UNIVERSITEIT GENT
FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN EN
ARCHITECTUUR
VAKGROEP MATERIALEN,TEXTIEL EN CHEMISCHE PROCESKUNDE (EA11)
Mechanica van
Materialen
Theoriecursus
Academiejaar 2017-2018
Verantwoordelijk lesgever en auteur: Prof. dr. ir. Wim VAN PAEPEGEM Medelesgever: Prof. dr. ir. Wim DE WAELE
Universiteit Gent
Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur
Vakgroep Materialen, Textiel en Chemische Proceskunde (EA11) Technologiepark-Zwijnaarde 903
9052 Zwijnaarde Tel. : 09/331.04.32 Fax : 09/264.58.33
Voorwoord
In navolging van de Europese Sorbonne-Bologna verklaring is de ingenieursopleiding grondig hervormd. De kandidaturen en de proeven zijn vervangen door de Bachelor en de Master.
De cursus Mechanica van Materialen is een exponent van deze hervorming. De bedoeling van dit opleidingsonderdeel is de ingenieursstudenten een basiskennis bij te brengen over het mechanisch gedrag van materialen. Het mechanisch gedrag kan heel algemeen gedefinieerd worden als de respons van een materiaal op het aanbrengen van een belasting. De aard van deze belasting kan zeer uiteenlopend zijn: statische belastingen, stootbelastingen, cyclische belastingen, thermische belastingen,... Het is duidelijk dat de respons van het materiaal ook afhangt van het materiaal zelf. Staal, beton, kunststoffen, keramieken,... hebben elk hun sterke en zwakke punten en kunnen dan ook niet voor om het even welke toepassing worden ingezet.
Uiteraard zal deze cursus nog talrijke vervolgcursussen krijgen voor de studenten bouwkunde en werktuigkunde, maar ook voor de andere toekomstige ingenieurs is het belangrijk dat zij een overzicht hebben van de beginselen van de mechanica van materialen. Ook in hun domein is de mechanica soms niet veraf. Zo zijn thermische spanningen in chips (Multilayer Circuit Boards) een mechanisch probleem, net als de maximale lengte van de elektriciteitskabels tussen twee pylonen.
De cursus bevat vijf grote hoofdstukken:
hoofdstuk 1 introduceert de basisbegrippen van de mechanica: krachten, momenten, spanningen en rekken. Dit hoofdstuk is een van de meest theoretische en bevat de meeste formules. Toch is dit hoofdstuk van zeer groot belang voor alles wat volgt,
hoofdstuk 2 legt de fundamenten uit van de balkentheorie. Deze theorie wordt nog steeds heel vaak gebruikt voor de berekening en het ontwerp van balken en kolommen uit staal en beton,
hoofdstuk 3 onderzoekt hoe een belastingsprobleem van een constructie kan worden opgelost, hetzij langs experimentele, hetzij langs numerieke weg. De numerieke methode die bijzondere aandacht verdient, is de eindige-elementenmethode. Aan de hand van een aantal voorbeelden wordt duidelijk gemaakt welke de mogelijkheden (en beperkingen) zijn van deze numerieke techniek,
hoofdstuk 4 bespreekt een aantal elastische problemen, waarbij de driedimensionale theorie kan vereenvoudigd worden tot haar tweedimensionale variant, maar die zeer veel toepassing vinden in de industriële praktijk,
hoofdstuk 5 bespreekt de gangbare beproevingsmethodes voor materialen en hun belangrijkste mechanische eigenschappen. Daarnaast wordt een overzicht gegeven van de belangrijkste klassen materiaalmodellen die het mechanisch gedrag van materialen beschrijven onder uiteenlopende belastingscondities.
Achteraan elk hoofdstuk zijn een aantal referenties opgenomen die gebruikt zijn bij de samenstelling van deze cursus. Hoewel de cursus vrij lijvig lijkt, zijn er haast evenveel figuren als pagina’s en zijn sommige paragrafen enkel bedoeld als naslagwerk. Inspiratie voor de opbouw werd gevonden in de cursus Elasticiteit en Sterkteleer van Prof. Verhegghe en een aantal standaardwerken uit de internationale literatuur.
Wim Van Paepegem
Hoofdstuk 1
KRACHTEN, MOMENTEN, SPANNINGEN EN REKKEN ... 1
1.1. STATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIES ... 1
1.1.1. Uitwendige belastingen ... 1
1.1.1.a. Krachten ... 1
1.1.1.b. Momenten ... 3
1.1.2. Types ondersteuningen ... 9
1.1.3. Evenwicht van een constructie ... 10
1.1.4. Inwendige krachtswerking ... 11
1.1.5. Scharnierende verbindingen ... 16
1.1.6. Besluit ... 18
1.2. INTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKEN ... 19
1.3. SPANNINGEN ... 24
1.3.1. Definitie ... 24
1.3.2. Verband tussen spanningsvector (n) en spanningsmatrix [] ... 30
1.3.3. Vergelijkingen van het evenwicht ... 32
1.3.4. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen ... 35
1.3.5. Kromlijnige coördinaten ... 38
1.3.5.a. Cilindercoördinaten ... 38
1.3.5.b. Bolcoördinaten ... 39
1.4. REKKEN... 41
1.4.1. Eendimensionale lengteverandering ... 41
1.4.2. Veralgemeende vervormingstoestand ... 42
1.4.3. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen ... 43
1.4.4. Compatibiliteitsvoorwaarden ... 45
1.4.5. Kromlijnige coördinaten ... 46
1.4.5.a. Cilindercoördinaten ... 46
1.4.5.b. Bolcoördinaten ... 47
1.4.6. Eindige vervormingen en rekken ... 47
1.5. LINEAIR ELASTISCH MATERIAALGEDRAG ... 49
1.5.1. Wet van Hooke ... 50
1.5.2. Bijzondere belastingsgevallen ... 54
1.5.2.a. Zuivere trek ... 54
1.5.2.b. Zuivere afschuiving ... 55
1.5.2.c. Hydrostatische belasting ... 56
1.5.2.d. Torsie of wringing ... 56
1.5.3. Relaties tussen de elastische constanten ... 57
1.5.3.a. Verband tussen E, en G ... 57
1.5.3.b. Volumeverandering en compressiemodulus ... 59
1.5.4. Kromlijnige coördinaten ... 61
1.6. OPLOSSING VAN HET LINEAIR ELASTISCH PROBLEEM ... 63
1.6.1. Randvoorwaarden ... 64
1.6.2. Superpositieprincipe ... 65
1.6.3. Statisch onbepaalde systemen ... 66
1.7. THERMISCHE SPANNINGEN ... 69
1.7.1. Vergelijkingen ... 69
1.7.2. Statisch onbepaalde problemen ... 71
1.8. ARBEID EN ELASTISCHE ENERGIE ... 73
1.8.1. Arbeid van een kracht ... 73
1.8.2. Arbeid van een moment ... 75
1.8.3. Wet van behoud van mechanische energie... 76
1.9. VERALGEMEENDE WET VAN HOOKE VOOR ANISOTROPE MATERIALEN ... 79
1.9.1. Orthotrope materialen ... 80
1.9.2. Transversaal isotrope materialen ... 83
1.10. REFERENTIES ... 85
Hoofdstuk 2
STRUCTUREEL GEDRAG ... 86
2.1. INLEIDING ... 86
2.2. GEOMETRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN DE DWARSDOORSNEDE ... 88
2.2.1. Opstellen vergelijkingen ... 88
2.2.2. Praktische berekening ... 90
2.3. NORMAALKRACHT, BUIGEND MOMENT EN DWARSKRACHT ... 95
2.3.1. Globaal evenwicht ... 95
2.3.2. Evenwicht van een deel van de balk – Snedekrachten ... 96
2.3.3. Verband tussen q, V en M ... 96
2.3.4. Enkele referentiegevallen ... 97
2.3.4.a. Ingeklemde balk met puntlast ... 97
2.3.4.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting ... 100
2.3.4.c. Balk op twee steunpunten met puntlast ... 102
2.3.4.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting ... 106
2.4. VERBAND TUSSEN SNEDEKRACHTEN EN SPANNINGEN ... 110
2.4.1. Spanningen t.g.v. normaalkracht N ... 110
2.4.2. Spanningen t.g.v. buigend moment M ... 110
2.4.3. Spanningen t.g.v. dwarskracht V ... 114
2.5. VERPLAATSINGEN ... 119
2.5.1. Verplaatsingen t.g.v. de normaalkracht N ... 119
2.5.2. Verplaatsingen t.g.v. het buigend moment M ... 119
2.5.2.a. Ingeklemde balk met puntlast ... 121
2.5.2.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting ... 122
2.5.2.c. Balk op twee steunpunten met puntlast ... 122
2.5.2.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting ... 124
2.5.3. Verplaatsingen t.g.v. de dwarskracht V ... 124
2.6. SINGULARITEITSFUNCTIES ... 126
2.7. INVLOED VAN DE KEUZE VAN HET ASSENSTELSEL ... 130
2.8. REFERENTIES ... 132
Hoofdstuk 3
OPLOSSINGSMETHODES ... 133
3.1. INLEIDING ... 133
3.2. ANALYTISCHE OPLOSSINGEN ... 135
3.3. EXPERIMENTELE METHODES... 136
3.4. NUMERIEKE METHODES –EINDIGE ELEMENTEN ... 139
3.4.1. Structuur van het eindige elementenprogramma ... 141
3.4.1.a. Pre-processing ... 141
3.4.1.b. Analyse ... 144
3.4.1.c. Post-processing ... 145
3.4.2. Praktijkvoorbeelden ... 146
3.4.2.a. Plastische vervorming van een koppeling voor perslucht ... 146
3.4.2.b. Inlaat van een composiet drukvat ... 151
3.4.2.c. Maximale kromming van een connectorblok met optische vezels ... 155
3.4.2.d. Thermische spanningen in een dikwandige composietbuis ... 156
3.5. REFERENTIES ... 160
Hoofdstuk 4
TWEEDIMENSIONALE ELASTISCHE PROBLEMEN ... 161
4.1. VLAKSPANNING EN VLAKVERVORMING ... 161
4.1.1. Vlakspanning ... 161
4.1.1.a. Algemeen ... 161
4.1.1.b. Cirkel van Mohr ... 164
4.1.1.c. Vlakspanning met thermische effecten ... 166
4.1.2. Vlakvervorming ... 167
4.1.2.a. Algemeen ... 167
4.1.2.b. Cirkel van Mohr ... 169
4.1.2.c. Vlakvervorming met thermische effecten ... 171
4.1.3. Hoofdrichtingen vlakspanning en vlakvervorming ... 172
4.2. AXIAALSYMMETRISCHE BELASTINGSGEVALLEN ... 173
4.2.1. Basisformules voor axiaalsymmetrie ... 173
4.2.2. Opstellen algemene vergelijkingen voor radiale belastingen ... 176
4.2.3. Trek- of drukspanningen op de binnen- en buitenrand ... 177
4.2.3.a. Schijf in vlakspanning ... 177
4.2.3.b. Schijf in vlakvervorming ... 179
4.2.3.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming ... 181
4.2.3.d. Lange buis met vrije uiteinden ... 185
4.2.4. Radiaal temperatuurveld ... 186
4.2.4.a. Schijf in vlakspanning ... 186
4.2.4.b. Schijf in vlakvervorming ... 191
4.2.4.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming ... 193
4.2.4.d. Lange buis met vrije uiteinden ... 194
4.3. SPANNINGSCONCENTRATIES IN VLAKKE PLATEN ... 197
4.4. REFERENTIES ... 201
Hoofdstuk 5
MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN MATERIAALMODELLEN ... 202
5.1. MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN BEPROEVINGSMETHODES ... 203
5.1.1. Trek- en drukproeven ... 204
5.1.1.a. Ductiele materialen ... 206
5.1.1.b. Brosse materialen ... 211
5.1.1.c. Overgangen van bros naar ductiel gedrag en vice versa ... 213
5.1.1.d. Mechanische eigenschappen van enkele ingenieursmaterialen ... 214
5.1.2. Buigproeven ... 215
5.1.3. Afschuifproeven ... 215
5.1.4. Hardheidsproeven ... 216
5.1.4.a. Hardheidsmeting volgens Brinell ... 217
5.1.4.b. Hardheidsmeting volgens Vickers ... 218
5.1.4.c. Hardheidsmeting volgens Rockwell ... 218
5.1.5. Kruipproeven ... 219
5.1.6. Vermoeiingsproeven ... 221
5.1.6.a. Proeven op foutvrije, glad gepolijste proefstaven ... 223
5.1.6.b. Proeven op proefstaven met boringen, doorsnedeveranderingen, ... ... 226
5.1.6.c. Proeven op afzonderlijke of gecombineerde constructie-onderdelen ... 227
5.1.7. Impactproeven ... 229
5.1.7.a. Valproeven ... 231
5.1.7.b. Pneumatische en mechanische impacttesten ... 232
5.1.7.c. Hopkinson-proeven ... 233
5.1.7.d. Impactproeven op volledige constructies ... 235
5.1.8. Kerfslagproeven ... 236
5.2. CRITERIA VOOR COMPLEXE SPANNINGSTOESTANDEN ... 238
5.2.1. Vloeicriteria voor ductiele materialen ... 238
5.2.1.a. Criterium van Tresca ... 241
5.2.1.b. Criterium van von Mises ... 241
5.2.2. Breukcriteria voor brosse materialen ... 242
5.2.2.a. Isotrope brosse materialen ... 242
5.2.2.b. Anisotrope brosse materialen ... 244
5.3. INSTRUMENTATIE VAN DE PROEVEN ... 245
5.3.1. Rekstrookjes ... 245
5.3.1.a. Technologie van het rekstrookje ... 245
5.3.1.b. Meervoudige rekstrookjes ... 247
5.3.2. Moiré-technieken ... 251
5.3.3. Digitale beeldcorrelatie ... 256
5.3.4. Optische vezelsensoren ... 260
5.4. SCHADEMECHANISMEN ... 263
5.4.1. Schadetypes ... 264
5.4.1.a. Metalen ... 264
5.4.1.b. Gewapend beton ... 265
5.4.1.c. Kunststoffen ... 266
5.4.1.d. Composietmaterialen ... 266
5.4.2. Schadedetectie en -diagnose ... 270
5.4.2.b. Ultrasoon onderzoek ... 271
5.4.2.c. Radiografie ... 278
5.4.2.d. Thermografie ... 279
5.5. MATERIAALMODELLEN ... 281
5.5.1. Tijdsonafhankelijk materiaalgedrag ... 283
5.5.1.a. Elastisch materiaalgedrag ... 283
5.5.1.b. Plastisch materiaalgedrag ... 283
5.5.2. Tijdsafhankelijk materiaalgedrag ... 285
5.5.3. Scheurgroei ... 291
5.5.3.a. Elastische breukmechanica ... 292
5.5.3.b. Elastisch-plastische breukmechanica ... 297
5.5.4. Degradatie ... 298
5.6. BESLUIT ... 303
5.7. REFERENTIES ... 305
Krachten, momenten, spanningen en rekken
1.1. S
TATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIESIn het ontwerp van een constructie of machine is het allereerst noodzakelijk met behulp van de grondbeginselen van de statica vast te stellen, welke krachten op de verschillende onderdelen werken. Vandaar wordt in deze paragraaf eerst ingegaan op de begrippen kracht, moment en evenwicht.
Alle grootheden zullen voorgesteld worden in een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z). Voor de meeste constructies (balken, platen, schalen, raamwerken,...) wordt daarbij aangenomen dat de z-richting de hoogte weergeeft, terwijl de x-as de lengte weergeeft. De ligging van de y-as volgt dan onmiddellijk uit de voorwaarde van een rechtshandig assenstelsel.
1.1.1. Uitwendige belastingen
De uitwendige belastingen op een constructie kunnen verdeeld worden in twee grote klassen:
(i) de krachten, en (ii) de momenten.
1.1.1.a. Krachten
Opnieuw kan men onderscheid maken tussen twee types krachten: (i) de oppervlaktekrachten, en (ii) de volumekrachten.
Oppervlaktekrachten
Zoals de naam al aangeeft, worden oppervlaktekrachten veroorzaakt door het directe contact van een object met het oppervlak van een ander object. In alle gevallen worden deze krachten verdeeld over de contactoppervlakte tussen de objecten (zie Figuur 1.1(a)). Met name als deze oppervlakte klein is t.o.v. de totale oppervlakte van het object, kan de oppervlaktekracht geïdealiseerd worden als één geconcentreerde kracht [Newton], die op een punt van het lichaam wordt uitgeoefend (zie Figuur 1.1(a)).
Als de oppervlaktebelasting op een smal langwerpig oppervlak wordt uitgeoefend, kan de belasting worden geïdealiseerd als een lijnbelasting, q(s). Hier wordt de belasting gemeten per lengte-eenheid langs het oppervlak [Newton/meter] en grafisch weergegeven als een reeks pijlen over de lijn s (zie Figuur 1.1(a)). De belasting over de lengte van een balk is een typisch voorbeeld van een structuur waar deze idealisering vaak wordt toegepast (zie Figuur 1.1(b)).
De resulterende kracht FR van q(s) is gelijk aan de oppervlakte onder de kromme van de verdeelde belasting en deze resultante grijpt aan in het zwaartepunt C van deze oppervlakte.
Figuur 1.1 Puntbelasting, lijnbelasting en verdeelde belasting [1].
Volumekrachten
Een volumekracht treedt op wanneer een object een kracht uitoefent op een ander object zonder dat er van direct fysiek contact tussen de objecten sprake is. Het meest directe voorbeeld is de zwaartekracht die aangrijpt op elk object hier op aarde. Hoewel volumekrachten alle deeltjes van het object beïnvloeden, worden deze krachten gewoonlijk voorgesteld door één enkele geconcentreerde kracht die op het object werkt. In het geval van de zwaartekracht wordt deze kracht het gewicht van het lichaam genoemd en grijpt ze aan in het zwaartepunt van het lichaam. De grootte ervan is dan:
g m
F (1.1)
waarbij m de massa is van het lichaam en g de valversnelling (g = 9,81 m/s2).
Als men nu een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, kunnen alle types krachten ontbonden worden in hun componenten volgens de coördinaatassen ex, ey en ez, zoals weergegeven in Figuur 1.2.
O
x
y z
F > 0y F > 0z
F > 0x
Figuur 1.2 Tekenconventies voor krachten in een rechtshandig assenstelsel (x,y,z).
1.1.1.b. Momenten
Krachten kunnen niet alleen een translatie-effect uitoefenen op een object, maar ook een rotatie-effect. Dit laatste wordt veroorzaakt door het moment dat door de kracht op het object wordt uitgeoefend. Het moment wordt berekend als kracht vermenigvuldigd met lastarm en heeft dus de dimensie [Newton meter].
Figuur 1.3 geeft een voorbeeld. De drie schetsen (a), (b) en (c) tonen het bovenaanzicht van een deur, die via een hengsel verbonden is met de muur. Als de werklijn van de kracht doorheen het scharnier gaat, treedt er geen rotatie op (zie Figuur 1.3(a)). Treedt de kracht F op op een zekere afstand van het scharnier, dan treedt een rotatie op van de deur (zie Figuur 1.3(b)). Het is evident dat deze rotatie zal vergroten als (i) de kracht F groter is, en/of (ii) de afstand van F tot het scharnier groter is. In geval (c) treedt geen rotatie op, omdat de werklijn van de kracht opnieuw door het scharnier gaat.
Figuur 1.3 Moment uitgeoefend door een kracht [2].
Een koppel is een bijzonder geval van een moment, uitgeoefend door twee even grote, evenwijdige en tegengestelde krachten (zie Figuur 1.4).
Figuur 1.4 Voorbeeld van een krachtenkoppel [2].
Als men opnieuw een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, kunnen alle momenten ontbonden worden in hun componenten volgens de coördinaatassen ex, ey en
ez
, zoals weergegeven in Figuur 1.5. De vectoren van de positieve momenten Mx, My en Mz
zijn gericht volgens de positieve zin van de respectieve assen ex, ey en ez. Om het onderscheid te maken met de componenten van de krachtvector, worden de componenten van de momentvector getekend met een dubbele pijlpunt. De rotatiezin van het moment wordt bepaald met de rechterhandregel : de duim wijst de richting van de (dubbele) pijlpunt aan en de vingers van de rechterhand geven de draairichting aan.
O
x
y z
M > 0
y
M x> 0M > 0
zM > 0
x
M y> 0
M z> 0Figuur 1.5 Tekenconventies voor momenten in een rechtshandig assenstelsel (x,y,z).
De meest algemene wiskundige uitdrukking voor de momentvector M (MO x, My, Mz) is:
F r
MO (1.2)
In het ingevoerde assenstelsel (x, y, z) kan deze vector als volgt berekend worden:
z z y y
x x
x z y y y x
x z z x x y z z y
z y x
z y x
z x y
e M e M e M
e F r F r e F r F r e F r F r
F F F
r r r
e e e
O M
(1.3)
Men bekomt dus een momentvector M met componenten (MO x, My, Mz).
In vele praktijkgevallen zijn sommige componenten van r en/of F gelijk aan nul. Dan is het vaak eenvoudiger om de momenten Mx, My en Mz om de respectievelijke coördinaatassen
ex
, ey en ez afzonderlijk uit te schrijven, gebruik makend van de fysische betekenis van de momentbijdrage van de krachtcomponenten Fx, Fy en Fz om de respectievelijke coördinaatassen ex, ey en ez. Dit wordt duidelijk geïllustreerd door Figuur 1.6.
x
y z
60 F = 100 N
5 m
2 m
r
Figuur 1.6 Momenten uitgeoefend op een stuk pijpleiding door de krachtvector F met grootte 100 N en in een vlak evenwijdig met het x-z vlak.
Een kracht met grootte 100 N en in een vlak evenwijdig met het x-z vlak grijpt aan op een stuk pijpleiding. Als men de momentvector M wil berekenen, kan men uitgaan van de O algemene definitie en schrijven:
z z y y
x x
z x y
z x y
e M e M e M
e Nm 100 e
Nm 2 100
3 e 5
Nm 100 3
60 sin N 100 0 60 cos N 100
0 2
5
e e
e
MO
(1.4)
Men kan ook de kracht F ontbinden in zijn componenten (Fx, Fy, Fz) en nakijken welke componenten bijdragen tot het moment om een bepaalde coördinaatas.
x
y z
5 m
2 m
60
rx
ry Fx Fz
F = 100 N
Figuur 1.7 Momenten uitschrijven op basis van fysische interpretatie.
Als men de afzonderlijke momenten Mx, My en Mz rechtstreeks opschrijft, kijkt men welke krachtcomponenten bijdragen tot dat moment en berekent deze bijdragen als {krachtcomponent} maal {loodrechte hefboomsarm tot de as ei}. Het teken van de momentbijdrage wordt bepaald door de rechterhandregel rond de as ei, zoals aangeduid in Figuur 1.7.
y x z
x z y
y z x
r F M
r F M
r F M
(1.5)
Voor vlakke problemen is deze laatste methode nog veel meer aangewezen. Stel dat men bovenstaand probleem vereenvoudigt tot een tweedimensionaal probleem in het x-z vlak, zoals aangegeven in Figuur 1.8.
x z
60
F = 100 N
y
5 m
Figuur 1.8 Tweedimensionaal probleem, waarbij de constructie en belastingen allen in één vlak liggen.
Als men het probleem beschrijft in het x-z vlak, zijn de y-component van r en F gelijk aan nul, zodat My de enige niet-nul component is van de momentvector M . Dan is het veel O eenvoudiger om de momentbijdrage van de twee krachtcomponenten Fx en Fz rechtstreeks op te schrijven. Dit wordt aangetoond in Figuur 1.9.
x z
60
F = 100 N
y
5 m Fx
Fz
Figuur 1.9 Berekenen van momentbijdragen bij vlakke problemen.
De enige momentbijdrage wordt geleverd door Fz:
Nm 2 100
3 5
r F
My z x
(1.6)
Bij vlakke problemen kan men zelfs nog een derde berekeningswijze aanwenden. Het moment kan namelijk ook berekend worden als de volledige kracht maal de loodrechte hefboomsarm, zoals aangegeven in Figuur 1.10.
x z
60
F = 100 N
y
5 m Fx
Fz
rF
rF
Figuur 1.10 Berekenen van momentbijdragen als kracht maal loodrechte hefboomsarm.
Dit kan men eenvoudig aantonen als volgt:
0 F
r
F r F r
F r r
F r M
F //F F
//F F
ey O
(1.7)
waarbij het teken van het moment nog steeds bepaald wordt door de rechterhandregel, ditmaal rond de coördinaatas ey.
Het moment My wordt dan:
Nm 2 100
3 5
N 100 60 sin m 5 My
F r F
(1.8)
Opmerking Bij vlakke problemen staan alle momentenvectoren loodrecht op het beschouwde vlak. Immers, alleen momentvectoren loodrecht op dat vlak geven aanleiding tot rotaties in dat vlak. Omdat de momentvectoren in die 2-D voorstelling moeilijk te tekenen zijn, tekent men enkel de rotatiezin die ze veroorzaken. Als men bv. een vlak probleem bestudeert in het x-z vlak, liggen alle momentvectoren volgens de coördinaatas ey. De momentvectoren worden dan voorgesteld door een kromme pijl die de rotatiezin aangeeft: in uurwijzerzin voor een positief moment My, in tegenuurwijzerzin voor een negatief moment My. Dit wordt schematisch weergegeven in Figuur 1.11.
x z
y
M < 0y
M > 0y
Figuur 1.11 Voorstelling van momentvectoren My in het vlak x-z.
1.1.2. Types ondersteuningen
In vele gevallen zijn constructies ondersteund of bevestigd aan steunpunten. De krachten in deze ondersteuningen of steunpunten noemt men de reacties. In Figuur 1.12 zijn de meest voorkomende types ondersteuningen getoond voor belastingen in eenzelfde vlak.
Als de ondersteuning de translatie in een bepaalde richting verhindert, dan moet er in die richting een reactiekracht [Newton] op het onderdeel worden uitgeoefend. Evenzo geldt dat, wanneer rotatie wordt verhinderd, er een reactiemoment [Newton meter] op het onderdeel wordt uitgeoefend. Zo verhindert bijvoorbeeld een roloplegging (Figuur 1.12(b)) alleen translatie in de verticale richting. De rol oefent daardoor op het punt van contact een reactiekracht F uit op het onderdeel. Aangezien het onderdeel vrij om de rol kan roteren, kan er door de rol op het punt van contact geen moment op het onderdeel worden uitgeoefend.
De reacties worden gewoonlijk aangeduid met het symbool R voor reactiekrachten en RM voor reactiemomenten.
1.1.3. Evenwicht van een constructie
Evenwicht van een object vereist zowel een evenwicht van krachten als een evenwicht van momenten. Deze voorwaarden kunnen wiskundig worden uitgedrukt met de volgende twee vectorvergelijkingen:
0 M
0 F
O
(1.9)
Hier vertegenwoordigt de som van alle krachten die op het lichaam werken en is F MO de som van de momenten van alle krachten rond een punt O, waarbij het punt O al dan niet op het object zelf gelegen is.
Als men het evenwicht uitschrijft van de volledige constructie, worden ook de reacties in de ondersteuningen meegeteld als uitwendige krachten/momenten op de constructie.
Als er een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) is ingesteld met de oorsprong in het punt O, kunnen de kracht- en momentenvectoren worden ontbonden in hun componenten langs de coördinaatassen ex, ey en ez. De twee bovenstaande vergelijkingen (1.9) kunnen dan in scalaire vorm worden geschreven als zes vergelijkingen:
0 M 0 M 0 M
0 F 0 F 0 F
z y
x
z y
x
(1.10)
Hierbij is het belangrijk in te zien dat de gekozen positieve rotatierichting voor het uitschrijven van het momentenevenwicht geen belang heeft. Een omkering van de gekozen positieve rotatierichting impliceert enkel dat de evenwichtsvergelijkingen worden vermenigvuldigd met –1, maar dat maakt uiteraard geen enkel verschil:
0 M 0
M 0
Mx y z
(1.11)
In vele gevallen werken alle belastingen in één vlak (onderstel het x-y vlak) en kunnen de evenwichtsvergelijkingen gereduceerd worden tot:
0 M
0 F 0 F
z
y x
(1.12)
Met behulp van deze evenwichtsvergelijkingen kunnen de reactiekrachten in de ondersteuningen van een constructie berekend worden.
Voorbeeld 1.1
Gegeven is een vakwerk met twee steunpunten A en B. Bereken de reactiekrachten/momenten in A en B.
1.1.4. Inwendige krachtswerking
Eén van de belangrijkste toepassingen van de statica bij het analyseren en ontwerpen van constructies, is het kunnen bepalen van de resulterende kracht en het resulterende moment die in een doorsnede van de constructie werken en die noodzakelijk zijn om de constructie- onderdelen bij elkaar te houden wanneer er uitwendige krachten (en reactiekrachten) op worden uitgeoefend.
Deze inwendige krachten noemt men ook wel “snedekrachten”, omdat deze krachten berekend worden door een “snede” te maken in de constructie en het evenwicht uit te drukken van een geïsoleerd deel van de constructie.
Figuur 1.13 toont het voorbeeld van een tweedimensionale constructie met een dergelijke doorsnijding.
Figuur 1.13 Doorsnijding van een constructie en bepaling van de inwendige krachtswerking [1].
Voor de berekening van de snedekrachten in Figuur 1.13 gaat men als volgt te werk:
op de plaats waar men de snedekrachten wil kennen, snijdt men (uiteraard denkbeeldig) de constructie volledig door. Men heeft nu twee geïsoleerde delen. Het deel waar de buitennormale van de doorsnijding samenvalt met de positieve coördinaatas, noemt men de positieve doorsnijding. Het andere deel, waar de positieve buitennormale tegengesteld gericht is aan de positieve coördinaatas, noemt men de negatieve doorsnijding. In het voorbeeld van
Figuur 1.13 is het linkerdeel de positieve doorsnijding (buitennormale volgens positieve as ex
) en het rechterdeel de negatieve doorsnijding (buitennormale volgens negatieve as
ex
),
als men nu enkel het evenwicht van het linkerdeel van de constructie beschouwt, moet men de krachtswerking van het weggesneden rechterdeel op het linkerdeel herstellen door de invoering van de snedekrachten. Zoals blijkt uit vergelijking (1.12), zijn er voor een tweedimensionale doorsnijding drie onbekende snedekrachten: Fx, Fy en Mz (merk op dat de momentvector Mz hier opnieuw wordt voorgesteld door zijn teweeggebrachte rotatie in het x-y vlak).
De tekenconventie voor de snedekrachten hangt af van de doorsnijding: voor een positieve doorsnijding gelden de tekenconventies van Figuur 1.5, voor een negatieve doorsnijding zijn de tekenconventies net omgekeerd. Dit moet zo zijn, want de krachtswerking van het rechterdeel op het linkerdeel is gelijk en tegengesteld aan de krachtswerking van het linkerdeel op het rechterdeel (derde wet van Newton: actie en reactie),
tenslotte schrijft men het krachten- en momentenevenwicht uit voor het linkerdeel afzonderlijk of voor het rechterdeel afzonderlijk. Vermits alle reactiekrachten én de uitwendige belastingen gekend zijn, kan men voor elk geïsoleerd deel van de constructie de evenwichtsvergelijkingen (1.12) uitschrijven. Vermits de snedekrachten de krachtswerking vertegenwoordigen van het rechterdeel van de constructie op het aangrenzende linkerdeel van de constructie, en vice versa, moet men in beide gevallen dezelfde waarden bekomen voor de snedekrachten Fx, Fy en Mz. De snedekrachten worden hierbij altijd gerefereerd t.o.v. het zwaartepunt van de beschouwde dwarsdoorsnede.
De fysische betekenis van de snedekrachten kan best aangetoond worden met een voorbeeld.
Figuur 1.14 toont een links ingeklemde balk met een verdeelde belasting van 270 N/m. De onbekende reactiekrachten en –momenten zijn Rx, Rz en RMy.
x z
y
Rz RMy
Rx
Figuur 1.14 Vlak probleem van ingeklemde balk met verdeelde belasting.
Allereerst moet men deze uitwendige reactiekrachten en –momenten bepalen voor de volledige constructie. Uitschrijven van het horizontaal, verticaal en momentenevenwicht levert de volgende drie vergelijkingen:
Nm 3645 RM
N 1215 R
0 R
0 3 9
1 2
9 m / N RM 270
2 0 9 m / N R 270
0 R
y z x
y z x
(1.13)
Om nu de onbekende snedekrachten in de doorsnede C te berekenen, kan men kiezen voor een positieve doorsnijding (deel links van C isoleren) of een negatieve doorsnijding (deel rechts van C isoleren). Figuur 1.15 toont beide opties, met de tekenconventie van de snedekrachten voor een positieve doorsnijding (boven) en een negatieve doorsnijding (onder).
x z
y
x z
y
Fz
My
Fx
Fx
My Fz Rz
RMy
Rx
Figuur 1.15 Equivalentie van linker- en rechterdoorsnijding van de balk.
Omdat de onbekende snedekrachten Fx, Fz en My een unieke waarde hebben in de doorsnede C, moeten beide doorsnijdingen hetzelfde resultaat leveren.
Evenwicht van het geïsoleerde linkerdeel geeft:
Nm 1080 M
N 540 F
0 F
0 M
dx ) x 3 9 ( 1 x m / N 270 m
3 R RM
0 F
9 dx 1 x m / N 270 R
0 F
R
y z x
3
0
y z
y 3
0
z z
x x
(1.14)Dit betekent dat het weggesneden rechterdeel van de constructie een neerwaartse kracht van 540 N uitoefent op het linkerdeel, alsook een buigmoment in uurwijzerzin.
Evenwicht van het geïsoleerde rechterdeel geeft:
Nm 1080 M
N 540 F
0 F
0 3 6
1 2
6 m / N M 180
2 0 6 m / N F 180
0 F
y z x
y z x
(1.15)
De waarde voor de snedekrachten is inderdaad dezelfde, maar de tekenconventie voor de snedekrachten is tegengesteld aan deze voor de positieve doorsnijding, precies omwille van de wet van actie en reactie.
Stappenplan voor de berekening van het evenwicht van constructies en doorsnijdingen:
Voorbeeld 1.2
Bepaal de resulterende inwendige belastingen die in het punt B op de dwarsdoorsnede van de pijp werken. De pijp heeft een massa van 2 kg/m en wordt aan het uiteinde A belast door een verticale kracht van 50 N en een koppel van 70 Nm. De pijp is bij C vast aan de muur bevestigd.
1.1.5. Scharnierende verbindingen
De inwendige krachtswerking wordt aanzienlijk vereenvoudigd als de constructie is samengebouwd uit scharnierende onderdelen. Dit is vaak het geval bij vakwerkbruggen en portieken. Figuur 1.16 toont een schematisch voorbeeld van een constructie met scharnierende verbindingen.
Figuur 1.16 Voorbeeld van constructie met scharnierende verbindingen [13].
Men kan eenvoudig aantonen dat er in deze gevallen enkel een snedekracht in de richting van de staven bestaat. Door het bestaan van de scharnieren wordt er immers geen moment overgedragen van de ene staaf naar de andere. Beschouwt men nu het evenwicht van een geïsoleerde staaf, zoals weergegeven in Figuur 1.17. De overblijvende snedekrachten worden
getekend in overeenstemming met de tekenconventies voor een positieve (rechts) en negatieve (links) doorsnijding.
Fz
Fx Fx
Fz
L
Figuur 1.17 Evenwicht van een vakwerkstaaf tussen twee scharnieren.
Als men het momentevenwicht uitschrijft om het linkse scharnier (bv. met positieve draaizin in de tegenuurwijzerzin):
0 F 0
L F 0
My z z
(1.16)
Dit betekent dat er enkel een langskracht Fx bestaat in de staaf.
Deze conclusie is algemeen geldig voor constructies met scharnierende verbindingen als en slechts als:
de staaf aan zijn beide uiteinden verbonden is met scharnieren,
er geen belasting aangrijpt tussen de scharnieren.
Dit betekent ook meteen dat de reactiekrachten gericht zijn volgens de richting van de staven, als en slechts als er maar één staaf aankomt in het steunpunt (zoals het geval is in Figuur 1.16).
Voorbeeld 1.3
Alle staven in onderstaand vakwerk zijn scharnierend met elkaar verbonden. In twee knopen grijpt een neerwaarts gerichte puntlast aan van respectievelijk 0,75 P en P. Bepaal de positie van de staaf die de grootste kracht moet dragen.
0,75 P P
1,2 m 1,2 m
0,9 m
ste
1.1.6. Besluit
Bij deze berekening van de inwendige krachtswerking wordt ondersteld dat de snedekrachten aangrijpen in het zwaartepunt van de doorsnijding, maar het is nogal evident dat deze snedekrachten in werkelijkheid niet geconcentreerd kunnen zijn in dat ene punt, anders zouden alle punten van de doorsnede volledig onbelast zijn, uitgezonderd het zwaartepunt.
Deze snedekrachten stellen dus in feite het resulterend effect voor van de feitelijke krachtenverdeling over het volledige oppervlak van de beschouwde doorsnede.
De berekening van de snedekrachten m.b.v. de vergelijkingen van het evenwicht is dan ook maar een eerste stap naar het volledig begrip van de inwendige krachtswerking in de constructie. De volgende stap bestaat er nu in te onderzoeken hoe de snedekrachten in werkelijkheid worden vertaald naar een verdeelde krachtswerking over de volledige doorsnijding. Daartoe worden twee nieuwe begrippen ingevoerd: spanning en rek. De volgende paragraaf tracht een intuïtief begrip van deze grootheden aan te leren. Daarna volgt een meer rigoureuze bespreking van beide begrippen.
1.2. I
NTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKENOm de begrippen “spanning” en “rek” te introduceren, beschouwt men een eenvoudige trekproef op zacht staal. Een typische proefopstelling is getoond in Figuur 1.18. Het stalen proefstuk is een prismatische staaf met cirkelvormige dwarsdoorsnede en is ingeklemd aan het boven- en onderuiteinde. Bovenaan wordt een trekkracht F uitgeoefend door de zware dwarsbalk. Een extensometer (aan de zijkant van het proefstuk) meet de relatieve verplaatsing tussen twee referentiepunten.
Figuur 1.18 Experimentele opstelling voor trekproeven op metalen [5].
Bij een schematische voorstelling van deze trekproef zijn de evenwichtsvergelijkingen heel eenvoudig : in elke cirkelvormige dwarsdoorsnede van het proefstuk werkt de kracht F in het zwaartepunt van de doorsnede. In dat geval is het redelijk te veronderstellen dat de kracht F in de doorsnede wordt opgenomen door een constante, gelijkmatige trekspanning , die gelijkmatig verdeeld wordt over de oppervlakte A0 [meter2] van de dwarsdoorsnede. De grootte van deze trekspanning is dan:
] meter / Newton A [
F 2
0
(1.17)
Het is belangrijk te onthouden dat spanningen steeds als dimensie [Newton/meter2] hebben.
Omdat spanningen echter steeds betrekking hebben op een kleine oppervlakte, worden ze vaak uitgedrukt in MPa, waarbij:
2 2
6
6 Pa 10 N/m 1N/mm
10 MPa
1 (1.18)
Figuur 1.19 toont de schematische verdeling van de spanningen en de bijhorende verlenging
Figuur 1.19 Verdeling van de spanningen en verlenging van de stalen staaf [6].
Inderdaad, het is evident dat onder invloed van de trekkracht F (en de trekspanningen ) ook een verlenging van de staaf zal optreden. Als men deze verlenging L (zie Figuur 1.19) deelt door de oorspronkelijke lengte L0, dan bekomt men de rek :
L0
L
(1.19)
De rek is dimensieloos [-] en geeft de relatieve verlenging weer van de proefstaaf.
Als men nu voor deze trekproef de experimenteel opgemeten spanning en rek ten opzichte van elkaar uitzet, bekomt men een typische grafiek zoals afgebeeld in Figuur 1.20.
Figuur 1.20 Typisch spanning-rek diagram voor een trekproef op zacht staal [5].
In de abscis staat de rek [-] en in de ordinaat staat de spanning [GPa (= 109 N/m2)].
Vooraleer de trekproef start, ondervindt het materiaal geen enkele spanning of vervorming ( = 0 en = 0). Als de trekkracht op het proefstuk opgevoerd wordt, tekent zich eerst een zone af waar de spanning en rek proportioneel toenemen. In deze (beperkte) zone vertoont het materiaal een lineair elastisch gedrag.
Het gedrag wordt elastisch genoemd, omdat in deze zone geen blijvende vervorming optreedt.
Wordt de belasting weggenomen, dan verdwijnt ook de vervorming en bevindt het materiaal zich in zijn oorspronkelijke, onbelaste toestand. De - curve wordt dan in tegengestelde zin doorlopen en de vervorming is dus omkeerbaar.
Het gedrag is bovendien lineair omdat spanning en vervorming evenredig toenemen, en de evenredigheidsconstante noemt men de elasticiteitsmodulus E [N/m2]:
E (1.20)
Deze betrekking tussen spanning en rek is de wet van Hooke. De elasticiteitsmodulus E is dus een materiaaleigenschap die de stijfheid van het materiaal weergeeft.
Eens de elasticiteitsgrens 0 wordt bereikt, gedraagt het materiaal zich niet langer lineair elastisch. Inderdaad, de spanning neemt niet langer evenredig toe met de rek en er treedt ook permanente vervorming op. Bij het ontlasten verdwijnt de elastische rek, maar een deel van de totale rek blijft over als permanente rek. In deze zone gedraagt het materiaal zich plastisch.
Wanneer men de kracht blijft opvoeren, bereikt men uiteindelijk de treksterkte UTS (Eng:
Ultimate Tensile Strength). Toch treedt breuk pas op bij een nog grotere vervorming, maar bij een lagere spanning. Hoe komt dit ? De spanning wordt gedefinieerd als de kracht F, gedeeld door de oorspronkelijke oppervlakte A0. Eens de treksterkte UTS bereikt wordt, begint het materiaal lokaal in te snoeren (Eng: necking), zodat de werkelijke oppervlakte A verkleint. De werkelijke spanning F/A blijft dus toenemen, hoewel de spanning F/A0 afneemt.
Een voorbeeld van insnoering is duidelijk te zien in Figuur 1.21.
Deze insnoering in het plastisch gebied is met het blote oog waarneembaar, maar ook in het elastisch gebied zal de diameter van de proefstaaf lichtjes afnemen, wanneer aan de staaf getrokken wordt. De staaf wordt dus niet alleen langer, maar ook dunner. In het elastisch gebied gebeurt deze vermindering van de dwarsafmetingen gelijkmatig over de volledige lengte van de staaf, in tegenstelling tot de zeer lokale insnoering in het plastisch gebied. Deze gelijkmatige vermindering van de dwarse afmetingen in het elastisch gebied noemt men de dwarscontractie. Het blijkt uit experimentele metingen dat de relatieve vermindering d/d0
van de oorspronkelijke diameter d0 van de ronde proefstaaf een constante fractie is van de relatieve lengteverandering L/L0 in het elastisch gebied:
0 0
0 0
L L d
constante d L
/ L
d /
d
(1.21)
Het getal noemt men de dwarscontractiecoëfficiënt of de coëfficiënt van Poisson. Deze coëfficiënt is dimensieloos en strikt positief. Het min-teken in de vergelijking (1.21) is nodig, omdat een uitrekking van de staaf (L/L0 > 0) gepaard gaat met een vermindering van de diameter (d/d0 < 0), terwijl een indrukking van de staaf gepaard gaat met een vermeerdering van de diameter.
Dit verband is schematisch voorgesteld in Figuur 1.22.
Figuur 1.22 Verband tussen lengteverandering en verandering van dwarse afmetingen [2].
De maximale waarde van de coëfficiënt van Poisson is 0,5 omdat de proefstaaf anders zou toenemen in volume als men hem indrukt. Dit volgt onmiddellijk uit de berekening van het volume van de proefstaaf in belaste toestand. De nieuwe lengte L en diameter d zijn respectievelijk:
d d d
L L L
0 0
(1.22)
Het volume van de belaste proefstaaf wordt dan:
1 (1 2 )
V
) 2 ( ) 2 1 ( 1 V
1 4 d
1 L
L 1 L 4 d
L 1 L L
d 1 d 4 d
L 1 L L
d 4 d
L L
4 d L V
0
2 3 2
2 0
2 2 0 0
2
0 2
0 0
0
2
0 2
0 0
0
2 0
0 2
(1.23)
Als de proefstaaf wordt ingedrukt ( < 0), dan zou, indien groter zou zijn dan 0,5, het volume van de proefstaaf V in druk groter zijn dan het oorspronkelijk volume V0. Dit is fysisch niet mogelijk. Een eenvoudig voorbeeld is een alzijdige waterdruk op een lichaam.
Indien groter zou zijn dan 0,5, zou onder deze alzijdige waterdruk het volume van het lichaam toenemen.
Voor metalen ligt de Poisson-coëfficiënt in de buurt van 1/3. Als vuistregel onthoudt men:
gesteenten, glas: = 1/4
metalen: = 1/3
rubbers: = 1/2
Hoewel het gebied waarin het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, zeer klein is in het totale spanning-rek diagramma, worden bijna alle constructies zodanig ontworpen dat ze in de gebruikstoestand een lineair elastisch materiaalgedrag vertonen. In het lineair elastisch gebied zijn de vervormingen immers klein én omkeerbaar, wat voor de meeste constructies (bv. bruggen voor wegverkeer, stalen liggers in gebouwen, motoren,...) wel heel wenselijk is.
Het plastisch materiaalgedrag wordt wel vaak doelbewust aangewend tijdens het productieproces (bv. walsen, draadtrekken), zodat een nieuwe, blijvende vervorming aan het materiaal kan worden opgelegd.
In de volgende paragrafen worden de begrippen “spanning” en “rek” uitgebreid naar een meer algemene definitie en wordt verder ingegaan op de wet van Hooke.
1.3. S
PANNINGEN1.3.1. Definitie
In Figuur 1.23 is een object voorgesteld dat belast is met een stel uitwendige krachten F1 en F2. Ter hoogte van de doorsnijding werken een kracht FR en een moment
Ro
M (om het zwaartepunt O). Beide kunnen berekend worden uit de evenwichtsvergelijkingen (1.10). Deze twee belastingen FR en
Ro
M stellen het resulterend effect voor van de feitelijke krachtenverdeling over het oppervlak van de doorsnede.
Figuur 1.23 Evenwicht van een deel van het object [1].
Om de verdeling van deze inwendige snedekrachten over elk punt van de doorsnede te beschrijven, kan men het oppervlak van de doorsnijding onderverdelen in kleine oppervlakken A, waarop een eindige, maar toch heel kleine kracht F werkt, zoals afgebeeld in Figuur 1.24(a). Daarbij wordt ondersteld dat de krachten F zo gekozen zijn, dat hun resulterende kracht en moment om het zwaartepunt overeenkomen met de snedekrachten FR
en MRo.
Voor de verdere bespreking wordt de kracht F ontbonden in twee componenten: (i) de component Fn normaal op het oppervlak, en (ii) de component Ft rakend aan het oppervlak (tangentieel), zoals aangegeven in Figuur 1.24(b).
Figuur 1.24 Verdeling van het oppervlak [1].
Als het oppervlak A naar nul nadert, doen de kracht F en zijn componenten Fn en Ft dat ook. Het quotiënt van de kracht en de oppervlakte zal echter in het algemeen naar een eindige grens naderen. Dit quotiënt wordt de spanningsvector (n)
genoemd en zoals aangegeven, beschrijft het de dichtheid van de inwendige kracht op een bepaald vlak door een punt:
A lim F
0 A ) n (
(1.24)
De superscript (n) vestigt de aandacht op het feit dat de definitie van de spanningsvector (n)
onlosmakelijk verbonden is met de keuze van het doorsnijdingsoppervlak in het beschouwde punt en dus met haar normale en.
De dichtheid van kracht, of kracht per oppervlakte-eenheid, die loodrecht op A werkt, wordt gedefinieerd als de normaalspanning . Wiskundig kan deze als volgt worden uitgedrukt:
A lim Fn
0
A
(1.25)
Als de normaalkracht Fn aan het oppervlakte-element A “trekt”, dan is de normaalspanning
een trekspanning, terwijl als Fn op het oppervlakte-element A “drukt”, de normaalspanning een drukspanning is.
Op analoge manier wordt de dichtheid van kracht die rakend aan A werkt, de schuifspanning (tau) genoemd. Deze component wordt wiskundig op de volgende manier geformuleerd:
A lim Ft
0
A
(1.26)
Als men nu een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, zoals aangegeven in Figuur 1.25(a), kan men de normaalspanning en de schuifspanning gaan ontbinden volgens de loodrecht op elkaar staande assen ex, ey en ez, zoals aangegeven in Figuur 1.25(b).
Figuur 1.25 Invoering van een cartesiaans assenstelsel (x,y,z) [1].
In dit cartesiaans assenstelsel worden de normaal- en schuifspanningen aangeduid met een subscript ij (i, j = x, y, z), waarbij de eerste index staat voor de richting van de buitennormale van de beschouwde doorsnijding en de tweede index staat voor de beschouwde richting van de spanning.
Voor het voorbeeld van Figuur 1.25(b) wordt de normaalspanning genoteerd als zz. De buitennormale van de beschouwde doorsnijding is immers ez (eerste index) en de richting van de normaalspanning is ook volgens ez (tweede index).
De beide schuifspanningscomponenten worden genoteerd als zx en zy. De beschouwde doorsnijding heeft immers in beide gevallen als buitennormale ez (eerste index), terwijl de ene schuifspanningscomponent volgens de ex richting ligt en de andere volgens de ey richting.
De spanningen zz, zx en zy hebben dus allen als eerste index z, omdat de buitennormale van de gekozen doorsnijding volgens ez ligt. De spanningen zijn positief als ze respectievelijk volgens de positieve assen ez, ex en ey liggen.
Geheel analoog kan men nu een nieuwe doorsnijding maken volgens het x-z vlak, met buitennormale volgens de positieve ey as. Gebruik makend van de evenwichtsvergelijkingen (1.10), kunnen opnieuw de resulterende inwendige kracht en het resulterende inwendige moment bepaald worden, en dus de inwendige kracht F op elk oppervlakje A van deze nieuwe doorsnijding (zie Figuur 1.26(a)). De normaalspanning yy staat dan loodrecht op de beschouwde doorsnijding, terwijl yx en yz de schuifspanningscomponenten zijn volgens de respectieve assen ex en ez (zie Figuur 1.26(b)). Opnieuw hebben de spanningen yy, yx en
yz allen als eerste index y, omdat de buitennormale van de gekozen doorsnijding volgens ey ligt.
Figuur 1.26 Doorsnijding volgens de positieve ey as [1].
Tenslotte kan men een doorsnijding maken volgens het y-z vlak, met buitennormale volgens de positieve ex as, zoals aangeduid in Figuur 1.27(a). De normaalspanning is dan xx en de schuifspanningen xy en xz (Figuur 1.27(b)).
Figuur 1.27 Doorsnijding volgens de positieve ex as [1].
De hierboven beschreven doorsnijdingen waren zodanig gekozen dat de buitennormale ervan telkens samenviel met de positieve zin van de coördinaatas ex, ey of ez. Deze worden dan ook positieve oppervlakken genoemd. In geval van een negatief oppervlak is de buitennormale tegengesteld gericht aan de positieve zin van de coördinaatas ex, ey of ez. Dit wordt geïllustreerd door Figuur 1.28(a). In dat geval keren ook de tekenconventies voor de spanningen om. Een spanning op een negatief oppervlak heeft een positief teken als zij tegengesteld gericht is aan de positieve zin van de coördinaatas ex, ey of ez. Dit wordt geïllustreerd in Figuur 1.28(b).
Figuur 1.28 Positieve en negatieve oppervlakken en bijhorende tekenconventies [7].
Samenvattend kan men een infinitesimaal klein kubisch volume-element uitsnijden dat de spanningen in het gekozen punt van het lichaam voorstelt. Figuur 1.29 stelt deze spanningstoestand voor, waarbij alle spanningen getekend zijn met een positief teken.
Figuur 1.29 Volledige spanningstoestand in een punt [7].
De spanningstoestand wordt vaak geschreven in matrixvorm:
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
]
[ (1.27)
De normaalspanningen xx, yy en zz bevinden zich op de hoofddiagonaal van de matrix. De drie rijen stellen de normaal- en schuifspanningen voor op een doorsnede met buitennormale volgens de positieve zin van de respectieve coördinaatassen ex, ey en ez.
Voorbeeld 1.4
De houten steun in onderstaande figuur hangt aan een stalen staaf van 10 mm diameter, die aan de muur is bevestigd. De steun draagt een verticale belasting van 5 kN. Bereken de gemiddelde schuifspanning in de staaf bij de muur en langs de twee gearceerde vlakken van de steun, waarvan er één met abcd is gemarkeerd.
1.3.2. Verband tussen spanningsvector
(n)
en spanningsmatrix []
Zoals reeds hoger vermeld, is de spanningsvector (n)
altijd gedefinieerd in relatie tot de keuze van het doorsnijdingsoppervlak en haar positieve buitennormale en. Definieer nu (nx, ny, nz) als de richtingscosinussen van de normale en, zodat geldt:
