Lengte en afgeleide

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Lengtes van krommen (23)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Krommes en lengte

Eenkrommeis een afbeelding γ : I → Rⁿ, waar I ⊆ R een interval is.

Definitie

Zij γ : [a, b] → Rⁿeen kromme en P een partitie a = x0< x1< · · · < xn= b van [a, b]. We defini¨eren

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(xi) − γ(xi −1)k.

Dan is delengtevan γ gedefinieerd door

Λ(γ) = sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ).

Als Λ(γ) < ∞, noemen we γ rectificeerbaar.

Integralen op R

Zij f : [a, b] → Rⁿcontinu. Definieer

~J =Z b a

f (t) dt =

Z b a

fi(t) dt

ⁿ

i =1

,

de vector van integralen van de componenten fi. Dan k~Jk²=

n

X

i =1

J_i²=X

i =1ⁿ

Ji

Z b a

fi(t) dt = Z b

a n

X

i =1

Jifi(t) dt.

Volgens Cauchy-Schwarz isPn

i =1Jifi(t) ≤ k~Jkkf (t)k. Dan is k~Jk²≤

Z b a

k~Jkkf (t)k dt = k~Jk Z b

a

kf (t)k dt.

Propositie 10.5 (bewezen)

Zij f : [a, b] → Rⁿcontinu. Dan geldt

Z b a

f (t) dt

≤ Z b

a

kf (t)k dt.

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿeen C¹kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Zij P een partitie x0< · · · < xnvan [a, b]. Dan geldt

Λ(P, γ) =

n

X

i =1

kγ(xi) − γ(xi −1)k =

n

X

i =1

Z x_i x_{i −1}

γ⁰(t)

≤

n

X

i =1

Z x_i x_{i −1}

kγ⁰(t)k dt.

We zien Λ(P, γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt voor alle P, dus ook Λ(γ) ≤Rb

a kγ⁰(t)k dt < ∞.

Neem nu  > 0. Omdat γ⁰ uniform continu is, bestaat er δ > 0 zodat kγ⁰(s) − γ⁰(t)k <  als |s − t| < δ.

Zij P een partitie x0< · · · < xnvan [a, b] zodat xi− x_{i −1}< δ voor alle i . Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z x_i

x_{i −1}

kγ⁰(t)k dt ≤ kγ⁰(xi)k + 
(xi− x_{i −1}) =

Z x_i x_{i −1}

γ⁰(xi) dt

+ (xi− x_{i −1})

=

Z xi

xi −1

γ⁰(t) + γ⁰(xi) − γ⁰(t)
dt

+ (xi− x_{i −1})

≤

Z x_i x_{i −1}

γ⁰(t) dt

+

Z x_i x_{i −1}

γ⁰(xi) − γ⁰(t)
dt

+ (xi− xi −1)

≤ kγ(x_i) − γ(xi −1)k + 2(xi− x_{i −1}) Dus

Z b a

kγ⁰(t)k dt ≤

n

X

i =1

kγ(x_i) − γ(xi −1)k + 2(b − a).

Lengte en afgeleide

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿeen C¹kromme. Dan geldt

Λ(γ) := sup

P partitie van [a,b]

Λ(P, γ) = Z b

a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Er geldt kγ⁰(t) − γ⁰(xi)k <  als t ∈ (xi −1, xi). Dan volgt Z x_i

x_{i −1}

kγ⁰(t)k dt ≤ kγ(xi) − γ(xi −1)k + 2(xi− x_{i −1}) Dus

Z b a

kγ⁰(t)k dt ≤

n

X

i =1

kγ(xi) − γ(xi −1)k + 2(b − a) = Λ(P, γ) + 2(b − a).

We zien dat Z b

a

kγ⁰(t)k dt ≤ Λ(γ) + 2(b − a).

Aangezien  willekeurig was, concluderen we dat Λ(γ) ≥Rb

a kγ⁰(t)k dt.

Voorbeeld

Stelling 10.6

Zij γ : [a, b] → Rⁿ een C¹kromme. Dan geldt Λ(γ) =

Z b a

kγ⁰(t)k dt < ∞.

Bekijk een cirkel om ~0 met straal r in R². We kunnen deze parametriseren als γ(t) =r cos t

r sin t



, t ∈ [0, 2π].

Er geldt dan Λ(γ) =

Z 2π 0

kγ⁰(t)k dt = Z 2π

0

q

γ₁⁰(t)²+ γ₂⁰(t)²dt

= Z 2π

0

pr²cos²t + r²sin²t dt = Z 2π

0

r dt = 2πr .