1.1 Formule, tabel en grafiek.
Het verband tussen twee grootheden kun je op verschillende manieren beschrijven. We nemen als voorbeeld het verband tussen de afstand s tot een bepaald punt (O) van iemand die met constante snelheid loopt en de tijd (t ) .
De man begon te lopen (t = 0 s) op 2 meter links van punt O (s = -2 m ). Hij liep met een constante snelheid van 1 m/s . De afstand (s) tot punt O verandert iedere seconde met 1 m.
In de grafiek is de afstand s vertikaal uitgezet in meter en de tijd horizontaal in seconden. Op t = 6,2 s was de man op 4,2 m rechts van punt O (verticale blauwe lijn). De grafiek is een rechte lijn, men spreekt van een lineair verband. Als s negatief is, dan is de man links van O.
Het verband tussen s en t kun je ook beschrijven met een formule of functievoorschrift.
t
s= 2− + of s(t)= 2− +t
Bij de tweede notatie is te zien dat s afhangt van t . s is een functie van t, in dit geval een lineaire functie.
s noemt men de afhankelijke variabele en t de onafhankelijk variabele.
Het verband kun je ook beschrijven met een tabel.
s is het symbool van de grootheid afstand en meter (m) is de eenheid.
t is het symbool van de grootheid tijd en seconde (s) is de eenheid.
Om verwarring te voorkomen worden grootheden cursief geschreven.
1 Lineaire functies.
1.1
Opgave 1.1 Functievoorschrift bedenken bij beschrijving van een beweging.
Bedenk voor de volgende bewegingen een voorschrift voor de functie s(t). Controleer de juistheid met behulp van de simulatie 1.1.
a P begint op 4 meter links van O en loopt met snelheid van 1,5 m/s naar rechts.
b Q begint op 2 meter rechts van O en loopt met een snelheid van 2 m/s naar links.
c R start op 10 meter rechts van O en loopt met constante snelheid naar links. Hij is na 4 seconden in punt O.
d S loopt even hard als P in dezelfde richting, maar heeft in het begin een afstand van 4 meter rechts van O.
e T is altijd 2 meter verder naar links dan R.
f A heeft altijd dezelfde afstand tot O als P, maar dan aan de andere kant van O.
1.2 Betekenis van snijpunt van lineaire grafieken
Als A en B beide een beweging uitvoeren over dezelfde rechte weg dan er een mogelijkheid dat ze op een bepaald moment op dezelfde plaats zijn.
Voorbeeld:
Voor A geldt: s(t)= t2 −3 en voor B geldt: s(t)= t− +3
A beweegt dus naar rechts met een snelheid van 2 m/s en is gestart op 3 meter links van referentiepunt O. B beweegt naar links met een snelheid van 1 m/s en is gestart op 3 meter rechts van O.
Het is dus zeker dat ze elkaar tegenkomen.
Als beide op een bepaald tijdstip op dezelfde plaats zijn, dan geldt:
1 ) 2 ( ) 2 ( 2 6
3 3 3
2 − =− + → = → = → = =
B
A x
x t
t t
t
Na 2 seconden komen ze elkaar tegen op 1 m rechts van punt O.
Je kunt ook berekenen wanneer A 12 m verder naar rechts is dan B.
Dan geldt:
12 ) 3 ( 9 ) 6 ( ) 6 ( 3 ) 6 ( en 9 ) 6 (
6 18
3 12 3 3 2 12 ) 3 ( ) 3 2 (
12
=
−
−
=
−
→
−
=
=
=
→
=
→
=
− +
−
→
= +
−
−
−
→
=
−
B A
B A
B A
x x
x x
t t
t t t
t x x
Opgave 1.2 Functievoorschrift bedenken bij een grafiek.
In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend die horen bij de rechtlijnige beweging met constante snelheid van A, B en C.
a Bedenk voor de bewegingen van A, B en C een voorschrift voor de functie s(t).
b Bereken het snijpunt van de grafiek van A en B.
c Bereken het snijpunt van de grafiek van A en C.
d Bereken tijdstip en plaats waar C B inhaalt.
e Bereken de afstand tussen A en C op t = 8 min.
sA (8) – sC (8) = …..
f Bereken het tijdstip waarop C 30 meter links van A is.
Behoefte aan oefening met balansmethode?
Kies voor ax + b = cx + d
Behoefte aan oefening met haakjes?
Kies voor k(a + b)#
Opgave 1.3 Eigenschappen beschrijven van bewegingen aan de hand van een functievoorschrift.
Voor de volgende auto’s geldt is het functievoorschrift gegeven.
(s in km en t in uur) A : s(t) = 0,5 + 50t B : s(t) = -0,5 - 30t
C : s(t) = 5 + 15t D : s(t) = 5 + 15(t – 1) E : s(t) = 60t
F : s(t) = 0,5 + 30t G : s(t) = 50t -10
a Bereken de beginplaats van auto A.
sA(0) =………. km
b Bereken het tijdstip waar A en B elkaar tegenkomen.
c D heeft dezelfde snelheid als C, begint op dezelfde plaats maar start 1 uur later.
Hoe kun je zien dat D 1 uur later vertrekt dan C?
Wat is het verschil in de s-t- grafiek van C en D?
d Welk functievoorschrift hoort bij een auto H die precies dezelfde beweging uitvoert als E, maar 2,5 uur later vertrekt?
Hoeveel is de grafiek van H verschoven t.o.v. de grafiek van E?
e Voor welke waardes van t geldt dat sF > sG? f Voor welke waardes van t geldt dat sF ≥ sG + 2?
g Welk functievoorschrift hoort bij een auto K die dezelfde snelheid heeft als auto G maar waarvoor geldt s(0) = 10 m?
h Wat is het verschil in de s-t-grafiek van G en K?
1.1
1.2
R1 In het algemeen kun je het functievoorschrift voor een rechtlijnige beweging met constante snelheid schrijven als s(t) = at + b.
Welke betekenis hebben a en b in de s-t-grafiek ? Welke betekenis hebben a en b voor de beweging?
b = s(0) Waarom?
R2 Hoe bepaal je het snijpunt van twee grafieken?
Hoe bepaal je de tijd waarop de afstand tussen twee bewegende auto’s een bepaalde waarde heeft?
R3 Van een bepaalde rechtlijnige beweging is de s-t-grafiek gegeven.
Teken hierin de grafiek van eenzelfde beweging die p seconden later vertrokken is.
Teken hierin de grafiek van eenzelfde beweging die q meter meer naar links vertrokken is.
R4 Voor een beweging geldt het functievoorschrift:
s(t) = 10t + 5
Eenzelfde beweging heeft een functievoorschrift s(t) = 10(t – 5) + 10 ?
Wat is het verschil van de grafieken van deze functies?
R5 Wat betekent het voor de beweging als je de grafiek naar links verschuift?
Wat betekent het voor de beweging als je de grafiek naar beneden verschuift?
1.3 Functievoorschrift en constantes bij lineair verband.
Omdat de onafhankelijk variabele op de x-as uitgezet wordt en de afhankelijk variabele op de y-as wordt een lineaire functie vaak geschreven in de vorm y(x) = ax + b
a is de richtingscoëfficiënt (r.c.) (Eng: slope) a is de toename van y als x met 1 toeneemt.
b is de beginwaarde of snijpunt met y-as (Eng: intercept) b is de waarde van y als x = 0 ofwel y(0) = b
De waardes van x die mogelijk zijn noemt men het domein (Df).
De bijbehorende y- waardes men het bereik (Bf).
Als een functievoorschrift gebruikt wordt voor een beperkt gebied van x-waardes wordt dat aangegeven met een intervalnotatie.
Met <-10,10> bedoelt men alle reële getallen tussen -10 en 10.
Met [-10,10] bedoelt men alle reële getallen -10 en 10, inclusief -10 en 10.
Met [-10,10> bedoelt men alle reële getallen tussen -10 en 10 inclusief -10.
Met <-10,10] bedoelt men alle reële getallen -10 en 10, inclusief 10.
1.1
In plaats van <-10,10> kun je ook noteren {x ϵ R | -10 < x <10 } ,de zogenaamde accolade-notatie.
Hier staat dus: x is een element van R (reële getallen) met een waarde tussen -10 en 10.
Reële getallen kun je schrijven als een eindig of oneindig voortlopend decimaal getal en horen bij een punt op een getallenlijn.
Hiertoe behoren de gehele getallen, de rationale getallen(breuken) en de irrationale getallen (wortels, π en e).
Voorbeeld : -10; -2/3; -0,41 ; 2 ; 20/7; π; 10
Als y(x) = 2x + 5 en voor het domein geldt (waardes van x) <-2,2>
dan is het bereik ( waardes van y) <1,9>
In wiskundige grafieken is de schaalverdeling van x – en y-as meestal hetzelfde. Vandaar dat men de steilheid van de grafiek aanduid met richtingscoëfficiënt, de coëfficiënt die de richting bepaald.
In de science-vakken hebben de grootheden langs de assen een eenheid en is de schaalverdeling van de verticale as om praktische redenen meestal anders dan die van de horizontale as.
Het is dan beter de term hellingsgetal (slope) te gebruiken. Het hellingsgetal heeft dan meestal ook een fysische betekenis.
Bij onderstaande s-t-grafiek is het hellingsgetal de snelheid in m/s!
Opgave 1.4 Welke functievoorschrift zit er in de black box?
Een functiemachine maakt van x een waarde van y .
De onafhankelijk variabele x wordt ook wel het origineel genoemd en de afhankelijk variabele y het beeld genoemd.
Dus van het origineel x wordt het beeld y gevormd.
Bij een lineair verband kun je aan de hand van de coördinaten van twee punten het functievoorschrift bepalen.
Voorbeeld:
Bepaal het functievoorschrift in de haakjesvorm y(x) van de grafiek die door de punten (2,4) en (4,7) loopt.
1 5 , 1 ) ( 3 1
) (
1 2 2
4 3 levert invullen )
4 , 2 ( punt
2 3 2
3 2 4
4 a 7
+
= +
=
→
=
→ +
×
= +
=
→
− =
= −
∆
= ∆
x x y of x
x y
b b b x x y
y 1.3
1.2
Bepaal het functievoorschrift in de haakjesvorm y(x) van de grafiek die door de volgende punten loopt.
Controleer de juistheid met behulp van de applet 1.3
a (1,9) en (3,17) b (0,0) en (2,-3) c (-2,-5) en (2,1) d (1,4; 2,1) en (2,4; 3,5) e (-3,3) en (-1,2)
f (0,02; 0,3) en (0,04; 0,5)
Opgave 1.5 Grafiek tekenen met functievoorschrift.
Teken in het diagram de grafiek die hoort bij de volgende functievoorschriften. Controleer met applet 1.3
a y(x) = 3x - 1 b y(x) = -2x c y(x) = -2(x - 2) d y(x) = -2(x - 2) + 4 e y(x) = -2(x +2)
R6 Hoe kun je de grafiek van vraag c snel tekenen als je uitgaat van de grafiek van vraag b?
R7 Hoe kun je de grafiek van vraag d snel tekenen als je uitgaat van de grafiek van vraag c?
R8 Hoe kun je de grafiek van vraag e snel tekenen als je uitgaat van de grafiek van vraag c?
R9 Wat is de betekenis van het teken van de richtingscoëfficiënt?
R10 Wat is de snelste manier om de grafiek te tekenen als je het functievoorschrift kent?
R11 Welk functievoorschrift hoort bij de grafiek die 4 schaaldelen naar rechts en 2 schaaldelen naar beneden verschoven is t.o.v. de grafiek van y(x) = x
1.2 1.3
1.2
Opgave 1.6 Functievoorschrift opstellen als slope en intercept gegeven zijn.
Teken in onderstaand schema de grafieken aan de hand van ` onderstaande gegevens. Schrijf ook de eenheden langs de assen.
Hellingsgetal (slope) Beginwaarde (intercept)
a -2 m/s 3 m
b 2 -3
c 0,8 mmol-1 0,05
d 1 g/mL 3,0 g
e -2 3
f -3 %/0C 1,5 %
a b c
d e f
Behoefte aan extra oefening met lineaire functies?
Alle opgaven zijn geschikt.
R12 Bij het hellingsgetal is het vermelden van de eenheid belangrijk.
Geef een voorbeeld waaruit dat blijkt.
R13 Als de grootheid op de y-as geen eenheid heeft (dimensieloos) dan is de eenheid van de slope altijd 1/ (eenheid langs x-as) of (eenheid langs x-as)-1
Leg uit.
R14 Als zoals bij een beweging de tijd op de x-as wordt uitgezet is het domein [0,∞>. Leg uit.
1.4 Gelijkheden en ongelijkheden.
Zoals we gezien hebben bij de functievoorschriften voor een
beweging kun je snijpunt van twee grafieken vinden door de functies aan elkaar gelijk te stellen.
Zo kun je ook bepalen voor welke waardes van x de y-waarde van de 1.3
1.3
1 2
2 1
3≥− + → ≥− → ≥− +
→
≥ y x x x x
yA B
1 2
2 ≤ → ≥−
− x x
In de figuur zijn de grafieken getekend van yA = x+3 en yB = x− +1 Voor welke waardes van x is y ≥A yB?
In punt S geldt : yA = yB →x+3=−x+1→2x=−2→x=−1 Voor het domein [-1,∞> geldt :
Als bij een ongelijkheid links en rechts gedeeld of vermenigvuldigd wordt met een –teken dan wordt het >teken een <teken en omgekeerd Voorbeeld:
Opgave 1.7 Gelijk en ongelijkheden.
Voor welke waarde(n) van x geldt : Controleer je antwoorden met applet 1.3 a 2x−2=4−3x
b − x2 =4
c −2x+6=4x−3 d 2 >x 4
e − x2 >4
f −2x+6≥4x−3 g 1,1x−3,4>2x+2 h −1<2x−3 i −4x+1>−2x+3
WIMS toetsenbank
Opgave 1.8 Functiewaardes met elkaar vergelijken.
Controleer je antwoorden met applet 1.3 De volgende functievoorschriften zijn gegeven:
A : y(x) = 5 + 10x
B : y(x) = -5 – 7x
C : y(x) = 2 + 4x D : y(x) = 20 + 4x E : y(x) = -30x - 100 F : y(x) = 10x + 100
a Voor welke waarde van x is yA ≤ yB ? b Voor welke waarde van x is yC ≥ yB ? c Voor welke waarde van x is yF = yB ? d Voor welke waarde van x is yE ≤ yB – 2 ?
e Bereken de coördinaten van het snijpunt van E en F.
f Voor welk domein geldt dat 2< <10 yD ?
Maak een schets van de grafiek van D en teken hierin het domein.
g Voor welk domein geldt dat −10< <−2 yE ?
h Bepaal het functievoorschrift van de grafiek die door het snijpunt van A en B gaat en evenwijdig is aan C.
Behoefte aan extra oefening met lineaire functies?
Kies voor lineaire ongelijkheid I en II
Opgave 1.9 Kostenanalyse met lineaire verbanden.
Voor de kostenberekening van een bepaalde analyse gebruikt men de volgende verbanden.
Met apparatuur A zijn de kosten : K(n) = 120.000 + 3,5n Met apparatuur B zijn de kosten : K(n) = 160.000 + 2,5n Hierbij is K het bedrag van de totale kosten bij n analyses.
a Bij welk aantal analyses is het interessanter apparatuur B aan te schaffen?
b Bij welk aantal analyses zijn de kosten per analyse met apparatuur B 10% goedkoper dan bij A?
R15 De y-waarde van A is 30 meer dan die van B.
Voor welke waarde van x geldt dit?
Wat is de wiskundige notatie van dit probleem?
R16 -x > 0 is hetzelfde als x < 0 Leg uit met behulp van de x-as.
R17
R18
Geef op de x-as aan voor welke waardes van x
(2x – 1) > ( -x + 2). Waarom is het verstandig eerst de x –waarde van het snijpunt te berekenen?
Beschrijf met eigen woorden de betekenis van de volgende wiskundige notatie voor een rechte lijn 5 ≤y ≤ 25 voor het 1.3
1.4 1.4
1.5 Inverse functie
Voor het omrekenen van de temperatuur in graden Fahrenheit (˚F) naar graden Celsius (˚C) geldt het functievoorschrift:
9 160 9
) 5
(F = F−
C
Voor het omrekenen van de temperatuur in graden Celsius (˚C) naar graden Fahrenheit (˚F) geldt het functievoorschrift:
5 32 ) 9
(C = C+ F
C(F) en F(C) zijn inverse functies.
De grafieken van C(F) en F(C) zijn gespiegeld t.o.v. de lijn F = C.
In wiskundige notatie krijgen de functie het voorschrift:
9 160 9
) 5 (x = x−
y en 32
5 ) 9
1( = +
− x x
y
C x en F y F
x en C
y= = −1 = =
y-1(x) is de inverse functie van y(x)
Bij inverse functies geldt: rc(y−1)×rc(y)=1
Voorbeeld:
Bepaal de inverse functie van y(x)= x2 +3
2 3 2 1
2 3 2 1
3 2
3 2
1 = −
→
−
=
→
−
=
→ +
=
− x
y y x
y x
x y
2 3 2 ) 1
1( = −
− x x
y is de inverse functie van y(x)= x2 +3
Bij praktische toepassingen is de grootheid x in y-1(x) hetzelfde als de grootheid y en is de grootheid x in y(x) hetzelfde als de grootheid y-1.
Opgave 1.10 Inverse functie opstellen
Stel het voorschrift op van de inverse functie y -1(x) van:
Controleer je antwoorden met applet 1.3 a y(x) = 5 + 10x
b C(F) = -5 – 7F c y(x) = 2 + 4x
e y(x) = -30x – 100 f s(t) = 10t + 100
Opgave 1.11 Inverse functie bij meten van extinctie.
Bij een analyse is de volgende ijkgrafiek gemaakt.
Voor verschillende concentraties(c) van een opgeloste stof is de extinctie (E) bepaald.
Op de y-as is de extinctie E (geen eenheid) uitgezet tegen de concentratie c van de standaardoplossingen in mol/L.
Met Excel wordt onderstaande grafiek gemaakt.
a Controleer de waarde van het hellingsgetal.
b Welke eenheid heeft het hellingsgetal?
Door de extinctie van een monster te meten kan de concentratie berekend worden. Het is dan handig de inverse functie x(y) of wel de functie c(E) op te stellen.
c Stel het functievoorschrift van c(E) op.
d Bereken de concentratie van een monster met E = 0,342.
e Wat is de betekenis van het getal -0,014 in het functievoorschrift y(x).
1.6 Functie in de vergelijkingsvorm py + qx = r.
Twee vergelijkingen met twee onbekenden.
Het functievoorschrift kan ook gegeven worden in de
vergelijkingsvorm of standaardvorm py + qx = r met p, q en r als constanten.
De lijn heeft dan een richtingscoëfficiënt p
− q en een snijpunt met de
y-as p r want
p x r p y=−q +
Voorbeeld:
3)
;2 0 3 (
( 1 3 2 3 2 1
3
) 4
; 0 ( 2
( 4 2 4
2
=
−
=
→ +
=
→
= +
−
=
−
−
=
→ +
−
=
→
= +
as y snijpunt en
rc y
y y
x
as y snijpunt en
rc x
y y
x
Deze vorm van functienotatie kom je vooral tegen als x en y in twee verschillende formules voorkomen.
Je krijgt dan twee vergelijkingen met twee onbekenden.
Voorbeeld:
Je moet 8,5 kg van een water-alcohol mengsel maken door een mengsel met 20 m % alcohol te mengen met een mengsel met 5m % alcohol. Hoeveel moet je van ieder mengsel nemen?
vergelijking 1: x + y = 8,5 massabalans totaal
grafische oplossing d.m.v. het snijpunt
Je kunt het snijpunt ook wiskundig bepalen.
Methode 1: slim vermenigvuldigen en optellen of aftrekken
De tweede vergelijking is met 5 vermenigvuldigd zodat een van de termen van de twee vergelijkingen hetzelfde is.
Je had ook de eerste vergelijking met 0,05 kunnen vermenigvuldigen.
Vervolgens zijn de termen links en rechts van elkaar afgetrokken zodat de gelijke term ( in dit geval x) wegvalt.
Methode 2: substitutiemethode
y wordt geïsoleerd in vergelijking 1 en ingevuld in vergelijking 2.
Men noemt dit de substitutiemethode.
2x + 3y = 3
–2x + 2y = 6 (×2) 5y = 9 → y = 1,8
2x + 3 × 1,8 = 3 → x = -1,2 (waardes kloppen met grafiek)
Op de oefensite van WIMS staan enkele goede toepassingen.
Kies voor toepassing I en II.
Opgave 1.12 Opgaven met het functievoorschrift py + qx = r
Bepaal richtingscoëfficiënt en snijpunt y-as van de grafieken met het volgende functievoorschrift.
Controleer je antwoorden met applet 1.4 . a 3y+ x2 =4
b −y−3 =x 4 c 3x+ y−1=0 d 3y− x2 =0 e 2y+1,5x+3=0
f Bepaal het snijpunt met de x-as van de grafiek bij vraag a.
g Voor welk domein geldt dat y > 2 bij de grafiek van vraag b.
h Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de grafieken van opgave a en c.
i Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de grafieken van opgave b en e
j Wat is het verschil tussen de grafieken van 2x+ y3 =2en 2
3 2x+ y=−
Opgave 1.13 Twee vergelijkingen met twee onbekenden.
Bereken de waardes van x en y die aan beide vergelijkingen voldoen.
Controleer je antwoorden met applet 1.3.
1.3 1.5
b 2x+ y=2 en −2y+x =−3 c y−0,5x=2 en −x+2y−3=0 d −0,5y+x−3=0 en 2y+x=−3 e 2y+x−3=0 en y+x=4 f 4x−y−3=0 en y+x−2=0
Opgave 1.14 Twee vergelijkingen met twee onbekenden bij mengproces.
Een mengsel water-alcohol met 20 m% alcohol wordt gemengd met een water-alcohol met 96 m% alcohol. Er moet 100 kg gemaakt worden met een alcoholgehalte van 40 m% .
a Bereken de hoeveelheden van de toegevoerde mengsels.
b Controleer het antwoord met applet 1.3..
1.7Grafieken loodrecht op elkaar
Als twee lijnen loodrecht op elkaar staan is het product van de rc’s gelijk aan -1 .
De rc van de rode lijn is gelijk aan 2 en de rc van de blauwe lijn is -0,5 Het product is -1.
Bovenstaande is natuurlijk alleen het geval als x- en y-as dezelfde schaalverdeling hebben!
Opgave 1.15 Opgaven met richtingscoëfficiënt of hellingsgetal (slope).
Bepaal functievoorschrift voor de grafiek, die:
a evenwijdig is met de grafiek van y(x)= x2 −4 en door het punt (0,0) gaat.
b evenwijdig is met de grafiek van −2y+x−1=0 en door het punt (2,1) gaat.
c loodrecht staat op de grafiek van y(x)= x2 −4 en door het punt (-1,2) gaat.
d gaat door de punten (-1,-2) en (2,3).
e het verband aangeeft tussen de extinctie E (vertikaal) en de concentratie c.
De grafiek heeft een intercept van 0,021 en een slope van
1140 L/mol. E(c) = ……….
Wat is de eenheid van de onafhankelijk variabele?
f het verband aangeeft tussen E en c en de vorm heeft van c(E) = ….
De waarde van E bij een bepaalde waarde van c zijn bij opgave e en f hetzelfde. Welke eenheid heeft het hellingsgetal?
R19 Bepaal de inverse functie van y = ax + b .
Bepaal hiermee de inverse functie van y = 2x +3.
Voor een beweging met constante snelheid geldt: s= t3 −1 ofwel y = x3 −1 ( y is de afstand en x is de tijd)
Voor de inverse functie hiervan geldt:
3 1 3 1 +
= s
t ofwel
3 1 3
1 =1 +
− x
y Wat is nu de betekenis van y-1 en x ? R20 Teken beide grafieken en de grafiek van y = x. Conclusie?
Het product van de richtingscoëfficiënten van een functie en zijn inverse is gelijk aan 1. Waarom?
R21 Hoe bepaal je het snijpunt van 2 lineaire grafieken als het functievoorschrift van de soort ‘y = ax + b’ is ?
R22 Hoe bepaal je de richtingscoëfficiënt van een lijn die loodrecht staat op de lijn met functievoorschrift
2y +3x -1 = 0 ?
R23 Hoe bepaal je het snijpunt van 2x + 4y -2 = 0 en –x +2y -3 = 0?
R24 Hoe bepaal je het functievoorschrift voor een lijn die 2 schaaldelen naar rechts verschoven is t.o.v. 2x + 4y -2 = 0?
R25 Hoe bepaal je het functievoorschrift voor een lijn die 2 schaaldelen naar boven verschoven is t.o.v. 2x + 4y -2 = 0?
R26 Hoe los je 2 vergelijkingen met 2 onbekenden op van het type px + qy = r?
R27 Wat is een puntspiegeling? Wanneer heb je daar mee te maken?
1.5
Op de site http://www.vervoortboeken.nl/sites/wiskundeHBO/functies/index.html is een mindmap beschikbaar met het complete overzicht van alle functies.
1.1 functievoorschrift
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
1.2 lijn door twee punten
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
S1 Samenvatting lineaire functies.
1.3 evenwijdige lijn
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
1.4 verschuiven van grafiek
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
1.5 lijn loodrecht
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
1.6 inverse functie 1.6.1 algemeen
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
1.6.2 praktisch voorbeeld
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
1.7 snijpunt twee lijnen en ongelijkheden
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
1.8 vergelijkingsvorm (2 verg. met 2 onbekenden)
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
c b
a )
( x = ⋅ x 2 + ⋅ x + f
2.1 Algemeen functievoorschrift kwadratische functie.
Bij een kwadratisch verband komt in het functievoorschrift een kwadraat voor van de onafhankelijk variabele x.
In de meest algemene vorm geldt:
a, b en c zijn coëfficiënten die de vorm van de grafiek bepalen.
De grafiek is een parabool en heeft een maximum of een minimum.
Een parabool met een maximum zoals hierboven noemt men een bergparabool. Een parabool met een minimum noemt men
dalparabool. Als het maximum boven de y-as of het minimum onder de x-as ligt heb je twee snijpunten met de x-as. De x-waarde van het maximum of minimum ligt precies tussen de snijpunten in.
Enkele voorbeelden van kwadratische functies:
1. s(v)=0,064v2
2. h(t)=−4,9t2+10t+5 3. 1,1x2 −4,75x+0,75=0
In functie 1 is s de remweg en v de snelheid van een remmende auto.
Functie 2 is afkomstig uit de natuurkunde. Hierin wordt het verband aangegeven tussen de hoogte h en de tijd t van een steen die vanaf een hoogte van 5 meter met een snelheid van 10 m/s omhoog gegooid wordt. Vergelijking 3 komt uit de chemie. Hier komen
evenwichtsreacties voor, zoals NH4Cl(g) ↔ NH3(g) + HCl(g).
Als je NH3 toevoegt zal de reactie naar links verlopen. Met behulp van de evenwichtsconstante K kom je dan op een vergelijking waarin x
2 Kwadratische functies.
Opgave 2.1 De waardes van a, b en c in de drie voorbeeldfuncties.
a Vul onderstaande tabel in.
De nummers horen bij de specifieke voorbeelden van de inleiding.
b Probeer voor vergelijking 3 via applet 2.1 de snijpunten te bepalen met de x-as. Ligt de top precies tussen de snijpunten?
Controleer de juistheid door de gevonden waardes in te vullen in het functievoorschrift.
c Verander de waarde van a, b en c en beschrijf het gevolg voor de grafiek.
2.1
R1 Waarom krijg je een bergparabool als a < 0 en een dalparabool als a>0? Welke vorm krijgt de grafiek als a = 0?
R2 Wat is de betekenis van de coëfficiënt c?
Als c = 0 dan is een van de snijpunten x = 0. Waarom?
R3 Wat is de betekenis van de coëfficiënt b?
R4 Er zijn geen snijpunten met de x-as als de top van de parabool onder de x-as ligt en a negatief is. Waarom?
R5 Wanneer zijn er geen snijpunten met de x-as bij een dalparabool?
Toets je kennis van de vorm van parabolen.
2.2Functievoorschrift f(x) = a(x + p)(x + q) voor een parabool.
Het functievoorschrift van een kwadratisch verband kan ook geschreven worden in de vorm: f(x) = a(x + p)(x + q) voorbeeld :
f(x) = 2(x – 2)(x + 3) met p = -2 en q = 3
In deze vorm zie je meteen waar de snijpunten met de x-as liggen en kun je de ook de plaats van de top uitrekenen.
2(x – 2)(x + 3) = 0 als x = 2 of als x = -3 ofwel x1 = 2 en x2 = -3
De top moet dus liggen tussen x = -3 en x = 2 5
, 2 0
3 2 2
2
1 − =−
= + →
= top
top x x x
x
De coördinaten van het snijpunt met de y-as : (0,-12) 2.1
2.1
Ontbinden van f(x) = ax2 + bx + c Als je a(x+p)(x+q)uitwerkt dan krijg je
)) q p ) q p ( ( ) q p p q
(x⋅x+x⋅ + ⋅x+ ⋅ =a x2 + + ⋅x+ ⋅ a
De factor (p + q), die voor de ’x’ staat, is de som van de x-waardes van de snijpunten.
De factor pq, het losse getal, is het product van deze x-waardes.
Je moet dus 2 getallen zoeken die opgeteld gelijk zijn aan de factor van ‘x’ en vermenigvuldigd gelijk zijn aan het losse getal.
Nog een voorbeeld:
f(x) = -2x2 – 2x + 12 = -2( x2 + x – 6) = -2(x + 3)(x – 2) want +3 + -2 = 1 en +3 × -2 = -6
Behoefte om te oefenen met ontbinden in factoren?
Kies voor type: (x – a)(x – b) = 0 Kies voor type: a(x + b)(cx – d) = 0
Opgave 2.2 Oefenen met a(x+p)(x+q) en ax2 + bx + c Controleer je antwoorden met applet 2.1
Stel een functie op in de vorm f (x) = a(x + p)(x + q) van de gegevens bij opgave a, b en c.
a Met snijpunten x1 = -2 en x2 = 5 en snijpunt y-as = (0; 5) b Met snijpunten x1 = 1 en x2 = 5 en snijpunt y-as = (0; -3) c Met snijpunten x1 = -0,5 en x2 = 1 en snijpunt y-as = (0; -2)
d Bereken de coördinaten van het maximum of minimum bij a en b.
Stel een functie op in de vorm f(x) = ax2 + bx + c van de functie- voorschriften van opgave e, f en g.
e f(x) = 2(x + 2)(x + 3) f f(x) = -(x + 3)(x - 1) g f(x) = -3(x - 1)(x + 2)
h Schets de grafiek bij de functievoorschriften van opgave e, f en g.
2.1 2.2
Opgave 2.3 Ontbind in factoren ofwel schrijf in de vorm f(x) = a(x + p)(x + q) Controleer je antwoorden met applet 1.3 .
a f(x) = 2x2 + 4x - 6
` b f(x) = -3x2 - 9x + 12 c f(x) = -x2 +2x + 24 d f(x) = 4x2 – 4
Ontbindt in factoren ofwel schrijf in de vorm (x + p)(x + q) = 0 en bepaal de coӧrdinaten van de snijpunten met de x-as.
e x2 + 2x – 3 = 0 f x2 – 2x – 8 = 0 g 2x2 – 8x – 42 = 0 h -x2 + 4x – 3 = 0
Opgave 2.4 Functievoorschrift opstellen bij grafiek.
Stel het functievoorschrift op bij onderstaande grafieken.
Controleer je antwoorden met applet 1.3 . Voorbeeld voor grafiek A:
) 6 )(
6 ( 2 ) (
2 36
18 )
6 0 )(
6 0 ( 18
) 18 , 0 ( )
6 )(
6 ( ) (
− +
=
→
=
→
⋅
−
=
−
→
− +
=
−
−
− +
=
x x x f
a a a
top en x
x a x f
a Welke voorschrift hoort bij grafiek A, B, C en D?
b Werk haakje weg bij (x – 6)(x + 6) c Werk haakjes weg bij (x – 6)2 1.3
e Welke van de twee onderstaande grafieken hoort bij opgave c ?
2.3functievoorschrift f(x) = a(x + p)2 + q voor een parabool Het functievoorschrift van een kwadratisch verband kan ook geschreven worden in de vorm: f(x) = a(x + p)2 + q
Voorbeeld :
f(x) = -2(x – 2)2 + 3 zie grafiek hiernaast.
In deze vorm kun je meteen de coördinaten van de top of het dal zien.
In het algemeen :
(-p, q) en in dit voorbeeld : (2,3) Als x = 2 dan f(x) = 3
Als x≠2dan f(x)<3
Ook de snijpunten zijn nu te berekenen.
-2(x – 2)2 + 3 = 0 → -2(x – 2)2 = -3 → (x – 2)2 = 1,5
→ (x – 2) = ± 1,5
→ x1 = 2 − 1,5 = 0,775 en x2 = 2 + 1,5= 3,225 (2 − 1,5) en (2 + 1,5) zijn de exacte waardes 0,775 en 3,225 zijn de waardes in 3 decimalen.
Deze laatste zijn uiteraard het meest praktisch.
75 , 6 ) 5 , 0 ( 3 ) (
75 , 6 2)
( 1 3 6 ap - -6 q -6 q ap
2 1 3 2
3 2a
3 p - -3 2ap
3 a
q ap ap 2 a 6 3 3x
q ap ap 2 a ) (
q ) p p p ( a ) (
q ) p )(
p ( a ) ( q ) p ( a ) (
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
−
−
=
→
−
=
−
×
−
−
=
=
→
= +
→
−
× =
= −
=
→
=
→
=
→
+ + +
=
−
−
+ + +
=
→
+ + + +
=
→
+ + +
⋅
=
→ + +
=
x x f
x x
x
x x
x f
x x x x f
x x x
f x
x f
Omgekeerd kun je bij iedere kwadratische functie een kwadraat afsplitsen.
Voorbeeld:
f(x) = 3x2 – 3x - 6 Algemeen :
Dus f(x) = 3(x – 0,5)2 – 6,75 coördinaten van het dal : (0,5;-6,75)
Men noemt deze herleiding “kwadraat afsplitsen”.
Opgave 2.5 Functievoorschrift in de vorm van f(x) = a(x + p)2 + q
Schrijf de volgende functies in deze vorm en bereken de coördinaten van de top of dal en de snijpunten (indien mogelijk) met de x-as.
Controleer met applet 1.3..
a f(x) = x2 + 4x + 4 b g(x) = 2x2 + 4x + 4 c h(x) = -2x2 - 4x - 4 d k(x) = 3x2 + 6x e y = 2x2 +4x + 2 f y = -x2 – 2x - 2
2.4 Snijpunten en top van f(x) = ax2 + bx + c
Ook in de algemene functie kun je een kwadraat afsplitsen en daaruit een formule afleiden voor de x-waarde van de snijpunten met de x-as en de extreme waarde (top of dal).
Als de coëfficiënten a,b en c geen ‘mooie’ getallen zijn is het ontbinden in factoren of het kwadraatafsplitsen geen handige manier 1.3
2.1
om top, dal of nulpunten te bepalen. In dat geval kun je beter gebruik maken van de zogenaamde abc-formule.
De afleiding van de abc-formule:
Voorbeeld 1:
2 5 , 3 2 )
(x = x2 − x− f
4 25 , 28 5 , 3 4
2 2 4 ) 5 , 3 ( 5 ,
3 2
2 , 1
= ±
−
×
×
−
−
= ± x
Exact:
4 25 , 28 5 , 3 4
25 , 28 5 , 3
2 1
= +
= − en x
x
Afgerond : x1 =−0,454 en x2 =2,20
Voor de extreme waarde geldt : 0,875 4
5 , 3 2
=
=
−
= a x b
Er zijn geen oplossingen of snijpunten als : (b2 – 4ac) < 0 Er is één oplossing en dus een raakpunt als : (b2 – 4ac) = 0 Er zijn twee oplossingen of snijpunten als : (b2 – 4ac) > 0 De term (b2 – 4ac) noemt men de discriminant (D).
Het is verstandig om eerst D uit te rekenen.
Voorbeeld 2:
75 , 3 2 2 4 5 , 3 2
5 , 3 2 )
(x = x2 − x+ →D= 2 − × × =− f
Het getal onder de wortel is negatief, dat kan niet, dus er zijn geen snijpunten.
De extreme waarde ligt bij : 0,875 4
5 ,
3 =
x=
2 3 4 9 4
9 9 4 0 9 4
9 4 ) (
2 , 1 2
2 2
2
±
=
±
=
→
=
→
=
→
=
−
−
=
x x
x x
x x f
Opgave 2.6 Gebruik van de abc-formule.
Bepaal voor de grafieken van de volgende functies de coördinaten van de snijpunten met de x-as en het maximum of minimum.
Controleer met applet 1.3..
a f(x) = 2x2 - 8x + 4 b g(x) = -x2 – x + 9 c h(x) = 2x2 - 5x + 5 d k(x) = 3x2 + 3 e m(x)= -f(x) f n(x) = 2∙ f(x)
Behoefte aan meer oefening met gebruik abc-formule?
WIMS-site : kies ax2 + bx + c = 0 (met abc-formule)
2.5Enkele bijzondere functies met b=0, c=0 en één raakpunt.
1) Als b = 0 heb je de vorm f(x) = ax2 + c
Je kunt dan zonder gebruik van de abc-formule direct de snijpunten bepalen.
Voorbeeld 1:
De snijpunten met de x-as zijn: ( 2
−3,0) en ( 2 3,0) ls b = 0 krijg je parabool met een dal of top op de y-as.
Als c < 0 dan geen snijpunten.
Je kunt de functie ook schrijven als 2)
)( 3 2 ( 3 )
(x = x− x+ f
Voorbeeld 2:
) )(
( ) (
0
2 1
2 , 1 2
a x a x x f
a x en a x
a x
a x
− +
=
=
−
=
±
=
→
=
− 1.3
2.3
1.3
) p p 2 ( a ) p (
a x+ 2 = x2 + x+ 2
2) Als c = 0 heb je de vorm f(x) = ax2 + bx = x(ax + b) Voorbeeld 1:
f(x) = 4x2 – 9x = x(4x – 9) f(x) = 0 als x = 0 of als x =
4 9
(x1 = 0 en x2 = 4 9)
Als c = 0 is gaat de grafiek altijd door (0,0). Een van de snijpunten heeft dan de coördinaten (0,0).
3) Als er één raakpunt is met de x-as.
Voorbeeld 1:
f(x) = 2(x – 2)2
f(x) = 0 heeft één oplossing, nl. x = 2
Als je de haakjes van (x – 2)2 weg werkt, krijg je:
(x – 2)(x – 2) = x2 – 2x – 2x + 4 = x2 – 4x + 4 -4x = 2 ( -2x) noemt men het dubbele product.
Algemeen:
Voorbeeld 2:
2 2
2 4 4
) 2
( x−a = x − xa+a Of omgekeerd:
2 2
2 12 18 2( 6 9) 2( 3)
2x − x+ = x − x+ = x−
Opgave 2.7 Snijpunten bepalen met de x –as.
Controleer de antwoorden met applet 1.3.
Bepaal de coördinaten van de snijpunten met de x-as en de top of dal bij de parabolen met het volgende functievoorschrift:
a f(x) = x2 - 4 b f(x) = -2x2 + 4x -2 c f(x) = -2x2 + 4 d f(x) = 3(x – 4)2 e f(x) = 3 - x2 f f(x) = 4(x + 2)2 1.3
h Bedenk het functievoorschrift bij de parabolen in de afbeelding.
Ze hebben beide de snijpunten (-1,0) en (1,0).
De een heeft een top in (0,4).
De ander heeft een dal in (0,-4).
Opgave 2.8 Ontbind de volgende functies in factoren.
Controleer de antwoorden met applet 1.3.
a f(x) = 2x2 - 7 b f(x) = 2x2 – 7x c f(x) = x2 + 4 d f(x) = x2 – 6x + 9 e f(x) = 2x2 + 12x + 18 f f(x) = 9x2 - 16
g f(x) = -2x2 + 2x +12 h f(x) = x2 – 7x + 12
2.6Verschuiven van grafieken
Je kunt de grafiek bij f(x)=−2x2+3x+1 horizontaal of vertikaal verschuiven door het voorschrift als volgt aan te passen.
Zie grafieken op volgende pagina.
1.3
Als je in plaats van x de term (x – 2) plaatst dan krijg je voor x = 2 dezelfde y-waardes als eerst voor x = 0 en voor x = 3 dezelfde y- waardes als eerst voor x = 1 .
De grafiek verschuift dus 2 naar rechts.
Als je in plaats van x de term (x + 2) plaatst dan krijg je voor x = -2 dezelfde y-waardes als eerst voor x = 0 en voor x = -3 dezelfde y- waardes als eerst voor x = -1 .
De grafiek verschuift dus 2 naar links.
Als je in het voorschrift het getal ‘+1’ vervangt door het getal ‘3’
zullen alle y-waardes met 2 vermeerderd worden.
De grafiek verschuift dus 2 naar boven.
De functie f(x)=−2(x−2)2+3(x−2)+1 kun je ook in de vorm
‘ax2 + bx + c.’ schrijven.
13 11 2 ) (
1 6 3 8 8 2 1 ) 2 ( 3 ) 4 4 ( 2 ) (
2
2 2
− +
−
=
→ +
− +
− +
−
= +
− + +
−
−
=
x x x f
x x
x x
x x x
f
Als je van beide voorschriften de grafiek tekent met applet 1.3 zullen ze elkaar overlappen.
tekent
Opgave 2.9 Verschuiven van grafieken.
Controleer de antwoorden met applet 1.3.
Stel het functievoorschrift f(x) in de vorm van ‘a(x +p)(x + q)’ op voor:
a de grafiek die de x-as snijdt in (-1,0) en (3,0) en een dal heeft met 1.3
1.3
c de grafiek die 3 naar links verschoven is t.o.v. a d de grafiek die 2 naar beneden verschoven is t.o.v. a
e de grafiek die 1 naar boven verschoven en 2 naar links verschoven is t.o.v. a.
f Schrijf de functies bij b, c en d in de vorm ‘ax2 + bx + c.’
Opgave 2.10 Een derdegraads functie kan 3 snijpunten hebben.
De functie f(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 3) is hieronder afgebeeld.
a Schrijf het functievoorschrift zonder haakjes.
Controleer dit functievoorschrift met applet 1.3..
b Bereken het snijpunt met de y –as en controleer in grafiek.
c Hoeveel moet je de grafiek omhoog schuiven zodat er 1 snijpunt en 1 raakpunt is. Bedenk het voorschrift bij deze grafiek?
d Wat wordt het functievoorschrift met de haakjes als je i.p.v. x de term (x – 1) invult.Wat zijn de gevolgen voor de grafiek?
f(x) = = 2(x + 2)(x - 1)(x - 3)
R6 Wat is het voordeel om het functievoorschrift f(x) = ax2 + bx + c te schrijven in de vorm f(x) = a(x + p)(x + q).
Hoe bepaal je p en q? Geef voorbeeld.
Waarom is deze manier alleen geschikt voor ‘mooie’ getallen.
Hoe bepaal je de coördinaten van de top?
R7 Als de snijpunten met de x-as en de coördinaten van de top gegeven zijn kun je het functievoorschrift opstellen. Geef voorbeeld.
R8 Als de snijpunten met de x-as en de coördinaten van een punt op de grafiek gegeven zijn kun je het functievoorschrift opstellen.
Geef voorbeeld.
R9 - 1.3
2.2
R10 Wat is het voordeel om het functievoorschrift f(x) = ax2 + bx + c te schrijven in de vorm f(x) = a(x + p)2 + q
Hoe bepaal je p en q? Geef voorbeeld.
R11 Wat is het verschil tussen de grafiek van f(x) = ax2 + bx + c en g(x) = a(x - 1)2 + b(x – 1) + c - 4
Kies waardes voor a,b en c en controleer met applet 1.3 . R12 Laat zien dat x2 – a2 = (x + a)(x – a).
Laat zien dat x8 – a8 = (x4 + a4)(x2 + a2)(x + a)(x – a).
Waarom kunnen de eerste twee factoren niet gelijk zijn aan 0 ? Laat zien dat (a – b)2 = a2 -2ab + b2 .
Laat zien dat x2 + 4kx + k2 = (x + 2k)2 – 3k2 . ( k = constante) R13 Voor de snijpunten met x –as geldt: a(x + p)2 + q = 0
Dus (x + p) =
a p q a x
q −
±
−
=
− →
± 1,2
Hoe bepaal je de coördinaten van de top of het dal?
Geef voorbeelden.
Voor welke waardes van (-q/a) zijn er geen snijpunten ? Kies waardes voor a en q en controleer dit met applet 1.3 . Voor welke waarde van (-q/a) is er één raakpunt met de x-as?
R14 We hebben gebruik gemaakt van 3 notatie-mogelijkheden voor een tweedegraads functie.
Welke notatie heeft welk voordeel.
R15 De abc-formule is de algemene tool om de oplossingen van een vierkantsvergelijking te vinden.
Geef een voorbeeld.
R16 Welke betekenis heeft de term (b2 -4ac)?
R17 Voor de extreme waarde van een parabool (top of dal) gelden de
coördinaten )
4 ,4 ( 2
2
a b ac a
b −
− .
Leidt dit af en controleer dit met een zelf gekozen functie.
R18 Laat met een schetsje het verschil zien tussen de grafiek van:
f(x) en f(x-a).
g(x) en g(x+b).
f(x) en f(x) - a.
f(x) en p·f(x).
f(x) en b
x f( ) f(x) en -f(x) f(x) en f(-x)
f(x) en |f(x)| |-2| = 2 en |2| = 2 1.3
afgerond x
en x
exact x
en x
x
28 , 2 22
, 0
4 25 17 , 4 1
25 17 , 1
4 17 5 4
1 2 4 5 5
2 1
2 1
2 2
, 1
=
=
+
=
−
=
= ±
×
×
−
= ±
2.7 Gelijkheden en ongelijkheden met kwadratische functie.
Voorbeeld 1: parabool en y-waarde
Voor welke waardes van x geldt: 2x2 – 5x + 4 ≤ 3
We rekenen eerst uit voor welke waardes van x de y-waarde gelijk is aan 3.
2x2 – 5x + 4 = 3 → 2x2 – 5x + 1 = 0
2x2 – 5x + 4 ≤ 3 → 2x2 – 5x + 1 ≤ 0
Er is hier sprake van een dalparabool (a>0), dus tussen de snijpunten in geldt y ≤ 0. Je kunt dit ook aangeven in een
tekenoverzicht.
De groene grafiek hoort bij (2x2− x5 +1)
Voorbeeld 2: Parabool en rechte lijn
Voor welke waarden van x geldt: f(x) ≤ g(x) f(x) = 2x2 – 5x + 4 en g(x) = x + 2
Ofwel: Voor welke waardes van x is de y-waarde van f(x) kleiner of gelijk dan de y-waarde van g(x)
2x2 – 5x + 4 = x + 2 → 2x2 – 6x + 2 = 0
x1,2 =
4 5 2 6 4
20 6 a
2 20 b
1
= ±
± →
± =
− x
x1 = 1,5 - 0,5 5en x2 = 1,5 + 0,5 5 (exact) x = 0,38 en x = 2,62 (2 decimalen)
Dus 2x2 – 5x + 4 ≤ x + 2 ofwel 2x2 – 6x + 2 ≤ 0 als 0,38 ≤ x ≤ 2,62 (2x2 – 6x + 2) is een dalparabool, dus het gevraagde domein ligt tussen de snijpunten Zie tekenoverzicht in afbeelding.
Voorbeeld 3: y (parabool1) > y (parabool2)
Voor welke waardes van x geldt 2x2 – 5x + 4 > - x2 + 4x - 2 ?
In het x-y-diagram hiernaast zijn de grafieken van f(x) = 2x2 – 5x + 4 en g(x) = - x2 + 4x - 2 getekend. Je kunt uit de grafiek aflezen dat f (x) en g(x) een snijpunt hebben bij x = 1 en x = 2
Berekening snijpunten van de parabolen:
2x2 – 5x + 4 = - x2 + 4x - 2→ 3x2 – 9x + 6 = 0 b2 – 4ac = 81 - 72 = 9
x1,2 =
6 3 9 6
9 9 a 2
9 b
1
= ±
± →
± =
− x
x1 = 1 en x2 = 2
f(x) > g(x) als 3x2 – 9x + 6 > 0
(3x2 – 9x + 6) is een dalparabool, de y-waarde is groter dan ‘0’ links en rechts van de snijpunten. Zie tekenoverzicht in figuur. Omdat de snijpunten geen deel zijn van de oplossing worden ze aangegeven als een open ‘rondje’.
Dus f(x) > g(x) als x < 1 of x > 2
Opgave 2.11 Grafieken vergelijken.
Voor welk domein is de y-waarde van functie 1 groter is dan die van functie 2. Maak hierbij ook een tekenoverzicht zoals in het
voorgaande voorbeeld. Controleer met applet 1.3..
1.3
Behoefte aan extra oefening op WIMS-site.
Kies voor : a(x2 + bx + c) en ax2 + bx + c Opgave 2.12 Snijpunten bepalen 1.
In deze opgave zijn steeds 2 functies gegeven. Bepaal de snijpunten van deze 2 functies. Sommigen kunnen ontbonden worden, bij andere zal de abc- formule toepast moeten worden.
Controleer de antwoorden met applet 1.3..
a h(x) = 2x – 6 en g(x) = -2x2 +12x - 14 b h(x) = 2
3
1x en g(x) = 2x - 3
c h(x) = 2 2 1 −
− x en g(x) =
2 21 4
1x2+ x−
d h(x) = 2x en g(x) = -x2 2 + 4x – 1 Opgave 2.13 Snijpunten bepalen 2.
In deze opgave zijn steeds 2 functies gegeven met daarin de
variabele a. Voor welke waarde van a is er een raakpunt en voor welke waarde van a zijn er geen snijpunten?
Controleer de antwoorden met applet 1.3..
a h(x) = x2 + 1 en g(x) = ax b h(x) = x2 + a en g(x) = x c h(x) = ax2 + 1 en g(x) = ax
2.8 Functie opstellen als drie punten van grafiek gegeven zijn.
Als je de coördinaten van 3 punten van de grafiek kent, kun je het functievoorschrift bepalen.
Voorbeeld:
De 3 punten zijn (-2,-2); (-1,3) en (3,1)
Invullen van de x- en y-waardes in de algemene vergelijking (ax2 +bx+c) levert drie vergelijkingen met 3 onbekenden.
-2 = 4a – 2b + c 3 = a – b + c
1 = 9a + 3b+ c Uit en volgt:
-5 = 3a – b – Uit en volgt:
2 = -8a – 4b
–
2.3
1.3
1.3
Uit en volgt: 4 ×
–
-22 = 20a → a= -22/20 = -1,1 Invullen in (4) geeft -5 = 3 ×( -1,1) – b → b = 1,7
Invullen in (1) -2 = 4 × (-1,1) - 2 × 1,7 + c → c = 5,8 Dus: y(x) = -1,1 x2 + 1,7x + 5,8
Controle: y(3) = -9,9 + 5,1 + 5,8 = 1 Klopt!
Opgave 2.14 Stel het functievoorschrift op voor de grafiek.
Stel een functievoorschrift op voor een grafiek die door de volgende 3 punten.
Controleer met applet 1.3..
a (1,2); (-1,6) en (2,3)
` b (-2,-4); (1,-1) en (2,-8) c (0,2); (2,4) en (4,2)
R19 Hoe kun je met een tekenoverzicht het domein waar f(x) > g(x) aangeven?
R20 Laat zien hoe je 3 vergelijkingen met 3 onbekenden oplost.
Geef een voorbeeld van een toepassing.
2.9Toepassingen kwadratische functies.
Opgave 2.15 Berekeningen aan de remweg.
Hoe harder een auto rijdt des te langer is zijn remweg. Bij een noodstop slippen de wielen en ontstaat een remspoor. De politie kan uit de lengte van het remspoor een redelijke inschatting maken van de snelheid aan het begin van de remweg.
Voor de remweg s en de snelheid v0 geldt:
Tijdens het remmen gelden de functies:
t v t g f t
s =− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
0
5 2
, 0 ) (
s(v0) is de remweg in meter bij een beginsnelheid v0. v(t) is de snelheid in m/s na t seconden remmen s(t) is de afgelegde weg na t seconden remmen.
g = 9,8 m/s2 (de versnelling van de zwaartekracht).
f is de wrijvingscoëfficiënt van het wegdek.
omstandigheden wrijvingscoëfficiënt f
droog wegdek 0,8
nat wegdek 0,4
g f ) 2 (
2 0 0 = v⋅ ⋅ v
s
g 0
f )
(t t v
v =− ⋅ ⋅ + 1.3
Een auto heeft een snelheid van 30 m/s en voert een noodstop uit op een droog wegdek.
a Teken de v-t-grafiek met behulp van applet 1.3..
b Bepaal de helling van deze grafiek in m/s2.
Wat is de natuurkundige betekenis van de helling?
c Bereken de remtijd, de tijd waarbinnen de auto tot stilstand komt.
d Stel de functie s1(v0)op voor remmen op een droog wegdek en de functie s2(v0)voor remmen op een besneeuwd wegdek.
e Teken de s-v0-grafiek van beide functies met behulp van applet 1.3..
f Teken hierin ook de grafiek van een stilstaande auto. Deze auto staat op t = 0 op 30 m afstand van de remmende auto.
Conclusie?
De volgende vragen hebben betrekking op remmen op besneeuwd wegdek.
g Stel de s(t)-functie op voor een auto met v0 = 30 m/s.
h Bepaal de coëfficiënten a,b en c als je deze functie schrijft als f(x) = ax2 + bx + c.
i Teken de s-t-grafiek van de functie bij opgave g) met behulp van applet 1.3..
j Bepaal de top van de parabool van opgave h).
k Bepaal de functie v(t) voor het remmen op besneeuwd wegdek.
l Teken de v-t-grafiek van de functie bij opgave k) met behulp van applet 1.3..
m Bereken het tijdstip waarop v = 0 m/s.
Klopt deze waarde met het antwoord van opgave j) ?
n Stel het functievoorschrift op voor de afgelegde weg van een auto B die 2 seconden later begint met remmen.
Opgave 2.16 Berekeningen aan een kogelbaan.
Een golfbal wordt met een snelheid van 20 m/s onder een hoek van 600 weggeslagen. In de x-richting is er een constante snelheid van 10 m/s. Ten gevolge van de zwaartekracht neemt de snelheid in de y- richting eerst af tot nul en vervolgens weer toe.
1.3
x(t) = 10t + x(0) x is de horizontale afstand (in m) y(t) = -4,9t2 + 17,3t + y(0) y is de verticale afstand (in m) vy(t)= -9,8t + 17,3 vy is de snelheid in verticale richting
t is de tijd (in s)
Met applet 2.2 kun je oefenen met de kogelbaan en de antwoorden controleren.
a Wat is de betekenis van x(0) en y(0)?
b Hoe groot was de snelheid op t = 0 in de y-richting?
c Stel de functie y(x) op voor de baan van de bal ( x(0) = 0 en y(0) = 0) door t te substitueren.
Teken de functie met applet 1.3 en vergelijk de vorm met die van applet 2.3 In deze applet kun je zelf metingen verrichten.
d Bereken de snijpunten met de x-as en de plaats van de top.
e Bereken het tijdstip waarop de bal op maximale hoogte is.
f Bereken x en y op dit tijdstip. Controleer met het antwoord van vraag d.
g Stel de functie y(x) op voor de baan van de bal als x(0) = 0 en y(0) = 5.
Teken de functie met applet 1.3 en vergelijk de vorm met die van applet 2.2
h Bereken de nulpunten van de y(t)-functie als y(0) = 5 Wat is de betekenis van deze nulpunten?
Waarom is een van deze nulpunten niet van toepassing?
Opgave 2.17 Berekeningen aan valbeweging.
Voor de valbeweging van een massa A geldt de plaatsfunctie y(t) = -4,9t2 - 10t + 20 en de snelheidsfunctie v (t)= -9,8t – 10 y(t) is de hoogte in meter na t seconden
a Vanaf welke hoogte valt de massa en wat is de snelheid bij het begin van de valbeweging?
b Maak een schets van de grafiek van beide functies. Bereken eerst de snijpunten met de t-as en de coördinaten van de top.
c Bepaal het functievoorschrift voor een massa B die 1 seconde later met dezelfde beginsnelheid naar beneden gegooid wordt ( v(0) = - 2.2
1.3
2.2
d Maak een schets van de grafiek van de functie van B.
Controleer met applet 1.3..
Opgave 2.18 Optimalisering tweedegraads functie.
Je hebt een koord met een lengte van 10 m en moet daarmee een zo groot mogelijk rechthoekig oppervlak afzetten.
a Stel de functie A(x) op voor de oppervlakte.
b Bepaal de snijpunten met de x-as.
Zijn de gevonden waardes juist?
c Bepaal het maximum van deze oppervlakte.
Controleer met applet 1.3.
1.3 1.3
Op de site http://www.vervoortboeken.nl/sites/wiskundeHBO/functies/index.html is een mindmap beschikbaar met het complete overzicht van alle functies.
2.1 algemeen functievoorschrift en de betekenis van de coëfficiënten a, b en c.
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
S2 Samenvatting kwadratische functies.
2.2 Het functievoorschrift f(x)=a(x+p)(x+q) (ontbinden in factoren) http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
2.3 Het functievoorschrift f(x)=a(x+p)2 +q (kwadraat afsplitsen) http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
2.4.1 Afleiding abc-formule, de algemene formule om snijpunten met x-as te bepalen.
2.4.2 Gebruik abc-formule (Bepalen van de snijpunten met x-as en extreme waarde).
2.4.3 Tekenen van een parabool m.b.v. functievoorschrift
2.4.4 Betekenis discriminant ( 0, 1 of 2 snijpunten met x-as)
2.4.5 Toepassing discriminant ( snijpunten of raakpunten met lijn of parabool).
2.5.1 Bijzondere tweedegraads functie met b = 0
2.5.2 Bijzondere tweedegraads functie met c = 0
2.6 transformatie parabool
http://www.shodor.org/interactivate/activities/GraphSketcher/
2.7 gelijkheden en ongelijkheden 2.7.1 parabool en lijn
2.7.2 twee parabolen
