Minimale lengte

(1)

wiskunde B vwo 2019-II

Minimale lengte

1 maximumscore 4

• ∆ = −x 7 p en ∆ =y f p( ), waarbij p de x-coördinaat van P is 1

• 2 2

(7 ) ( ( ))

AP= − p + f p (of AP2 =(7−p)2+( ( ))f p 2) 1

• Beschrijven hoe het minimum hiervan (met de GR) bepaald kan worden 1

• De minimale lengte van AP is 4,35 1

Bewegend punt

• y=0 geeft sin(2 )t =sin( )t 1

• Hieruit volgt 2t= + ⋅ πt k 2 (met k geheel) of 2t = π − + ⋅ πt k 2 (met

k geheel) 1 • Dit geeft t=0, t= π , t = π , 1₃ t=12₃π en t= π2 1 •

( )

1 1 1 3 2 2 3 x π = − − 1 of

• y t( )=2 sin( ) cos( ) sin( )t t − t 1

• y=0 geeft sin( )t =0 of cos( )t =1₂ 1

• Dit geeft t=0, 1 3 t= π, t = π , 2 3 1 t= π en t= π2 1 •

( )

1 1 1 3 2 2 3 x π = − − 1

(2)

wiskunde B vwo 2019-II

Vraag Antwoord Scores

• De afgeleide van sin(2 )t is 2 cos(2 )t 1

• De afgeleide van cos(2 )t is −2 sin(2 )t 1

• (x' t( )= −2 sin(2 ) 2 cos(2 )t − t en y' t( )=2 cos(2 ) cos( )t − t , dus)

(0) 2 (0) 1 x' y' −     =         en ( ) 2 ( ) 3 x' y' π −     =  _π        1 • 2 2 1 3 cos( ) 2 2 1 3 − −     ⋅         ϕ = − −   _⋅         

(waarbij ϕ de gevraagde hoek is) 1

• cos( ) 7

65

ϕ = 1

• ϕ ≈29, 7(°) 1

of

• De afgeleide van sin(2 )t is 2 cos(2 )t 1

• De afgeleide van cos(2 )t is 2 sin(2 )− t 1

• ( ( )x' t = −2 sin(2 ) 2 cos(2 )t − t en y' t( )=2 cos(2 ) cos( )t − t , dus) d 2 cos(2 ) cos( ) d 2 sin(2 ) 2 cos(2 ) y t t x t t − = − − 1

• t=0 en t = π invullen geeft de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de baan: 1

2

− en 3 2

− 1

• De richtingshoeken zijn −26, 56...° en −56, 30...° (of: de hoeken die de raaklijnen met de x-as maken, zijn 26, 56...° en 56, 30...°) 1

(3)

wiskunde B vwo 2019-II

Raaklijn in knikpunt

• Voor de x-coördinaat van de knik geldt x− =2 0, dus x=2 1

• Voor x<2 geldt

(

1

)

2 ( ) ( 2) 2 1 f x = − − ⋅x x+ + 1 • (Voor x<2 geldt)

(

1

)

1 2 2 ( ) 1 2 ( 2) f ' x = − ⋅ x+ − − ⋅x 1 • De helling van l is ( 2 lim ( ) x f ' x ↑ = )−3 1

• (y_A= ;) uit 1 1= − ⋅ +3 2 b volgt b=7, dus een vergelijking van l is

3 7

y= − +x 1

Opmerkingen

− Als de kandidaat het functievoorschrift

(

1

)

2

( ) ( 2) 2 1

f x = x− ⋅ x+ +

hanteert, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen.

− Voor de notatie (2)f ' = − in plaats van 3

2

lim ( ) 3

x↑ f ' x = − geen

(4)

wiskunde B vwo 2019-II

Optimale snijsnelheid

5 maximumscore 4 • De vergelijking 20 116⋅ m =30 40⋅ m 1 • Herleiden tot 2,9m =1, 5 1 • Dit geeft 2,9 log(1, 5) 0, 380... m= = , dus m≈0, 38 1 • _C₌_{20 116}_⋅ 0,380..._geeft_C_≈₁₂₂ ₁ 6 maximumscore 5 • N =0, 3V 1 • Uit 0,25 150 V T⋅ = volgt 4 150 T V   = _ _ 1 • 4 ₄ 4 4 4 4 4 4 4 150 150 150 2 150 150 150 2 2 2 T V _V d T V V V       = = = = + _ _ ₊ + +     1

• Dit is gelijk aan

4 4 1 2 1 150 ⋅V + 1 • Dus 4 4 432 1440 0, 3 432 2 1 150 V A V d V d V = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ + 1 7 maximumscore 5

• De afgeleide van de noemer van de formule voor A is 3 4 8 150 ⋅V (of 3 0, 0000000158... V⋅ ) 1 •

(

)

(

)

4 3 2 4 432 0, 00000000395... 1 432 0, 0000000158... d d _{0, 00000000395...} ₁ V V V A V _V ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = ⋅ + 1 • d 0 d A V = geeft 4 4 0, 00000170...⋅V +432 0, 00000682...− ⋅V =0 1 • Dus 4 0, 00000512 V 432 0 − ⋅ + = , dus 4 432 0, 00000512 V = − − (=84 375 000) 1 • Dit geeft V (=4_{84 375 000}₎≈_95,8₍_V ≈ −_95,8_{voldoet niet) (dus de}

(5)

wiskunde B vwo 2019-II

Oppervlakte onder een sinusgrafiek

8 maximumscore 4 • ( ) 2 sin( ) d p p A p x x π− =

∫

1

• Een primitieve van 2 sin( )x is −2 cos( )x 1

• A p( )= −2 cos(π −p)+2 cos( )p 1

• −cos(π −p)=cos( )p , dus A p( )=4 cos( )p 1

of • 1 2 ( ) 2 2 sin( ) d p A p x x π

= ⋅

∫

(vanwege de symmetrie van f ) 2

• Een primitieve van 2 sin( )x is −2 cos( )x 1

•

(

( )

1

)

2

( ) 2 2 cos 2 cos( )

A p = ⋅ − π + p , dus A p( )=4 cos( )p 1

Opmerking

Voor het eerste antwoordelement van het tweede antwoordalternatief mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

• De oppervlakte van W is gelijk aan (π −2 ) 2 sin( )p ⋅ p 1

• De oppervlakte van W moet gelijk zijn aan 1

2 A p( ) 1

• Beschrijven hoe de vergelijking 1

2

(π −2 ) 2 sin( )p ⋅ p = ⋅4 cos( )p kan

worden opgelost 1

• Dit geeft p≈0, 41 ( 1 2

p= π voldoet niet) 1

of

• De oppervlakte van W is gelijk aan (π −2 ) 2 sin( )p ⋅ p 1

• De vergelijking 2 sin( ) d 2 ( 2 ) 2 sin( )

p p x x p p π− = ⋅ π − ⋅

∫

moet worden opgelost 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost 1

• Dit geeft p≈0, 41 ( 1 2

(6)

wiskunde B vwo 2019-II

Horizontale en verticale asymptoot

10 maximumscore 7 • lim ex 0 x→−∞ = en lim e2x 0 x→−∞ = 1

• De horizontale asymptoot heeft vergelijking y=(0 1000

0 10 −

=

− ) 100 1

• ( ex =10 geeft x=ln(10), dus) de verticale asymptoot heeft vergelijking

ln(10)

x= (en dit is x )_B 1

• f x( )=100 geeft e2x−1000 100e= x−1000 1

• 2

e x=100ex geeft ex

(

ex−100

)

=0 1

• Hieruit volgt x_C =ln(100) (want ex = heeft geen oplossingen)0 1

• x_C =2 ln(10) (dus x_C −x_A=2 ln(10)) (en x_B−x_A =ln(10)) (en de

y-coördinaten van A, B en C zijn gelijk) (dus B is het midden van

lijnstuk AC) 1 of • lim ex 0 x→−∞ = en 2 lim e x 0 x→−∞ = 1

• De horizontale asymptoot heeft vergelijking y=(0 1000 0 10

− ₌

− ) 100 1

• ( ex =10 geeft x=ln(10), dus) de verticale asymptoot heeft vergelijking ln(10)

• f x( )=100 geeft e2x−1000 100e= x−1000 1

• 2

e x=100ex geeft ex

(

ex−100

)

=0 1

• x_C−x_B =ln(100) ln(10)− = (ln 100 10  _{ =}  

  ) ln(10) (en xB−xA =ln(10)) (en

de y-coördinaten van A, B en C zijn gelijk) (dus B is het midden van

lijnstuk AC) 1

(7)

wiskunde B vwo 2019-II

• lim ex 0

x→−∞ =

en lim e2x 0

x→−∞ =

1

0 10 −

=

− ) 100 1

• ( ex =10 geeft x=ln(10), dus) de verticale asymptoot heeft vergelijking

ln(10)

• f x( )=100 geeft e2x−1000 100e= x−1000 1

• 2

e x=100ex geeft ex

(

ex−100

)

=0 1

• ( 2 A C x +x =) ln(100) 2 ln(10) ln(10) 2 2 2 C B x x = = = = (en de y-coördinaten

van A, B en C zijn gelijk) (dus B is het midden van lijnstuk AC) 1

of

• Als x onbegrensd afneemt, dan naderen ex

en e2x naar 0 1

0 10 − ₌ − ) 100 1 • f x( )=100 geeft e2x−1000 100e= x−1000 1 • 2 e x=100ex geeft ex

(

ex−100

)

=0 1

• Het midden van lijnstuk AC ligt bij 1

2ln(100)

x= 1

• Voor 1

2ln(100)

x= is de noemer van f x( ) gelijk aan

1

2ln(100) ln(10)

e −10=e −10= , dus de verticale asymptoot gaat door het 0 midden van AC (en de y-coördinaten van A, B en C zijn gelijk) (dus B is

(8)

wiskunde B vwo 2019-II

Wind aan zee

• Tekenen van een cirkel met straal 6 cm en met als middelpunt het

eindpunt van w_z (of bogen daarvan die de kustlijn snijden) 2

• Aangeven van de twee snijpunten van de cirkel met de kustlijn (de mogelijke eindpunten van vector w_r) of tekenen van de twee mogelijke

vectoren w_r) 1

• Tekenen van wr−wz

  _{voor beide situaties (en dat zijn de gevraagde}

vectoren w_d) 1

(9)

wiskunde B vwo 2019-II

• 2 2 2 r z d w + w = w 1 • 2 2 r 6 4 4, 4... w = − = 1

• Aangeven van de twee punten op de kustlijn op afstand 4, 4... cm van O (de mogelijke eindpunten van vector w_r) of het tekenen van de twee

mogelijke vectoren w_r) 1

• Tekenen van w_r−w_z voor beide situaties (en dat zijn de gevraagde

vectoren w_d) 1

Opmerkingen

− Als het eindpunt van minstens één getekende vector w_d meer dan 2 mm afwijkt van het juiste eindpunt van de betreffende vector w_d, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen.

− Als de kandidaat werkt volgens het eerste antwoordalternatief en

daarbij de eindpunten van vector w_r bepaalt zonder gebruik te maken van een cirkel, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

− Als slechts één situatie is getekend, voor deze vraag maximaal 3

scorepunten toekennen.

− Voor het eerste antwoordelement van het eerste antwoordalternatief

(10)

wiskunde B vwo 2019-II

• Omdat wz

 _{loodrecht staat op de kustlijn, is de hoek van}

z w met de lijn oost-west ook 30° 1 • z 3cos(30 ) 3sin(30 ) w =  ° _ − °    ₍ 2, 59... 1, 5   =  ₋    ) 1 • d 5 cos(45 ) 5sin(45 ) w = − ° _ − °    ₍ 3, 53... 3, 53... −   = ₋    ) 1 • Optellen geeft r 0, 93... 5, 03... w = − _ −    ₁ • Hieruit volgt 2 2 r ( 0, 93...) ( 5, 03...) 5,1 w = − + − ≈ 1 of

• Gebruikmaken van de driehoek die ontstaat door vector wd

 _{te laten}

aangrijpen in het eindpunt van vector w_z 1

• De hoek tussen de zijde met lengte 3 en de zijde met lengte 5 is 75° 2

• De cosinusregel geeft 2 ₂ ₂

r 3 5 2 3 5 cos(75 )

w = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° 1

• Hieruit volgt w_r ≈5,1 1

Opmerking

(11)

wiskunde B vwo 2019-II

Twee logaritmische functies

• Als xB = , dan b xA= − (of: als b 3 xA= , dan a xB = + )a 3 1

• Er moet gelden log

(

b−3

)

=log

( )

b b − (of:1

( )

(

)

log a =log (a+3) a+3 − )1 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden 1

• Dit geeft q≈ −0, 20 of q≈0, 34 1

of

• log

( )

x_A = , dusq x_A =10q, dus x_A =102q, dus x_B =102q + 3 1

• Er moet gelden

(

2

)

2

)

log 10 q+3 10 q +3 − =1 q 1

• Dit geeft q≈ −0, 20 of q≈0, 34 1

of

• log

( )

x_A = , dusq x_A =10q, dus x_A =102q en log

(

x_B x_B

)

− = , dus1 q 1 10q B B x x = + , dus

(

)

2 3 1 10q B x = + 1 • Er moet gelden

(

₁

)

23 ₂ 10q+ −10 q =3 1

• Dit geeft q≈ −0, 20 of q≈0, 34 1 14 maximumscore 3 •

(

)

( )

log 1 log log p p p CD CE _p − − = 1 •

(

)

1 2 log p p =1 log( )p en

( )

1 2 log p = log( )p 1 • 12 12 1 1 2 2

1 log( ) 1 log( ) log( ) 1 2 log( ) 2

log( ) log( ) log( )

(12)

wiskunde B vwo 2019-II

15 maximumscore 2 • 2 log( ) 2 2 log( ) 2 log( ) 1 p p p − − ₌ 1 • Dus lim p CD CE →∞ =( 2 0 1 − ₌

) 2 (en dit is de gevraagde grenswaarde) 1

Parabool en cirkel met variabele straal

• Voor de cirkel geldt 2 2 2 ( )

x + y−r =r 1

• Voor snijpunten van de cirkel en de parabool geldt 2

(

2

)

2 2

x + x −r =r 1

• Herleiden tot 2

(

2

)

1 2 0

x − r+x = 1

• Dit geeft _x2 _{= (of}₀ _x₌₀_{) of}_x2 ₌₂_r₋₁ ₁

• ( 2

2 1

x = r− moet twee oplossingen hebben, dus) er moet gelden

2r− >1 0, dus r>1₂ 1

of

• Voor de cirkel geldt 2 2 2 ( )

x + y−r =r 1

• Voor snijpunten van de cirkel en de parabool geldt 2 2

( )

y+ y−r =r 1

• Herleiden tot (y y−2r+ =1) 0 1

• Dit geeft y= (dus 0 x=0) of y=2r−1 1

• (y=2r− geeft twee gemeenschappelijke punten als 1 2r− >1 0, dus) er moet gelden 2r− >1 0, dus 1

2

r> 1

• De inhoud van het omwentelingslichaam van de parabool kan worden berekend met de integraal

0 d r y y π

∫

1

• Een primitieve van πy is 1 2

2πy 1

• Invullen van de grenzen geeft voor de inhoud 1 2

2πr 1

• Er moet gelden 1 2 1 4 3 1 4 3

2π − ⋅ π = ⋅ π (of een gelijkwaardige r 2 3 r 2 3 r