Definitie

In Figuur 1.23 is een object voorgesteld dat belast is met een stel uitwendige krachten F1 en F2. Ter hoogte van de doorsnijding werken een kracht FR en een moment

o

R

M (om het zwaartepunt O). Beide kunnen berekend worden uit de evenwichtsvergelijkingen (1.10). Deze twee belastingen FR en

o

R

M stellen het resulterend effect voor van de feitelijke krachtenverdeling over het oppervlak van de doorsnede.

Figuur 1.23 Evenwicht van een deel van het object [1].

Om de verdeling van deze inwendige snedekrachten over elk punt van de doorsnede te beschrijven, kan men het oppervlak van de doorsnijding onderverdelen in kleine oppervlakken A, waarop een eindige, maar toch heel kleine kracht F werkt, zoals afgebeeld in Figuur 1.24(a). Daarbij wordt ondersteld dat de krachten F zo gekozen zijn, dat hun resulterende kracht en moment om het zwaartepunt overeenkomen met de snedekrachten FR

en o

R

M .

Voor de verdere bespreking wordt de kracht F ontbonden in twee componenten: (i) de component Fn normaal op het oppervlak, en (ii) de component Ft rakend aan het oppervlak (tangentieel), zoals aangegeven in Figuur 1.24(b).

Figuur 1.24 Verdeling van het oppervlak [1].

Als het oppervlak A naar nul nadert, doen de kracht F en zijn componenten Fn en Ft dat ook. Het quotiënt van de kracht en de oppervlakte zal echter in het algemeen naar een eindige grens naderen. Dit quotiënt wordt de spanningsvector ⁽ⁿ⁾



 genoemd en zoals aangegeven, beschrijft het de dichtheid van de inwendige kracht op een bepaald vlak door een punt:

A F lim 0 A ) n (        (1.24)

De superscript (n) vestigt de aandacht op het feit dat de definitie van de spanningsvector ⁽ⁿ⁾





onlosmakelijk verbonden is met de keuze van het doorsnijdingsoppervlak in het beschouwde punt en dus met haar normale ^e_n.

De dichtheid van kracht, of kracht per oppervlakte-eenheid, die loodrecht op A werkt, wordt gedefinieerd als de normaalspanning . Wiskundig kan deze als volgt worden uitgedrukt:

A F lim n 0 A       (1.25)

Als de normaalkracht Fn aan het oppervlakte-element A “trekt”, dan is de normaalspanning  een trekspanning, terwijl als Fn op het oppervlakte-element A “drukt”, de normaalspanning  een drukspanning is.

Op analoge manier wordt de dichtheid van kracht die rakend aan A werkt, de

schuifspanning  (tau) genoemd. Deze component wordt wiskundig op de volgende manier

A F lim t 0 A       (1.26)

Als men nu een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, zoals aangegeven in Figuur 1.25(a), kan men de normaalspanning  en de schuifspanning  gaan ontbinden volgens de loodrecht op elkaar staande assen ^e_x, ^e_y en ^e_z, zoals aangegeven in Figuur 1.25(b).

Figuur 1.25 Invoering van een cartesiaans assenstelsel (x,y,z) [1].

In dit cartesiaans assenstelsel worden de normaal- en schuifspanningen aangeduid met een subscript ij (i, j = x, y, z), waarbij de eerste index staat voor de richting van de buitennormale van de beschouwde doorsnijding en de tweede index staat voor de beschouwde richting van de spanning.

Voor het voorbeeld van Figuur 1.25(b) wordt de normaalspanning genoteerd als zz. De buitennormale van de beschouwde doorsnijding is immers ^e_z (eerste index) en de richting van de normaalspanning is ook volgens ^e_z (tweede index).

De beide schuifspanningscomponenten worden genoteerd als zx en zy. De beschouwde doorsnijding heeft immers in beide gevallen als buitennormale ^e_z (eerste index), terwijl de ene schuifspanningscomponent volgens de ^e_x richting ligt en de andere volgens de ^e_y

De spanningen zz, zx en zy hebben dus allen als eerste index z, omdat de buitennormale van de gekozen doorsnijding volgens ^e_z ligt. De spanningen zijn positief als ze respectievelijk volgens de positieve assen ^e_z, ^e_x en ^e_y liggen.

Geheel analoog kan men nu een nieuwe doorsnijding maken volgens het x-z vlak, met buitennormale volgens de positieve ^e_y as. Gebruik makend van de evenwichtsvergelijkingen (1.10), kunnen opnieuw de resulterende inwendige kracht en het resulterende inwendige moment bepaald worden, en dus de inwendige kracht F op elk oppervlakje A van deze nieuwe doorsnijding (zie Figuur 1.26(a)). De normaalspanning yy staat dan loodrecht op de beschouwde doorsnijding, terwijl yx en yz de schuifspanningscomponenten zijn volgens de respectieve assen ^e_x en ^e_z (zie Figuur 1.26(b)). Opnieuw hebben de spanningen yy, yx en yz allen als eerste index y, omdat de buitennormale van de gekozen doorsnijding volgens ^e_y

ligt.

Tenslotte kan men een doorsnijding maken volgens het y-z vlak, met buitennormale volgens de positieve ^e_x as, zoals aangeduid in Figuur 1.27(a). De normaalspanning is dan xx en de schuifspanningen xy en xz (Figuur 1.27(b)).

Figuur 1.27 Doorsnijding volgens de positieve ^e_x as [1].

De hierboven beschreven doorsnijdingen waren zodanig gekozen dat de buitennormale ervan telkens samenviel met de positieve zin van de coördinaatas ^e_x, ^e_y of ^e_z. Deze worden dan ook positieve oppervlakken genoemd. In geval van een negatief oppervlak is de buitennormale tegengesteld gericht aan de positieve zin van de coördinaatas ^e_x, ^e_y of ^e_z. Dit wordt geïllustreerd door Figuur 1.28(a). In dat geval keren ook de tekenconventies voor de spanningen om. Een spanning op een negatief oppervlak heeft een positief teken als zij tegengesteld gericht is aan de positieve zin van de coördinaatas ^e_x, ^e_y of ^e_z. Dit wordt geïllustreerd in Figuur 1.28(b).

Figuur 1.28 Positieve en negatieve oppervlakken en bijhorende tekenconventies [7].

Samenvattend kan men een infinitesimaal klein kubisch volume-element uitsnijden dat de spanningen in het gekozen punt van het lichaam voorstelt. Figuur 1.29 stelt deze spanningstoestand voor, waarbij alle spanningen getekend zijn met een positief teken.

Figuur 1.29 Volledige spanningstoestand in een punt [7].

                       zz zy zx yz yy yx xz xy xx ] [ (1.27)

De normaalspanningen xx, yy en zz bevinden zich op de hoofddiagonaal van de matrix. De drie rijen stellen de normaal- en schuifspanningen voor op een doorsnede met buitennormale volgens de positieve zin van de respectieve coördinaatassen ^e_x, ^e_y en ^e_z.

Voorbeeld 1.4

De houten steun in onderstaande figuur hangt aan een stalen staaf van 10 mm diameter, die aan de muur is bevestigd. De steun draagt een verticale belasting van 5 kN. Bereken de gemiddelde schuifspanning in de staaf bij de muur en langs de twee gearceerde vlakken van de steun, waarvan er één met abcd is gemarkeerd.