-conden) dan de rekentijd bij de methode van Milevsky en Posner (1998) (3.9 · 10−5), maar de rekentijd is kleiner dan de rekentijd die wordt bereikt bij de kleinste absolute fout bij de methode van Hull (2009) bij lineaire interpolatie met 150 interpolatiestappen (2.4 seconden). Bij de methode van Hull (2009) met kwadratische interpolatie zijn dus minder interpolatiestappen nodig - en daarmee is minder rekentijd nodig - om dezelfde absolute fout te bereiken als bij de methode van Hull (2009) bij lineaire interpolatie bij meer interpolatiestappen.

4.4 Samenvatting

In dit hoofdstuk is allereerst de implementatie van Monte Carlosimulatie besproken. De rekentijd en de standaardafwijking zijn bepaald bij een bepaald aantal tijdstappen en simulaties. Hierbij is een oplossing gevonden voor de inconsistentie van de fucntie tic toc in MATLAB. Wanneer het aantal simulaties en het aantal tijdstappen toeneemt, neemt de rekentijd toe, maar de standaardafwijking neemt af. Voor zowel Monte Carlosimu-latie als voor de deterministische methoden is vervolgens de invloed van verschillende parameters geanalyseerd. Daarna is voor de deterministische methoden het aantal tijd-stappen uitgezet tegen de absolute fout. Ten slotte is de effi¨entie van de deterministische methoden bepaald.

(33)

Hoofdstuk 5

Conclusie

De effiëntie is gedefinieerd als de rekentijd die nodig is om tot een voldoende nauwkeu-rige benadering te komen. Bij een groot aantal simulaties en tijdstappen kan de prijs van een aritmetische Aziatische optie met Monte Carlosimalatie nauwkeurig benaderd worden, maar hier is veel rekentijd voor nodig. Monte Carlosimulatie is dus niet efficiënt. De deterministische waarderingsmethoden voor aritmetische Aziatische opties die zijn besproken, zijn de methoden van Turnbull en Wakeman (1991), Hull (2009) en Milevsky en Posner (1998). Door de absolute fout en benodigde rekentijd voor de verschillende deterministische methoden te bepalen, kan vastgesteld worden welke methode het meest efficiënt is om een aritmetische Aziatische optie te prijzen. De absolute fout wordt be-paald ten opzichte van de waardering die bij Monte Carlosimulatie bij veel simulaties en tijdstappen tot stand komt.

De methode van Turnbull en Wakeman (1991) is het minst efficiënt. Wanneer een fout is toegestaan is de methode van Milevsky en Posner (1998) het meest efficiënt. Echter, wanneer een kleine fout bereikt moet worden, voldoet de methode van Milevsky en Posner (1998) niet meer. Met de methode van Hull (2009) kan een zeer kleine fout bereikt worden, maar hiervoor is meer rekentijd nodig dan bij de methode van Milevsky en Posner (1998). Wanneer een zeer kleine fout bereikt moet worden is de methode van Hull (2009) dus het meest efficiënt. De methode van Hull (2009) bij kwadratische interpolatie is efficiënter dan de methode van Hull (2009) bij lineaire interpolatie. Turnbull en Wakeman (1991) vergelijken hun algoritme met Monte Carlosimulatie en concluderen dat hun algoritme een goede benadering is en minder rekentijd nodig heeft dan Monte Carlosimulatie. Het is in overeenstemming met de resulaten dat de methode van Turnbull en Wakeman (1991) minder rekentijd nodig heeft dan Monte Carlosimu-latie. Er kan gediscussieerd worden of het algoritme van Turnbull en Wakeman (1991) een goede benadering is omdat de absolute fout niet richting 0 convergeert wanneer het aantal tijdstappen oneindig groot wordt. Hull en White (1993) concluderen dat hun algoritme een nauwkeurige benadering oplevert in vergelijking met de benadering van Turnbull en Wakeman (1991). Dit is in overeenstemming met de resultaten. Milevsky en Posner (1998) concluderen dat hun algoritme een goede benadering is voor Monte Car-losimulatie. Dit is in overeenstemming met de resulaten, maar hierbij moet opgemerkt worden dat wanneer er een zeer kleine absolute fout bereikt moet worden, de methode van Milevsky en Posner (1998) niet meer voldoet.

Om de interne validiteit van het onderzoek te bevorderen is er zo consequent mo-gelijk geprogrammeerd voor alle methoden zodat de benodigde rekentijd niet be¨ınvloed wordt door nalatig programmeren. Ook is het probleem van de tic toc functie in MAT-LAB opgelost. Het onderzoek is extern valide omdat het resultaat van het onderzoek niet alleen geldt voor de parameterset K = 100, S(0) = 100, r = 0.04, σ = 0.2, q = 0 en T = 1, maar ook voor andere parametersets. Daarnaast is het onderzoek uitgevoerd voor een aritmetische Europees-Aziatische calloptie, maar de resultaten zijn

(34)

seerbaar voor andere aritmetische Aziatische opties.

Een beperking van het onderzoek is dat het stochastische element van Monte Carlosi-mulatie een vertekend beeld kan opleveren. De Monte Carloprijs en daarmee de absolute fout van de deterministische methoden ten opzichte van Monte Carlosimulatie is afhan-kelijk van de stochastiek. In sectie 4.2.2 is besproken dat het soms een overschatting en soms een onderschatting van de absolute fout van de verschillende deterministische methoden oplevert, afhankelijk van de waarde die bij Monte Carlosimulatie tot stand komt. Dit is een probleem wanneer een kleine absolute fout bereikt wordt, want dan levert Monte Carlosimulatie niet altijd een voldoende nauwkeurige benadering op.

In de studie van Boyle, Broadie en Glasserman (1997) wordt de antithetic method beschreven, een methode om de variantie bij Monte Carlosimulatie te reduceren. Een aanbeveling voor een vervolgonderzoek is om het onderzoek nogmaals uit te voeren, maar Monte Carlosimulatie te impementeren volgens de methode van Boyle, Broadie en Glasserman (1997). Wanneer de variantie bij Monte Carlosimulatie gereduceerd wordt, neemt de fout af. De foutmaat bij Monte Carlosimulatie is immers gelijk aan de stan-daardafwijking. Wanneer de fout van Monte Carlosimulatie gereduceerd kan worden, is een nauwkeurigere bepaling van de absolute fout van de deterministische methoden ten opzichte van Monte Carlosimulatie mogelijk. Dit betekent dat dan nog beter bepaald kan worden welke methode het meest effici¨ent is.

(35)

Appendix A: Monte

Carlosimulatie

In Appendix A is de afleiding van Ito’s lemma opgenomen. De vergelijking die wordt ge-vonden, kan worden omgeschreven om vervolgens een reeks van random paden te cre¨eren die een geometrische Brownse beweging volgen. De formule die tot stand komt kan ten slotte worden gebruikt om de prijs van een aritmetische Aziatische optie te bepalen.

Ito’s lemma

Laat G een functie van (S, t) zijn. Volgens Ito’s lemma volgt G het Wienerpro-ces (Karatzas & Schreve, 1991):

dG = δG δSµS + δG δt + 1 2σ 2_S2δ2G δS2 dt +δG δSσSε √ dt Als Ito’s lemma met G = ln S wordt toegepast op deze functie, geldt:

δG δS = 1 S δ2G δS2 = −1 S2 δG δt = 0 Bovenstaande vergelijking is dan gelijk aan:

dG = µ −σ 2 2 + σε √ dt 29

(36)

Turnbull en Wakeman

In het artikel van Turnbull en Wakeman (1991) wordt een methode besproken om met behulp van een lognormale benadering van het aritmetische gemiddelde een Aziatische optie te prijzen. Het is noodzakelijk om een aantal uitdrukkingen uit het artikel af te leiden en uit te werken voordat de methode ge¨ımplementeerd kan worden in MATLAB. Deze uitwerkingen en afleidingen zijn opgenomen in Appendix B.

Allereerst wordt een afleiding gegeven voor het aritmetische gemiddelde: A = S(0)R0L1

n .

Deze uitdrukking is nodig bij het bepalen van een uitdrukking voor k. De waarde van k is van belang bij de laatste stap van de methode, namelijk bij de uiteindelijke waardering van de Aziatische optie. Vervolgens worden de momenten van de echte verdeling F en de momenten van de benaderde verdeling G afgeleid. Met behulp van deze momenten worden de cumulanten van beide verdelingen afgeleid. Ten slotte volgt een afleiding van de eerste en tweede afgeleide van de dichtheidsfunctie g(x). Deze afgeleiden zijn, net zoals de cumulanten, nodig voor het bepalen van de Edgeworth series expansion. Met behulp van deze benadering kan de optie gewaardeerd worden.

Afleiding voor het aritmetisch gemiddelde: A = S(0)R0L1

n .

Het aritmetisch gemiddelde is gedefinieerd als:

A = 1 n n X i=1 Sti.

Met gebruikmaking van Ri = S_ti

S_ti−1 zoals Turnbull en Wakeman (1991) dat gedefinieerd

hebben, geldt dat Sti = Sti−1Ri= St1R2...Ri voor i = 2, 3, ..., n.

Met behulp van de definities Ln+1= 1 en Li = 1 + RiLi+1 voor i = 2, 3, ..., n, wordt het

aritmetisch gemiddelde vervolgens geschreven als:

A = 1 n n X i=1 Sti = 1 n(St1 + St1R2+ St1R2R3+ ... + St1R2...Rn) = St1 n (1 + R2+ R2R3+ ... + R2...Rn) = St1 n (1 + R2(1 + R3(1 + ...(1 + Rn)))) = St1 n L2 = S0 nR1L2. 30