• No results found

Oefeningensyllabus Materialen van Mechanica

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Oefeningensyllabus Materialen van Mechanica"

Copied!
88
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN EN

ARCHITECTUUR

VAKGROEP MATERIALEN,TEXTIEL EN CHEMISCHE PROCESKUNDE (EA11)

Mechanica van

Materialen

Oefeningensyllabus

Academiejaar 2017-2018

Verantwoordelijk lesgever en auteur: Prof. dr. ir. Wim VAN PAEPEGEM Medelesgever: Prof. dr. ir. Wim DE WAELE

Universiteit Gent

Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Vakgroep Materialen, Textiel en Chemische Proceskunde (EA11)

(2)

Hoofdstuk 1

Krachten, momenten, spanningen en rekken

§ Statica van constructies

1.1 Bepaal de grootte en de positie van de resultante van volgende krachten:

1.2 Bepaal de reactiekrachten van de eenvoudig opgelegde balk ABCD.

(3)

1.3 Bepaal de reactiekrachten van de ingeklemde balk ABC.

1.4 Bepaal de krachten in de vakwerkstaven, als alle individuele staven verbonden zijn door scharnieren. Er kan dus geen moment worden overgedragen van de ene staaf naar de andere.

1.5 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op de dwarsdoorsnede in het punt C van de machine-as werken. De as wordt in A en B ondersteund door lagers die alleen verticale krachten op de as uitoefenen. De rotatie van de as wordt niet verhinderd.

(4)

1.6 Het hijstoestel in onderstaande figuur bestaat uit de balk AB en de daaraan bevestigde katrollen, de kabel en de motor. Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op de dwarsdoorsnede in het punt C werken als de motor de vracht W van 500 N met constante snelheid ophijst. Negeer het gewicht van de katrollen en de balk.

1.7 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die in het punt G op de dwarsdoorsnede van de houten balk werken. Neem aan dat de verbindingen bij A, B, C, D en E met scharnieren zijn uitgevoerd, zodat geen moment kan overgedragen worden.

1.8 Gegeven is onderstaande auto met aanhangwagen. Het gewicht van de auto FG1 is 25000 N. Het gewicht van de aanhangwagen FG2 is 1200 N en grijpt aan net boven de wielen van de aanhangwagen. De afmetingen zijn a = 2 m, b = 0.5 m en L = 2 m.

In de aanhangwagen wordt nu een massa geplaatst met gewicht Fm = 1000 N. Bepaal de uiterste posities (x) ten opzichte van de trekhaak opdat de wagen steeds met vier wielen op de grond blijft.

(5)

1.9 Gegeven is de volgende constructie:

60 60

6 m

2 m 2 m 10 kN

5 kN/m

C

A B

D

E F

G

Gevraagd zijn de snedekrachten en –momenten in het punt G (halverwege de verticale staaf met lengte 2 m).

(Examen 1ste zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)

1.10 Gegeven is de volgende constructie. De rechtstaande kolom CF heeft een massa per lopende meter van 250 kg/m. Ter hoogte van A wordt een horizontale ligger AB

(6)

(Examen 2de zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 40 minuten)

§ Spanningen

1.11 De onderstaande staaf heeft een constante breedte van 35 mm en een dikte van 10 mm.

Bepaal de maximale gemiddelde trekspanning  (= Fn/A) in de staaf voor de aangegeven belasting. De belastingen van 9 kN en 4 kN werken niet op de volledige omtrek van de schijven, maar zijn twee afzonderlijke puntlasten op de boven- en onderzijde van de schijven.

1.12 De onderstaande lamp van 80 kg wordt ondersteund door twee stangen AB en BC. De stang AB heeft een diameter van 10 mm en de stang BC een diameter van 8 mm.

Bepaal welke stang de grootste gemiddelde trekspanning  (= Fn/A) heeft.

(7)

1.13 Het onderstaande gietstuk is gemaakt van staal dat een soortelijk massa heeft van

st = 7990 kg/m3. Bepaal de gemiddelde drukspanning  (= Fn/A) die op de punten A en B werkt.

1.14 Onderdeel AC in onderstaande figuur wordt belast door een verticale kracht van 3 kN.

Bepaal de positie x van deze kracht, zodanig dat de drukspanning in het punt C gelijk is aan de trekspanning in de trekstang AB. De stang heeft een dwarsdoorsnede met oppervlakte 400 mm2, en de contactoppervlakte bij C is 650 mm2. In het punt C is de balk gewoon opgelegd op de ondergrond.

(8)

1.15 De onderstaande staaf heeft een vierkante dwarsdoorsnede waarvan breedte en hoogte beide 40 mm bedragen. Langs de zwaartepuntsas van de dwarsdoorsnede van de staaf werkt een axiale kracht van 800 N. Bepaal de gemiddelde normaalspanning  (= Fn/A) en de gemiddelde schuifspanning  (= Ft/A) op het materiaal langs (i) het doorsnedevlak a-a en (ii) het doorsnedevlak b-b.

1.16 Het hellende onderdeel in onderstaande figuur ondervindt een drukkracht van 600 N.

Bepaal de gemiddelde drukspanning  (= Fn/A) op de contactvlakken die door AB en BC worden gedefinieerd, en de gemiddelde schuifspanning  (= Ft/A) langs het horizontale vlak dat door EDB wordt gedefinieerd. De wrijving tussen beide houten balken mag verwaarloosd worden.

(9)

1.17 Twee onderdelen zijn in B met een scharnier aan elkaar bevestigd. De figuur toont ook bovenaanzichten van de penverbindingen bij A en B. Als de pennen een toelaatbare schuifspanning toel = 125 MPa hebben en de staaf CB een toelaatbare trekspanning

toel = 162 MPa , bepaal dan de kleinste diameter van de pennen A en B en de diameter van de staaf CB, nodig om de belastingen te ondersteunen, tot op de dichtstbijzijnde hele millimeter.

1.18 Een hangende staaf wordt aan het bovenuiteinde ondersteund door een vast bevestigde schijf. Als de staaf door een gat van 40 mm diameter gaat, bepaal dan de minimaal vereiste diameter van de staaf en de minimale dikte van de schijf, nodig om de belasting van 20 kN te ondersteunen. De toelaatbare trekspanning voor de staaf is toel

= 60 MPa en de toelaatbare schuifspanning voor de schijf is toel = 35 MPa.

(10)

1.19 Een axiale belasting op de onderstaande as wordt opgevangen door de kraag bij C, die op de as bevestigd is en zich op de rechterkant van het lager bij B bevindt. Bepaal de grootste waarde van P voor de twee axiale krachten bij F en E, zodanig dat de spanning in de kraag niet groter wordt dan de toelaatbare vlaktedruk toel = 75 MPa, en de trekspanning in de as de toelaatbare waarde van toel = 55 MPa niet overschrijdt.

1.20 De starre, onvervormbare staaf AB wordt ondersteund door een stalen staaf AC met een diameter van 20 mm en een aluminium blok dat een dwarsdoorsnede heeft met oppervlakte 1800 mm2. De pennen van 18 mm diameter bij A en C ondervinden een zuivere afschuiving. Als de bezwijkspanning voor staal st = 680 MPa bedraagt en voor aluminium alu = 70 MPa, en de bezwijkschuifspanning voor elke pen pen = 900 MPa, bepaal dan de grootste belasting P die op de staaf kan worden uitgeoefend.

Gebruik een veiligheidsfactor VF = 2,0 voor de gegeven materiaaleigenschappen.

(11)

§ Hoofdspanningen en hoofdrichtingen

1.21 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P:

 

M Pa

160 80 32

80 50 56

32 56 70

ij





Bepaal de hoofdspanningen en hoofdrichtingen in dit punt.

1.22 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P:

 

M Pa

20 0

60

0 120 0

60 0

180

ij





Bereken de grootste normaalspanning voor de verzameling van alle vlakjes door het punt P.

§ Rekken

1.23 De dunne staaf in onderstaande figuur ondervindt een temperatuurverhoging die een functie is van de afstand z en die in de staaf een verlenging veroorzaakt van:

z 10 40 3

met z in meter.

(12)

1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep van de hefboom en zorgt ervoor dat de arm van de hefboom in uurwijzerzin roteert over een hoek van  = 0,002 rad. Bepaal de gemiddelde rek die in de draad BC ontstaat.

1.25 Onderstaande plaat wordt vervormd tot de gestippelde vorm. Als in deze vervormde toestand horizontale lijnen op de plaat horizontaal zijn gebleven en niet van lengte zijn veranderd, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de zijde AB, en (ii) de gemiddelde afschuifhoek in de plaat ten opzichte van de x- en de y-as.

1.26 De getoonde plaat zit aan de bovenzijde AD en onderzijde BC vast aan starre horizontale geleiders. Als de rechterzijde CD een gelijkmatige horizontale verplaatsing van 2 mm ondergaat, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de diagonaal AC, en (ii) de afschuifhoek bij E t.o.v. de x- en y-as.

(13)

§ Wet van Hooke

1.27 Een staaf gemaakt van staal heeft de in onderstaande figuur aangegeven afmetingen.

Als een axiale kracht P = 80 kN op de staaf wordt uitgeoefend, bereken dan de verandering in lengte en de verandering in de afmetingen van de dwarsdoorsnede nadat de belasting is aangebracht. Het materiaal gedraagt zich lineair elastisch, met E = 200 GPa en  = 0,32.

1.28 Een aluminium proefstaaf heeft een diameter d0 = 25 mm en een meetlengte L0 = 250 mm. Als een kracht van 165 kN de meetlengte vergroot met 1,20 mm, bepaal dan de elasticiteitsmodulus. Bepaal tevens de dwarscontractie van de proefstaaf ten gevolge van de kracht. De glijdingsmodulus van aluminium bedraagt Galu = 26 GPa en de elasticiteitsgrens v = 440 MPa.

(14)

1.29 Een samengestelde stalen staaf (E = 200 GPa) bestaat uit twee segmenten AB en BD, die dwarsdoorsnedes hebben met oppervlakte AAB = 100 mm2, respectievelijk ABD = 200 mm2. In de figuur is te zien dat 5 geïsoleerde puntbelastingen worden uitgeoefend.

Bepaal de verticale verplaatsing van uiteinde A en de verplaatsing van B t.o.v. C.

1.30 De getoonde constructie bestaat uit een holle aluminium buis AB met Ealu = 70 GPa.

De dragende oppervlakte van de holle cilinder bedraagt 400 mm2. Binnenin de buis bevindt zich een stalen staaf met een diameter van 10 mm en Est = 200 GPa, die aan een starre kraag in B is bevestigd. De stalen staaf kan horizontaal vrij verplaatsen ter

(15)

1.31 Een onvervormbare balk rust op twee korte palen. De paal AC is van staal (Est = 200 GPa) en heeft een diameter van 20 mm. De paal BD is van aluminium (Ealu = 70 GPa) en heeft een diameter van 40 mm. Bepaal de verplaatsing van het punt F op de balk AB als dit punt een verticale belasting van 90 kN ondervindt.

1.32 Een onderdeel is gemaakt van een materiaal dat een soortelijke massa  [kg/m3] en een elasticiteitsmodulus E [N/m2] heeft. Als dit materiaal wordt gevormd tot een kegel met de in de figuur getoonde afmetingen, bepaal dan hoe ver het uiteinde van de kegel verplaatst als gevolg van de zwaartekracht, wanneer het in een verticale positie wordt opgehangen.

(16)

1.33 Een rechthoekig rubberblok ondervindt een gelijkmatige druk p = 150 MPa op alle zijden. Bepaal de volumerek en de lengteverandering van elke zijde. Neem Erub = 4 GPa en rub = 0,45.

1.34 Een ronde proefstaaf met diameter 2,5 cm wordt in zijn langsrichting belast met een trekkracht van 20 kN. Als het materiaal zich elastisch gedraagt en een E-modulus heeft van 70 GPa, bereken dan de procentuele verlenging.

1.35 De zuiger van een hydraulische pers heeft een diameter van 40 cm, terwijl de zuigerstang een diameter heeft van 6 cm. De lengte van de zuigerstang is 1 meter en de waterdruk bedraagt 1 MPa. Bereken de spanning in de zuigerstang en de verlenging van de zuigerstang als de waterdruk langs de kant van de zuigerstang aangrijpt. De elasticiteitsmodulus van de zuiger en zuigerstang is 200 GPa.

1.36 Een stalen transmissiekabel (E = 200 GPa) van 750 m lengte en 0,5 cm diameter wordt door een lange rechte leiding getrokken. Als het ene uiteinde van de kabel 17,5 cm in de leiding wordt getrokken, hoeveel verplaatst het andere uiteinde dan als de trekkracht in de kabel 1,5 kN bedraagt ?

(17)

1.38 Een rechte staaf met dwarsdoorsnede A, lengte L, soortelijke massa  en elasticiteitsmodulus E draait met een constante hoeksnelheid  rond één van zijn eindpunten om een as die loodrecht staat op zijn lengte-as. Bereken de maximale trekspanning in de staaf en de verlenging van het vrije eindpunt van de staaf.

1.39 Een horizontale balk met een gewicht van 50 N is opgehangen aan drie kabels, twee aan de uiteinden van de balk en één in het midden. The twee buitenste kabels met diameter 0,125 cm zijn vervaardigd uit messing (E = 85 GPa), de middenste kabel met diameter 0,0625 cm uit staal (E = 200 GPa). Als de horizontale balk onvervormbaar ondersteld wordt en alle kabels hebben dezelfde lengte, bereken dan de spanningen in de kabels.

1.40 Een stalen bout met diameter 2,5 cm wordt in een stalen huls gebracht met 5 cm interne diameter en 6,25 cm externe diameter. De bout wordt via een moer (rechts) voorgespannen tussen de starre eindblokken van de huls tot de trekkracht in de bout 40 kN bedraagt. Na voorspanning is de lengte van de huls tussen de starre eindblokken 40 cm en de afstand tussen de kop van de bout (links) en de moer (rechts) is 50 cm. Als nu een externe trekkracht van 30 kN wordt aangebracht op de starre eindblokken, bereken dan de trekkracht in de bout.

(18)

1.41 Een dunne rechthoekige aluminium plaat heeft de onderstaande afmetingen. De elastische constanten van het materiaal zijn E = 77,5 GPa en G = 29,5 GPa.

Ze is onderworpen aan de spanningstoestand:

 

M Pa

0 0 0

0 115 20

0 20 100

ij





Bepaal de lengteverandering van de diagonaal AC.

1.42 Gegeven is de volgende belastingstoestand:

De balk AB is bij A met een pen bevestigd en wordt opgehangen aan twee aluminium staven, elk met een diameter van 25 mm en een elasticiteitsmodulus Ealu = 70 GPa. Als de balk AB als onvervormbaar mag beschouwd worden en in het begin horizontaal staat, bepaal dan de kracht in elke verticale staaf wanneer de belasting van 22 kN

(19)

1.43 Gegeven is het volgende probleem:

A

20 kNm

10 kN

0,5 m 2 m 0,5 m

B C

1 m 1 m

Een starre, onvervormbare balk is opgehangen aan drie vervormbare staven met volgende dwarsdoorsnede:

25 mm

25 mm

De wanddikte van de kokers is 3 mm.

Bereken de maximale normaalspanning en geef aan in welke verticale staaf ze optreedt.

(Examen 2de zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)

1.44 Een kracht F wordt aangelegd aan een constructie van starre balken, verbonden door veren met veerconstante ki (i = 1...3), zoals aangegeven in bovenstaande figuur.

Bepaal het verband tussen de aangelegde kracht F en de gerealiseerde verplaatsing u.

(20)

1.45 Gegeven is een schematische voorstelling van een drukknop. De veer rechts onderaan heeft een vrije lengte l0 en is voorgespannen tot lengte a (in P steunt de hefboom immers tegen de behuizing van de drukknop).

Bepaal de kracht F zodat de opening met breedte ‘t’ opgeheven wordt en er dus elektrisch contact gemaakt wordt om het licht aan te steken. Gezien de beperkte verplaatsingen, mag men aannemen dat F tijdens belasting verticaal blijft aangrijpen, en de hefboomsarm gelijk blijft aan de afstand ‘b’.

1.46 Gegeven is het volgende probleem:

Een veer heeft een stijfheid k = 400 kN/m en in ongerekte toestand een lengte van 250 mm. De veer wordt ingedrukt, over het 200 mm lange gedeelte AC van de aluminium staaf AB geplaatst, en vervolgens losgelaten. Bepaal de kracht die de staaf bij A op de muur uitoefent. Voordat de belasting wordt aangebracht, is er een ruimte van 0,1 mm tussen de staaf en de muur bij B. De staaf is bij A in de muur ingeklemd. Verwaarloos de dikte van de onvervormbare plaat bij C. De stijfheid van het aluminium is 70 GPa.

§ Thermische spanningen

(21)

Verdere gegevens zijn:

staal:

C / 10 11,0

0,3 GPa 206 E

mm 1000 L

mm 6 h

mm 30 b

6 - 1

1 1 1

aluminium:

C / 10 23,0

0,3 GPa 72 E

mm 1000 L

mm 8 h

mm 30 b

6 - 2

2 2 2

Het trimetaal, spanningsvrij ondersteld bij 20 C, wordt homogeen opgewarmd tot 100 C. Gevraagd:

a) bereken in elke strip de optredende thermische spanning. Er dient enkel rekening gehouden te worden met de spanningen xx in de langsrichting,

b) bepaal de uiteindelijke afmetingen van het trimetaal (opnieuw enkel in de langsrichting).

1.48 Het te analyseren systeem bestaat uit:

- twee starre eindblokken, die vrij kunnen bewegen in de horizontale richting, - vier stalen buizen A, symmetrisch opgesteld,

- één aluminium strip B.

De buizen én de strip zijn gelast aan beide eindblokken.

De dwarsdoorsnede van de stalen buizen A en de aluminium strip B zijn hieronder getoond:

(22)

staal:

C / 10 11,0

0,3 GPa 200 E

mm 400 L

mm 10 r

mm 7 r

6 - a

a a u i

aluminium:

C / 10 21,0

0,25 GPa 70 E

mm 400 L

mm 4 h

mm 30 b

6 - b

b b

Bereken de thermische spanning in de materialen A en B, als het geheel een gelijkmatige temperatuurstijging van 100 C ondergaat.

1.49 Een bout met moer steekt in een gat in een blok. Bij omgevingstemperatuur is er een speling van 0,10 mm tussen de bout en het blok. De bout wordt 100 C afgekoeld, terwijl het blok geen verandering van temperatuur of lengte ondergaat.

De eigenschappen van het materiaal van bout en moer zijn:

staal:

C / 10 11,0

0,3 GPa 200 E

6 -

Gevraagd:

a) wat is dan de thermische spanning in deze bout ? b) wat is de verandering van de diameter van de bout ?

1.50 Een stalen staaf (E = 200 GPa) is zodanig gekrompen dat hij precies tussen twee starre ondersteuningen past als de temperatuur T1 = 15 C. Als de temperatuur wordt verhoogd tot T2 = 50 C, bepaal dan de gemiddelde thermische drukspanning die in de staaf ontstaat.

(23)

1.51 Een buis van aluminium (Ealu = 73,1 GPa, alu = 2310-6 m/mC) met een dwarsdoorsnede-oppervlakte van 600 mm2 wordt gebruikt als bus voor een bout van staal (Est = 200 GPa, st = 1210-6 m/mC) met een dwarsdoorsnede-oppervlakte van 400 mm2. Als de temperatuur T1 = 15 C is, houdt de moer de constructie zodanig in positie dat de axiale kracht in de bout mag worden verwaarloosd. Als de temperatuur oploopt tot T2 = 80 C, bepaal dan de gemiddelde spanning in de bout en in de bus.

1.52 Een messing plaat (E = 120 GPa,  = 0,33 en  = 1610-6 m/mC) met afmetingen 20 mm x 30 mm x 2 mm is gevat in een star frame met een verwaarloosbare thermische uitzettingscoëfficiënt. De vier randen van de plaat zijn star met het frame verbonden.

Als de temperatuur daalt met 100 C, bereken dan de resulterende spanningen in de plaat.

(24)

1.53 Een aluminium bout (Ealu = 70 GPa, alu = 2310-6 m/mC) met diameter 2,2 cm wordt in een stalen bus (Est = 200 GPa, st = 1210-6 m/mC) geplaatst met binnendiameter 2,5 cm en wanddikte 0,3 cm. Beide worden op een temperatuur van 140 C gebracht en bij deze temperatuur wordt de aluminium bout lichtjes aangeschroefd in de stalen bus. Als de temperatuur nu met 20 C daalt, bereken dan de spanningen in de aluminium bout.

§ Arbeid en elastische energie

1.54 Een dunwandig vat heeft de vorm van een bol. De gemiddelde diameter van de bol is D en de wanddikte e (waarbij e << D). Dit sferisch vat is onderworpen aan een inwendige druk p.

D e

p

Een goede benadering voor de spanningstoestand is, in bolcoördinaten:













 













e 4

D 0 p

0 e 0 4

D 0 p

0 0

0 ]

[

r r

r r rr

waarbij:

D = 20 m e = 8 mm p = 0,5 MPa E = 210 GPa

 = 0,3 Gevraagd:

a) bereken de elastische energie in de wand van het vat,

b) verifieer het resultaat door de arbeid van de inwendige druk te berekenen.

(25)

§ Orthotrope materialen

1.55 Men heeft een multiplex-plaat opgebouwd door achtereenvolgens veel dunne lagen van eenzelfde houtsoort en dezelfde dikte op elkaar te lijmen, met afwisselend een laag waarin de vezels volgens de x-as liggen en een laag waarin de vezels volgens de y-as liggen. De aldus opgebouwde plaat wordt beschouwd als een homogeen materiaal.

Men heeft in het laboratorium volgende proeven verricht, telkens in vlakspanning (33

= 13 = 23 = 0):

- een trekproef in de x-richting met:

0 0 M Pa 10

12 22 11

Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek:

3 33

3 22

3 11

10 4 , 0

10 2 , 0

10 0 , 1

- een proef in afschuiving met:

M Pa 10

0 0

12 22 11

Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek:

3 12  5,010

Bepaal, met behulp van alle beschikbare inlichtingen, zoveel mogelijk elasticiteitsconstanten en schrijf de gevonden waarden in een matrix [S], zodat

 

 [S]

 

 . Zet een vraagteken voor de onbekende waarden.

1.56 Een plaat is vervaardigd uit boron/epoxy composiet.

(26)

Dit transversaal isotroop materiaal telt vijf onafhankelijke elasticiteitsconstanten, zodat:

GPa

9 , 5 0 0 0 0 0

0 14 , 8 0 0 0 0

0 0 14 , 8 0 0 0

0 0 0 4 , 29 7 , 13 6 , 24

0 0 0 7 , 13 4 , 29 6 , 24

0 0 0 6 , 24 6 , 24 0 , 209

] C [













De plaat wordt belast in vlakspanning (33 = 13 = 23 = 0), met de spanningen 11 en

22 uniform verdeeld over de randen, zodat 11 = 6,56210-4 en 22 = -59,05510-4. Gevraagd:

a) bepaal de waarde van de aangelegde spanningen 11 en 22 en de dikteverandering, b) bereken de rekverhouding 11/22 in twee gevallen:

- de plaat wordt belast met 11 = 75 MPa, - de plaat wordt belast met 22 = 75 MPa.

(27)

Hoofdstuk 2

Structureel gedrag

§ Geometrische eigenschappen

2.1 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede:

a) de juiste ligging van het zwaartepunt O,

b) het traagheidsmoment Iyy om de horizontale as door O.

2.2 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede het traagheidsmoment om een horizontale as door het zwaartepunt.

2.3 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede van het T-profiel de ligging van het zwaartepunt en het traagheidsmoment om een horizontale as door het zwaartepunt.

(28)

2.4 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede de ligging van het zwaartepunt, de traagheidsmomenten Iyy, Izz en Iyz om de horizontale en verticale as door het zwaartepunt, de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten.

2.5 Een hoekprofiel met uniforme dikte 0,5 cm heeft twee benen van 6 cm en 4 cm.

Bereken de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten.

(29)

2.6 Een Z-profiel heeft een dwarsdoorsnede zoals aangegeven in onderstaande figuur.

Bereken de traagheidsmomenten om de assen y en z, evenals de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten.

§ Dwarskracht- en momentenlijnen bepalen

2.7 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:

y x z

F

B C A

L a

(30)

2.8 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:

y x z

F

A

L a

B

2.9 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:

y x z

A

L

B

K

2.10 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:

y x z

B A

L

K

2.11 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:

y x z

B A

q0

(31)

2.12 Een éénzijdig ingeklemde balk met lengte L = 3 m wordt belast met een verdeelde belasting q(x) = q0(1-x/L), met q0 = 2000 N/m.

Bereken en teken de V-lijn en M-lijn.

2.13 Een balk op twee steunpunten wordt belast met een verdeelde belasting q(x) = q0[x/(L1+L2)], met q0 = 700 N/m, L1 = 9 m en L2 = 3 m.

Bereken en teken de V-lijn en M-lijn.

§ Normaalspanningen t.g.v. N

2.14 Een ingeklemde balk met een T-vormige sectie wordt op het uiteinde belast met een axiale kracht Q.

(32)

2.15 De balken AB en BC worden gesteund in de scharnieren A en C en zijn onderling verbonden in B met een scharnier. Het gedeelte AD wordt belast met q(x) = q0(1-x/3), met x in meter. De balk BC heeft een ronde sectie met diameter 10 mm.

Bepaal q0 zodanig dat de spanning in de staaf BC 150 MPa bedraagt.

§ Normaalspanningen t.g.v. M

2.16 Een balk op twee steunpunten, met lengte 3 m, wordt belast met twee tegengestelde puntkrachten Q = 10 kN, aangrijpend op x = 1 m en x = 2 m. De pijlen in de figuur geven de fysische zin van de krachten weer.

Gevraagd:

a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn door het schrijven van de evenwichtsvergelijkingen voor een afgezonderde moot,

b) zoek een I-profiel (zie tabel in cursus) zó dat de maximale normaalspanning xx

niet meer dan 200 MPa bedraagt,

c) vergelijk het gewicht van het gevonden I-profiel met het gewicht van een balk met volle rechthoekige sectie, met dezelfde hoogte en dezelfde maximale normaalspanning onder deze belasting.

(33)

Gevraagd:

a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn,

b) zoek de maximale normaalspanning xx als de balk een volle rechthoekige doorsnede heeft.

2.18 De hieronder geschetste balk heeft een volle ronde sectie met diameter 150 mm.

Bepaal het verloop van de normaalspanningen over de sectie in het punt A.

2.19 Een portiek is opgebouwd uit staven met vierkante doorsnede 10 x 10 mm. De grootste normaalspanning mag niet meer bedragen dan 100 MPa.

(34)

Hoeveel mag de kracht Q dan bedragen ?

2.20 Een stalen I-profiel met totale hoogte 10 cm heeft flenzen met een breedte van 5 cm en een dikte van 0,625 cm. De dikte van de lijfplaat is 0,475 cm.

Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen zijn dan 150 MPa, zowel in trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment dat men mag aanbrengen op dit I-profiel.

2.21 Een stalen buis met een externe diameter van 5 cm en een wanddikte van 0,5 cm wordt gedimensioneerd voor een toelaatbare spanning van 100 MPa.

(35)

2.22 Een stalen T-profiel met totale hoogte 10 cm heeft een flens met een breedte van 10 cm. De dikte is overal 1 cm. Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen zijn dan 150 MPa, zowel in trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment dat men mag aanbrengen op dit T-profiel.

2.23 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa,  = 0,3):

A B 10 kN

5 kNm

1 m 2 m

x

2 m

2 m 2 m 2 m

2 kN/m

Op de balk grijpt links (x = 0) een neerwaartse puntkracht aan van 10 kN, tussen x = 3 m en x = 5 m een verdeelde belasting van 2 kN/m en op het rechteruiteinde (x = 9 m) een koppel van 5 kNm met de getekende zin.

Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:

30 cm

2 cm

25 cm

y z

Het U-profiel heeft een constante wanddikte van 2 cm en wordt geplaatst met de twee benen naar beneden. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.

Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

Waar (welke doorsnede + positie binnen doorsnede) treedt de grootste normaalspanning

xx in de balk op ? Maak een duidelijke tekening van het spanningsverloop in deze dwarsdoorsnede.

(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 70 minuten)

(36)

2.24 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa,  = 0,3):

A B

2 m

x

1 m 1 m 3 m

2 kN/m

Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 2 kN/m tussen x = 3 m en x = 4 m.

In het punt B (x = 5 m) is de balk opgehangen aan een verticale staaf van 2 m.

Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:

300 mm 40 mm

150 mm

y

z 50 mm

80 mm

De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een massieve doorsnede, waaruit onderaan een rechthoekig stuk is weggenomen. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.

Bereken de maximale normaalspanning (in absolute waarde) die optreedt over de volledige balk. Geef met een figuur duidelijk aan waar deze spanning precies optreedt.

U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

(Examen 2de zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 70 minuten)

§ Schuifspanningen t.g.v. V (formule Jourawski)

2.25 Bepaal de verdeling van de schuifspanningen xz in het cirkelvormig profiel:

(37)

x y z

R

2.26 Een balk met ruitvormige sectie wordt in een bepaalde doorsnede belast met de dwarskracht Vz = -100 kN. Bereken de schuifspanning xz in het punt A (yA = 7,5 mm;

zA = -22,5 mm).

2.27 Een balk die aan één zijde is ingeklemd, wordt belast met een kracht Q = 120 kN op de top, zoals op de figuur aangeduid. Q ligt in het vlak x-z en is evenwijdig met de z-as.

De doorsnede is een T-profiel. Bereken de grootste schuifspanning die in deze balk veroorzaakt wordt door de dwarskracht.

(38)

§ Samengestelde belastingen

2.28 Op de rand van een kolom wordt een kracht van 150 N uitgeoefend. Verwaarloos het gewicht van het onderdeel en bepaal de spanningstoestand in de punten B en C.

2.29 Onderstaand constructie-onderdeel heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede. Bepaal de spanningstoestand die in het punt C door de belasting wordt veroorzaakt.

2.30 Een rechthoekig blok heeft een te verwaarlozen gewicht en ondervindt een verticale kracht P. Bepaal het waardenbereik voor de excentriciteit ez van de belasting langs de z-as, zodanig dat deze geen trekspanning in het blok veroorzaakt.

(39)

2.31 Een balk met een dwarsdoorsnede 60 mm x 100 mm is onderworpen aan een axiale trekkracht van 60 kN. Als de vloeigrens van het materiaal in uni-axiale trek 150 MPa bedraagt, bereken dan de maximale dwarskracht die men bijkomend mag aanbrengen (parallel met de langste zijde van de rechthoek) vooraleer de balk begint te vloeien.

§ Doorbuigingen

2.32 Bepaal de verplaatsing van het punt C voor de volgende balk:

y x z

F

A

a

b

B C

2.33 Een balk op twee steunpunten wordt met drie krachten belast, waarvan er twee bekend zijn.

(40)

Bepaal de grootte van de kracht Q zodanig dat de doorbuiging in het aangrijpingspunt van Q nul is. Maak gebruik van superpositie van gekende oplossingen.

2.34 Een balk AB is in A ingeklemd. In B zijn de balken AB en CD aan elkaar gelast, zodat de rechte hoek tussen deze twee balken behouden blijft tijdens de belasting. De zwaartepunten van alle dwarse doorsneden liggen in het vlak x-z. Dit vlak snijdt alle dwarse doorsneden volgens een hoofdtraagheidsas. De doorsnede van elke balk is een vierkant met zijde 40 mm. In D werkt een uitwendige kracht Qx = 1,5 kN. De elasticiteitsmodulus bedraagt 210 GPa.

Bepaal de verplaatsing van het punt C.

2.35 Gegeven is de volgende stalen balk met E = 200 GPa:

y x z

F K

De totale lengte van de balk is 3 meter. Op het vrije uiteinde van de balk grijpt een koppel K aan van 45 kNm met de aangeduide zin.

De balk heeft over zijn volledige lengte het volgende profiel in het y-z vlak (met een opening met diameter 100 mm):

400 mm

y z

(41)

Gevraagd:

a) bepaal de zin en grootte van de kracht F zodat de totale verticale doorbuiging op het uiteinde van de balk onder de gezamenlijke belasting van F en K nul is. U bent verplicht de tekenconventies van Hoofdstuk 2 te gebruiken.

b) bereken de plaats en de waarde van de maximale normaalspanning. De invloed van de dwarskracht mag verwaarloosd worden.

(Examen 2de zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 60 minuten)

2.36 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa,  = 0,3):

A B

10 kNm 5 kNm

1 m 4 m 2 m

Op de balk grijpen links en rechts twee externe koppels aan, respectievelijk 10 kNm en 5 kNm groot.

Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:

30 cm

10 cm

10 cm

y z

15 cm

Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

Bereken en teken op een verzorgde figuur de verdeling van de normaalspanning xx in de zwaarst belaste doorsnede.

In welke doorsnede is de helling van de balk maximaal ? (Examen 2de zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 60 minuten)

(42)

2.38 Bepaal de maximale doorbuiging van de balk in onderstaande figuur. De buigstijfheid EI is constant.

2.39 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa,  = 0,3):

y x z

10 kN/m

2 kN

5 m

2 m 10 m

B

(43)

y z

25 mm 25 mm

25 mm

500 mm 100 mm

t = 5 mm

Twee kokers met een vierkante sectie en een wanddikte van 5 mm zijn aan weerszijden van een massieve rechthoek gelast. In elk van de drie balksegmenten van de constructie bevinden de kokers zich aan de zijde waar de trekspanningen in de balk optreden.

Welke is de meest beperkende voorwaarde: het feit dat de doorbuiging in het punt B moet beperkt blijven tot 25 mm, of het feit dat de maximale normaalspanning xx in de balk 210 MPa mag bedragen ? Bereken ook de effectief optredende waarde van de doorbuiging in B en de maximale normaalspanning xx in de constructie.

(Examen 1ste zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)

2.40 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa,  = 0,3):

y x z

1 kN/m

4 m

2 m 5 m

5 kNm

C

A B

3 m 3 m

Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 1 kN/m tussen x = 3 m en x = 7 m.

(44)

y z

t = 10 mm

300 mm

De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een holle zeshoekige koker met wanddikte 10 mm en binnenhoogte van 300 mm. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.

Bereken de totale verplaatsing (in horizontale en verticale richting) van het punt C (waarbij u mag veronderstellen dat C op de hartlijn van de balk ligt. U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.

(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 70 minuten)

2.41 Gegeven zijn de volgende stalen balken ABC en CD (E = 200 GPa,  = 0,3). De linkerbalk ABC steunt in zijn rechtersteunpunt C op het uiteinde van de ingeklemde balk CD.

A x B

C

3 kN/m

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

D

Beide balken hebben onderstaande dwarsdoorsnede:

(45)

50 mm 80 mm

y

z

10 mm

10 mm 50 mm

10 mm 180 mm 10 mm

Bereken de helling van de balk ABC in het punt B.

2.42 Gegeven zijn de stalen balken AB en DC (E = 200 GPa,  = 0,3).

Het uiteinde B van de balk AB is door middel van een veer met veerconstante k = 500 kN/m verbonden met het uiteinde C van de balk DC.

De dwarsdoorsnede van beide balken is een vierkant kokerprofiel met buitenafmetingen 200 mm x 200 mm en wanddikte 10 mm.

Bereken de verticale verplaatsing van het punt B.

1 m K = 5 kNm

A

1 m

3 kN

x B

D C

L = 0,5 m

(46)

2.43 Een stalen draagstructuur (E = 210 GPa) is opgebouwd uit twee cilindrische staven.

Beide staven hebben een lengte van 1 m en zijn scharnierend met elkaar verbonden in het punt S. De structuur wordt aan de rechterkant (punt B) verbonden met een starre wand door middel van een vaste ondersteuning. Aan de linkerzijde (punt A) wordt de structuur ondersteund door middel van een rol. Op de linker staaf grijpt centraal een verdeelde belasting aan van 8000N/m. Op de rechter staaf grijpt centraal een puntlast aan van 4000N.

25cm

4000 N 8000 N/m

50cm 25cm 50cm 50cm

A S B

De doorsnede van de cylindrische staven waaruit de draagstructuur is opgebouwd, is getoond in onderstaande figuur. Het aangeduide YZ-assenstelsel ligt in het middelpunt van de cirkel. De z-as gaat door de middellijn van de gelijkbenige driehoek, de y-as gaat door het basis van de driehoek.

Het massieve materiaal is gearceerd, de driehoek is de holte in het materiaal.

z

z

y

60 mm 20 mm

15 mm

Gevraagd:

1) Bereken en teken de V-lijn, N-lijn en M-lijn.

2) Bepaal de waarde van de grootste normaalspanning en duid de positie aan op beide bovenstaande figuren.

3) Bepaal de doorbuiging van het scharnierpunt S ten gevolge van de aangelegde belastingen.

(47)

Hoofdstuk 3

Oplossingsmethodes

Voor dit hoofdstuk worden geen oefeningen voorzien

(48)

Hoofdstuk 4

Tweedimensionale elastische problemen

§ Vlakspanning

4.1 In het punt P bestaat de volgende vlakspanningstoestand in het assenstelsel (x,y,z):

 

M Pa

0 0 0

0 100 30

0 30 50

ij





a) stel deze spanningen voor op de cirkel van Mohr,

b) welke waarden nemen deze componenten van de spanning aan in het assenkruis (x’,y’) dat  = 60 in tegenuurwijzerzin gedraaid is t.o.v. (x,y). Stel ook deze spanningen voor op de cirkel van Mohr,

c) bereken de corresponderende rekken in het assenkruis (x,y) als E = 100 GPa en  = 0,3.

4.2 Een dunne rechthoekige schijf in messing (E = 91 GPa,  = 1/3) wordt op de onderkant langs twee zijden gesteund zó dat:

y 0

) 0 , y , 100 ( w

0 )

0 , y , 0 ( w

0 )

0 , 0 , 0 ( v

0 )

0 , y , 0 ( u





(49)

Deze schijf wordt in zijn vlak belast met spanningen (n)

 aangrijpend op de omtrek van de plaat zó dat de verplaatsingscomponenten in het vlak van de plaat gegeven zijn door:

y x 10 48 v

z 10 4 x 10 16 x 10 8 u

6

2 6 2

6 4

waarin u, v, x, y en z uitgedrukt zijn in millimeter.

Gevraagd:

a) bepaal de verplaatsingscomponent w zó dat in de plaat een vlakspanningstoestand heerst,

b) bereken en teken het verloop van de componenten (in)(ix,y,z) van de spanningsvector (n)

 op het randoppervlak van de plaat, c) controleer het inwendig spanningsevenwicht,

d) onderzoek de spanningstoestand in het punt A(x = 20, y = 30). Bereken de hoofdspanningen en hoofdrichtingen en teken de cirkel van Mohr.

De plaat wordt nu samen met steunen en belasting op 3 km diepte onder het wateroppervlak gebracht, zodat een hydrostatische druk gesuperponeerd wordt op de reeds bestaande belasting.

e) zoek het resulterende verplaatsingsveld,

f) zoek de resulterende spanningstoestand en hoofdspanningen in het punt A.

4.3 De zijden van een vierkante plaat ADBC zijn vastgelijmd aan de vier staven van een kader ADBC waarvan de eindpunten verbonden zijn door scharnieren. De staven zijn vervaardigd uit een veel stijver materiaal dan de plaat. De vier scharnierpunten liggen

(50)

De gegevens van de plaat zijn de volgende:

zijde a = 100 mm dikte t = 10 mm E = 20 GPa

 = 0,3

Bepaal de equivalente veerconstante k, waarbij geldt:

verlenging AC

k F 

4.4 Een dunne plaat wordt zó belast dat er een homogene vlakspanningstoestand heerst met hoofdspanningen I = 80 MPa en II = 110 MPa. De materiaalconstanten zijn: E = 130 GPa en  = 0,26.

Bepaal de totale volumeverandering van deze plaat onder de vermelde belasting.

4.5 Op het onderstaande infinitesimaal element wordt de vlakspanningstoestand in een punt weergegeven.

(51)

Bepaal de spanningstoestand in dit punt voor een element dat t.o.v. de aangegeven positie 30 in uurwijzerzin is gekanteld.

4.6 In onderstaande figuur wordt de vlakspanningstoestand in een bepaald punt getoond.

Gevraagd:

a) beschrijf de spanningstoestand in dit punt in functie van de hoofdspanningen, gebruik makend van de transformatieformules,

b) bepaal de hoofdspanningen en hoofdrichtingen m.b.v. de cirkel van Mohr,

c) beschrijf de spanningstoestand in functie van de maximale schuifspanning en de gemiddelde normaalspanning.

4.7 Als gevolg van de uitgeoefende belasting ondervindt het element in het punt A op de eenzijdig ingeklemde balk de aangegeven spanningstoestand.

(52)

Bepaal de hoofdspanningen in het punt A.

4.8 Bepaal voor de getekende vlakspanningstoestand de hoofdspanningen en de stand van het element in dat punt.

4.9 Op het onderstaande infinitesimaal element wordt de vlakspanningstoestand in een punt weergegeven.

(53)

4.10 Als gevolg van de uitgeoefende belasting ondervindt het punt A op het houten frame de aangegeven spanningstoestand.

Bepaal de hoofdspanningen in het punt A en de maximale schuifspanning.

4.11 De spanningstoestand in een punt is gegeven. Bepaal m.b.v. de cirkel van Mohr de grootte en richting van de hoofdspanningen. Bepaal ook de maximum schuifspanning.

4.12 De spanningstoestand in een punt is gegeven. Bepaal m.b.v. de cirkel van Mohr de

(54)

§ Vlakvervorming

4.13 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak:

y cos x 300 x 1015 v

10

y sin x 882 x 653 u

10

6 6

Bepaal de vervormingstoestand in het punt (x = 1, y = 1). Bereken m.b.v. de cirkel van Mohr de hoofdrichtingen en hoofdrekken.

4.14 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak:

0 w

y 25 , 0 x 06 , 0 v

y 28 , 0 x 3 , 0 u

a) teken op de onvervormde rechthoek een vierkant rooster en ga na hoe dit rooster

(55)

- teken het vervormde vierkant en bepaal de vervormingstensor in het punt O, - bepaal de hoofdrichtingen en de hoofdrekken in het punt O,

- teken de bijhorende cirkel van Mohr.

c) bepaal de componenten van de vervormingstensor in het punt O in het assenstelsel (x’,y’) dat over 45 in tegenuurwijzerzin is geroteerd (zie figuur). Duid de beeldpunten van de assen x’ en y’ aan op de cirkel van Mohr,

d) waar ligt het punt A in het vervormde blok ? Bepaal de rektensor in A zoals voor het punt O,

e) bepaal de spanningstensor in het punt O indien men een meer realistisch verplaatsingsveld beschouwt:

 

 

0 w

10 y 25 , 0 x 06 , 0 v

10 y 28 , 0 x 3 , 0 u

2 2

De materiaalconstanten zijn: E = 56 GPa,  = 0,25.

Doe dit op twee manieren:

- bepaal de spanningen in de gekende hoofdrichtingen en transformeer naar het assenstelsel (x, y),

- gebruik de wet van Hooke in het assenstelsel (x, y).

4.15 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak:

0 w

y x 10 8 v

x 10 5 u

3 2 3

a) teken het lichaam OBCD na vervorming,

(56)

4.16 De vlakke vervormingstoestand in een punt wordt vertegenwoordigd door de rektensor:

 

ij 10 6

0 0 0

0 150 60

0 60 250





Bepaal de hoofdrekken en hoofdrichtingen. Bepaal ook de waarde en richting van de maximale hoekvervormingen.

4.17 De vlakke vervormingstoestand in een punt wordt vertegenwoordigd door de rektensor:

 

ij 10 6

0 0 0

0 100 50

0 50 300





Bepaal de vervormingstoestand op een element dat over een hoek van 20 in uurwijzerzin is gedraaid.

§ Axiaalsymmetrische schijf

4.18 Binnen een dikwandige buis werkt een druk van 10 MPa.

Opdat de buis haar oorspronkelijke lengte zou behouden, moet op beide uiteinden getrokken (of gedrukt ?) worden met een kracht F in de langse richting. Bereken hoe groot die kracht moet zijn, als:

a = 100 mm b = 200 mm L = 106 mm E = 200 GPa

(57)

4.19 Een stalen cilinder is aan het rechteruiteinde afgesloten en steunt daarbij tegen een onwrikbare wand. Aan de linkerkant steekt er een plunjer in de cilinder, waarop een kracht van 10 kN wordt uitgeoefend. In het punt A, op de buitenwand van de cilinder, is er een rekstrookje gekleefd dat de langse rek zz meet.

De materiaaleigenschappen van de cilinder zijn:

E = 210 GPa

 = 0,3

Welke rek zz zal men meten ?

4.20 Beschouw het getekende dikwandig vat onder inwendige druk. Dit volumetrisch vat is axiaalsymmetrisch rond de z-as en heeft de vorm van een capsule.

z r

A p = 0o

p = 100 bari

100 mm 200 mm

De materiaaleigenschappen van het vat zijn:

E = 210 GPa

 = 0,3 Gevraagd:

a) bereken de spanningstoestand in een punt A op de binnenwand, dat zich

“voldoende ver” van de uiteinden van het vat bevindt,

b) schets het verloop van de spanningen voor 50 mm < r < 100 mm, c) bereken alle componenten van de rek in het punt A.

4.21 Een rubber cilinder wordt samengedrukt in een dunne, stalen buis door een axiale spanning zz. Bereken de druk tussen het rubber en de stalen buis in twee gevallen:

a) de stalen buis gedraagt zich als een star lichaam, b) de stalen buis kan vervormen.

(58)

ES = 210 GPa, S = 0,30 ER = 10 MPa, R = 0,50 a/b  0,99

4.22 Twee korte stalen cilinders (E = 210 GPa en  = 0,3) zitten in elkaar geklemd. De oorspronkelijke afmetingen van de afzonderlijke schijven waren:

Schijf 1:

mm 100 dikte

mm 130 b

mm 80 a

1 1

1

Schijf 2:

mm 100 dikte

mm 180 b

mm 130 a

2

2 2

(59)

Door afkoeling van de cilinder 1 en opwarming van de cilinder 2 konden zij in elkaar geschoven worden. Vandaag kan men niet meer achterhalen hoe groot dit temperatuurverschil was, noch hoeveel 1 en 2 waren. Men weet alleen nog met stelligheid dat de drukspanning na afkoeling in het contactoppervlak tussen de twee cilinders –15 MPa bedroeg.

Men wil nu de twee cilinders weer uit elkaar halen, door op de buitenste cilinder in axiale richting te drukken. Hierdoor zet deze cilinder immers uit in de radiale richting.

Hoe groot moet de drukkracht N worden om de cilinders los van elkaar te maken ? (Aanwijzingen: eventuele wrijving in het contactoppervlak mag verwaarloosd worden.

Reken dat, zonder N, er vlakspanning is).

4.23 Een lange cilinder met dikke wand is ingevat in een starre wand en over zijn hele lengte vast verbonden met deze starre wand. De cilinder is onderworpen aan een uniforme interne druk pi.

Bepaal de spanningen en verplaatsing in de cilinder voor ro/ri = 2,5 en  = 1/3. Stel de resultaten grafisch voor.

4.24 Gegeven is het volgende probleem:

(60)

100 mm

95 mm 1 m

500 kN

Een axiaalsymmetrische buis met een lengte van 1 meter past precies en zonder speling in een starre koker. De buis is echter op geen enkele manier vastgemaakt aan de koker.

Op de bovenrand van de buis wordt nu een neerwaartse uniform verdeelde belasting geplaatst, zodat de resulterende kracht 500 kN bedraagt.

De materiaalparameters zijn:

staal:

M Pa 210

0,3 GPa 200 E

v

Gevraagd:

a) wat is de zakking van de bovenrand van de buis ?

b) wat is de radiale verplaatsing van de binnenrand van de buis ?

c) treedt er ergens in de buis vloeien op ? Zo ja, waar, en zo nee, welke is de reserve tot de vloeigrens ? Gebruik het von Mises-criterium.

(Examen 1ste zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)

§ Axiaalsymmetrische schijf met thermische spanningen

4.25 Gegeven zij een aluminiumbuis die bij 20 C passend (zonder speling) in een stalen buis geschoven is. De geometrie en materiaaleigenschappen zijn:

(61)

aluminium:

C / 10 23,0

0,3 GPa 72 E

mm 2000 L

mm 130 b

mm 100 a

6 - 1

1 1 1 1

staal:

C / 10 11,0

0,3 GPa 206 E

mm 2000 L

mm 145 b

mm 130 a

6 - 2

2 2 2 2

Het geheel wordt opgewarmd van 20 C (spanningsvrije toestand) naar 100 C.

Gevraagd: bereken de optredende thermische spanningen in beide buizen en schets hun verloop over de wanddikte.

4.26 Een dunne ronde schijf, bestaande uit twee aaneensluitende ringen uit verschillend materiaal, wordt thermisch belast.

D D D

i t o

Ta

Tb

(62)

 



 



 

i o i a

b 0 a

D ln D

D r ln 2 T T ) T T ( ) r ( T

waarbij:

Di = 300 mm Dt = 400 mm Do = 500 mm Ta = 520 C Tb = 20 C T0 = 0 C

De eigenschappen van materialen 1 en 2 zijn:

materiaal 1:

C / 10 1,0

0,3 GPa 200 E

6 - 1

1 1

materiaal 2:

C / 10 1,2

0,3 GPa 200 E

6 - 2

2 2

Gevraagd:

a) welk materiaal (1 of 2) moet men aan de buitenkant gebruiken, teneinde de kleinste maximale trekspanning te bekomen ?

b) bepaal de contactdruk tussen de twee ringen, indien het materiaal 1 aan de binnenkant gebruikt wordt.

4.27 Gegeven zijn twee dunne concentrische buizen met volgende afmetingen:

250 mm

150 mm 200 mm

staal aluminium

Bij een omgevingstemperatuur van 20 C past de aluminium buis precies en zonder speling binnenin de stalen buis. De inklemmingen verhinderen de radiale verplaatsing niet.

De materiaalparameters zijn:

 

(63)

Gevraagd:

a) als men de temperatuur verhoogt van 20 C naar 70 C, wat is dan de contactspanning tussen de aluminium buis en de stalen buis ?

b) als de temperatuur gehandhaafd blijft op 70 C, welke bijkomende inwendige druk p mag men opleggen zodat de totale contactdruk tussen de aluminium en stalen buis beperkt blijft tot 20 MPa ?

(Examen 2de zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 50 minuten)

4.28 Gegeven is het volgende probleem:

e

e z

r

Aluminium

Staal

70 mm 150 mm 200 mm

A A’

Doorsnede A-A’

Een aluminium schijf (E = 70 GPa;  = 0,3;  = 2310-6/C) past precies en zonder speling binnen een stalen schijf (E = 210 GPa;  = 0,3;  = 1210-6/C). Beide schijven worden tussen twee starre horizontale platen geschoven en passen precies en zonder speling tussen de twee starre platen. Alles is spanningsloos bij kamertemperatuur en de schijven zijn op geen enkele manier vastgelast aan de twee starre platen. De radiale verplaatsing wordt dus niet verhinderd en de wrijving mag u verwaarlozen.

Als de temperatuur met 100 C wordt verhoogd, welke is dan de contactspanning tussen de aluminium en stalen schijf (op r = 150 mm) ?

(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 50 minuten)

4.29 Gegeven is het volgende probleem:

200 mm e

e

= 10 mz

A A’

(64)

Een dunne schijf uit aluminium (E = 70 GPa;  = 0,3;  = 2310-6/C) met dikte 20 mm wordt tussen twee starre horizontale platen geschoven. Als de schijf rust op de onderste starre plaat, is de speling  tussen de aluminium schijf en de bovenste starre plaat precies 10 m.

Alles is spanningsloos bij kamertemperatuur. De schijf wordt in geen enkel geval vastgelast aan de wanden en kan vrij uitzetten in radiale richting (wrijving mag u verwaarlozen).

Men brengt nu de belasting aan in twee stappen:

1) eerst wordt de temperatuur uniform verhoogd met 100 C,

2) deze temperatuur wordt aangehouden en men brengt bijkomend een radiale druk van 10 bar aan op de buitenrand van de schijf.

Bereken de totale radiale verplaatsing van de binnenrand (r = 100 mm) van de schijf, vanuit de begintoestand (alles spanningsloos) naar de eindtoestand (temperatuur + radiale druk).

(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 50 minuten)

§ Spanningsconcentraties

4.30 Een oneindig uitgestrekte plaat bevat een ronde opening met diameter 2a = 30 mm en wordt op een grote afstand van de opening belast met een gelijkmatig verdeelde schuifspanning xy = 100 MPa.

Gevraagd:

a) de spanningscomponenten in poolcoördinaten,

b) de plaats en de waarde van de grootste schuifspanning op de rand van de opening.

4.31 Een dunne, grote plaat met dikte 2 mm, heeft een kleine ronde opening in het centrum.

De plaat wordt in twee onderling loodrechte richtingen belast: xx = 2 en yy = -.

(65)

Gevraagd:

a) leid een uitdrukking af voor de maximale spanning aan de rand van de opening, b) bepaal de maximale waarde van , zó dat op geen enkele plaats in de plaat vloeien

optreedt, noch in trek noch in druk,

c) wat is de dikte van de plaat op het moment dat het vloeien start ?

4.32 Een dunne, grote plaat met een kleine ronde opening in het centrum wordt onderworpen aan zuivere afschuiving  langs haar randen. Bereken de spanningsconcentratiefactor k (= max/).

(66)

Hoofdstuk 5

Mechanische eigenschappen en materiaalmodellen

§ Trekproef

5.1 Een trekproef voor een staallegering levert het spanning-rek diagramma van onderstaande figuur op. De onderste curve is een uitvergroting van het eerste deel van de bovenste curve en de schaalverdeling voor de onderste curve staat onderaan op de

-as aangegeven.

Bereken de elasticiteitsmodulus en de vloeigrens op basis van 0,2 % blijvende rek.

Geef in de grafiek de breukspanning en bezwijkspanning aan.

5.2 Onderstaande figuur toont het spanning-rek diagramma voor een aluminiumlegering.

Een proefstaaf van dit materiaal wordt onderworpen aan een spanning van 600 MPa.

(67)

5.3 De aluminium staaf (Ealu = 70 GPa) in onderstaande figuur heeft een cirkelvormige dwarsdoorsnede en ondervindt een axiale trekbelasting van 10 kN. Bepaal m.b.v. het gegeven spanning-rek diagramma bij benadering de verlenging van de staaf wanneer de belasting wordt uitgeoefend. Keert de staaf terug als de belasting wordt opgeheven ?

(68)

5.4 Een proefstaaf van een titaniumlegering wordt aan een torsieproef onderworpen. Het resulterende schuifspanning-glijding diagramma staat in onderstaande figuur.

Bepaal de glijdingsmodulus G, de evenredigheidsgrens en de maximale schuifspanning.

Als nu een blok van dit materiaal wordt belast met een schuifkracht D, bepaal dan de maximale afstand d, waarover de bovenkant van een blok van dit materiaal horizontaal kan worden verplaatst als het materiaal zich elastisch gedraagt. Hoe groot moet D zijn om deze verplaatsing te veroorzaken ?

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

b) het traagheidsmoment I yy om de horizontale as door O. 2.2 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede het traagheidsmoment om een horizontale as door het zwaartepunt. 2.3 Bepaal

Het is niet toevallig dat de spanningen  rr en   dezelfde waarde hebben in vlakspanning en vlakvervorming voor de axiaalsymmetrische schijf met constante dikte. Men

Deze behelst zowel poliklinisch als klinisch (- opgenomen) behandelde patiënten. De tot landelijke aantallen opgehoogde steekproefaantallen kunnen in de tijd

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of

Dit boek, met daarin prachtige tekeningen van Gijs Peeters zal vermoedelijk begin volgend jaar in de Contributions worden

Ein recht herzliches Dankschön an all diejenigen &#34;lieben Samrnler&#34;-Kollegen, die durch ihre Rücksiechtslosigkeit und maBlose Gier einen der interessantesten

Department of Civil Engineering – Stellenbosch University Page 86 FIGURE 52: PHOTOMICROGRAPHS OF A THIN SECTION SHOWING ANGULAR TO SUB-ANGULAR QUARTZ IN A.

The theme “ek het baie problems by die huis gehet”/ “I had many problems at home” and “ons loop saam” / “we walk together” (meaning peer group support of one another,