Oefeningensyllabus partim Materialen van Mechanica

(1)

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN EN

ARCHITECTUUR

VAKGROEP MATERIALEN,TEXTIEL EN CHEMISCHE PROCESKUNDE (EA11)

Mechanica van

Materialen

Oefeningensyllabus partim

Academiejaar 2017-2018

Verantwoordelijk lesgever en auteur: Prof. dr. ir. Wim VAN PAEPEGEM Medelesgever: Prof. dr. ir. Wim DE WAELE

Universiteit Gent

Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Vakgroep Materialen, Textiel en Chemische Proceskunde (EA11) Technologiepark-Zwijnaarde 903

9052 Zwijnaarde Tel. : 09/331.04.32 Fax : 09/264.58.33

(2)

Hoofdstuk 1

Krachten, momenten, spanningen en rekken

§ Statica van constructies

1.1 Bepaal de grootte en de positie van de resultante van volgende krachten:

1.2 Bepaal de reactiekrachten van de eenvoudig opgelegde balk ABCD.

(3)

1.3 Bepaal de reactiekrachten van de ingeklemde balk ABC.

1.4 Bepaal de krachten in de vakwerkstaven, als alle individuele staven verbonden zijn door scharnieren. Er kan dus geen moment worden overgedragen van de ene staaf naar de andere.

1.5 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op de dwarsdoorsnede in het punt C van de machine-as werken. De as wordt in A en B ondersteund door lagers die alleen verticale krachten op de as uitoefenen. De rotatie van de as wordt niet verhinderd.

(4)

1.6 Het hijstoestel in onderstaande figuur bestaat uit de balk AB en de daaraan bevestigde katrollen, de kabel en de motor. Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op de dwarsdoorsnede in het punt C werken als de motor de vracht W van 500 N met constante snelheid ophijst. Negeer het gewicht van de katrollen en de balk.

1.7 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die in het punt G op de dwarsdoorsnede van de houten balk werken. Neem aan dat de verbindingen bij A, B, C, D en E met scharnieren zijn uitgevoerd, zodat geen moment kan overgedragen worden.

1.8 Gegeven is onderstaande auto met aanhangwagen. Het gewicht van de auto FG1 is 25000 N. Het gewicht van de aanhangwagen FG2 is 1200 N en grijpt aan net boven de wielen van de aanhangwagen. De afmetingen zijn a = 2 m, b = 0.5 m en L = 2 m.

In de aanhangwagen wordt nu een massa geplaatst met gewicht Fm = 1000 N. Bepaal de uiterste posities (x) ten opzichte van de trekhaak opdat de wagen steeds met vier wielen op de grond blijft.

(5)

1.9 Gegeven is de volgende constructie:

60 60

6 m

2 m 2 m 10 kN

5 kN/m

C

A B

D

E F

G

Gevraagd zijn de snedekrachten en –momenten in het punt G (halverwege de verticale staaf met lengte 2 m).

(Examen 1^ste zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)

1.10 Gegeven is de volgende constructie. De rechtstaande kolom CF heeft een massa per lopende meter van 250 kg/m. Ter hoogte van A wordt een horizontale ligger AB scharnierend verbonden met de kolom. Deze ligger heeft een massa per lopende meter van 150 kg/m. Vanuit C vertrekken twee trekkabels naar punten B en G.

In F en G wordt de horizontale en verticale verplaatsing van de constructie verhinderd.

Bereken de snedekrachten in E, als het eigengewicht de enige inwerkende belasting is

(6)

(Examen 2^de zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 40 minuten)

§ Spanningen

1.11 De onderstaande staaf heeft een constante breedte van 35 mm en een dikte van 10 mm.

Bepaal de maximale gemiddelde trekspanning  (= Fn/A) in de staaf voor de aangegeven belasting. De belastingen van 9 kN en 4 kN werken niet op de volledige omtrek van de schijven, maar zijn twee afzonderlijke puntlasten op de boven- en onderzijde van de schijven.

1.12 De onderstaande lamp van 80 kg wordt ondersteund door twee stangen AB en BC. De stang AB heeft een diameter van 10 mm en de stang BC een diameter van 8 mm.

Bepaal welke stang de grootste gemiddelde trekspanning  (= Fn/A) heeft.

(7)

1.13 Het onderstaande gietstuk is gemaakt van staal dat een soortelijk massa heeft van

st = 7990 kg/m³. Bepaal de gemiddelde drukspanning  (= Fn/A) die op de punten A en B werkt.

1.14 Onderdeel AC in onderstaande figuur wordt belast door een verticale kracht van 3 kN.

Bepaal de positie x van deze kracht, zodanig dat de drukspanning in het punt C gelijk is aan de trekspanning in de trekstang AB. De stang heeft een dwarsdoorsnede met oppervlakte 400 mm², en de contactoppervlakte bij C is 650 mm². In het punt C is de balk gewoon opgelegd op de ondergrond.

(8)

1.15 De onderstaande staaf heeft een vierkante dwarsdoorsnede waarvan breedte en hoogte beide 40 mm bedragen. Langs de zwaartepuntsas van de dwarsdoorsnede van de staaf werkt een axiale kracht van 800 N. Bepaal de gemiddelde normaalspanning  (= Fn/A) en de gemiddelde schuifspanning  (= Ft/A) op het materiaal langs (i) het doorsnedevlak a-a en (ii) het doorsnedevlak b-b.

1.16 Het hellende onderdeel in onderstaande figuur ondervindt een drukkracht van 600 N.

Bepaal de gemiddelde drukspanning  (= Fn/A) op de contactvlakken die door AB en BC worden gedefinieerd, en de gemiddelde schuifspanning  (= Ft/A) langs het horizontale vlak dat door EDB wordt gedefinieerd. De wrijving tussen beide houten balken mag verwaarloosd worden.

(9)

1.17 Twee onderdelen zijn in B met een scharnier aan elkaar bevestigd. De figuur toont ook bovenaanzichten van de penverbindingen bij A en B. Als de pennen een toelaatbare schuifspanning toel = 125 MPa hebben en de staaf CB een toelaatbare trekspanning

toel = 162 MPa , bepaal dan de kleinste diameter van de pennen A en B en de diameter van de staaf CB, nodig om de belastingen te ondersteunen, tot op de dichtstbijzijnde hele millimeter.

1.18 Een hangende staaf wordt aan het bovenuiteinde ondersteund door een vast bevestigde schijf. Als de staaf door een gat van 40 mm diameter gaat, bepaal dan de minimaal vereiste diameter van de staaf en de minimale dikte van de schijf, nodig om de belasting van 20 kN te ondersteunen. De toelaatbare trekspanning voor de staaf is toel

= 60 MPa en de toelaatbare schuifspanning voor de schijf is toel = 35 MPa.

(10)

1.19 Een axiale belasting op de onderstaande as wordt opgevangen door de kraag bij C, die op de as bevestigd is en zich op de rechterkant van het lager bij B bevindt. Bepaal de grootste waarde van P voor de twee axiale krachten bij F en E, zodanig dat de spanning in de kraag niet groter wordt dan de toelaatbare vlaktedruk toel = 75 MPa, en de trekspanning in de as de toelaatbare waarde van toel = 55 MPa niet overschrijdt.

1.20 De starre, onvervormbare staaf AB wordt ondersteund door een stalen staaf AC met een diameter van 20 mm en een aluminium blok dat een dwarsdoorsnede heeft met oppervlakte 1800 mm². De pennen van 18 mm diameter bij A en C ondervinden een zuivere afschuiving. Als de bezwijkspanning voor staal st = 680 MPa bedraagt en voor aluminium alu = 70 MPa, en de bezwijkschuifspanning voor elke pen pen = 900 MPa, bepaal dan de grootste belasting P die op de staaf kan worden uitgeoefend.

Gebruik een veiligheidsfactor VF = 2,0 voor de gegeven materiaaleigenschappen.

(11)

§ Hoofdspanningen en hoofdrichtingen

1.21 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P:

 

^{M Pa}

160 80 32

80 50 56

32 56 70

ij























Bepaal de hoofdspanningen en hoofdrichtingen in dit punt.

1.22 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P:

 

^{M Pa}

20 0

60

0 120 0

60 0

180

ij























Bereken de grootste normaalspanning voor de verzameling van alle vlakjes door het punt P.

§ Rekken

1.23 De dunne staaf in onderstaande figuur ondervindt een temperatuurverhoging die een functie is van de afstand z en die in de staaf een verlenging veroorzaakt van:

z 10 40 ³



 ^

met z in meter.

Bepaal (i) de verplaatsing van uiteinde B van de staaf als gevolg van de temperatuursverhoging, en (ii) de gemiddelde verlenging van de staaf.

(12)

1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep van de hefboom en zorgt ervoor dat de arm van de hefboom in uurwijzerzin roteert over een hoek van  = 0,002 rad. Bepaal de gemiddelde rek die in de draad BC ontstaat.

1.25 Onderstaande plaat wordt vervormd tot de gestippelde vorm. Als in deze vervormde toestand horizontale lijnen op de plaat horizontaal zijn gebleven en niet van lengte zijn veranderd, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de zijde AB, en (ii) de gemiddelde afschuifhoek in de plaat ten opzichte van de x- en de y-as.

1.26 De getoonde plaat zit aan de bovenzijde AD en onderzijde BC vast aan starre horizontale geleiders. Als de rechterzijde CD een gelijkmatige horizontale verplaatsing van 2 mm ondergaat, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de diagonaal AC, en (ii) de afschuifhoek bij E t.o.v. de x- en y-as.

(13)

§ Wet van Hooke

1.27 Een staaf gemaakt van staal heeft de in onderstaande figuur aangegeven afmetingen.

Als een axiale kracht P = 80 kN op de staaf wordt uitgeoefend, bereken dan de verandering in lengte en de verandering in de afmetingen van de dwarsdoorsnede nadat de belasting is aangebracht. Het materiaal gedraagt zich lineair elastisch, met E = 200 GPa en  = 0,32.

1.28 Een aluminium proefstaaf heeft een diameter d0 = 25 mm en een meetlengte L0 = 250 mm. Als een kracht van 165 kN de meetlengte vergroot met 1,20 mm, bepaal dan de elasticiteitsmodulus. Bepaal tevens de dwarscontractie van de proefstaaf ten gevolge van de kracht. De glijdingsmodulus van aluminium bedraagt Galu = 26 GPa en de elasticiteitsgrens v = 440 MPa.

(14)

1.29 Een samengestelde stalen staaf (E = 200 GPa) bestaat uit twee segmenten AB en BD, die dwarsdoorsnedes hebben met oppervlakte AAB = 100 mm², respectievelijk ABD = 200 mm². In de figuur is te zien dat 5 geïsoleerde puntbelastingen worden uitgeoefend.

Bepaal de verticale verplaatsing van uiteinde A en de verplaatsing van B t.o.v. C.

1.30 De getoonde constructie bestaat uit een holle aluminium buis AB met Ealu = 70 GPa.

De dragende oppervlakte van de holle cilinder bedraagt 400 mm². Binnenin de buis bevindt zich een stalen staaf met een diameter van 10 mm en Est = 200 GPa, die aan een starre kraag in B is bevestigd. De stalen staaf kan horizontaal vrij verplaatsen ter hoogte van de doorgang in A. Er wordt een trekbelasting van 8 kN op de staaf uitgeoefend. Bereken de verplaatsing van uiteinde C van de staaf.

(15)

1.31 Een onvervormbare balk rust op twee korte palen. De paal AC is van staal (Est = 200 GPa) en heeft een diameter van 20 mm. De paal BD is van aluminium (Ealu = 70 GPa) en heeft een diameter van 40 mm. Bepaal de verplaatsing van het punt F op de balk AB als dit punt een verticale belasting van 90 kN ondervindt.

1.32 Een onderdeel is gemaakt van een materiaal dat een soortelijke massa  [kg/m³] en een elasticiteitsmodulus E [N/m²] heeft. Als dit materiaal wordt gevormd tot een kegel met de in de figuur getoonde afmetingen, bepaal dan hoe ver het uiteinde van de kegel verplaatst als gevolg van de zwaartekracht, wanneer het in een verticale positie wordt opgehangen.

(16)

1.33 Een rechthoekig rubberblok ondervindt een gelijkmatige druk p = 150 MPa op alle zijden. Bepaal de volumerek en de lengteverandering van elke zijde. Neem Erub = 4 GPa en rub = 0,45.

1.34 Een ronde proefstaaf met diameter 2,5 cm wordt in zijn langsrichting belast met een trekkracht van 20 kN. Als het materiaal zich elastisch gedraagt en een E-modulus heeft van 70 GPa, bereken dan de procentuele verlenging.

1.35 De zuiger van een hydraulische pers heeft een diameter van 40 cm, terwijl de zuigerstang een diameter heeft van 6 cm. De lengte van de zuigerstang is 1 meter en de waterdruk bedraagt 1 MPa. Bereken de spanning in de zuigerstang en de verlenging van de zuigerstang als de waterdruk langs de kant van de zuigerstang aangrijpt. De elasticiteitsmodulus van de zuiger en zuigerstang is 200 GPa.

1.36 Een stalen transmissiekabel (E = 200 GPa) van 750 m lengte en 0,5 cm diameter wordt door een lange rechte leiding getrokken. Als het ene uiteinde van de kabel 17,5 cm in de leiding wordt getrokken, hoeveel verplaatst het andere uiteinde dan als de trekkracht in de kabel 1,5 kN bedraagt ?

1.37 Een ronde metalen proefstaaf met diameter 1 cm is belast in trek. Als de treklast 5 kN bedraagt en de meetlengte van 25 cm een verlenging van 0,0227 cm ondergaat, bereken dan de E-modulus van het materiaal.

(17)

1.38 Een rechte staaf met dwarsdoorsnede A, lengte L, soortelijke massa  en elasticiteitsmodulus E draait met een constante hoeksnelheid  rond één van zijn eindpunten om een as die loodrecht staat op zijn lengte-as. Bereken de maximale trekspanning in de staaf en de verlenging van het vrije eindpunt van de staaf.

1.39 Een horizontale balk met een gewicht van 50 N is opgehangen aan drie kabels, twee aan de uiteinden van de balk en één in het midden. The twee buitenste kabels met diameter 0,125 cm zijn vervaardigd uit messing (E = 85 GPa), de middenste kabel met diameter 0,0625 cm uit staal (E = 200 GPa). Als de horizontale balk onvervormbaar ondersteld wordt en alle kabels hebben dezelfde lengte, bereken dan de spanningen in de kabels.

1.40 Een stalen bout met diameter 2,5 cm wordt in een stalen huls gebracht met 5 cm interne diameter en 6,25 cm externe diameter. De bout wordt via een moer (rechts) voorgespannen tussen de starre eindblokken van de huls tot de trekkracht in de bout 40 kN bedraagt. Na voorspanning is de lengte van de huls tussen de starre eindblokken 40 cm en de afstand tussen de kop van de bout (links) en de moer (rechts) is 50 cm. Als nu een externe trekkracht van 30 kN wordt aangebracht op de starre eindblokken, bereken dan de trekkracht in de bout.

(18)

1.41 Een dunne rechthoekige aluminium plaat heeft de onderstaande afmetingen. De elastische constanten van het materiaal zijn E = 77,5 GPa en G = 29,5 GPa.

Ze is onderworpen aan de spanningstoestand:

 

^{M Pa}

0 0 0

0 115 20

0 20 100

ij























Bepaal de lengteverandering van de diagonaal AC.

1.42 Gegeven is de volgende belastingstoestand:

De balk AB is bij A met een pen bevestigd en wordt opgehangen aan twee aluminium staven, elk met een diameter van 25 mm en een elasticiteitsmodulus Ealu = 70 GPa. Als de balk AB als onvervormbaar mag beschouwd worden en in het begin horizontaal staat, bepaal dan de kracht in elke verticale staaf wanneer de belasting van 22 kN wordt aangebracht.

(19)

1.43 Gegeven is het volgende probleem:

A

20 kNm

10 kN

0,5 m 2 m 0,5 m

B C

1 m 1 m

Een starre, onvervormbare balk is opgehangen aan drie vervormbare staven met volgende dwarsdoorsnede:

25 mm

De wanddikte van de kokers is 3 mm.

Bereken de maximale normaalspanning en geef aan in welke verticale staaf ze optreedt.

1.44 Een kracht F wordt aangelegd aan een constructie van starre balken, verbonden door veren met veerconstante ki (i = 1...3), zoals aangegeven in bovenstaande figuur.

Bepaal het verband tussen de aangelegde kracht F en de gerealiseerde verplaatsing u.

(20)

1.45 Gegeven is een schematische voorstelling van een drukknop. De veer rechts onderaan heeft een vrije lengte l0 en is voorgespannen tot lengte a (in P steunt de hefboom immers tegen de behuizing van de drukknop).

Bepaal de kracht F zodat de opening met breedte ‘t’ opgeheven wordt en er dus elektrisch contact gemaakt wordt om het licht aan te steken. Gezien de beperkte verplaatsingen, mag men aannemen dat F tijdens belasting verticaal blijft aangrijpen, en de hefboomsarm gelijk blijft aan de afstand ‘b’.

1.46 Gegeven is het volgende probleem:

Een veer heeft een stijfheid k = 400 kN/m en in ongerekte toestand een lengte van 250 mm. De veer wordt ingedrukt, over het 200 mm lange gedeelte AC van de aluminium staaf AB geplaatst, en vervolgens losgelaten. Bepaal de kracht die de staaf bij A op de muur uitoefent. Voordat de belasting wordt aangebracht, is er een ruimte van 0,1 mm tussen de staaf en de muur bij B. De staaf is bij A in de muur ingeklemd. Verwaarloos de dikte van de onvervormbare plaat bij C. De stijfheid van het aluminium is 70 GPa.

§ Thermische spanningen

1.47 Gegeven zij een “trimetaal”, dat opgebouwd is uit een centrale strip van staal (1), waaraan aan beide zijden twee identische aluminium strippen (2a) en (2b) vast zijn verbonden. De lengte en de breedte van elke strip zijn gelijk.

(21)

Verdere gegevens zijn:

staal:

C / 10 11,0

0,3 GPa 206 E

mm 1000 L

mm 6 h

mm 30 b

6 - 1

1 1 1

 











aluminium:

C / 10 23,0

0,3 GPa 72 E

mm 1000 L

mm 8 h

mm 30 b

6 - 2

2 2 2

 











Het trimetaal, spanningsvrij ondersteld bij 20 C, wordt homogeen opgewarmd tot 100 C. Gevraagd:

a) bereken in elke strip de optredende thermische spanning. Er dient enkel rekening gehouden te worden met de spanningen xx in de langsrichting,

b) bepaal de uiteindelijke afmetingen van het trimetaal (opnieuw enkel in de langsrichting).

1.48 Het te analyseren systeem bestaat uit:

- twee starre eindblokken, die vrij kunnen bewegen in de horizontale richting, - vier stalen buizen A, symmetrisch opgesteld,

- één aluminium strip B.

De buizen én de strip zijn gelast aan beide eindblokken.

De dwarsdoorsnede van de stalen buizen A en de aluminium strip B zijn hieronder getoond:

De eigenschappen van materialen A en B zijn:

(22)

staal:

C / 10 11,0

0,3 GPa 200 E

mm 400 L

mm 10 r

mm 7 r

6 - a

a a u i

 











aluminium:

C / 10 21,0

0,25 GPa 70 E

mm 400 L

mm 4 h

mm 30 b

6 - b

b b

 











Bereken de thermische spanning in de materialen A en B, als het geheel een gelijkmatige temperatuurstijging van 100 C ondergaat.

1.49 Een bout met moer steekt in een gat in een blok. Bij omgevingstemperatuur is er een speling van 0,10 mm tussen de bout en het blok. De bout wordt 100 C afgekoeld, terwijl het blok geen verandering van temperatuur of lengte ondergaat.

De eigenschappen van het materiaal van bout en moer zijn:

staal:

C / 10 11,0

0,3 GPa 200 E

6 - 













Gevraagd:

a) wat is dan de thermische spanning in deze bout ? b) wat is de verandering van de diameter van de bout ?

1.50 Een stalen staaf (E = 200 GPa) is zodanig gekrompen dat hij precies tussen twee starre ondersteuningen past als de temperatuur T1 = 15 C. Als de temperatuur wordt verhoogd tot T2 = 50 C, bepaal dan de gemiddelde thermische drukspanning die in de staaf ontstaat.

(23)

1.51 Een buis van aluminium (Ealu = 73,1 GPa, alu = 2310^-6 m/mC) met een dwarsdoorsnede-oppervlakte van 600 mm² wordt gebruikt als bus voor een bout van staal (Est = 200 GPa, st = 1210^-6 m/mC) met een dwarsdoorsnede-oppervlakte van 400 mm². Als de temperatuur T1 = 15 C is, houdt de moer de constructie zodanig in positie dat de axiale kracht in de bout mag worden verwaarloosd. Als de temperatuur oploopt tot T2 = 80 C, bepaal dan de gemiddelde spanning in de bout en in de bus.

1.52 Een messing plaat (E = 120 GPa,  = 0,33 en  = 1610^-6 m/mC) met afmetingen 20 mm x 30 mm x 2 mm is gevat in een star frame met een verwaarloosbare thermische uitzettingscoëfficiënt. De vier randen van de plaat zijn star met het frame verbonden.

Als de temperatuur daalt met 100 C, bereken dan de resulterende spanningen in de plaat.

(24)

1.53 Een aluminium bout (Ealu = 70 GPa, alu = 2310^-6 m/mC) met diameter 2,2 cm wordt in een stalen bus (Est = 200 GPa, st = 1210^-6 m/mC) geplaatst met binnendiameter 2,5 cm en wanddikte 0,3 cm. Beide worden op een temperatuur van 140 C gebracht en bij deze temperatuur wordt de aluminium bout lichtjes aangeschroefd in de stalen bus. Als de temperatuur nu met 20 C daalt, bereken dan de spanningen in de aluminium bout.

§ Arbeid en elastische energie

1.54 Een dunwandig vat heeft de vorm van een bol. De gemiddelde diameter van de bol is D en de wanddikte e (waarbij e << D). Dit sferisch vat is onderworpen aan een inwendige druk p.

D e

p

Een goede benadering voor de spanningstoestand is, in bolcoördinaten:















 















































e 4

D 0 p

0 e 0 4

D 0 p

0 0

0 ]

[

r r

r r rr

waarbij:

D = 20 m e = 8 mm p = 0,5 MPa E = 210 GPa

 = 0,3 Gevraagd:

a) bereken de elastische energie in de wand van het vat,

b) verifieer het resultaat door de arbeid van de inwendige druk te berekenen.

(25)

§ Orthotrope materialen

1.55 Men heeft een multiplex-plaat opgebouwd door achtereenvolgens veel dunne lagen van eenzelfde houtsoort en dezelfde dikte op elkaar te lijmen, met afwisselend een laag waarin de vezels volgens de x-as liggen en een laag waarin de vezels volgens de y-as liggen. De aldus opgebouwde plaat wordt beschouwd als een homogeen materiaal.

Men heeft in het laboratorium volgende proeven verricht, telkens in vlakspanning (33

= 13 = 23 = 0):

- een trekproef in de x-richting met:

0 0 M Pa 10

12 22 11













Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek:

3 33

3 22

3 11

10 4 , 0

10 2 , 0

10 0 , 1

























- een proef in afschuiving met:

M Pa 10

0 0

12 22 11













Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek:

3 12  5,010^



Bepaal, met behulp van alle beschikbare inlichtingen, zoveel mogelijk elasticiteitsconstanten en schrijf de gevonden waarden in een matrix [S], zodat

 

 [S]

 

 . Zet een vraagteken voor de onbekende waarden.

1.56 Een plaat is vervaardigd uit boron/epoxy composiet.

(26)

Dit transversaal isotroop materiaal telt vijf onafhankelijke elasticiteitsconstanten, zodat:

GPa

9 , 5 0 0 0 0 0

0 14 , 8 0 0 0 0

0 0 14 , 8 0 0 0

0 0 0 4 , 29 7 , 13 6 , 24

0 0 0 7 , 13 4 , 29 6 , 24

0 0 0 6 , 24 6 , 24 0 , 209

] C [



















De plaat wordt belast in vlakspanning (33 = 13 = 23 = 0), met de spanningen 11 en

22 uniform verdeeld over de randen, zodat 11 = 6,56210^-4 en 22 = -59,05510^-4. Gevraagd:

a) bepaal de waarde van de aangelegde spanningen 11 en 22 en de dikteverandering, b) bereken de rekverhouding 11/22 in twee gevallen:

- de plaat wordt belast met 11 = 75 MPa, - de plaat wordt belast met 22 = 75 MPa.

(27)

Hoofdstuk 2

Structureel gedrag

§ Geometrische eigenschappen

2.1 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede:

a) de juiste ligging van het zwaartepunt O,

b) het traagheidsmoment Iyy om de horizontale as door O.

2.2 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede het traagheidsmoment om een horizontale as door het zwaartepunt.

2.3 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede van het T-profiel de ligging van het zwaartepunt en het traagheidsmoment om een horizontale as door het zwaartepunt.

(28)

2.4 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede de ligging van het zwaartepunt, de traagheidsmomenten Iyy, Izz en Iyz om de horizontale en verticale as door het zwaartepunt, de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten.

2.5 Een hoekprofiel met uniforme dikte 0,5 cm heeft twee benen van 6 cm en 4 cm.

Bereken de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten.

(29)

2.6 Een Z-profiel heeft een dwarsdoorsnede zoals aangegeven in onderstaande figuur.

Bereken de traagheidsmomenten om de assen y en z, evenals de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten.

§ Dwarskracht- en momentenlijnen bepalen

2.7 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:

y x z

F

B C A

L a

(30)

y x z

F

A

L a

B

y x z

A

L

B

K

2.10 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:

y x z

B A

L

K

2.11 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:

y x z

B A

L

q0

(31)

2.12 Een éénzijdig ingeklemde balk met lengte L = 3 m wordt belast met een verdeelde belasting q(x) = q0(1-x/L), met q0 = 2000 N/m.

Bereken en teken de V-lijn en M-lijn.

2.13 Een balk op twee steunpunten wordt belast met een verdeelde belasting q(x) = q0[x/(L1+L2)], met q0 = 700 N/m, L1 = 9 m en L2 = 3 m.

Bereken en teken de V-lijn en M-lijn.

§ Normaalspanningen t.g.v. N

2.14 Een ingeklemde balk met een T-vormige sectie wordt op het uiteinde belast met een axiale kracht Q.

Bepaal het aangrijpingspunt van Q zodanig dat de spanning  in elke sectie gelijkmatig

(32)

2.15 De balken AB en BC worden gesteund in de scharnieren A en C en zijn onderling verbonden in B met een scharnier. Het gedeelte AD wordt belast met q(x) = q0(1-x/3), met x in meter. De balk BC heeft een ronde sectie met diameter 10 mm.

Bepaal q0 zodanig dat de spanning in de staaf BC 150 MPa bedraagt.

§ Normaalspanningen t.g.v. M

2.16 Een balk op twee steunpunten, met lengte 3 m, wordt belast met twee tegengestelde puntkrachten Q = 10 kN, aangrijpend op x = 1 m en x = 2 m. De pijlen in de figuur geven de fysische zin van de krachten weer.

Gevraagd:

a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn door het schrijven van de evenwichtsvergelijkingen voor een afgezonderde moot,

b) zoek een I-profiel (zie tabel in cursus) zó dat de maximale normaalspanning xx

niet meer dan 200 MPa bedraagt,

c) vergelijk het gewicht van het gevonden I-profiel met het gewicht van een balk met volle rechthoekige sectie, met dezelfde hoogte en dezelfde maximale normaalspanning onder deze belasting.

2.17 Een éénzijdig ingeklemde balk met lengte L = 2 m wordt belast met een kracht Q = 1000 N, aangrijpend in x = 2 m, en met een koppel K = 500 Nm, aangrijpend op x = 1,3 m.

(33)

Gevraagd:

a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn,

b) zoek de maximale normaalspanning xx als de balk een volle rechthoekige doorsnede heeft.

2.18 De hieronder geschetste balk heeft een volle ronde sectie met diameter 150 mm.

Bepaal het verloop van de normaalspanningen over de sectie in het punt A.

2.19 Een portiek is opgebouwd uit staven met vierkante doorsnede 10 x 10 mm. De grootste normaalspanning mag niet meer bedragen dan 100 MPa.

(34)

Hoeveel mag de kracht Q dan bedragen ?

2.20 Een stalen I-profiel met totale hoogte 10 cm heeft flenzen met een breedte van 5 cm en een dikte van 0,625 cm. De dikte van de lijfplaat is 0,475 cm.

Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen zijn dan 150 MPa, zowel in trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment dat men mag aanbrengen op dit I-profiel.

2.21 Een stalen buis met een externe diameter van 5 cm en een wanddikte van 0,5 cm wordt gedimensioneerd voor een toelaatbare spanning van 100 MPa.

Bereken het maximaal buigend moment.

(35)

2.22 Een stalen T-profiel met totale hoogte 10 cm heeft een flens met een breedte van 10 cm. De dikte is overal 1 cm. Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen zijn dan 150 MPa, zowel in trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment dat men mag aanbrengen op dit T-profiel.

2.23 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa,  = 0,3):

A B 10 kN

5 kNm

1 m 2 m

x

2 m

2 m 2 m 2 m

2 kN/m

Op de balk grijpt links (x = 0) een neerwaartse puntkracht aan van 10 kN, tussen x = 3 m en x = 5 m een verdeelde belasting van 2 kN/m en op het rechteruiteinde (x = 9 m) een koppel van 5 kNm met de getekende zin.

Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:

30 cm

2 cm

25 cm

y z

Het U-profiel heeft een constante wanddikte van 2 cm en wordt geplaatst met de twee benen naar beneden. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.

Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

Waar (welke doorsnede + positie binnen doorsnede) treedt de grootste normaalspanning

xx in de balk op ? Maak een duidelijke tekening van het spanningsverloop in deze dwarsdoorsnede.

(36)

A B

2 m

x

1 m 1 m 3 m

2 kN/m

Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 2 kN/m tussen x = 3 m en x = 4 m.

In het punt B (x = 5 m) is de balk opgehangen aan een verticale staaf van 2 m.

300 mm 40 mm

150 mm

y

z ^{50 mm}

80 mm

De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een massieve doorsnede, waaruit onderaan een rechthoekig stuk is weggenomen. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.

Bereken de maximale normaalspanning (in absolute waarde) die optreedt over de volledige balk. Geef met een figuur duidelijk aan waar deze spanning precies optreedt.

U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

§ Schuifspanningen t.g.v. V (formule Jourawski)

2.25 Bepaal de verdeling van de schuifspanningen xz in het cirkelvormig profiel:

(37)

x y z

R



2.26 Een balk met ruitvormige sectie wordt in een bepaalde doorsnede belast met de dwarskracht Vz = -100 kN. Bereken de schuifspanning xz in het punt A (yA = 7,5 mm;

zA = -22,5 mm).

2.27 Een balk die aan één zijde is ingeklemd, wordt belast met een kracht Q = 120 kN op de top, zoals op de figuur aangeduid. Q ligt in het vlak x-z en is evenwijdig met de z-as.

De doorsnede is een T-profiel. Bereken de grootste schuifspanning die in deze balk veroorzaakt wordt door de dwarskracht.

(38)

§ Samengestelde belastingen

2.28 Op de rand van een kolom wordt een kracht van 150 N uitgeoefend. Verwaarloos het gewicht van het onderdeel en bepaal de spanningstoestand in de punten B en C.

2.29 Onderstaand constructie-onderdeel heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede. Bepaal de spanningstoestand die in het punt C door de belasting wordt veroorzaakt.

2.30 Een rechthoekig blok heeft een te verwaarlozen gewicht en ondervindt een verticale kracht P. Bepaal het waardenbereik voor de excentriciteit ez van de belasting langs de z-as, zodanig dat deze geen trekspanning in het blok veroorzaakt.

(39)

2.31 Een balk met een dwarsdoorsnede 60 mm x 100 mm is onderworpen aan een axiale trekkracht van 60 kN. Als de vloeigrens van het materiaal in uni-axiale trek 150 MPa bedraagt, bereken dan de maximale dwarskracht die men bijkomend mag aanbrengen (parallel met de langste zijde van de rechthoek) vooraleer de balk begint te vloeien.

§ Doorbuigingen

2.32 Bepaal de verplaatsing van het punt C voor de volgende balk:

y x z

F

A

a

b

B C

2.33 Een balk op twee steunpunten wordt met drie krachten belast, waarvan er twee bekend zijn.

(40)

Bepaal de grootte van de kracht Q zodanig dat de doorbuiging in het aangrijpingspunt van Q nul is. Maak gebruik van superpositie van gekende oplossingen.

2.34 Een balk AB is in A ingeklemd. In B zijn de balken AB en CD aan elkaar gelast, zodat de rechte hoek tussen deze twee balken behouden blijft tijdens de belasting. De zwaartepunten van alle dwarse doorsneden liggen in het vlak x-z. Dit vlak snijdt alle dwarse doorsneden volgens een hoofdtraagheidsas. De doorsnede van elke balk is een vierkant met zijde 40 mm. In D werkt een uitwendige kracht Qx = 1,5 kN. De elasticiteitsmodulus bedraagt 210 GPa.

Bepaal de verplaatsing van het punt C.

2.35 Gegeven is de volgende stalen balk met E = 200 GPa:

y x z

F K

De totale lengte van de balk is 3 meter. Op het vrije uiteinde van de balk grijpt een koppel K aan van 45 kNm met de aangeduide zin.

De balk heeft over zijn volledige lengte het volgende profiel in het y-z vlak (met een opening met diameter 100 mm):

400 mm

200 mm

y z

(41)

Gevraagd:

a) bepaal de zin en grootte van de kracht F zodat de totale verticale doorbuiging op het uiteinde van de balk onder de gezamenlijke belasting van F en K nul is. U bent verplicht de tekenconventies van Hoofdstuk 2 te gebruiken.

b) bereken de plaats en de waarde van de maximale normaalspanning. De invloed van de dwarskracht mag verwaarloosd worden.

A B

10 kNm 5 kNm

1 m 4 m 2 m

Op de balk grijpen links en rechts twee externe koppels aan, respectievelijk 10 kNm en 5 kNm groot.

30 cm

10 cm

y z

15 cm

Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

Bereken en teken op een verzorgde figuur de verdeling van de normaalspanning xx in de zwaarst belaste doorsnede.

In welke doorsnede is de helling van de balk maximaal ? (Examen 2^de zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 60 minuten)

§ Singulariteitsfuncties

2.37 Bepaal de vergelijking van de doorbuigingslijn voor de eenzijdig ingeklemde balk in

(42)

2.38 Bepaal de maximale doorbuiging van de balk in onderstaande figuur. De buigstijfheid EI is constant.

y x z

10 kN/m

2 kN

5 m

2 m 10 m

B

Tussen x = 5 m en x = 10 m bevindt zich een verdeelde belasting van 10 kN/m en op het linkeruiteinde van de onderste ligger bevindt zich een neerwaartse kracht van 2 kN.

(43)

y z

25 mm 25 mm

25 mm

500 mm 100 mm

t = 5 mm

Twee kokers met een vierkante sectie en een wanddikte van 5 mm zijn aan weerszijden van een massieve rechthoek gelast. In elk van de drie balksegmenten van de constructie bevinden de kokers zich aan de zijde waar de trekspanningen in de balk optreden.

Welke is de meest beperkende voorwaarde: het feit dat de doorbuiging in het punt B moet beperkt blijven tot 25 mm, of het feit dat de maximale normaalspanning xx in de balk 210 MPa mag bedragen ? Bereken ook de effectief optredende waarde van de doorbuiging in B en de maximale normaalspanning xx in de constructie.

y x z

1 kN/m

4 m

2 m 5 m

5 kNm

C

A B

3 m 3 m

Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 1 kN/m tussen x = 3 m en x = 7 m.

In het punt B (x = 10 m) grijpt een koppel van 5 kNm aan met de getekende zin. Het punt C bevindt zich aan het uiteinde van het kraagstuk op x = 5 m (horizontaal gemeten vanaf de linkerkant).

(44)

y z

t = 10 mm

300 mm

De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een holle zeshoekige koker met wanddikte 10 mm en binnenhoogte van 300 mm. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.

Bereken de totale verplaatsing (in horizontale en verticale richting) van het punt C (waarbij u mag veronderstellen dat C op de hartlijn van de balk ligt. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

2.41 Gegeven zijn de volgende stalen balken ABC en CD (E = 200 GPa,  = 0,3). De linkerbalk ABC steunt in zijn rechtersteunpunt C op het uiteinde van de ingeklemde balk CD.

A ^x B

C

3 kN/m

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

D

Beide balken hebben onderstaande dwarsdoorsnede:

(45)

50 mm 80 mm

y

z

^{10 mm}

10 mm 50 mm

10 mm 180 mm 10 mm

Bereken de helling van de balk ABC in het punt B.

2.42 Gegeven zijn de stalen balken AB en DC (E = 200 GPa,  = 0,3).

Het uiteinde B van de balk AB is door middel van een veer met veerconstante k = 500 kN/m verbonden met het uiteinde C van de balk DC.

De dwarsdoorsnede van beide balken is een vierkant kokerprofiel met buitenafmetingen 200 mm x 200 mm en wanddikte 10 mm.

Bereken de verticale verplaatsing van het punt B.

1 m K = 5 kNm

A

1 m

3 kN

x B

D C

L = 0,5 m

(46)

2.43 Een stalen draagstructuur (E = 210 GPa) is opgebouwd uit twee cilindrische staven.

Beide staven hebben een lengte van 1 m en zijn scharnierend met elkaar verbonden in het punt S. De structuur wordt aan de rechterkant (punt B) verbonden met een starre wand door middel van een vaste ondersteuning. Aan de linkerzijde (punt A) wordt de structuur ondersteund door middel van een rol. Op de linker staaf grijpt centraal een verdeelde belasting aan van 8000N/m. Op de rechter staaf grijpt centraal een puntlast aan van 4000N.

25cm

4000 N 8000 N/m

50cm 25cm 50cm 50cm

A S B

De doorsnede van de cylindrische staven waaruit de draagstructuur is opgebouwd, is getoond in onderstaande figuur. Het aangeduide YZ-assenstelsel ligt in het middelpunt van de cirkel. De z-as gaat door de middellijn van de gelijkbenige driehoek, de y-as gaat door het basis van de driehoek.

Het massieve materiaal is gearceerd, de driehoek is de holte in het materiaal.

z

y

60 mm 20 mm

15 mm

Gevraagd:

1) Bereken en teken de V-lijn, N-lijn en M-lijn.

2) Bepaal de waarde van de grootste normaalspanning en duid de positie aan op beide bovenstaande figuren.

3) Bepaal de doorbuiging van het scharnierpunt S ten gevolge van de aangelegde belastingen.

(47)

Hoofdstuk 3

Oplossingsmethodes

Voor dit hoofdstuk worden geen oefeningen voorzien

(48)

Oplossingen

Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken 1.1 R = 6 kN

x = 0.8 m

1.2 RA,H = 2.5 kN RA,V = 3.693 kN RD = 3.636 kN

1.3 RA,H = 1.414 kN RA,V = 6.414 kN RMA = -3.414 kNm

1.4 RA,H = -2.886 kN (naar links gericht) RB,H = 2.886 kN

RB,V = 5 kN

1.5 Fx = 0.0 N Fz = 58.75 N My = 5.6875 Nm

1.6 F_x = -500 N (positief naar rechts) F_z = 500 N (positief naar boven)

M_y = 500 Nm (positief in uurwijzerzin)

1.7 Fx = -6200 N Fz = -3150 N My = -6300 Nm

1.8 Het achterwiel komt los als x > 12,11 m 1.9 N = 2,709 kN

M = -2,499 kNm V = 0 kN

1.10 N = -16,7744 kN M = 2,3838 kNm V = 1,9865 kN

(49)

1.11 F_x,BC = 30 kN (maximale kracht in sectie BC) sigma_BC = 85,7 MPa

1.12 sigma_BA = 8,05 MPa

1.13 sigma = 0,22 MPa

1.14 x = 123.8 mm

1.15 (i)  = 0.5 MPa en  = 0.0 MPa (ii)  = 0.375 MPa en  = 0.2165 MPa

1.16 AB = 2.4 MPa

AC = 1.6 MPa

 = 0.8 MPa

1.17  pen A = 4 mm

 pen B = 6 mm

 staaf BC = 6 mm

1.18 Staafdiameter >= 20,6 mm Dikte van de schijf >= 4,55 mm

1.19 Axiale spanning in as: P <= 51,8 kN Vlaktedruk in kraag in C: P <= 55,0 kN

1.20 Veiligheidsfactoren worden altijd toegepast bij het design van een werkelijke constructie. Er is immers een (soms grote) onzekerheid over de belastingen op de constructie, en er is ook spreiding op de materiaaleigenschappen. Daarom voert men veiligheidsfactoren in. Verder zijn er in dit geval 3 beperkende voorwaarden voor de kracht P:

staaf AC: P <= 170,9 kN blok B: P <= 168 kN pen A en C: P <= 183,2 kN

1.21 sigma_I = 202,1288 MPa sigma_II = 110,4628 MPa

(50)

a_I_ij = 0,02031 0,45947 0,88796 a_II_ij = 0,84645 –0,48057 0,22931 a_III_ij = 0,53209 0,74695 –0,39868

1.22 I = 196.62 MPa aI,1 = 0.9637 aI,2 = 0.0 aI,3 = -0.2669

1.23 (i) 0.00238 m (ii) 0.0119 mm/mm

1.24 eps_gem = 0,001

1.25 eps_AB,gem = -7,93 x 10^-3 gamma_xy = 0,0121 rad

1.26 eps_gem,AC = 0,00669 gamma_xy = -0,0132 rad

1.27 Met E_staal = 200 GPa en nu_staal = 0,32, worden de waarden:

delta_xx = 120 micrometer delta_yy = -2,56 micrometer delta_zz = -1,28 micrometer

1.28 E = 70.028 GPa

d = -0.0416 mm

1.29 Met E_staal = 200 GPa worden de waarden:

delta_A = 0,615 mm (verlenging) delta_B_C = 0,105 mm (verlenging)

1.30 uC = 0.41985 mm

1.31 delta_F = 0,225 mm (naar beneden)

1.32 Verplaatsing uiteinde = (gamma x L^2)/(6 x E-modulus)

(51)

1.33 volumerek = -0,0113 delta_a = -0,375 mm delta_b = -0,188 mm delta_c = -0,281 mm

1.34 rek (%) = 0,058 %

1.35  = 43,5 MPa

verlenging = 0,218 mm

1.36 delta = 46,2 cm

1.37 E = 70 GPa

1.38 max = ½ * rho * omega^2 * L^2

urr = rho * omega^2 * L^3 / (3 * E)

1.39 st = 37.04 MPa

br = 15.74 MPa

1.40 Pb = 47.87 kN

1.41 delta_L_AC = 0,248 mm

1.42 FCD = 8,8 kN FEF = 26,4 kN

1.43 RA = 10,833 kN

 = 41 MPa

1.44 F = [2 * k3 + (2 * k1 * k2)/(2*k1 + k2)] * u

1.45 F = (b+c)/b * k * (l0 – a + (b+c)/b*t)

1.46 Veerkracht = 19,95 kN Snedekracht in A = 13,98 kN

(52)

1.47 a) xx, staal = 95.4 MPa, xx, alu = -35.77 MPa b) L = 1001.343 mm

1.48 sigma_Alu = -65,7 MPa sigma_St = 12,3 MPa

1.49 a) zz = 120 MPa b) D = -0.0128 mm

1.50 Met E = 200 GPa en alfa = 12 x 10^-6 /graad Celsius:

sigma = -84 MPa

1.51 staal = 50.6 MPa

alu = -33.8 MPa 1.52 xx = yy = 286.6 MPa

1.53 sigma_Alu = 10,238 MPa sigma_St = -14,748 MPa

1.54 a) Uinw = 3.2725 * 10⁶ Joule

1.55 Alle waarden x 10^-4 mm^2/N S_11 = 1.0

S_12 = -0.2 S_13 = -0.4 S_22 = 1.0 S_23 = -0.4 S_44 = 10.0

1.56 a) 11 = 46.06 MPa, 22 = -127.3 MPa b) abs(11/22) = 1.75

abs(22/11) = 14.343

(53)

Hoofdstuk 2: Structureel gedrag

2.1 Kies bv. het assenstelsel in de linkerbenedenhoek van het profiel, op de hartlijn.

y_O = 5,92 mm z_O = 8,36 mm I_yy = 8102 mm^4

2.2 De oefening kan exact worden opgelost, maar het draadmodel levert hier een veel snellere oplossing, en U kan nagaan dat de gemaakte fout zeer klein is. Maak alleszins gebruik van de formules voor statische momenten en traagheidsmomenten uit Tabel 2.1.

I_zz = 21920 mm^4

2.3 z_C = 8,55 cm I_yy = 646 cm^4

2.4 I_y'y' = 2,90 x 10^9 mm^4 I_z'z' = 5,60 x 10^9 mm^4 I_y'z' = 3,00 x 10^9 mm^4 I_YY = 7,54 x 10^9 mm^4 I_ZZ = 0,960 x 10^9 mm^4

2.7 x < L : V = F*a/L, M = F * a * x/L x > L : V = -F, M = F * (L+a-x)

2.8 V = - abs(F)

M = abs(F) * (a - x)

(54)

M = K

2.10 V = K/L M = K/L * x

2.11 V = q_0 * L/6 * [1 - 3*(x/L)^2]

M = q_0 * L^2/6 * [x/L - (x/L)^3]

2.12 V = -q_0 * L/2 * (1 - x/L)^2 M = q_0 * L^2/6 * (1 - x/L)^3

2.13 x < 9 m : V = 29.166 * x^2 – 466.66 M = 9.722 * x^3 – 466.66*x x > 9 m : V = 29.166 * x^2 – 4200

M = 9.7222 * x^3 – 4200*x + 33600

2.14 z_C = -9,231 mm t.o.v. midden bovenste rechthoek

2.15 q0 = 27489 N/m

2.16 b) IPE 80

c) gewicht I / gewicht massieve rechthoek = 0.61144

2.17 b) Mmax = 2500 Nm max = 138,88 MPa

2.18 xx,N = 0,08 MPa

xx,M = 0,0569 * z [MPa] (met z in mm)

2.19 Q < 82,64 N

2.20 M_max = 4926 Nm

2.21 M_max = 724 Nm

2.22 M_max = 3790 Nm

(55)

2.23 sigma_max = -16,8556 MPa

2.24 sigma_max = 2,83077 MPa

2.25 tau_xz = 4/3 * V/(pi*R^2) * (cos(theta))^2

2.26 tau_xz = -74,074 MPa

2.27 xz,max = -20,47 MPa

2.28 sigma_B = 75 kPa (trekspanning) sigma_C = -150 kPa (drukspanning)

2.29 xx,N = -1,316 MPa

xx,M = -63,158 MPa

2.30 -h/6 <= e_z <= +h/6

2.31 Tresca: V < 299,3 kN von Mises: V < 345,6 kN

2.32 Eerst verplaatsing B t.o.v. AB, dan doorbuiging BC

u_x(C) = F*a/(E*A) + F*b^3/(3EI_yy) + F*a*b^2/(EI_yy) u_z(C) = -F*b*a^2/(2*EI_yy)

2.33 Q = 1375 N

2.34 Eerst doorbuiging in B t.g.v. buiging van AB berekenen u_x = 1,395 mm

u_z = 1,046 mm

2.35 a) F = 22,5 kN (opwaarts) b)  = 8,89 MPa

2.36 sigma_max = 7,5622 MPa helling maximaal als x = 3,66 m

(56)

2.37 v = 1/EI * (-129*x^2 + 26/3*x^3 –1/3*x^4 + 1/3*<x-5>^4 + 25*<x-5>^2 [meter]

2.38 Doorbuiging maximaal in C of waar du/dx = 0 (3 m < x < 9 m) u(C) = -1560 kNm^3/(EI_yy)

u(D) = 630,357 kNm^3/(EI_yy) (voor x = 6,071 m)

2.39 u(B) = -47,54177 mm sigma_max = -89,943 MPa

2.40 ux = 0,177 mm uz = -5,5322 mm

2.41 Helling in x = 1,5 m bedraagt 0,0004624 rad

2.42 u_B = -4,254 mm

2.43 Enkel verticale snedekracht in scharnier = 2 kN opwaarts IYY = 630337,4231 mm⁴

Doorbuiging uS = -8,15 mm

(57)

Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes

Voor dit hoofdstuk worden geen oefeningen voorzien